具指數型及線性特性之不完美除錯 軟體可靠度模型

國立臺東大學資訊管理學系 碩士論文

具指數型及線性特性之不完美除錯 軟體可靠度模型

Considering the Feature of Exponential- Shaped and Linear in Software Reliability

with Imperfect Debugging

指導教授：廖國良 博士 研究生：江文馨 撰

中華民國一零二年六月

謝誌

歲月如梭，兩年的研究所生活即將畫下句點。不知不覺也已在台東生活了六 年，在這段期間內無論是在課業上或者是處事上，都收益良多。回顧研究所的日 子，雖然不像大學時期那樣多采多姿，卻讓我吸收到更多專業領域上的知識，並 且更懂得如何善用時間、珍惜自己所擁有的一切。而這些點點滴滴的累積，都將 成為我一生中難以忘懷的美好回憶。

本篇論文得以順利完成，承蒙指導教授廖國良老師的悉心指導與教誨。當遇 到研究上的瓶頸時，總是不厭其煩的指導並適時的給予幫助，更於平日生活上教 導做人處事的道理，使學生於求學期間成長不少，師恩深長永難忘懷。感謝口試 委員謝昆霖老師和黃建裕老師，費心審閱，不吝指正，並提供許多寶貴意見，使 本論文在結構與內容上能夠更臻完善，在此由衷感謝。

研究期間，感謝阿毅學長、阿杰學長、締怡姊、仙蕾和嘉華，當遇到研究或 學業上的盲點時，熱心的提供協助或意見，讓我暸解自己不足的地方。感謝家人 與多年的好友，在我挫折時，陪伴我抒發心情並給予支持鼓勵，衷心的感謝你們。

最後要感謝我最親愛的父母，謝謝您們給予我生活與精神上最大的支持與鼓勵，

讓我無後顧之憂完成學業，在此一併致謝。

很快地即將邁入人生的下一個階段，相信透過這兩年來所學習到的知識和經 驗的累積，將化為我未來面對挑戰的勇氣與力量。最後，僅以此論文獻給我的家 人、老師、同學，以及這段日子曾經關懷與幫助過我的人，謝謝您們！

江文馨 謹誌 國立臺東大學資訊管理學系碩士班 中華民國一零二年六月

摘要

過去三十年來，專家學者們提出了許多軟體可靠度成長模型用來評估軟體的 可靠度。直至今日，軟體可靠度的研究仍在持續進行著並且不斷地推陳出新，其 最大目的是期望能夠建構出一個可準確預測出軟體測試過程中失效行為的可靠度 模型。

本研究之目的為建構一般化之軟體可靠度成長模型，結合指數型函數和線性 函數兩者之特性至故障內容函數中，並以非齊次卜瓦松過程為基礎，考量不完美 除錯過程和不同錯誤偵測率之情形。模型建構完成後，即透過多組實際失效數據 進行測試，並利用最小平方估計法求得各模型之參數值和評估模型之適配度，最 後再與現有模型進行比較分析。分析結果顯示所提出之模型確實較僅探討單一類 型故障內容函數的模型，在預測軟體失效行為上，擁有更加準確的預測能力。

關鍵字：軟體可靠度成長模型、非齊次卜瓦松過程、不完美除錯。

Abstract

For the past three decades, many software reliability growth models (SRGMs) have been proposed to assess the software reliability during software development processes. Up to now, the studies of software reliability have been continuing and hope to develop the models to predict software failure behavior in the testing/debugging phase exactly.

The purpose of this study is to construct two general SRGMs using Non- Homogeneous Poisson Process (NHPP) and take the possibility of imperfect debugging into consideration. The proposed models incorporate the feature of exponential-shaped and linear types into fault-content function, and considering various fault-detection rates.

In addition, numerical examples are given to verify the effectiveness of the proposed models, and compare with existing models. The comparison results show that the proposed models have more accurate prediction capability.

Keywords: Software Reliability Growth Models; Non-Homogeneous Poisson Process;

Imperfect Debugging.

目錄

謝誌 ... i 

摘要 ... ii 

Abstract ... iii 

目錄 ... iv 

圖目錄 ... v 

表目錄 ... vii 

第一章 緒論 ... 1 

1.1 研究背景與動機 ... 1 

1.2 研究目的與範圍 ... 2 

1.3 研究方法與流程 ... 3 

第二章 文獻探討 ... 6 

2.1 可靠度 ... 6 

2.2 軟體可靠度 ... 8 

2.3 非齊次卜瓦松過程 ... 9 

2.4 非齊次卜瓦松過程模型 ... 10 

2.5 不完美除錯 ... 16 

2.6 學習曲線 ... 16 

第三章 研究方法 ... 18 

3.1 研究架構 ... 18 

3.2 資料來源 ... 18 

3.3 參數估計法 ... 19 

3.4 模型評量準則 ... 20 

第四章 模型建構 ... 23 

4.1 問題描述 ... 23 

4.2 軟體可靠度模型 ... 23 

4.3 資料分析與模型比較 ... 26 

4.4 小結 ... 50 

第五章 結論與建議 ... 51 

5.1 結論 ... 51 

5.2 建議 ... 51 

參考文獻 ... 52 

圖目錄

圖 1 程式碼行數與找到的錯誤數目之關係 ... 2 

圖 2 研究流程 ... 5 

圖 3 浴缸曲線 ... 7 

圖 4 軟體可靠度與時間之關係 ... 8 

圖 5 學習曲線 ... 17 

圖 6 研究架構 ... 18 

圖 7 模型一之曲線適配度（資料集一） ... 34 

圖 8 Y-EXPI 之曲線適配度（資料集一） ... 34 

圖 9 Y-LINI 之曲線適配度（資料集一） ... 35 

圖 10 G-O 之曲線適配度（資料集一） ... 35 

圖 11 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之曲線適配度比較圖（資料集一） ... 35 

圖 12 模型一之曲線適配度（資料集二） ... 37 

圖 13 Y-EXPI 之曲線適配度（資料集二） ... 37 

圖 14 Y-LINI 之曲線適配度（資料集二）... 37 

圖 15 G-O 之曲線適配度（資料集二） ... 38 

圖 16 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之曲線適配度比較圖（資料集二） ... 38 

圖 17 模型一之曲線適配度（資料集三） ... 39 

圖 18 Y-EXPI 之曲線適配度（資料集三） ... 40 

圖 19 Y-LINI 之曲線適配度（資料集三）... 40 

圖 20 G-O 之曲線適配度（資料集三） ... 40 

圖 21 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之曲線適配度比較圖（資料集三） ... 41 

圖 22 模型二之曲線適配度（資料集一） ... 42 

圖 23 P-N-Z 之曲線適配度（資料集一） ... 43 

圖 24 P-Z 之曲線適配度（資料集一） ... 43 

圖 25 ISS 之曲線適配度（資料集一） ... 43 

圖 26 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之曲線適配度比較圖（資料集一） ... 44 

圖 27 模型二之曲線適配度（資料集二） ... 45 

圖 28 P-N-Z 之曲線適配度（資料集二） ... 45 

圖 29 P-Z 之曲線適配度（資料集二） ... 46 

圖 30 ISS 之曲線適配度（資料集二） ... 46 

圖 31 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之曲線適配度比較圖（資料集二） ... 46 

圖 32 模型二之曲線適配度（資料集三） ... 48 

圖 33 P-N-Z 之曲線適配度（資料集三） ... 48 

圖 34 P-Z 之曲線適配度（資料集三） ... 48 

圖 35 ISS 之曲線適配度（資料集三） ... 49 

圖 36 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之曲線適配度比較圖（資料集三） ... 49 

表目錄

表 1 NHPP 軟體可靠度模型與均值函數之整理 ... 11 

表 2 實際失效數據來源 ... 19 

表 3 PL/I 應用程式測試資料 ... 31 

表 4 TANDEM COMPUTERS軟體失效數據... 32 

表 5 無線數據服務系統之失效數據 ... 32 

表 6 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之參數估計結果（資料集一） ... 34 

表 7 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之比較結果（資料集一） ... 36 

表 8 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之參數估計結果（資料集二） ... 36 

表 9 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之比較結果（資料集二） ... 38 

表 10 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之參數估計結果（資料集三） ... 39 

表 11 模型一、Y-EXPI、Y-LINI 和 G-O 之比較結果（資料集三） ... 41 

表 12 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之參數估計結果（資料集一） ... 42 

表 13 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之比較結果（資料集一） ... 44 

表 14 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之參數估計結果（資料集二） ... 45 

表 15 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之比較結果（資料集二） ... 47 

表 16 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之參數估計結果（資料集三） ... 47 

表 17 模型二、P-N-Z、P-Z 和 ISS 之比較結果（資料集三） ... 49 

第一章 緒論 1.1 研究背景與動機

隨著科技的日新月異，電腦系統不僅改變了人們的生活，也已成為日常生活 中不可或缺的一部分，像是捷運系統、航空控制系統、工廠流程控制系統和病人 監控系統等皆可看到電腦系統的應用。由於電腦系統的功能與規模不斷的擴大，

若某一元件發生故障時，可能會導致整個系統失常甚至是無法運作，因此，可靠 度的概念漸漸受到重視。最早將可靠度的概念應用於實務上的國家為德國，其在 第二次世界大戰時，為製造火箭 V1 和 V2 並解決試射過程中故障頻傳的情形，而 開始投入可靠度之研究，之後則陸續有美國、日本與歐美等國加入研究（陳耀茂，

2001）。且隨著各國對可靠度的高度重視，專家學者們也陸續針對可靠度進行探 討，並發展出許多相關的理論與知識，應用於實際的情形中。

近年來，許多產業開始將軟體運用於資訊系統中，包含核電廠、金融業與手 機系統等，且隨著軟體工程（Software Engineering）技術的進步，軟體的使用需求 與功能，不僅愈來愈大也愈來愈複雜，對於軟體開發人員來說，軟體可靠度

（Software Reliability）的好壞即成為一重要的問題。當軟體測試人員在測試一軟 體系統時，每隔一段時間必定會發現錯誤（Fault），理論上所有的錯誤都能被完全 的移除，但由於尋找錯誤的過程不僅費時也耗費成本，且其占總成本的比例相當 的高，因此，如何在合乎成本效益的情況下，讓錯誤的次數降至最低，並找出軟 體的最佳停止測試時間點與發佈（Release）時間為目前的一大挑戰。

過去三十年來，許多專家學者們提出了各式各樣的軟體可靠度成長模型

（Software Reliability Growth Models, SRGMs）用來評估軟體的可靠度（Dharmasena

& Zeephongsekul, 2010; Ho et al., 2003; Huang et al., 2007; Huang et al., 2003; Kapur et al., 2012; Sharma et al., 2010; Teng & Pham, 2006; Zheng, 2009），其主要目的為評 估一套軟體系統在尚未除錯前，系統中會存在多少錯誤數目，以及測試一段時間

之後，還會剩下多少錯誤數目。雖然軟體可靠度的研究一直不斷在進行著，但因 其發展較晚，目前還尚未發展出一套可準確預測出軟體測試過程中所有失效行為 的可靠度模型。因此，本研究期望藉此找出一套廣泛且可有效預測軟體失效行為 之軟體可靠度模型，以作為評估軟體可靠度之參考依據。

1.2 研究目的與範圍

對於軟體開發人員來說，軟體設計完成後的軟體測試十分地重要，其關係到 軟體的品質與可靠度。由於軟體的失效大多為錯誤的程式碼所造成，且其錯誤數 目會隨著程式碼行數的增加而呈幾何倍數成長（Feton & Pfleeger, 1997; 如圖 1）。

理論上所有的錯誤都能被完全的移除，但因找出錯誤的過程十分地困難，且軟體 發佈也有一定時程之限制，所以軟體開發人員無法永無止境地針對軟體進行測 試。且若只根據以往的經驗便決定軟體發佈的時間，不僅無法有效提升軟體的品 質，對於後續軟體發佈後可能引發的問題，勢必要花費更多的時間與成本進行補 救，此為企業所不樂見的。

圖 1 程式碼行數與找到的錯誤數目之關係 資料來源：謝爾廉（2000）

過去三十年來，專家學者們提出的軟體可靠度成長模型中，以非齊次卜瓦松 程式碼行數

找 到 的 錯 誤 數 目

過程（Non-Homogeneous Poisson Process, NHPP）為基礎建立的模型，其假設條件 較符合實際的情形。另外，軟體的除錯過程又可分為完美除錯（Perfect Debugging）

與不完美除錯（Imperfect Debugging）兩種。前者是假設失效發生時，偵測到的錯 誤會立即被移除且不會產生（Introduced）新的錯誤；後者則是假設偵測到的錯誤 被移除時，可能會產生新的錯誤。但在實際的軟體測試過程中，可能會因程式碼 的增減，而造成軟體產生一個或是多個錯誤，因此，除錯過程應假設為不完美除 錯較為合理。基於上述理由，本研究將以非齊次卜瓦松過程為基礎，結合不完美 除錯之假設條件來建構軟體可靠度模型。

另外，由於現有的軟體可靠度模型，大多將故障內容函數分為指數型函數或 是線性函數兩者進行探討，鮮少發現將此兩種類型函數結合在一起的軟體可靠度 模型。因此，本研究的目的為透過結合指數型函數（包含軟體開發人員的學習效 果）和線性函數兩者之特性至故障內容函數中，並考量不同錯誤偵測率之情形，

以建構更加廣泛的軟體可靠度模型，後續再與現有探討單一類型故障內容函數的 模型進行比較，藉此評估所提出之模型是否能夠獲得更加準確且有效之軟體失效 行為。

1.3 研究方法與流程

本研究以非齊次卜瓦松過程為基礎，結合指數型函數（包含軟體開發人員的 學習效果）與線性函數的特性至故障內容函數中，並考量不同錯誤偵測率之情形，

以建構出新的軟體可靠度成長模型。模型建構完成後，再運用實際失效數據進行 測試，以分析所提出之模型是否符合實際情形，並將其與現有之軟體可靠度成長 模型進行比較分析，以觀察所提出之模型是否較現有模型，在預測實際失效數據 上可獲得較佳的預測結果。

本研究之流程首先針對問題界定研究動機、目的與範圍，其次整理出有關可

靠度、軟體可靠度與軟體可靠度成長模型之相關文獻，並決定求解方法。模式建 構部分則以 NHPP 模型為基礎，結合指數型與線性函數的特性，並考量不完美除 錯過程和不同錯誤偵測率之情形。模型建構完成後即進行範例測試與分析，若分 析結果不合理，則進行模式之修正與檢討，待模型確認無誤後，即進行模型評量 準則之比較，以分析不同模型間之性能，並提出結論與建議。本研究之流程如圖 2 所示。

圖 2 研究流程

研究動機、目的與範圍

文獻探討

決定求解方法

資料蒐集與整理

模型建構

範例測試

分析結果 是否合理

模型評量準則之比較

結論與建議 是

否

第二章 文獻探討

可靠度（Reliability）又可分為硬體可靠度（Hardware Reliability）與軟體可靠 度（Software Reliability）兩種。早期主要是以探討硬體可靠度為主，且隨著時間 的推移，其相關理論發展皆已漸趨成熟；近年來由於軟體廣泛地應用於資訊系統 中，軟體可靠度的概念逐漸受到重視，但因其發展較晚，相關理論與模型之發展 還不夠完善。因此，本章節透過可靠度與軟體可靠度之發展演進，加上非齊次卜 瓦松過程、非齊次卜瓦松過程模型、不完美除錯過程及學習曲線等相關文獻，以 暸解現有模型的建構模式，並作為後續軟體可靠度模型建構之參考。

2.1 可靠度

可靠度（Reliability）一詞通常指的是硬體可靠度，其概念之運用最早始於第 二次世界大戰，德國為了製造火箭 V1 和 V2 並解決試射過程中故障頻傳的情形，

而開始投入可靠度之研究。其次，美國於第二次世界大戰中，發現電子裝置的失 效率之高低主要取決於真空管的可靠度，便致力於提升其可靠度，並於 1952 年成 立研究諮詢小組 AGREE（Advisory Group on Reliability of Electronic Equipment），

其為針對電子裝置之可靠度進行研究的團體，成員涵蓋軍方、民間與學術界等。

接著日本也於 1954 年成立可靠度研究會，針對電子零件的可靠度進行研究與調 查。至 1960 年代後，可靠度之技術已遍及各個產業，包含軍事、電子、航空和核 能等，成為企業所不可或缺的重要技術之一（陳耀茂，2001）。

可靠度的定義為：一元件、設備或系統在指定的環境條件下，能在預定的操 作時間內，達到預期功能而不發生失效（Failure）、故障的機率（Kapur & Lamberson, 1977）。當系統無法在指定的條件下發揮其功能時即為「失效」，其變化情形常以 浴缸曲線（Bathtub Curve）來表示（圖 3），大致可分為以下三個階段（郭思吟，

2009）：

1. 適應期（Initial Period）：發生於系統使用初期，一開始可能因設計不佳、製造 瑕疵或品管不良等問題，導致失效率的初始值很高，但隨著設計、製造、品 管的改善或系統間的磨合，失效率會隨著時間而逐漸下降。

2. 使用期（Operating Period）：發生於系統使用中期，且失效率的成長相當地緩 慢，近似於一常數。失效發生的原因主要來自於意外事件，例如地震、停電、

颱風或溫度的變化等。

3. 磨耗期（Wear-Out Period）：發生於系統使用後期，其失效率會隨著時間而快 速增加，失效的原因主要為系統損傷的累積、老化、磨耗或腐蝕等。

圖 3 浴缸曲線 資料來源：郭思吟（2009）

雖然可靠度之技術發展已經歷數十年，且多數產品皆擁有高可靠度，但還是 無法避免產品因老化、損傷而造成的故障，因此，在考量產品可靠度的同時，還 必須考量產品使用期間的維護情形，適當的維護不僅可延長產品的使用壽命，還 可提高產品的可靠度、效率、安全性，甚至降低成本。

失 效 率

時間

適應期 使用期 磨耗期

2.2 軟體可靠度

軟體可靠度（Software Reliability）的發展雖然較硬體可靠度來得晚，但其基 本概念是由硬體可靠度而來，因此在許多地方皆有相似之處。軟體可靠度的定義 為在一特定的環境與時間內，軟體能夠正常運作而不發生失效的機率（Lyu, 1996）。當使用者輸入指定的數值時，軟體不再提供預期的結果，即為失效。隨著 軟體執行時間與次數的增加，發生失效的機率也隨之增加，進而導致軟體可靠度 逐漸降低（圖 4）。由於軟體的失效大多是因錯誤的程式碼所造成的，其發生的原 因可能為不正確的邏輯、敘述或是輸入錯誤的資料等，也因此造成尋找錯誤的過 程變得十分複雜與耗時，且若使用者沒有執行到會造成失效發生的指令，錯誤將 可能永遠不會被發現。因此，為了有效降低軟體發生失效的機率，在軟體設計完 成時，必須進行軟體測試，以找出失效發生的原因並進行修正。

圖 4 軟體可靠度與時間之關係 資料來源：謝爾廉（2000）

軟體測試時間愈長，雖可有效地找出錯誤並且修正，但其所花費的測試成本 也愈多；但若減少測試時間，在軟體發佈後可能會產生更多的錯誤，所需花費的 除錯成本也會更多。且軟體發佈皆有一定的時程之限制，若無法在預定的時間內

時間 軟

體 可 靠 度

完成，可能還必須賠償一些懲罰性成本。因此，對軟體開發人員來說，如何在預 定的時間內，找出軟體的最佳停止測試時間點即為一重要問題。軟體可靠度不僅 可找出軟體在尚未除錯前的錯誤數目，還可找出軟體在測試一段時間後剩餘的錯 誤數目，對於找出軟體的最佳停止測試時間點有極大的幫助。

目前現有的軟體可靠度模型，大多為觀察軟體產品在測試階段中的失效次 數，其中又以非齊次卜瓦松過程（Non-Homogeneous Poisson Process, NHPP）為基 礎建立之軟體可靠度成長模型較符合實際的情況。最早將此概念運用至軟體可靠 度成長模型的專家學者為 Goel 和 Okumoto（1979），後續則有 Ohba（1984）、Yamada 和 Osaki（1985）、Xie（1991）、Kapur 和 Garg（1992）及 Pham 和 Zhang（1997）

等學者延續並提出不同的軟體可靠度成長模型，來進行軟體測試過程中的失效數 據分析。因此，本研究將針對以 NHPP 為基礎建立之軟體可靠度成長模型進行探 討。

2.3 非齊次卜瓦松過程

非齊次卜瓦松過程（Non-Homogeneous Poisson Process, NHPP）的基本概念與 卜瓦松過程（Poisson Process）相似，不同之處在於卜瓦松過程的平均失效率為一 常數λ，而非齊次卜瓦松過程的平均失效率則是會隨著時間而有所改變，即為一個 與時間有關的失效強度函數（Failure Intensity Function）λ(t)。

非齊次卜瓦松過程假設累積失效個數為N(t)，其計數過程（Counting Process）

0}

), (

{N t t≥ 可獲得如下（Kapur et al., 2011）：

0,1,2...

! , )) ( } ( ) (

Pr{ = = e^{- ()} k = k

t k m

t

N ^mt

k

(2.1) 和

dx t t

m

∫

=

0

) ( )

( λ (2.2)

其中，失效強度函數λ(t)（或均值函數m(t)）為軟體可靠度工程文獻中所有 NHPP 模型的基本要素。

2.4 非齊次卜瓦松過程模型

NHPP 模型主要在於決定一個適合的均值函數（Mean Value Function），來表示 在特定時間內預期出現的失效次數並估計其機率（尾崎俊治，2000）。主要應用於 發生的事件會伴隨著時間而遞增或遞減的情形下，此部份與軟體測試時間愈長發 生錯誤（Bug）的次數會愈來愈少相似，且除了可預測各個時間點的累積錯誤數目 外，還可估計出特定時間點下發生錯誤的機率。因此，許多軟體可靠度成長模型 皆以 HNPP 模型為基礎來描述軟體測試後的可靠度成長情形。

Pham (2007)將 NHPP 模型分為以下四種類型：

1. NHPP 指數型（Exponential-Shaped）模型。

2. NHPP S 型（S-Shaped）模型。

3. NHPP 不完美除錯（Imperfect Debugging）模型。

4. NHPP 不完美除錯 S 型模型。

NHPP 模型為假設失效強度（Failure Intensity）與軟體內剩餘的錯誤數目成正 比，且可透過求解下列微分方程式而獲得（Pham et al., 1999）：

[

]

) ) (

( b t a t m t dt

t

dm = (2.3)

其中，m(t)為時間t 時期望偵測到之錯誤數目，即均值函數；a(t)為故障內容函數

（Fault-Content Function），即時間 t 時軟體中的總錯誤數目，包含原有的錯誤數目 與後來產生的錯誤數目；b(t)為每單位時間的錯誤偵測率（Fault Detection Rate）

函數。藉由代入不同的a(t)與b(t)之數值，即可獲得不同的 NHPP 模型（如表 1），

以下將針對幾種 NHPP 模型的基本假設進行說明。

表 1 NHPP 軟體可靠度模型與均值函數之整理

模型名稱 MVF(m(t) )

Goel-Okumoto

) - (1 )

(t a e ^bt

m = ⁻

a t a( )=

b t b( )=

Delayed S-shaped

) ) (1 - (1 )

(t a bt e ^bt

m = + ⁻

a t a( )=

) 1 /(

)

(t b²t bt

b = +

Inflection S-shaped

) )/(1

- (1 )

(t a e ^bt e ^bt

m = ⁻ +β ⁻

a t a( )=

) 1

/(

)

(t b e ^bt b = +β ⁻

Yamada Exponential

) -

(1 )

(t a e ^{r (1-e(- βt))}

m = ^−α

a t a( )=

e t

rα t

b( )= β ^-β

Yamada Rayleigh

) -

(1 )

( ^{(1- /2))}

(- βt2

e

e r

a t

m = ^−α

a t a( )=

/2 - ²

)

(t rα te ^t

b = β ^β

Yamada Exponential Imperfect Debugging Model

) - ))(

/(

( )

(t ab b e ^t e ^bt

m = α+ ^{α −}

ae t

t

a( )= ^α b t b( )= Yamada Linear

Imperfect Debugging Model

at b

e a t

m( )= (1- ^−bt)(1-(α/ ))+α )

(1 )

(t a t a = +α

b t b( )= Pham–Nordmann–Zhang

Model

) ]/(1

) ) / ( - )(1 -

1 ( [ )

(t a e ^bt b at e^-bt

m = ⁻ α +α +β

) (1 )

(t a t a = +α

) /(1

)

(t b e^-bt

b = +β

Pham–Zhang Model

) )]/(1

- ( )) - /(

( - ) - 1 )(

[(

)

(t a c e ^bt bc b e^{- t} e ^bt e^-bt

m = + ⁻ α 　^{α −} +β

) - (1 )

(t a c e^{- t}

a = + ^α

) /(1

)

(t b e^-bt

b = +β

資料來源：Pham (2003)

2.4.1 NHPP 指數型模型

1. Goel-Okumoto 模型

Goel-Okumoto (G-O) 模型的基本假設為（Xie, 1991）：

(1) 在時間 t 時，累積偵測到的錯誤數目服從卜瓦松分配（Poisson Distribution）

之形式。

(2) 所有錯誤彼此之間互相獨立且被偵測到的機會皆相同。

(3) 失效發生時，偵測到的錯誤會立即被移除（即忽略移除錯誤的時間）且不 會產生新的錯誤。

假設a(t)=a和b(t)=b，且邊際條件（Boundary Condition）m(0)=0時，可得 到

) - (1 )

(t a e ^bt

m = ⁻ (2.4)

失效強度函數（Failure Intensity Function）則為 abe bt

t m'

t)≡ ( )= ⁻

λ( (2.5)

2.4.2 NHPP S 型模型

1. 延遲 S 型模型

延遲 S 型（Delayed S-shaped, DSS）模型的基本假設為（Yamada et al., 1983）：

(1) 軟體在任何時間下的失效行為皆為系統中的錯誤所造成。

(2) 軟體的最初故障內容函數為一隨機變數。

(3) 第(k−1)次與第k次失效發生的間隔時間取決於第(k−1)次失效發生的時 間。

(4) 失效發生時，偵測到的錯誤會立即被移除且不會產生新的錯誤。

假設a(t)=a和b(t)=b²t/(1+bt)，且邊際條件m(0)=0時，可得到

] ) (1 - [1 )

(t a bt e ^bt

m = + ⁻ (2.6)

失效強度函數則為

te bt

ab t)= ^{2 −}

λ( (2.7)

2. 曲折 S 型模型

曲折 S 型（Inflection S-shaped, ISS）模型的基本假設為（Ohba, 1984）：

(1) 軟體中的部分錯誤彼此互相依賴（有可能為一組無法偵測到之錯誤）。 (2) 任何時間的錯誤偵測率與目前軟體中偵測到之錯誤數目成正比。

(3) 被偵測到的錯誤之失效率皆相同且為一常數。

(4) 被隔離的錯誤可以完全的被移除。

假設a(t)=a和b(t)=b/(1+βe^−bt)，其中，β為曲折因子（Inflection Factor），

且邊際條件m(0)=0時，可得到

) (1

) - ) (1

( _bt

bt

e e t a

m ₋

−

= +

β ^(2.8)

失效強度函數則為

)2

(1 ) ) (1

( _bt

bt

e e

t ab ₋

−

+

= +

β

λ β _(2.9)

2.4.3 NHPP 不完美除錯模型

1. Yamada 指數型不完美除錯模型

Yamada 指數型不完美除錯模型（Yamada Exponential Imperfect Debugging Model, Y-ExpI）的基本假設為（Yamada et al., 1992）：

(1) 當偵測到的錯誤被移除時，有可能會產生新的錯誤。

(2) 錯誤偵測率與軟體中剩餘的錯誤數目成正比。

(3) 故障內容函數為指數型函數，而錯誤偵測率為一常數。

假設a(t)=ae^αt和b(t)=b，其中，α 為錯誤產生率（Fault Introduction Rate），

且邊際條件m(0)=0時，可得到

) - ( )

( e ^t e ^bt b

t ab

m ⁻

= + ^α

α ^(2.10)

失效強度函數則為

) (-

)

( e ^t be ^bt b

t ab + ⁻

= + α ^α

λ α (2.11)

2. Yamada 線性不完美除錯模型

Yamada 線性不完美除錯模型（Yamada Linear Imperfect Debugging Model, Y-LinI）的基本假設為（Yamada et al., 1992）：

(1) 當偵測到的錯誤被移除時，有可能會產生新的錯誤。

(2) 錯誤偵測率與軟體中剩餘的錯誤數目成正比。

(3) 錯誤產生率和錯誤偵測率皆為一常數。

假設a(t)=a(1+αt)和b(t)=b，其中，α 為錯誤產生率，且邊際條件m(0)=0 時，可得到

b at e

a t

m _{= −}^bt α ₊α ) - )(1 -

1 ( )

( (2.12)

失效強度函數則為

b a abe

t ^bt α α

λ( )= ⁻ (1- )+ (2.13)

2.4.4 NHPP 不完美除錯 S 型模型

1. Pham–Nordmann–Zhang 模型

Pham–Nordmann–Zhang(P–N–Z)模型的基本假設為（Pham et al., 1999）： (1) 故障內容函數為一線性函數。

(2) 在除錯階段中會產生新的錯誤，且每偵測到一個錯誤的錯誤產生率為一常 數α 。

(3) 錯誤偵測率函數為一非遞減 S 型曲線，且可取得軟體測試者的學習過程。

假設a(t)=a(1+αt)和b(t)=b/(1+βe^-bt)，且邊際條件m(0)=0時，可得到

bt b bt

e

at e

t a

m _-

1

) - )(1 - 1 ) (

( β

α

α

+

= ⁻ + (2.14)

失效強度函數則為

2 - -

- (1 )

] ) - )(1 - (1 [ 1

) - ) (1

( _bt

bt b

bt bt

b bt

e

be at e

a e

a t abe

β

β α β

λ ^α α ^α

+ + +

+

= ⁻ + ⁻ (2.15)

2. Pham–Zhang 模型

Pham–Zhang (P–Z)模型的基本假設為（Pham & Zhang, 1997）：

(1) 故障內容函數為一指數型函數，即測試過程中，一開始的錯誤數目會較測 試結束時增加的更為快速。亦即，一開始軟體產生的錯誤數目愈多，軟體 開發人員在修正錯誤的過程中便會產生學習行為，並擁有更多軟體的相關 知識。因此，至測試結束時，軟體的可靠度增加，錯誤數目便愈來愈少。

(2) 錯誤偵測率函數為一非遞減 S 型曲線。

假設a(t)=a+c(1-e^{- tα})和b(t)=b/(1+βe^-bt)，且邊際條件m(0)=0時，可得到 )]

- ( - ) ( - ) - 1 )(

1 [(

) 1

( _-bt ^bt e^{- t} e ^bt b

e bc c e a

t

m + ^{− −}

= + ^α

α

β ^(2.16)

失效強度函數則為

2 -

- - -

- -

) (1

)]

- ( ) ( - ) - 1 )(

[(

1

)]

- ( ) ( - ) )(

) [(

( _bt

bt bt

t bbc bt bt

t bt bbc bt

e

be e

e e

c a e

e be be

c t a

β

β β

λ ^α α ^{α α α}

+ + +

+

= + ^{− − − − −}

(2.17)

2.5 不完美除錯

早期的研究大多假設除錯過程為完美除錯（Perfect Debugging），即偵測到的 錯誤會立即被移除，且在修正錯誤的過程中並不會產生新的錯誤，但在實際測試 軟體的過程中，可能會因軟體開發人員對程式碼進行的修正，導致軟體產生一個 或是多個錯誤，所以此假設較不合理。

後續的研究大多假設除錯過程為不完美除錯（Imperfect Debugging），即當失 效發生時，偵測到的錯誤雖然可立即被移除並且修正，但在修正錯誤的過程中，

有可能會產生新的錯誤。因此，在建構一軟體可靠度成長模型時，除了軟體中原 有的錯誤數目外，還需考量除錯過程中的錯誤產生率（Fault Introduction Rate）。錯 誤產生率的定義為在修正一個錯誤的同時，會導致軟體產生新的錯誤的比率。藉 由將錯誤產生率的概念代入至軟體可靠度成長模型中，即可有效預測出未來軟體 可能發生的失效行為，並提供測試人員作為管理決策的依據。

2.6 學習曲線

學習曲線（Learning Curve）又稱經驗曲線（Experience Curve），最早為 Wright

（1936）所提出並應用於飛機製造業，其發現當飛機機體的產量增加為 2 倍時，

所需花費的生產時間約可減少 20%，亦即隨著飛機機體產量的增加，所需花費的 生產時間會逐漸地減少，此現象可繪製成一條負斜率的曲線（如圖 5），即稱為學 習曲線。而影響學習曲線的因素有以下三點（陳之薇，2009）：

1. 經驗累積：此為最直接與最常見之學習效應，其透過重複進行同樣的工作逐 漸累積經驗，且作業分工與專業化為加速經驗累積的有效學習方法之一。

2. 技術進步：技術改良對於經驗曲線之效應亦有助益，尤其在技術、資本密集 的工業，如 IC 半導體和光電產業等，新技術的導入可產生極大的經濟效益。

3. 規模效應：產量增加所形成的規模經濟，因各種固定成本分攤到更多的單位，

造成平均單位成本下降。

學習曲線除了應用於製造業外，在其他類型的研究中也可看到，像是醫療照 護產業的心血管手術方面之探討（Meier, 1984）和影響手術醫師學習曲線之相關因 子探討（陳之薇，2009），還有以運動技能學習為主題之探討（陳秀惠、劉有德，

2007；廖庭儀，2002），以及透過將益智遊戲設計於行動電話中，來探討學習者學 習期間的行為變化（溫嘉榮等人，2008）等，可發現其應用相當地廣泛。

近年來，在軟體可靠度方面，許多研究以探討指數型模型為主，即包含學習 效果概念之運用，其主要考量在除錯的過程中，隨著測試時間的增加，測試人員 對軟體的熟悉度與除錯的經驗也會隨之增加，且隨著經驗的累積，將有助於其縮 短偵測到軟體中剩餘錯誤和修正錯誤所需花費的時間，藉此，便可提高除錯之效 率與增加軟體的可靠度。

圖 5 學習曲線 資料來源：陳世坤（2005）

產品數量 單

位 產 品 生 產 時 間

學習階段 標準階段

第三章 研究方法 3.1 研究架構

本研究的架構如圖 6 所示，首先透過文獻探討瞭解現有軟體可靠度成長模型 之類型，並找出可運用的參數作為模型建構之參考依據。模型建構完成後，即透 過實際失效數據進行測試，並利用參數估計法來估計模型之參數，進而取得其與 失效數據之間的適配度（Goodness of Fit）。最後，將所提出的模型和現有模型進行 評量，以觀察所提出的模型是否較能有效預測軟體的失效行為。

圖 6 研究架構

3.2 資料來源

模型建構完成後，為了有效應用並估計模型（包含現有模型與本研究提出的 模型）之參數，必須透過實際的軟體失效數據進行分析。因此，本研究利用三組 資料集（Data Set）藉以估計各模型之參數值與適配度，資料集之來源為引用自過 去專家學者們已公開發表的論文中使用之數據（如表 2），而各資料集之內容將於 後續第 4.3.2 小節中進行詳盡的說明。

確認模型參數 模型建構 參數估計 模型評量

表 2 實際失效數據來源

資料集 失效數據來源 引用文獻

一 即時指揮與控制系統 Ohba（1984）

二 Tandem Computers 之產品 Pham 和 Zhang（2003）

三 無線網路交換中心 Jeske 和 Zhang（2005）

3.3 參數估計法

藉 由 將 實 際 失 效 數 據 代 入 至 模 型 中 ， 即 可 估 計 出 該 模 型 的 所 有 參 數

（Parameters）值，而最常用於估計參數的兩種方式分別為：最小平方估計法（Least Squares Estimation, LSE）與最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE），以下將針對此兩種方法進行說明。

1. 最小平方估計法

最小平方估計法（Least Squares Estimation, LSE）是使樣本觀察值與估計值的 差異之平方和為最小的估計方法（林惠玲、陳正倉，2008）。其公式如下

∑

∑

=

= ⁿ

i

i i

n i

i

i y y x

y

1

2 1

2 ( - ˆ- ˆ )

ˆ ) - (

SSE α β (3.1)

其中，x 與_i y 分別為第_i i 個觀察值的自變數與依變數；yˆ 為第_i i 個估計值；αˆ為迴 歸模型之截距（Intercept）的估計值；βˆ 為迴歸模型之斜率（Slope）的估計值。透

過微分方法對αˆ、βˆ 進行微分，並令微分方程式等於零，即可求得迴歸模型之參 數值。

2. 最大概似估計法

最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的應用在於一般母 體之參數θ 皆未知，因此，若能從母體抽出的隨機樣本中找到一估計值θ^ˆ，且使此

組樣本發生之可能性為最大時，則此估計值θ^ˆ即為最大概似估計值（程大器，

2012）。

假 設(X₁,X₂,...,X_n)為 抽 自 母 體 f(x;θ) 之 一 組 隨 機 樣 本 ， 則 其 概 似 函 數

（Likelihood Function）即為此n個隨機變數的聯合機率分配 f(x₁,x₂,...,x_n;θ)。因 參數θ未知，故將此概似函數寫為

∏

=

⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅

=

= ⁿ

i i n

n f x f x f x f x

x x x f L

1 2

1 2

1, ,..., ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (

)

(θ θ θ θ θ θ _(3.2)

透過對概似函數L(θ)進行微分，並令微分方程式等於零且d²L(θ)/dθ² <0，即可求 得估計值θ^ˆ。

由於最小平方估計法可簡便地求得未知的估計值，並令所求得的估計值和實 際值之間誤差的平方和為最小，此外，Pham（2007）在其所著的書中也提到，要 求解曲線適配度之問題，最常採用的方法為最小平方估計法。因此，本研究主要 透過最小平方估計法來求解模型之參數，並進一步獲得模型與各資料集之間的曲 線適配度。

3.4 模型評量準則

軟體可靠度模型主要透過：(1)模型與實際錯誤數據間的適配度和(2)模型是否 可有效預測未來錯誤行為這兩者來判斷其性能。但在建構完成一新的軟體可靠度 模型時，還必須與現有的模型進行比較，以評估所提出的模型是否較現有模型更 能有效預測軟體的失效行為。

早期專家學者們用來評量模型好壞的準則是以隨機差異（Sum of Squares Due to Error, SSE）和 Akaike 訊息標準（Akaike Information Criterion, AIC）兩者為主，

後續則有均方差（Mean Square-Error, MSE）、多元判定係數（Coefficient of Multiple

Determination, R²）、相對誤差（Relative Error, RE）、乖離率（Bias Ratio, Bias）、變 量（Variation）和均方根預測誤差（Root Mean Square Prediction Error, RMSPE）等。

由於評量準則的種類繁多，本小節僅介紹五種評量模型之方式，作為後續模型比 較之參考。

1. 均方差

均方差（Mean Square-Error, MSE）主要是透過預測值（mˆ(t_i)）與實際觀察數

據（y ）之間的誤差作為測量標準，其公式如下 _i

∑

= ^k

i

i i

k y t m

1

)2

- ) ˆ(

MSE ( (3.3)

若 MSE 的值愈低，代表模型的適配度愈好（Kapur et al., 1999）。

2. 多元判定係數

為了衡量解釋變數的解釋能力或迴歸方程式的適配度，將多元判定係數

（Coefficient of Multiple Determination, R²）定義為可解釋的差異（Sum of Squares Due to Regression, SSR）占總差異（Sum of Squares Total, SST）的比例。其公式如 下

SST -SSE SST 1

R² =SSR = (3.4)

其中，SSR 代表可解釋的差異，SSE 代表隨機差異，SST 則為總差異。若 R²的值 愈大，代表模型的解釋能力愈好（Kapur et al., 1999）。

3. 乖離率

在任意時間i 下，實際失效次數與預測失效次數之間的差異，即稱為預測誤差

（Prediction Error, PE）PE 。而預測誤差的平均值即為乖離率（Bias Ratio, Bias）。_i 若 Bias 的值愈小，代表模型的適配度愈好（Pillai & Nair, 1997）。

4. 變量

預測誤差的標準差即稱為變量（Variation），其公式如下

∑

= (1/ -1) ( -Bias)²

Variation N PE_i (3.5)

若 Variation 的值愈小，代表模型的適配度愈好（Pillai & Nair, 1997）。

5. 均方根預測誤差

均方根預測誤差（Root Mean Square Prediction Error, RMSPE）是用來測量預 測值與觀察值之間的接近程度，主要透過乖離率與變量兩者加以求得，其公式如 下

) Variation (Bias

RMSPE= ² + ² (3.6)

若 RMSPE 的值愈小，代表模型的適配度愈好（Pillai & Nair, 1997）。

第四章 模型建構 4.1 問題描述

過去三十年來，NHPP 成功的運用於軟體可靠度模型中，許多專家學者們也陸 續提出不同的軟體可靠度成長模型，並運用於實際的失效數據上，若實際失效數 據符合學者們所提出的均值函數，即可獲得良好的預測結果。因軟體可靠度的發 展較晚，目前還尚未發展出一套可準確預測出軟體測試過程中所有失效行為的可 靠度模型，因此，本研究期望藉此找出一套廣泛且可有效預測軟體失效行為之軟 體可靠度模型，以作為評估軟體可靠度之參考依據。

由於現有的模型，只有探討當故障內容函數為指數型函數或是為線性函數情 況下的軟體可靠度，鮮少有將此兩種特性結合的模型，因此，本研究藉由將此兩 種特性皆考量至故障內容函數中，並分別假設不同情況下的錯誤偵測率函數，以 建構出更加廣泛的軟體可靠度模型。最後再與現有模型進行比較分析，以評估所 提出的模型運用於實際失效數據時，是否可獲得較佳的預測結果。

4.2 軟體可靠度模型

4.2.1 符號說明

)

m(t 均值函數；期望在t 時偵測到之錯誤數目

a 軟體原有的錯誤數目

)

a(t 故障內容函數；在時間t 時軟體中的總錯誤數目，包含原有的錯 誤數目與後來產生的錯誤數目

b 錯誤偵測率

c 錯誤係數

α 錯誤產生率

β 曲折因子

γ1 模型一的組合常數 γ2 模型二的組合常數

)

λ(t 失效強度函數；每單位時間內的錯誤觀測率 )

b(t 錯誤偵測率函數

4.2.2 模型一

模型一（M 1）的基本假設如下：

1. 錯誤偵測的過程服從 NHPP 之形式。

2. 在除錯過程中，偵測到的錯誤會立即被移除，且在錯誤移除的過程中，有可 能會產生新的錯誤，並假設錯誤產生率為一常數α 。

3. 錯誤偵測率與軟體中剩餘的錯誤數目成正比，且所有錯誤彼此之間互相獨立。

4. 故障內容函數為透過一常數γ₁將指數型函數和線性函數兩者之特性進行組 合，即故障內容函數可同時包含指數型函數和線性函數這兩種特性。

5. 錯誤偵測率為一常數，即錯誤偵測率不會隨著時間的增加而有所改變。

根據以上假設，可獲得故障內容函數與錯誤偵測率函數如下：

] )

- (1 [ )

(t a r₁ e ^t r₁t e ^t

a = ^α +α + ^α (4.1)

和

b t

b( )= (4.2)

其中，a(t)為包含指數型與線性函數特性之故障內容函數。b(t)則代表錯誤偵測率。

將a(t)與b(t)代入方程式(2.3)中，並令邊際條件m(0)=0，再透過對方程式進 行積分，即可獲得此模型的均值函數如下：

] )

- ( ) - (1 -

) - (1 )[ ) (

( ^{1 - -} ₁

2

1 e b e e t

e b b b

t a

m γ ^t α γ ^{bt t bt} αγ

α + ^{α + α +}

= (4.3)

其中，可發現當γ₁=0時，均質函數即為 Y-ExpI 模型；當γ₁ =1時，則為 Y-LinI 模

型。

失效強度函數則為

] ) (

- )[-

) ( ( )

( αγ₁ α²γ₁ ^- α ^- αγ₁

λ α ^α + ^α + +

= +

= b e ^t e^bt b e ^t be^bt b

t a m'

t (4.4)

4.2.3 模型二

模型二（M 2）的基本假設如下：

1. 錯誤偵測的過程服從 NHPP 之形式。

2. 在除錯過程中，偵測到的錯誤會立即被移除，且移除錯誤的過程中，有可能 會產生新的錯誤，並假設錯誤產生率為一常數α 。

3. 錯誤偵測率與軟體中剩餘的錯誤數目成正比，且所有錯誤彼此之間互相獨立。

4. 故障內容函數為透過一常數γ₂將指數型函數和線性函數兩者之特性進行組 合，即故障內容函數可同時包含指數型函數和線性函數這兩種特性。

5. 錯誤偵測率函數為一非遞減 S 型曲線，即隨著時間的增加，錯誤偵測率會有 所變化。

根據假設，可獲得故障內容函數與錯誤偵測率函數如下：

) - (1 )]

- (1 [1 )

(t a t _{2 2} c e ^t

a = +α γ +γ ^−α (4.5)

和

) 1

/(

)

(t b e ^bt

b = +β ⁻ (4.6)

其中，a(t)為包含指數型與線性函數特性之故障內容函數。b(t)則代表錯誤偵測率。

將a(t)與b(t)代入方程式(2.3)中，並令邊際條件m(0)=0，再透過對方程式進 行積分，即可獲得此模型的均值函數如下：

] ) 1 ( ) (

) 1 ))(

1 ( )[(

1 ( ) 1

( _{2 2} ² e e ₂ a t

b e bc b

c a e a

t

m _bt ^{bt t bt} γ α

α γ γ

γ α

β + − − − − − ^{α − + −}

= + ₋ ^{− − −} (4.7)

其中，可發現當γ₂ =0時，均質函數即為 P–N–Z 模型；當γ₂ =1時，則為 P–Z 模型。

) 1

(

) 1 ( ) (

)]

1 ( ) [

( )

( ^{2 2 2}

2

bt

bt t b

bt bc b

a

e

a be

e be

c t a

m'

t ₋

−

−

−

−

+

− + +

−

−

−

−

= +

= β

α γ α

γ

λ γ ^{α γα α}

2

2 2

2

) 1

(

] ) 1 ( ) (

) 1 ))(

1 (

[( ²

bt

bt bt

t b bt bc b

a

e

e b t a e

e e

c a

−

−

−

−

−

−

+

− +

−

−

−

−

− + +

β

β α γ γ

γ ^{α γ}_α ^α

(4.8)

4.3 資料分析與模型比較

為了評估所提出之模型的有效性，本研究利用三組實際失效數據來估計各模 型之參數與適配度，並進行模型評量準則的分析。參數估計部分為使用最小平方 估計法，其原因為最小平方估計法可簡便地求得未知的估計值，並令所求得的估 計值和實際值之間誤差的平方和為最小，另外其所產生的結果也較為客觀。至於 模型比較部份，由於評量的準則種類繁多，因此，本研究僅挑選出其中的五種進 行比較，以提供較為客觀且有效的評估方式。

4.3.1 參數估計

本研究僅列出模型一和模型二之參數估計方式，而其他模型之算法與此類 似，因此，參照下列作法即可求解出各模型之參數值，後續再將其代入至各模型 的均值函數中，即可描繪出各模型之曲線適配度。

1. 模型一

假設 a、b、α、γ₁是透過n組觀察數據：(t₀,m₀),(t₁,m₁),(t₂,m₂),...,(t_n,m_n)所 決定的，其中m 為在時間_i (0,t 內偵測到之總錯誤數目。透過最小平方估計法，即_i) 可取得模型一的估計函數（Evaluation Function）如下：

Min

∑

=

= ⁿ

i

i

i m t

m b

a M

1

2

1) ( - ( ))

, , , ( α γ

∑

+ + +

= ⁿ

i

i bt

t bt

t

i e b e e t

e b b b

m a ^{i i i i}

1

2 1 -

1 - 2

1(1- )- (1- ) ( - ) ])

)[ -(

( γ α γ αγ

α

α α

(4.9) 透過分別對方程式(4.9)中的a、b、α 、γ₁進行微分，並令其偏導數（Partial Derivatives）等於零，即可獲得下列的方程式：

∑

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= +

∂

∂ ⁿ

i

i bt

t bt

t

i e b e e t

e b b b

m a a

b a

M _{i i i i}

1

1 -

1 - 2 1

1 [ (1- )- (1- ) ( - ) ]

) -(

) -2 , , ,

( γ α γ αγ

α γ

α _{α α}

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

× 1+ [ (1- )- (1- ) ( - ) ]

1 -

1 - 2

1 i

bt t bt

t e b e e t

e b b b

i i i

i α γ αγ

α γ ^{α α =0}

(4.10)

∑

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= +

∂

∂ ⁿ

i

i bt

t bt

t

i e b e e t

e b b b

m a b a

b a

M _{i i i i}

1

1 -

1 - 2 1

1 [ (1- )- (1- ) ( - ) ]

) -(

) -2 , , ,

( γ α γ αγ

α γ

α _{α α}

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ + +

+ +

×

] )

- ( ) - (1 -

) - (1 ) [

( - 1

)]

- ( )

- ( - ) - (1 -

) - (1 1 [

1 -

1 - 2 2 1

- 1 -

2 -

2 1 2 1

i bt

t bt

t

bt t bt i bt

t

t e

e b b e

e b b

e e e t b b b e

b e

i i i

i

i i i i

i

γ αγ γ α

α

γ α γ

γ α α

α α

α α

=0

(4.11)

∑

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= +

∂

∂ ⁿ

i

i bt

t bt

t

i e b e e t

e b b b

m a b a

a

M _{i i i i}

1

1 -

1 - 2 1

1 [ (1- )- (1- ) ( - ) ]

) -(

) -2 , , ,

( γ α γ αγ

α α

γ

α _{α α}

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

+ + +

+ + +

×

] )

- ( ) - (1 -

) - (1 ) [

( - 1

] )

- 2 (1 - 1 [-

1 -

1 - 2 2 1

1 1 -

1

i bt

t bt

t

i t i bt t

t e

e b b e

e b b

t e bt b e

te b b

i i i

i

i i

i

γ αγ γ α

α

αγ γ α γ

α α

α α

=0

(4.12)