第二章 文獻探討
第一節 風險值之相關文獻
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第二章 文獻探討
第一節 風險值之相關文獻
傳統上，財務金融領域以資產報酬率的波動度來衡量投資風險，但此 波動度包含資產價格向上與向下的不確定性，以買入資產為例，其價格向 上變動會產生資本利得，相反的當價格向下變動時，則發生損失；但若將 資產報酬向上向下的波動同時計入，並無法反應出一般投資人在意的投資 下方風險(Downside Risk)。
Jorion於1996年提出風險值的觀念，簡稱VaR，即「在一特定目標期 間(T)之內，既定的信賴水準下(θ)，當市場發生不利變動時，預期潛在最 大損失金額之估計值」；舉例來說，若一投資組合在95%之信賴水準下，
其每日之VaR為100萬元，則表示有95%的機率，投資部位未來一天所損失 的金額不會超過100萬元，即有5%的機率在未來一天該投資部位的最大損 失金額會超過100萬元。其可用數學式表達如下：
(1)
其中， χ：投資組合損益，正值代表收益，負值代表損失。
θ：信賴水準，介於0和1之間。
Jorion 將 風 險 值 之 評 價 方 法 分 為 兩 大 類 ： (a) 局 部 評 價 法 (Local Valuation)，係先衡量投資組合價值對風險變數的敏感度，並模擬當風險 變數變動時，投資組合價值的變化程度，如Delta-Normal法；(b)完全評價 法(Full-Valuation)，如蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation)及歷史模擬
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法(Historical Simulation)。
然而即使VaR在現今風險管理中有著重要的影響性，但VaR係假設各 資產報酬率的歷史分配在未來仍持續不變，因此若市場上發生未能預期的 大波動，如金融風暴等事件時，VaR將會嚴重低估。此外VaR也假設資產 報酬為常態分配，但Lawrence and Robinson(1995)實證發現，標的資產的 報酬分配具有厚尾(fat tails)及高峰(highpeaks)等現象，因此依常態分配假 設所計算出的VaR將不符合實際的損失情況。
基於改善VaR之缺失，Rockafellar and Uryasev(2000)發展出另一種衡 量風險的新興工具 — 條件風險值(Conditional VaR，簡稱CVaR)，做為風 險值的輔助方法。條件風險值又稱尾部風險值(Tail VaR)、期望差額(Mean Shortfall)或平均超額損失(Mean Excess Loss)。若信賴水準θ%下的風險值，
θ ： θ ，則信賴水準θ%下的條件風險值，
我們將以符號 θ 來表示，其數學式表達如下：
θ
θ (2)
其中，θ：信賴水準，介於0和1之間。
χ：投資組合損益，正值代表收益，負值代表損失。
θ ：投資組合損益在信賴水準 %之最大損失。
由於投資組合損失大於風險值 θ 的機率等於1−θ，所以條件風 險值是指「在給定損失超過VaR水準下的損失條件期望值」。Pflug(2000)
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證明了條件風險值(CVaR)是一個具有次可加性且具連貫性的(coherent)風 險衡量指標。故分散投資組合資產可以降低投資組合的CVaR，但卻不一 定能降低投資組合的VaR。因此CVaR較VaR具有作為風險衡量指標的優良 特性。
圖1 損失分配圖( VaR、CVaR )
此外在傳統VaR估計方法上分為有母數模型及無母數模型。有母數模 型包括變異數－共變異數法(Variance-Covariance method)和蒙地卡羅模擬 法(Monte Carlo Method)等；而在報酬分配複雜且不確定性高的情況下，許 多學者則採用無母數模型來估計報酬率或VaR，如歷史模擬法（Historical simulation）或壓力測試法（Stress testing），另有學者以Koenker and Bassett(1978)提出的分量回歸模型(Quantiles Regression)來估計VaR。
分量迴歸模型最早由Koenker and Bassett(1978)所提出，其與最小平方 法的差別在於最小平方法乃指解釋變數對被解釋變數的「平均」邊際效果，
而分量迴歸是指解釋變數對被解釋變數在「特定分位點」上的邊際效果；
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由其現今許多研究關注的往往不只是該變數的平均表現，反而更在意其分 配兩端的情形，故越來越多研究採用分量迴歸模型於實證分析上。Engle and Manganelli(2004)提出CAViaR模型(Conditional Autoregressive Value at Risk)，其主要概念就是以分量迴歸避開分配假設的問題，且CAViaR藉樣 本資料即可直接求得各分位線，以推估出未來最大預期損失，提高了 CAViaR的準確性。
此外由於金融市場整合日益密切，使得資產間相互影響程度更加劇烈，
造成單一資產問題透過高度的市場連動而擴散成系統的金融危機；又因金 融產品不斷創新，產生極不穩定的風險情況，尤其是2008年的金融海嘯，
造成全球投資環境動盪，個別機構或資產的巨大損失對其他機構或資產甚 至是整體市場造成巨大的損失擴散。
Adrian & Brunnermeier 於2009年發展出CoVaR模型，提供金融市場在 面對系統性風險時，衡量各金融機構風險貢獻程度，以作為內部風險控管 的衡量指標，了解各金融機構對他家機構的曝險程度。該模型係建立在傳 統VaR上，並加以考慮風險外溢時對其他標的之影響，亦即計算當其他金 融機構處於風險值情況下，整體金融市場或單家金融機構的風險值。
Adrian & Brunnermeier所提出的隨時間變動CoVaR模型為：
(3)
(4)
為金融機構總資產市值成長率。 為落後一期可用來解釋金融機
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構資產市值變化的系統性狀態變數，如VIX指數、流動性利差、信用利差、
股價等。透過分量迴歸模型得到參數係數後，將可代迴上述回歸式以估計 VaR及CoVaR：
此外Adrian and Brunnermeierz定義單家金融機構對金融市場風險值 的 邊 際 貢 獻(ΔCoVaR) 為 金 融 市 場 在 金 融 機 構 處 於 風 險 值 狀 態 時 ( ) 與 金 融 機 構 處 於 正 常 ( 中 位 數 ) 狀 態 時 ( )兩者CoVaR的差異。Adrian and Brunnermeierz也藉 CoVaR的預測結果分析金融機構的槓桿、規模等特性與ΔCoVaR的關係，
並估計各特性對金融機構的系統風險貢獻程度，以作為整體審慎規範的根 據。本研究將應用CoVaR的概念衡量系統性風險擴散時，造成個別標的資 產報酬率變動的程度，並加以建構Mean-CoVaR模型。