彈性基礎上環狀板振動分析

(1)

國

立

交

通

大

學

土木工程學系

碩

士

論

文

彈性基礎上環狀板振動分析

Vibration Analysis of Axial Symmetric Plates On

Elastic Foundation

研

究

生

生：

生

：

林暐盛

指導教授

指導教授：

指導教授

：

劉俊秀

博士

中

華

民

國

九十九

年

七

月

(2)

彈性基礎上環狀板振動分析

Vibration Analysis of Axial Symmetric Plates On

Elastic Foundation

研究生：林暐盛 Student: Wei-Sheng Lin

指導教授：劉俊秀 Advisor: Gin-Show Liou

國立交通大學土木工程學系

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master of Science in Civil Engineering July 2010 Hsinchu,Taiwan,Republic of China 中華民國九十九年七月

(3)

彈性基礎上環狀板振動分析

研究生：林暐盛指導教授：劉俊秀博士國立交通大學土木工程學系摘要從工程應用之觀點，有關板之問題是一個很重要的課題。板承受動態外力發生震動需要解決之諸問題，須先求得板之自由振動頻率和振態然始可進一步分析研究。而處理板之有關文獻中大致上可分為解析解法與有限元素法兩種，在解析解法中動力反應分析模式，係藉由運動方程式經解析得一含貝索函數的變位函數。再藉由板之邊界條件推衍得頻率方程式，進而求得頻率參數與振態。而有限元素法，首先求得板元素之勁度矩陣及質量矩陣，再合成為板之勁度矩陣及質量矩陣，並代入邊界條件，其次由解(eigenvalue and eigenvector)求得板之自然振動頻率與振態。

而本文之目的即為使用有限元素法應用之套裝軟體來求得動態反應下板之變形情形，並由解析解法來驗證其準確性。進而分析當考慮彈性基礎時，將板依不同的邊界條件，觀察其對板振態之影響。

(4)

Vibration Analysis of Axial Symmetric Plates On

Elastic Foundation

Student:Wei-Sheng Lin Advisor: Prof.Gin-Show Liou

Institute of Civil Engineering College of Engineering National Chiao Tung University

Abstract

In the engineering application point of view, solving the problems of the vibration of plate caused by dynamic forces exerted on plate, in

general, is required to obtain the natural vibration frequency and mode shape of the plate first,and then the further analysis. The processing board of the relevant literature can be broadly divided into the analytical

solution and finite element method are two types of models in classical mechanics, the system by the equations of motion obtained by the

analysis of a deflection function with Bessel function. By plate boundary conditions and then inferring the frequency equation may then obtain the frequency parameters and mode shapes. The finite element method, first obtained by plate element stiffness matrix and mass matrix, and then synthesized for the plate stiffness matrix and mass matrix, and substituted into the boundary conditions, followed by the solution (eigenvalue and eigenvector) obtained the natural frequencies of the plate and mode shapes.

The purpose of this paper is to use the Application of the finite element method software package to obtain the dynamic response of the plate deformation case, by the analytical solution to verify its accuracy. Further analysis when considering the elastic foundation, the board according to different boundary conditions, to observe the effect of deformation on the plate.

(5)

誌謝

研究生的生涯終於在此告一個段落，雖然過程有如電影般嶇折精彩，太多意想不到的事情發生，但我想這應該可以成為最美好得回憶吧。首先要感謝我的老師劉俊秀教授，在一路的學習上耐心的指導，其為人治學處世之態度與嚴謹的精神，適足以為學生所受教，因此受益匪淺，在此致上最誠摯的感謝。於論文口試期間，承蒙口試委員鄭復平教授、黃炯憲教授給于我指導與寶貴的意見，讓我這本論文更加完整，感激不盡並以誌之。研究期間，特別感謝鍾瑜隆學長這段時間的指導，學弟們的協助幫忙，以及同窗好友天宇在我撰寫論文時互相勉勵與協助，土研所全體同學、學長、學弟宛如家人般地相親相愛，均惠我良多，衷心感謝。最後感謝在我求學期間給我物質上和精神上最大幫助的家人，我的父母、女友，謝謝你們的支持與關懷，感謝你們。

(6)

目錄圖目錄符號說明彈性基礎上環狀板振動分析彈性基礎上環狀板振動分析彈性基礎上環狀板振動分析彈性基礎上環狀板振動分析...I.III 第一章第一章第一章第一章緒緒緒論緒論 ...論論...1111 1.1 前言... 1 1.2 文獻回顧... 2 1.3 研究動機... 4 第二章第二章第二章第二章基礎上彈性環狀板之動力反應推導基礎上彈性環狀板之動力反應推導基礎上彈性環狀板之動力反應推導基礎上彈性環狀板之動力反應推導 ...5...555 2.1 概論... 5 2.2 虛功原理推導板之控制方程式 ... 6 2.3 分析方法... 10 2.4 環狀板之分析 ... 15 2.4.1 前言... 15 2.4.2 邊界條件 ... 15 2.5 頻率方程式求根 ... 25 2.5.1 Bracketing Method... 25 2.5.2 Open Method... 26

(7)

2.5.3 應用求解... 27

第三章第三章第三章第三章 ANSYS ANSYS ANSYS 分析與介紹 ANSYS分析與介紹分析與介紹 ...分析與介紹 ... 28282828 3.1 前言... 28 3.2 ANSYS 分析步驟 ... 29 3.2.1 前處理... 29 3.2.2 加載及求解... 35 第四章第四章第四章第四章實例分析實例分析實例分析實例分析 ... 36363636 4.1 頻率參數 ... 36 4.2 基礎上環狀彈性板之振態 ... 41 4.3 ANSYS 應用分析 ... 56 4.4 理論值與 ANSYS 之值分析比較 ... 69 第五章第五章第五章第五章結論與建議結論與建議結論與建議結論與建議 ... 73737373 5.1 結論 ... 73 5.2 建議... 75

(8)

圖目錄

圖 1. 平板置於彈性半平面示意圖...5 圖 2. 環狀板內板為固定端，外板為自由端 ...15 圖 3. 環狀板內板為自由端，外板為簡之承 ...16 圖 4. 環狀板內板為自由端，外板為自由端 ...17 圖 5. 環狀板內板為固定端，外板為固定端 ...18 圖 6. SHELL63 Element...31 圖 7. COMBIN14 Element...32 圖 8. Mathematica 軟體所繪頻率方程式曲線圖 ...37 圖 11. 環狀板內板為固定端，外板為自由端 ...41 圖 12. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...42} 圖 13. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...42} 圖 14. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...43} 圖 15. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...43}

(9)

圖 16. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...44} 圖 17. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，模態固定 1 n= ，角度θ = 0 ，半徑...44 圖 18. 環狀板內板為自由端，外板為簡之承 ...45 圖 19. 內緣為自由端，外緣為簡支承之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...45} 圖 20. 內緣為自由端，外緣為簡支承之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...46} 圖 21. 內緣為自由端，外緣為簡支承之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...46} 圖 22. 內緣為自由端，外緣為簡支承之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...47} 圖 23. 內緣為自由端，外緣為簡支承之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...47} 圖 24. 內緣為自由端，外緣為簡支承之環狀板，模態固定 1 n= ，角度θ = 0 ，半徑r=30_∼100，不同基礎彈性模數K 下半徑與振幅的關係圖...48 圖 25. 內緣自由端，外緣簡支承之環狀板，模態固定n=1，

(10)

角度θ = 0 ，半徑r=30_∼100，將數值無因次化後不同彈性模數K下半徑與振幅的關係圖...48 圖 26. 環狀板內板為自由端，外板為自由端 ...49 圖 27. 內緣為自由端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = ，角度固定θ =0_{， ...49} 圖 28. 內緣為自由端，外緣為自由端之環狀板，半徑固定 50 r= ，角度固定θ =0_{， ...50} 圖 29. 內緣為自由端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...50} 圖 30. 內緣為自由端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...51} 圖 31. 內緣為自由端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...51} 圖 32. 內緣自由端，外緣簡支承之環狀板，模態固定n=1，角度θ = 0 ，半徑r=30_∼100，將數值無因次化後不同彈性模數K下半徑與振幅的關係圖...52 圖 33. 環狀板內板為固定端，外板為固定端 ...52 圖 34. 內緣為固定端，外緣為固定端之環狀板，角度固定 0 θ = ，角度固定θ =0_{， ...53}

(11)

圖 35. 內緣為固定端，外緣為固定端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...53} 圖 36. 內緣為固定端，外緣為固定端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...54} 圖 37. 內緣為固定端，外緣為固定端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...54} 圖 38. 內緣為固定端，外緣為固定端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...55} 圖 39. 內緣為固定端，外緣為固定端之環狀板，模態固定 1 n= ，角度θ = 0 ，半徑r=30_∼100，將數值無因次化後不同彈性模數K下半徑與振幅的關係圖...55 圖 40. 邊界條件一，第一模態之振態圖 ...62 圖 41. 邊界條件一，第二模態之振態圖 ...62 圖 42. 邊界條件一，第三模態之振態圖 ...63 圖 43. 邊界條件一，第四模態之振態圖 ...63 圖 44. 邊界條件一，第五模態之振態圖 ...64 圖 45. 邊界條件二，第一模態之振態圖 ...64 圖 46. 邊界條件二，第二模態之振態圖 ...65 圖 47. 邊界條件二，第三模態之振態圖 ...65

(12)

圖 48. 邊界條件三，第二模態之振態圖 ...66 圖 49. 邊界條件三，第一模態之振態圖 ...66 圖 50. 邊界條件四，第一模態之振態圖 ...67 圖 51. 邊界條件四，第二模態之振態圖 ...67 圖 52. 邊界條件四，第五模態之振態圖 ...68 圖 53. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...69} 圖 54. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...70} 圖 55. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...70} 圖 56. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...71} 圖 57. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...71} 圖 58. 內緣為固定端，外緣為自由端之環狀板，角度固定 0 θ = _{， ...72}

(13)

符號說明

a:彈性環狀板之外徑 b:彈性環狀板之內徑 h:彈性環狀板之厚度 n:富立葉展開的第個項 ω:彈性環狀板之自然頻率 ρ:彈性環狀板之比重量 K:彈性環狀板之基礎彈性模數 β:彈性環狀板之頻率參數 ( , , ) zz u r θ t :彈性環狀板之總變位 v ∆ :垂直擾動(Vertical excitation)之剛性變位 θ ∆ :翻轉擾動(Rocking excitation) 之剛性變位 r,θ,t, z:圓柱座標系統之軸 W(r,θ):彈性環狀板之振態 D:彈性環狀板之橈曲剛度(flexural figidity) E:彈性環狀板之彈性模數 ν :彈性環狀板之卜森比(poisson ratio) n zz σ : 第個富立葉展開項之正向應力(normal stress)

(14)

τn zr: 第個富立葉展開項之剪應力(shear stress) θ τn z : 第個富立葉展開項之剪應力(shear stress) n I : 第一類修正型貝索(bessel)函數 n J : 第一類貝索(bessel)函數 n K : 第二類修正型貝索(bessel)函數 n Y : 第二類貝索(bessel)函數

(15)

第一章緒論

1.1 前言

近年來，電腦日新月異，其處理資料的能力及計算的速度與日俱增，過去一些煩雜的問題，藉由電腦的輔助至今均能迎刃而解。故如何應用電腦分析結構問題，成為近年來學術界及工程界中極重要的一項研究工作。有限元素法即是這種情況下發展出來的一種分析方法，其基本理論是由個體到整體的觀念，將結構物上的問題簡化成一定的步驟，再藉由電腦輔助求得其解。然而在土木工程方面，隨著人類科技文明的發展，施工技術不斷改進，因此各種巨積結構體，如海域鑽油平台、雷達站的基礎、核電廠圍阻體、拱壩等，日漸增多。而在傳統的結構動力分析中，將基礎假設固定於岩盤之上，意謂視土壤介質為剛性體，此與土壤的實際物理性質，顯然相去甚遠，並不足以模擬土壤對結構體的影響。是以，對此類巨積結構物處於地震動力狀態時，土壤介質與結構物之間的交互作用，已廣泛引起工程界的重視與探討。板承受動態外力發生震動需要解決之諸問題，須先求得板之自

(16)

由振動頻率和振態然始可進一步分析研究。而處理板之有關文獻中大致上可分為解析解法與有限元素法兩種，而本文之目的即為使用有限元素法應用之套裝軟體來求得動態反應下板之變形情形，並由解析解法來驗證其準確性。

1.2 文獻回顧

對於彈性板受擾動後所產生的自由振動(free vibration)的研究，已有很長的一段歷史，如包森(Poisson)對徑向對稱之自由橫向振動的分析；克西荷夫對彈性板之非軸向對稱震動的分析，對於強迫震動(force vibration)，其研究也很多，福來(Flynn)以可分離積解 (The separable product solution)來處理固定邊界圓板受衝量壓力載重(Impulsive pressure loading)的問題，欽哈姆(Kantham)[2] 決定了彈性束縛板(Elastically built-in plate)之自然頻率及正規函數，此外還有雷伊斯曼(Reismann)[2]，威尼(Weiner)[4]等人皆對彈性板的強迫振動都有不少研究。從結構力學領域中，平板結構體甚早即受重視及研究，但僅始於自由振動下之實驗。於 1776 年 Euler[5] 首度提出以數學方法，企圖對平板問題之變位行為加以描述。此後歷經 J.Bernoulli[6]；Jr,Sophie Germain；Lagrange；Navier 等加以

(17)

推衍或修正，乃至 Kirchhoff[7]，進一步同時考慮板的彎曲及伸展特性，並發現平板的頻率方程式和提出以虛位移法(virtual displacement methods)求解平板問題。關於 Kirchhoff 所提出薄板理論推論以下結果，做為薄板理論簡化的根據。 ‧ 薄板的厚度，於變形後的變化可略去不計。 ‧ 薄板內部平行於中性面的平面應力，沿著厚度之積分總值(即薄板張力) 可略去不計。 ‧ 薄板中，垂直於中性面的法線，變形後仍為中性面的法線。 ‧ 在考慮平衡方程時，薄板乃作為ㄧ個平板看待。在板應用於分析土壤-結構物互制問題中，分為直接法(Directed method)與次結構法(Sub-struture method)，其中以後者廣泛為學者所研究。於此分析方法中，基礎動力反力矩陣支求得，為一重要研究課題。而 1992 年，Liou 和 Lee[1]藉由 Tzong 和 Penzien 所提之邊界解法，並利用其文獻中所引述之分離技巧，導出任意形狀平板的動力反力矩陣(Impedance Matrix)。且於推導過程中，並未假設釋放性邊界條件，是以更能真實地模擬土壤-結構物之交互行為。因而，將本文之推導加以延伸求得外力-變位關係式，將可應用於其上。

(18)

1.3 研究動機

在早期的研究中，對土壤-結構互制問題，均侷限於假設基礎為一剛性體，置於彈性(elastic)或黏彈性(visco elastic)半平面的土壤介質上。於上述假設前提下，並無須顧慮基礎的柔度(flexibility) 對其動力反應效應，但在近年來對實際建築物所作的動力試驗，發現基礎具有相當非共平面的變位，因此，於土壤-結構互制研究課題中，彈性基礎的影響成了不可或缺的考慮因素。所以本文係針對基礎上彈性環狀板的基礎模式，分別引入考慮基礎彈性模數與不考慮基礎彈性模數之動力反應，來相互比較，並使用現有套裝軟體來印証。

(19)

第二章基礎上彈性環狀板之動力反應推導

2.1 概論

基本假設: 本文所討論之板乃針對小變位之薄板而言，亦即板之變位遠小於板厚，故有以下之假設: (1)板具有線彈性、均質、等向的特性 (2)板變形前與平面垂直之點，在變形後仍與之垂直。 (3) 薄板內部平行於中性面的平面應力，沿著厚度之積分總值(即薄板張力) 可略去不計。圖 1. 平板置於彈性半平面示意圖本章推導平板置於彈性半平面之界面模式中，彈性板的動力反應分析。亦即於運動方程式中，考慮慣性力(Inertia force)，以求軸

(20)

2.2 虛功原理推導板之控制方程式

古典理論版之變位場為: ∂ ∂ 1 w u (x, y, z,t) = u - z x ， ∂ ∂ 2 w u (x, y, z,t) = v - z y ，u (x, y, z,t) = w(x, y,t)3 其中(u ,u ,u )1 2 3 代表點(x, y, z)沿x, y, z方向之變位。則對應於w變位之線性應變為: 2 2 2 2  _∂    ∂      _∂          ∂       _ _ ∂   ∂ ∂     2 x y 2 xy w x ε w ε = -z y 2ε w x y 而根據虛變位原理 3 3 2 2 δ δ ρ ρδ δε σ δε σ δε σ  _∂ _∂ _∂ _∂  _∂  + + + + +     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    

∫

e 2 x x y y xy xy 2 2 2 V w w w w w 0 = z w dV x x t y y t t e

δ

Ω Ω Ω Γ ∂ ∂ + − ∂ ∂

∫

_∫

e e e n n w δw

K wwdxdy+ C w dxdy- P wdxdy (-M +V δw)ds

t n (2-1) 因 e e e e 1 1 V = Ω × (- h , h ) 2 2 ，且彎矩MX，My，Mxy分別為:

∫

h2 h x x -2 M = σ zdz，

∫

h 2 h y y -2 M = σ zdz，

∫

h 2 h xy xy -2 M = σ zdz 又令

∫

ρ ρ h 2 h 0 -2 I = dz = h，

∫

ρz2 ρ h 3 2 h 2 -2 1 I = dz = h 12 則(2-1)式可寫成

(21)

δ δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2_w _w 3_w _w 3_w 0 = (δ w I + I + I 0 2 2 2 2 2 e _t x _{x t} y _{y t} Ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2_δw 2_δw 2_δw _w -M_x - M_y - 2M_xy + Kδww + C δw - Pδw)dxdy 2 2 _{x y} _t x y ∫ ∂ ∂ _Γe δ w - (-M_n + V δ w )d s_n n (2-2) 若板中也具有阻尼的作用，則: 對非等向(Orthotropic)的材料而言 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 11 2 12 2 11 2 12 2 w w w w _t _t M_x = -(D + D ) - (L + L ) x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 12 2 22 2 12 2 22 2 w w w w _t _t M_y = -(D + D ) - (L + L ) x y x y ∂ ∂ ∂ _∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 66 66 w w _t M_xy = -2D - 2L x y x y 其中Dij是板的剛度， 3 1 12 21 E h D = 11 _{12(1 - ν ν )}， 3 2 12 21 E h D = 22 _{12(1 - ν ν )} 3 12 2 12 21 ν E h D = 12 _{12(1 - ν ν )}， 3 12 1 D = G h 66 ₁₂ 1 12 21 3 S d d C h L = 11 _{12(1 - ν ν} ₎， 2 12 21 3 S d d C h L = 22 _{12(1 - ν ν} ₎ ν ₁₂ ₂ 12 21 3 d s d d C h L = 12 _{12(1 - ν ν} ₎， Λ 3 12 1 L = h 66 ₁₂ 其中ν為卜森比，即 yy xx ε ε ν=

(22)

-∂ ∂ ∂ ∂ yy d xx ε t = -ε t ν s C 為應變率( strain ratio)阻尼係數而_Mn和_Vn與_{M x}，_{M y}，_{M xy}的關係為: 2 2 x x y y xy x y M_n= M n + M n + 2M n n ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 3 3 ns x x y y 2 2 x 2 y M w w V = Q n + Q n + I (_n n + n )+ x t y t s 2 2 y x x y xy x y M_ns = (M - M )n n + M (n - n ) ∂ ∂ ∂ ∂ xy x x M M Q = + x y ， ∂ ∂ ∂ ∂ xy y y M M Q = + x y 則(2-2)式可寫成 δ δ  _∂ _∂ _∂ _∂ _∂  ∫ ∂ ∂  _∂ _{∂ ∂} _{∂ ∂}  2_w _w 3_w _w 3_w 0 = δ w I + I + I 0 2 2 2 2 2 e _t x _{x t} y _{y t} Ω ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 11 12 11 12 w w 2 2 2_w 2_w 2_δw t t +(D D L L 2 2 2 2 2 x y x y x ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 12 22 12 22 w w 2 2 2_w 2_w 2_δw t t +(D D L L 2 2 2 2 2 x y x y y 4 ) ∂ ∂ ∂ _∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 66 66 w 2 2_w 2 _w t +(4D L x y x y x y ∂   ∂  w +Kδww + C δw - Pδw dxdy t ∫ ∂ ∂ _Γe δ w - (-M_n + V δ w )d s_n n (2-3) 所以由(2-3)式中可得出控制方程式

(23)

) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ + + + + ∂ 11 ∂ 12 ∂ 11 ∂ 12 ∂ w w 2 2 2 2_w 2_w t t (D D L L 2 2 2 2 2 x x y x y ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ + + + + ∂ 12 ∂ 22 ∂ 12 ∂ 22 ∂ w w 2 2 2 2_w 2_w t t (D D L L 2 2 2 2 2 y x y x y 2 2 ) ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ + + ∂ ∂ 66 ∂ ∂ 66 ∂ ∂ w 2 2 _2w t (2D L x y x y x y ∂ ∂ w Kw + C - P + t 2 2 ( ) 0 ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2_w 2 _w _w I + I + 0 _t2 2 _t2 _x _y (2-4) 當板的材料性質具有均質性及等向性時， = = 3 2 Eh D = D D 11 22 _{12(1 - ν )} ν = 3 2 Eh D 12 _{12(1 - ν )} = × 3 3 1 1 E L = Gh h 66 ₁₂ ₁₂ _{2(1 + ν)} = 3 s 2 d C h L = L = L 11 22 _{12(1 - ν )} ν 3 d s 2 d C h L = 12 _{12(1 - ν )} Λ 3 = × s 3 12 d C 1 1 L = h h 66 ₁₂ ₁₂ _{2(1 + ν )} 則(2-4)式變為 ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 w w w D w + L ( )+ Kw + C + I + I ( )w = P t t t t (2-5) 其中∇ = ∂ + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 x y 若以極座標表示，則 1 1 θ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 r r r r 若薄板為均質等向，則(2-5)式可寫成

(24)

∂ ∂ ∂ ∇ ∇ ∇ ∇ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 0 2 w w w D w + L ( )+ Kw + C + I = P t t t (2-6) 若為均質等向的彈性薄板，則(2-6)式可寫成 ∂ ∂ ∇ ∇ ∂ ∂ 2 2 2 0 2 w w D w + Kw + C + I = P t t (2-7) 因此，引用彈性薄板於動力反應模式下之控制方程式，以圓柱座標系統表示之。 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) zz zz D u rθ t Ku rθ t θ θ  ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂  + + + + +     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r r r 2 2 zz( , , ) ( , , ) h u r t q r t t ρ ∂ θ θ + = ∂ (2.8) 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) zz zz zz D u r t Ku r t h u r t q r t t θ θ ρ ∂ θ θ ∇ ∇ + + = ∂ (2.9) 其中 zz u (r,θ,t) = ∆(r,θ,t) + w(r,θ, t) (2.10) 2 2 ∂ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 1 1 = + + r r r r θ (2.11) 於u (r,θ,t)zz 中，w(r,θ, t)表沿板邊緣所計算的位移函數，∆(r,θ, t)表沿板邊緣之振動大小，亦即整體板的剛性變位(rigid body motion)。

2.3 分析方法

假設除了彈性平板的板面外，無表面應力作用於其上，且於推導過程中，將板於徑向方位視作剛性，亦即無共平面(in-plane)方向之

(25)

變位，此外板下知剛性變位為可任意指定的。則於z =0之邊界上 (1)垂直擾動(Vertical excitation)，指振態n =0 ; ω ≤ ≤ 0 i t zz v 0 u (r,θ,t) = ∆ e + w (r,θ, t) b r a (2.12) ; 0 zz σ (r,θ, t) = 0 r > a, r < b (2.13) ; θ τ0 τ0 ≤ ≤ ∞ zr(r,θ, t) = z (r,θ,t) = 0 0 r (2.14) (2)翻轉擾動(Rocking excitation)，指振態n = 1 ; ω θ θ ≤ ≤ 1 i t zz 1 u (r,θ,t) = ∆ rcos e + w (r,θ, t) b r a (2.15) ; 1 zz σ (r,θ, t) = 0 r > a, r < b (2.16) ; θ τ1 τ1 ≤ ≤ ∞ zr(r,θ, t) = z (r,θ,t) = 0 0 r (2.17) (3)對振態n >1 ; ≤ ≤ n zz n u (r,θ,t) = w (r,θ,t) b r a (2.18) ; n zz σ (r,θ, t) = 0 r > a, r < b (2.19) ; θ τn τn ≤ ≤ ∞ zr(r,θ, t) = z (r,θ,t) = 0 0 r (2.20) 於動力反應分析中，分為兩種情況: (1) 分佈參數系統的振態疊加分析 (2) 分離座標系統的振態疊加分析而於分佈參數系統的振態疊加分析中，只要振態與頻率求出，就可完全與分離座標系統相同。因此，兩者均以各振態反應分量之振

(26)

幅，作為定義結構物反應的廣義座標。然而，原則上在分佈參數系統中，因具有無限多個振態，故此座標有無限多個，但實際上只有那些對反應有明顯作用的振態才需考慮，故本文轉化成分離參數型式，用有限個數振態(正規)座標來描述軸對稱彈性薄板的動力反應。基於上述分析步驟，藉以推導軸對稱薄板之外力-變位關係式。因此，對彈性環狀板的自由振動運動方程式 ∂ ∇ ∇ ∂ 2 2 2 2 D w(r,θ, t) + Kw(r,θ, t) + ρh w(r,θ, t) = 0 t (2.21) 首先，採用分離變數法(separation of variables)，並假設變位函數的形式為w(r,θ,t) = W(r,θ)Y(t)，亦即此自由振動運動包含一形狀不變的振態W(r,θ)，而其振福隨時間成Y(t)的變化。代入運動方程式 (2.21)中，可得 ∂ ∇ ∇ ∂ 2 2 2 2

D w(r,θ)Y(t)+ Kw(r,θ)Y(t) - ρh w(r,θ)Y(t) = 0

t (2.22) 將變數分離

[

]

∂  _{∇ ∇}    _∂ 2 2 2 2 D w(r,θ)+ Kw(r,θ) Y(t) = ρhw(r,θ) Y(t) t ω ′′ ∇ ∇ = − 2 2 2 D w(r,θ)+ Kw(r,θ) Y(t) = ρhw(r,θ) Y(t) (2.23) 整理(2.23)式可得 0 ω ∇ ∇2 2 2 D w(r,θ)+ Kw(r,θ) + ρhw(r,θ) = (2.24) 其中，頻率參數β與自然頻率ω之關係式

(27)

2 4 ρhω K β = -D D (2.25) 為了方便計算將(2.25)兩邊同乘K4 2 4 5 4 4 ρhω K K K β = -D D (2.26) 則(2.24)可改寫成

(

∇4 4 4

)

0 - K β w(r,θ) =

(

∇2 2 2

)(

∇2 2 2

)

0 + K β - K β w(r,θ) = (2.27)

由於線性微分方程之原理(linear differential equations)，(2.27)

式的完整解可由疊加法獲得 0 0  ∇  ∇  2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 w (r,θ) - K β w (r,θ) = w (r,θ) + K β w (r,θ) = (2.28) 再將W(r,θ)對θ作富立葉轉換(Fourier components) θ θ ∞ ∞ ′ +

∑

n

∑

n n=0 n=0 W(r,θ) = W (r)cos n W (r)sin n (2.29) 其中n表富立葉展開之第n個項將(2.29)式代入(2.28)中可得 0 0 0 0 θ θ θ θ θ θ θ θ ∇  ∇   ′ ′ ∇  _∇ _′ _′  2 2 2 n1 n1 2 2 2 n1 n1 2 2 2 n2 n2 2 2 2 n2 n2 W (r)cos n - K β W (r)cos n = W (r)sin n + K β W (r)sin n = W (r)cos n - K β W (r)cos n = W (r)sin n + K β W (r)sin n = (2.30) 其中∇ ∂₂ ∂ ∂₂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 1 1 = + + r r r r θ代入(2.30)

(28)

2 2 2 2 2 2 0 0 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′ ′ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 n1 n1 2 n1 n1 2 2 2 2 n1 n1 2 n1 n1 2 2 n2 n2 2 n2 1 1

W (r)cos n + W (r)cos n + W (r)cos n - K β W (r)cos n =

r r r r θ

1 1

W (r)sin n + W (r)sin n + W (r)sin n + K β W (r)sin n =

r r r r θ 1 1 W (r)cos n + W (r)cos n + W r r r r θ 2 2 0 0 θ θ θ θ θ θ        _′   ∂ ∂ ∂  _′ _′ _′ _′  ∂ ∂ ∂  2 2 n2 2 2 2 2 n2 n2 2 n2 n2 (r)cos n - K β W (r)cos n = 1 1

W (r)sin n + W (r)sin n + W (r)sin n + K β W (r)sin n =

r r r r θ 將上式化簡可得 2 2 2 2 0 0 0 0  _∂ _∂     ∂ ∂     ∂ ∂   ∂ ∂      ∂ ∂ ′ ′ _ _ ′ ∂ ∂     ∂ ∂ ′ ′ _ _ ′ ∂ ∂   2 2 2 2 n1 n1 n1 2 2 2 2 2 2 n1 n1 n1 2 2 2 2 2 2 n2 n2 n2 2 2 2 2 2 2 n2 n2 n2 2 2 1 n W (r) + W (r) - - K β W (r) = r r r r 1 n W (r) + W (r) - + K β W (r) = r r r r 1 n W (r)+ W (r) - - K β W (r) = r r r r 1 n W (r) + W (r) - + K β W (r) = r r r r            (2.31) 將(2.31)式做 Bessel functions 轉換

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

    ′ ′ ′   ′ ′ ′  n1 n n n n n2 n n n n n1 n n n n n2 n n n n W = A J Kβr + B Y Kβr W = C I Kβr + D K Kβr W = A J Kβr + B Y Kβr W = C I Kβr + D K Kβr (2.32) 最後將(2.32)式代回(2.29) θ θ ∞ ∞ ′ +

∑

n

∑

n n=0 n=0 W(r,θ) = W (r)cos n W (r)sin n 則可得一含貝索函數(Bessel Function)之函式W(r,θ)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

(

)

(

)

{

}

θ θ + 1n n 2n n 3n n 4n n ' ' ' ' 1n n 2n n 3n n 4n n W(r,θ) = A J Kβr + A Y Kβr + A I Kβr + A K Kβr cos n A J Kβr + A Y Kβr + A I Kβr + A K Kβr sin n (2.33) 而(2.28)式中的八個係數Akn； ' kn A ，k = 1, 2, 3,4定義了板振動時的形狀

(29)

與振幅，再由板邊緣的邊界條件，可求得一頻率方程式，並可藉以解出頻率參數 βn ，進而求得自然頻率ωn。其中W(r,θ) 具有cos nθ 及 θ sin n ，因兩者具有類似之週期特性，故以下僅就加以cos nθ推導。

2.4 環狀板之分析

2.4.1 前言

彈性環狀板的自由振動運動控制方程式，經由分離變數法可得

(

)

(

)

(

)

(

)

{

1n n 2n n 3n n 4n n

}

θ, W(r,θ) = A J Kβr + A Y Kβr + A I Kβr + A K Kβr cos n n = 1,2, ... (2.34)

2.4.2 邊界條件

本文就四種邊界條件情況之環狀板加以推導。邊界條件一: b

a

圖 2. 環狀板內板為固定端，外板為自由端

(30)

(i) 內板之邊緣為固定端，則r=b處的變位為零。

[

W (r,θ)n

]

r=b=0 (2.35) (ii) 內板之邊緣為固定端，則r=b處的轉角為零。 ∂   =  _∂    n r=b W (r,θ) 0 r (2.36) (iii) 外板之邊緣為自由端，則r=a處的徑向彎矩為零。 = r r=a (M ) 0 (2.37) (iv) 外板之邊緣為自由端，則r=a處的反力為零。 V θ ∂   − =  _∂    rt r r=a M = Q 0 r (2.38) 邊界條件二: 圖 3. 環狀板內板為自由端，外板為簡之承 (i) 內板之邊緣為自由端，則r=b處的徑向彎矩為零。 = r r=b (M ) 0 (2.39) (ii) 內板之邊緣為自由端，則r=b處的反力為零。

(31)

V θ ∂   − =  _∂    rt r r=b M = Q 0 r (2.40) (iii) 外板之邊緣為簡之承，則r=a處的徑向彎矩為零。 = r r=a (M ) 0 (2.41) (iv) 外板之邊緣為簡之承，則r=a處的變位為零。

[

W (r,θ)n

]

r=a=0 (2.42) 邊界條件三: 圖 4. 環狀板內板為自由端，外板為自由端 (i) 內板之邊緣為自由端，則r=b處的徑向彎矩為零。 = r r=b (M ) 0 (2.43) (ii) 內板之邊緣為自由端，則r=b處的反力為零。 V θ ∂   − =  _∂    rt r r=b M = Q 0 r (2.44) (iii) 外板之邊緣為自由端，則r=a處的徑向彎矩為零。 = r r=a (M ) 0 (2.45) (iv) 外板之邊緣為自由端，則r=a處的反力為零。

(32)

V θ ∂   − =  _∂    rt r r=a M = Q 0 r (2.46) 邊界條件四:

b

a

圖 5. 環狀板內板為固定端，外板為固定端 (i) 內板之邊緣為固定端，則r=b處的變位為零。

[

W (r,θ)n

]

r=b=0 (2.47) (ii) 內板之邊緣為固定端，則r=b處的轉角為零。 ∂   =  _∂    n r=b W (r,θ) 0 r (2.48) (iii) 外板之邊緣為固定端，則r=a處的變位為零。

[

W (r,θ)n

]

r =a =0 (2.49) (iv) 外板之邊緣為固定端，則r =a處的轉角為零。 ∂   =  _∂    n r =a W (r,θ) 0 r (2.50) 藉由各邊界情況之邊界條件，可得:

(33)

                                    11 12 13 14 1n 21 22 23 24 2n 31 32 33 34 3n 41 42 43 44 4n

Coe Coe Coe Coe A 0 Coe Coe Coe Coe A 0

= Coe Coe Coe Coe A 0 Coe Coe Coe Coe A 0

(2.51) 其中邊界條件情況一:

(

)

= 11 n Coe J Kβb

(

)

= 12 n Coe Y Kβb

(

)

= 13 n Coe I Kβb

(

)

= 14 n Coe K Kβb

(

)

(

)

= − 21 n+1 n n Coe KβJ Kβb + J Kβb b

(

)

(

)

= − 22 n+1 n n Coe KβY Kβb + Y Kβb b

(

)

(

)

= 23 n+1 n n Coe KβI Kβb + I Kβb b

(

)

(

)

= − 24 n+1 n n Coe KβK Kβb + K Kβb b

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 31 n+ 2 n+1 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β J Kβa 2n + 1 + J Kβa J Kβa

a a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 32 n+ 2 n+1 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β Y Kβa 2n + 1 + Y Kβa Y Kβa

a a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 + + 33 n+ 2 n+1 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β I Kβa 2n + 1 + I Kβa I Kβa

a a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 34 n+ 2 n+1 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β K Kβa 2n + 1 + K Kβa K Kβa

(34)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = − − − + 2 2 2 3 3 41 n+ 3 n+ 2 2 n+1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β

Coe K β J Kβa 3n + 4 J Kβa J Kβa

a a n 1 n 1 -J Kβa a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = − + − + 2 2 2 3 3 42 n+ 3 n+ 2 2 n+1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β

Coe K β Y Kβa 3n + 4 Y Kβa Y Kβa

a a n 1 n 1 -Y Kβa a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = + + + 2 2 2 3 3 43 n+ 3 n+ 2 2 n+1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β

Coe K β I Kβa 3n + 4 I Kβa I Kβa

a a n 1 n 1 -I Kβa a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = − + − + 2 2 2 3 3 44 n+ 3 n+ 2 2 n+1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β

Coe K β K Kβa 3n + 4 K Kβa K Kβa

a a n 1 n 1 -K Kβa a (2.52) 邊界條件情況二:

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 11 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ Coe K β J Kβb 2n + 1 + J Kβb J Kβb b a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 12 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ Coe K β Y Kβb 2n + 1 + Y Kβb Y Kβb b a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 + + 13 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ Coe K β I Kβb 2n + 1 + I Kβb I Kβb b b

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 14 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ Coe K β K Kβb 2n + 1 + K Kβb K Kβb b b

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = − − − + 2 2 2 3 3 21 n+ 3 n+ 2 2 n+1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β Coe K β J Kβb 3n + 4 J Kβb J Kβb b b n 1 n 1 -J Kβb b

(35)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = − + − + 2 2 2 3 3 22 n+ 3 n+ 2 2 n+ 1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β Coe K β Y Kβb 3n + 4 Y Kβb Y Kβb b b n 1 n 1 -Y Kβb b

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = + + + 2 2 2 3 3 23 n+ 3 n+ 2 2 n+1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β Coe K β I Kβb 3n + 4 I Kβb I Kβb b b n 1 n 1 -I Kβb b

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

ν ν     = − + − + 2 2 2 3 3 24 n+ 3 n+ 2 2 n+1 2 n 3 Kβ n 1 + + 2n K β Coe K β K Kβb 3n + 4 K Kβb K Kβb b b n 1 n 1 -K Kβb b

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 31 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β J Kβa 2n + 1 + J Kβa J Kβa

a a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 32 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β Y Kβa 2n + 1 + Y Kβa Y Kβa

a a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 + + 33 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β I Kβa 2n + 1 + I Kβa I Kβa

a a

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 34 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ

Coe K β K Kβa 2n + 1 + K Kβa K Kβa

a a

(

)

= 41 n Coe J Kβa

(

)

= 42 n Coe Y Kβa

(

)

= 43 n Coe I Kβa

(

)

= 44 n Coe K Kβa (2.53) 邊界條件情況三:

(

)

(

ν

)

(

)

(

)(

ν

)

(

)

= 2 2 − + 11 n+ 2 n+ 2 2 n n n 1 1 -Kβ Coe K β J Kβb 2n + 1 + J Kβb J Kβb b a