頻帶外功率比例與峰值對平均功率比分析

頻帶外功率比例：

在 前 面 第 二 章 的 （ 2.11 ） 式 中 ， 曾 經 定 義 過 頻 帶 外 功 率 比 例 （ fractional out-of-band power），並利用頻帶外功率比例來描述不同訊號間頻譜的緊密程度與 頻譜效率（spectral efficiency），在這一節中，我們將利用頻帶外功率比例來比較偏 移正交-正交相位鍵移（offset quadrature-quadrature phase shift keying, OQ²PSK）、 最小頻鍵移（minimum shift keying, MSK）訊號、SB-Q²PSK 與 CL-Q²PSK 訊號的 頻譜效率。

在圖 3.5 中為偏移正交-正交相位鍵移訊號在不同的N和 M 時的頻帶外功率比 例，由圖可以看出在不同的N 和 M 情況下，其頻帶外功率比例中，旁波（sidelobe）

的衰減趨勢和我們在（3.26）式中所推出的結論相同，即當波形階數 N=1, M=1、

N=1, M=2 時旁波衰減速度為f⁻⁸；而 N=2, M=1、N=2, M=2 時旁波衰減速度為 f⁻¹⁰； 而 N=3, M=1、N=3, M=2、N=1, M=3 時旁波衰減速度為 f⁻¹²；而 N=4, M=1 時旁波 衰減速度為 f⁻¹⁴。同時隨著N+M 越大，其所對應的頻譜主波（mainlobe）寬度也 隨之增大，這是因為N+M 越大時代表構成資料成形脈波（data shaping pulse）的 弦波頻率也越高，造成主波寬度越大，例如：N =2，M = 的主波寬度一定會大1 於N =1，M = 的主波寬度，而1 ^N =²，M = 的主波寬度一定會大於2 ^N =²，M =1 的主波寬度。

接著圖 3.6 為不同調變訊號頻帶外功率比例的比較，由圖我們可以得知，相較 於最小頻鍵移與 SB-Q²PSK 訊號，CL-Q²PSK 與偏移正交-正交相位鍵移訊號可以 藉由不同N 和 M 的選擇（在 CL-Q²PSK 中M =0），來達到較高的頻譜效率，更進 一步來比較 CL-Q²PSK 和偏移正交-正交相位鍵移訊號我們發現，偏移正交-正交相 位鍵移訊號可以以較小的主波寬度，來達到和 CL-Q²PSK 相同的頻譜旁波衰減速 度，如圖 3.6 中N =3的 CL-Q²PSK 和N =1, 1M = 的偏移正交-正交相位鍵移訊號 有一樣的旁波衰減速度 f⁻⁸，但因為 CL-Q²PSK 訊號的N+M =3大於偏移正交-正 交相位鍵移訊號的N+M =2，所以偏移正交-正交相位鍵移訊號的主波寬度會小於 CL-Q²PSK 訊號的，同理N =4的 CL-Q²PSK 訊號和N =2，M = 以及1 ^N =⁵的

CL-Q²PSK 和N =3，M = 也有相同的結果，所以偏移正交-正交相位鍵移訊號的1 頻譜效率高於 CL-Q²PSK 訊號。

當兩個訊號的旁波衰減速率都一樣時，我們可以利用功率頻譜密度支配項

（dominant term）的係數更進一步來檢視當 f 很大時頻譜旁波的行為，功率頻譜密 度的支配項，以S_D( )f 來表示為

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 1

1 sin ( ) ( )

2

K

D fT K

S f S f fT

T f fT

π λ

π

>>

 Δ 

 

≈  

 

 a （3.30）

其中當旁波衰減階數（sidelobe-decaying order） K 為奇數時λ β= ，而當 K 為偶數 圖 3. 5：偏移正交-正交相位鍵移訊號在不同的N 和 M 時的頻帶外功率比例

時λ α= ，如我們所預期的，S_D( )f 的衰減速度仍然為 f^−2K−2，若當兩個訊號的旁 波衰減速率都一樣， 此時S_D( )f 的係數為 ²

( )

2 2

K

T TK

λ π

Δ a ，此係數越小時，他的旁

波衰減速度就越快，這是因為在傳送訊號的功率都正規化為一的情況下，S_D( )f 的 係數越小就表示在 ( )S f 中，其他衰減速度較快的項（ f 的次方數小於 K− 的項）

所佔的功率越高，導致其衰減速度較快，所以我們可以利用S_D( )f 的係數來更進一 步比較 ( )S f 的旁波衰減速度。

在圖 3.7 中，N =3時 CL-Q²PSK 訊號頻譜的旁波衰減速度和N =1，M = 的 1 偏移正交-正交相位鍵移訊號相同都為f⁻⁸，而另外三條偏移正交-正交相位鍵移訊

圖 3. 6：不同訊號間的頻帶外功率比例比較

號的曲線也都有一樣的旁潑衰減速度，為了更進一步比較旁波衰減速度，在表 3.1 中，我們列出了他們所對應的功率頻譜密度支配項的係數及旁波衰減速率，

CL-Q²PSK N=3

OQ²PSK N=1, M=1

OQ²PSK N=3, M=1

OQ²PSK N=3, M=2

OQ²PSK N=1, M=3 0.1920 0.7295 7.0484 13.1740 875.4150

f⁻8 f⁻⁸ f⁻¹² f⁻¹² f⁻¹²

表 3. 1：不同訊號間功率頻譜密度支配項的係數及旁波衰減速率

根據表 3.1，N =3時 CL-Q²PSK 與N =1, M = 的偏移正交-正交相位鍵移訊號在1 f → ∞ 時有相同的旁波衰減速度，但 CL-Q²PSK 的功率頻譜密度支配項的係數較

圖 3. 7：不同訊號間的頻帶外功率比例比較

小，所以在 f 較大時他的衰減速度比偏移正交-正交相位鍵移訊號要快，同理，另 外三個偏移正交-正交相位鍵移訊號的衰減速度都為 f⁻¹²，但在 N=3, M=1 時係數最 小，而 N=1, M=3 係數最大，所以在 f 較大時 N=3, M=1 的衰減速度最快而 N=1, M=3 最慢。

經由上面種種的討論後，希望能建立一個準則，讓我們在使用一樣多的正弦 波與餘弦波個數去組合出資料成形脈波，也就是在固定N+M 的情況下，去選取 適當的 M 和N，讓偏移正交-正交相位鍵移訊號能夠達到最佳的頻譜效率。經由模 擬發現，若N+M <20且 M 為奇數，則偏移正交-正交相位鍵移訊號在同樣的 N+M 的情況下， M 越小時，他所對應的S_D( )f 的係數也會越小，圖 3.8 為在不 同的N+M 時分別所對應的功率頻譜密度支配項係數，如圖所示在固定的N+M 下， M 越小所對應的係數也會越小。所以我們可以得知在N+M <20時，固定的

N+M 下，首先選擇 M 為奇數，這將會使得頻譜的旁波衰減速度較快，可達到

( )

2N M 4

f^{− + −} 的衰減，接著所選擇的 M 要越小越好，以確保他所對應的S_D( )f 係數較 小，也就是選擇 M=1 可以使訊號達到最高的頻譜效率。而此現象可以由前面圖 3.5 來加以驗證，圖中無論當 N+M 固定為 3、4 或 5 時，選擇 M=1 時的偏移正交-正交 相位鍵移訊號都能夠達到最佳的頻譜效率。

峰值對平均功率比：

在討論完偏移正交-正交相位鍵移訊號的頻譜特性後，接下來我們看到訊號的 峰值對平均功率比（peak-to-average power ratio, PAPR），所謂的峰值對平均功率比 即

[ ]

2 0.5max0.5 ( ) PAPR ( ) ^{T t T}

av

s t

s t P

− ≤ ≤

 

 

= （3.31）

其中P 為訊號的平均功率，在通訊系統的傳送端中，會有一功率放大器將欲傳送_av 出去的信號功率放大，而為了使得信號經由放大後不失真，一般都會讓輸入訊號 操作於功率放大器的線性區域，此時若訊號的峰值對平均功率比越大，將造成功 率放大器必須擁有較大動態範圍的線性區域，那將會造成功率放大器的設計成本 增加，所以我們希望峰值對平均功率比越小越好，而我們常用互補累積分佈函數

圖 3. 8：在相同 N+M 下，不同的 M 所對應的功率頻譜密度支配項係數

（Complementary Cumulative Distribution Function, CCDF），來描述峰值對平均功率 比的特性。

前面我們有提到過正交-正交相位鍵移訊號他雖然有較佳的頻譜效率，但他卻 犧牲了訊號振幅固定的特性，使得峰值對平均功率比變大，所以在論文中所提的 偏移正交- 正交相位鍵移訊號，我們刻意讓此訊號中的正交成份（quadrature component）和同相成份（in-phase component）有一個一半符元時間（symbol time）

的延遲，藉由此時間延遲讓各弦波間的峰值不會都重疊在一起，使訊號的偏移正 交-正交相位鍵移訊號的峰值較小，在此們每間隔一個一半符元時間來計算訊號的 峰值對平均功率比，在圖 3.8 中的實線部分為在不同的 N 和 M 時的偏移正交-正交 相位鍵移訊號的互補累積分佈函數；而虛線部分則為在相對應的 N 與 M 下，此時 訊號的正交成份和同相成份並沒有相差一個一半符元時間延遲，由圖中我們可以 看出，在相同的 N 與 M 下，實線部分的峰值對平均功率比都比虛線部分的峰值對 平均功率比要小，所以我們可以得知藉由使訊號的正交成份和同相成份有一個時 間偏移確實可以降低訊號的峰值對平均功率比。接著在圖 3.9 中為 SB-Q²PSK 訊 號、CL-Q²PSK 訊號、和偏移正交-正交相位鍵移訊號的互補累積分佈函數比較圖，

由圖我們可以看出 SB-Q²PSK 訊號的峰值對平均功率比最小，但若在相同的旁波 衰減速度下，就先前所討論的我們選擇頻譜效率最高的偏移正交-正交相位鍵移訊 號，也就是選擇 M=1，則他的峰值對平均功率比會比 CL-Q²PSK 訊號要小，例如：

N=3 時的 CL-Q²PSK 與 N=1, M=1 的偏移正交-正交相位鍵移訊號的旁波衰減速度 都為 f⁻⁸，但偏移正交-正交相位鍵移訊號的峰值對平均功率比較小。

所 以 由 這 一 章 的 討 論 我 們 發 現 ， 偏 移 正 交 - 正 交 相 位 鍵 移 訊 號 能 達 到 比 CL-Q²PSK 訊號要高的頻譜效率以及較小的峰值對平均功率比。

圖 3. 9：偏移正交-正交相位鍵移訊號的互補累積分佈函數比較

圖 3. 10：不同訊號間的互補累積分佈函數比較

第四章 偏移正交-正交相位鍵移調變訊號之效能