為了求解彈性板於自由振動下之振態，因而推導出頻率方程式，
然而此數學式為一含 bessel 函數之超越函式，可得無限多組解，是 以藉數值方法求之。引用兩種數值技巧:
(1) Bracketing Method (2) Open Method
2.5.1 Bracketing Method
本法利用函數於根的兩側，其函數值為異號之特性。因此，需要 兩個初始猜想值(initial gauss)以求根，此二值必須位於真實根之 兩側，亦即涵蓋根值之範圍。可得以下結論
設一函數 f x
( )
，兩個初始猜想值xl，xu若 f x
( )
l × f x( )
u <0，則[
x xl, u]
，xu區間內有奇數個根。若 f x
( )
l × f x( )
u >0，則[
x xl, u]
，xu區間內有偶數個根或無解。以上通則，適用於大部分函數，但當函數為與自變數之軸相切，即重 根(multiple root)或為一不連續，則無法引用上述法則。
2.5.2 Open Method
於 Bracketing Method 中，其根為介於兩個初始猜想值之間，而 藉不斷引用其結論，以趨近根值。故可謂其方法具收斂性之優點。而 本節之方法，係引用單一或二個初始猜值，但無須將根值涵蓋於其範 圍內。故此法有時會遠離根值，甚而具發散特性之缺點。但此法具有 Bracketing Method 所不及的優點，也就是當其收斂時，則收斂速度 甚快。
Open Method 可概分為三種:
(1)Simple One-Point Iteration (2)The Newton-Raphson Method (3) The Secant Method
本文引用第三種，設一函數 f x
( )
，利用F.D.M 可得一次導數之近藉代入 The Newton-Raphson Method 之疊代公式中，故可得另一疊代 公式
而上式中須二個猜想值，但無須具 Bracketing Method 之特性。
2.5.3 應用求解
如前兩小節所述，分別具有其優缺點。是以本文藉同時引用，以 擷取二者之優點，彌補其缺點。因為頻率方程式為一具有無限多組解 之超越函式，故先引用 Bracketing Method，以等間距之值作初始猜 值(inital gauss)，並利用 Bracketing Method 之通則，藉以判斷於 始猜值(inital gauss)間具唯一根值。而於 Bracketing Method 中，
為認定是否具唯一根值，故以縮小間距加以檢測。結果，發現頻率方 程式之根值間具近似等差之特性，此一發現更助於求根之過程，可藉 此將求根之過程無因次化(Non-Dimensionize)。
接著，將 Bracketing Method 所求得約略根值，分別加減一小於間距 之值，以為 The Secant Method 之二個初始猜值(inital gauss)。藉 以求頻率方程式之根值。
求解過程中，本文利用 Bracketing Method 作為判斷區間內具唯 一根值之技巧。為避免此方法於求根過程缺乏效率，在引用 Open Method 中之 The Secant Method，由先前之步驟，確定其具收斂性，
再利用此法之優點，迅速收斂，求得頻率方程式之根值。
第三章 ANSYS 分析與介紹
3.1 前言
隨著科技軟體的快速發展，發展出許多 CAE 計算軟體，如 ANSYS、
ANSYS 的 LS-DYNA 模組、ABAQUS、MARC、ALGOR、 ADINA、ASKA 等商 用軟體。ANSYS 軟體是融合結構、流體、電場、磁場、聲場、分析於 一體的大型通用有限元素分析軟體。由世界上最大的有限元素分析軟 體公司之一的美國 ANSYS 開發，它可以與多數 CAD 軟體界面結合，展 現數據及數值的共享和交換，Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I-DEAS, AutoCAD 等，是現代產品設計中的高階 CAD 工具之一。它能 同時分析 MODEL 受到靜力、動力、流力及熱傳等多重物理現象影響時 之變化，所以多應用在土木、機械、航太、材料、電子、生物、醫學 工程等多種領域。其中的運算原理乃根據有限元素法(Finite
element)，因此當模型建立，並給它相關的參數設定，並加以網格化 後，再來只需附加模型的邊界條件，即可直接利用有限原素法來計 算。而在 ANSYS 建構 模型的部份，可以利用三種方式，如，利用 GUI 介面建構模型、以指令方式建構模型、以 CAD 軟體建構模型，再輸入 ANSYS 介面，來探討其動力特性。