首次通過模型(First Passage Models)

Black and Cox (1976)延伸 Merton 模型，在負債到期日(T)前隨時檢視公司是否發生 違約，只要公司資產碰觸到違約門檻，或是於到期日時償還不出負債，就發生違約。違 約門檻設為通常小於負債面額，當公司資產在負債到期日前小於負債面額，公司會做重 整動作，以發行新的股票來籌措新資，不會立即宣告違約，通常小到某個容忍界限(違 約門檻)才會宣告違約，FPM 違約圖如下所示。

圖2.1 FPM 違約示意圖

圖為負債到期前公司資產價值走勢。線1：到期日 T 前均無觸碰違約門檻所以沒有發生 違約。線3：雖然在到期日 T 前尚未觸碰違約門檻，但在到期時公司價值小於負債所以 發生違約。線2、線 4：於負債到期日前就觸碰違約門檻，所以都發生違約。

同樣的公司資產價值在風險機率測度下，遵循幾何布朗運動(2.2.1)式，當公司價值

觸碰到最低違約門檻則公司發生違約。Black and Cox (1976)假設一個常數違約門檻 檻通常由外生決定。Kim, Ramaswamy and Sundaresan (1993) 和 Longstaff and Schwartz (1995)假設違約門檻為固定常數 K。Black and Cox (1976)考慮違約門檻 會依時間 變動，以無風險利率對債券面額折現而得。Briys and de Varenne (1997)考慮隨機利率的 模型，同時違約門檻也為隨機變動。Hsu, Saá-Requejo and Santa-Clara (2004)以公司的償 債比率來評價違約風險債券，模型定義償債比率為 違約門檻使得股東權益極大化(Mello and Parsons (1992), Nielsenet al. (1993), Leland (1994), Anderson and Sundaresan (1996), Leland and Toft(1996), Mella-Barral and Perraudin (1997), and François and Morellec (2004))。

文獻上模型對於利率的描述，考慮隨機利率與資產價值變動相關性加以描述違約狀 況如何受利率變動影響，違約門檻的設定也由於隨機利率的影響，表示與零息債券有關 的隨機過程。Nielsen et al.(1993) and Longstaff and Schwartz (1995)同時考慮資產價值 (2.3.3)式與 Vasicek 利率模型(2.3.4)式：

1

( ) ( ) ( )

( )

^A

dA t r t dt dW t

A t = + σ 

(2.3.3) (2.3.4)

其中布朗運動

( ) ( ( )) _r 3( ) dr t = a b−r t dt+σ dW t

2

3( ) 1( ) 1 ( )

dW t =ρdW t + −ρ dW t

2 ，W t₁( )與W t₂( )為獨立的布朗運動，

ρ表示布朗運動的變動相關性( dW₁( )t dW t₃( )=ρdt)，σ_A為資產波動度，b為利率長期水 準， 為均數復歸率，a σ_r為利率的波動度。Kim, Ramaswamy and Sundaresan (1993)採用 CIR 利率模型：

( ) ( ( )) _r ( ) 3( )

dr t =a b−r t dt+σ r t dW t (2.3.5)

Briys and de Varenne (1997)則為 Hull-While 利率模型：

( ) ( )( ( ) ( )) _r( ) 3( )

dr t =a t b t −r t dt +σ t dW t (2.3.6)

Hsu, Saá-Requejo and Santa-Clara (2004)考慮兩種情況，無風險利率與動態償債比率 ( )

A t

D (衡量違約的指標)無關，以及利率與違約存在相關性的情況，利率則是使用 CIR 模 型，以下為FPM 的整理表。

) 表2.1 FPM 整理

Model Assets Process

Interest Process

1 3 Nielsen et

al.(1993) and Longstaff and Schwartz (1995)

1 Ramaswamy and

Sundaresan

Varenne (1997) ¹

( ) ( ) ( )

Saá-Requejo and

Santa-Clara

( ) r t

第三章 研究方法

EDFPM 以隨機利率均衡模型與資產部分 DFPM(Wan-Pei Du 2007)結合，在數值評 價上資產部分可解決非線性誤差，以及資產發生跳躍不能重合問題，多加模擬利率過 中立機率測度下為Martingale。模型裡，考慮隨機利率 為Vasicek Model：

(3.1.1)

在此定義違約門檻為：K = ⋅α D ; 0≤ ≤ α 1

D：公司負債面額。α :為總體經濟因素(外生變數)，對於債權人保護程度大小。

有了以上參數設定，可以推導出t=0 時零息公司債價值 封閉解(Nielsen et al.(1993) and Longstaff and Schwartz (1995))，利用零息公司債 來算出距到期日T 的信用風險溢酬 (credit spread):

D0

一、創新的數值方法DFPM(Wan-Pei Du 2007)

FPM 評價股東權益價值如同評價 Down-and-Out Barrier Call Option。DFPM 則是考 慮公司資產加入償付公司債及變動的違約門檻，觀察在負債到期日前公司是否發生違

若以 FPM 衡量償還，Roll(1977)將提前償還(股利)先以無風險連續複利折現來做，

Frishling(2002)所提模型與現實不符，DFPM 可做到離散償付公司債。將公司結構視 為股東權益和一筆零息債券組合而成，想要的檢視期L(季，年檢定)，將時間 T(負債 到期日)區分 K 個區段。根據 Bino-Trinomial Tree 找出二元樹與三元樹適合的長度 使樹的節點與門檻結合處理非線性誤差，根據公司的資產負債表在償還負 債、債息時點時公司資產會有跳躍情形發生，負債門檻也隨之改變，再根據Stair Tree 連接三元樹後續並接上二元樹使得收斂數度加快。

, t t′

∆ ∆

建構描述兩變動因子的立體樹首先資產部分保有 DFPM 的優勢，再將樹狀模型 延伸考慮利率變動過程，由於利率為隨機過程，資產利率上漲的機率會因利率變動 而改變，同時也會受到資產與利率變動相關性影響，樹狀模型從一維度延伸資產至 多維度在文獻上有兩大作法：

1. 正交化—將原來具相關性的隨機過程經由正交化讓彼此互相獨立，因此計算聯合機 率時利用獨立特性將機率相乘。

2. Match moment—由於考慮多維度資產，彼此間存在相關性，計算機率必須多加考量 符合相關性以及高階動差。

二、正交化vs. Match moment 1. 正交化

Nelson, Ramaswamy(1990)使用二元樹近似單一風險因子隨機過程。為了延伸至多因 子擴散模型(ex.二因子)，我們利用變數變換將原先兩個具有相關性的資產與利率過程轉 成彼此獨立以及單位波動度的新隨機過程。建造二維度節點重合的二元格子樹，其中表 示資產與利率新的隨機過程則為正交化的結果(兩個隨機過程互相獨立)，最後在經由正 交化變數計算原來資產與利率大小，進而評價違約風險公司債價值。文獻上探討二維度 二元格子樹有Boyle, Evnin and Gibbs(1989), Hilliard, Schwartz and Tucker(1996)考慮二維 對數常態過程，Hull-While(1994a,b 1996),Ho, Stapleton and Subrahmanyam(1995)以及 Peterson, Stapleton and Subrahmanyam(1998)考慮二因子利率期間結構模型。

Acharya, and Carpenter (2002)採用 Kim, Ramaswamy and Sundaresan (1993)的數學模

型架構，公司資產價值為幾何布朗運動，利率為CIR 模型，採用正交化樹狀數值方法探 討信用風險在考慮隨機利率下公司債的評價及避險。正交化的優點在計算機率時較為方 便，只要將獨立的資產與利率機率相乘即可算出聯合的上漲機率；使用2 維度二元樹評 價公司債會存在非線性誤差，所以產生鋸齒狀收斂，如果要考量非線性誤差(圖 3.1)，可 以先將資產的節點與違約門檻結合，再由正交化的獨立隨機過程拼湊利率變動過程。

Two-Dimensional Binomial

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0 200 400 600 800 1000 1200 切割期數

誤差

Two-Dimensional Binomial

圖3.1. 使用 2 維度二元樹計算的公司債價值

X 軸表示 n 為切割期數；Y 軸表示誤差。初始值:到期日 T=1，公司資產 800，無風險 利率5%，公司波動率 0.3，債券面額 400(違約門檻)，誤差:數值模型與理論值的差。

2. Match moment

單一資產的評價在二元樹的模型中，標的物在每個時點有上升和下跌兩種可能，以 離散隨機變數逼近連續模型的平均數與變異數，依照中央極限定理二元樹模型會逼近常 態隨機變數;若是擴展至多維度資產，則需多加機率的限制式，以及資產的相關性，增加 自由度以符合各資產的動差。

在建造二維度的樹狀模型時，資產間存在相關性，所以在計算機率時，在設立資產 與利率分別平均數與變異數的方程式時要多加一條相關係數的機率方程式。文獻上 Pricing Barrier Option in Two Dimensions, Vader Lin 利用 Matching moment 的方式評價兩 標的資產的障礙選擇權，假設S t S t₁( ), ( )₂ 為基本標的資產並服從二維對數常態分配。其

中µⁱ = −r σⁱ²2 為資產報酬瞬時平均數，σ_i²為資產報酬瞬時變異數i=1,2。ρ為資產間變

考慮up-and-out barrier, H₁，針對第一個資產。Ritchken(1995)提出調整的高度

1 1 Binomial Lattice Tree。

Match moment 由調整資產高度方式讓樹的節點與門檻結合，但在計算機率時必須

第三節 結合 DFPM 連結隨機利率架構 Two-dimensional Lattice Tree, EDFPM

1. 機率的計算：個別計算資產與利率，二元樹+Vasicek 機率求算，以及三元樹+Vasicek 機率求算。

隨機利率則為Vasicek Model(1977)： 節點與違約門檻結合有效地減少非線性誤差，X0與B中間以三元樹 +Vasicek機率(3×2)，

三元乘二元的立體樹接上(立體的角度)，並由點B先計算每期最大值，再由最大值減

2 ∆ 倍數求出所有格子點資產價值，我們由表 3.2 整理資產(X)變動高度情形。 t

X0

A B C

Default Barrier L

圖3.2 DFPM 資產圖

圖3.3 立體樹投影至資產平面 BTT 示意圖

起始點X0用三元樹接上點B ( ˆµ)，使得後續展出的二元樹結點可以剛好落在違約門檻L；

(中間B)，

ˆ _t t

β µ µ= − ⁺∆ α β= +2 ∆ ，t γ β= −2 ∆ ，其中 ˆt µ為B點的資產(報酬)價值。

表3.2 X 上漲高度

表3.3 二元樹+Vasicek 聯合上漲機率

所以將X 與 Y 的機率相乘後聯合機率為：

Default Barrier

圖 3.6 No Jump EDFPM 立體示意圖

第四章 模型模擬數值結果方析與財務議題探討

利率變動會影響金融機構收益與成本，顯然利率成為衡量信用風險時重要的因子，

金融機構的資產負債表中收益來自於資產，成本來自於負債，收益與成本均受利率變動 影響，因此模型多延伸考量隨機利率，並且衡量利率變動對於不同類型金融機構信用險 的影響，信用風險溢酬會受利率風險增加或減少，取決於利率與公司資產變動的相關 性，以下點簡單舉例不同資產利率變動的相關係數所屬之金融機構。

1. ρ=0：公司資產變動不受利率變動影響。例如:証券業主要收益是自營、經營與承銷 業務，因此與利率變化關聯度較低。

2. ρ>0：資產與利率變動呈正相關。例如:保險公司的資產以收取保費為主，負債為未 來保單理賠，其資產存續期間大多小於負債，當短期利率下跌，不僅面臨再投資風 險，且資產上升降幅度小於資產上升幅度導致淨資產縮水，保單定價和投資型連結 利率保單都與利率有關，須考量利率風險。

3. ρ<0：資產與利率變動呈負相關。例如:銀行資產(放款)存續期間大於負債(存款)的存 續期間，當市場短利上升資產下降程度大於負債下降程度導致淨資產縮水，且支付 的利息費用上升(負債上升)，使得違約可能性增加；銀行於資金應用方面通常將存戶 的錢進行債券投資，當短利上升債券價值下降，使得資產減少償能力降低，因而增 加違約可能性。

以下章節以EDFPM 進行模型比較，並於隨機利率下探討財務參數變動以及不同資產利 率變動相關係數於不同利率期間結構下對於信用風險之影響，最後考慮資產發生跳躍以 及因提前償還負債的變動違約門檻情形。

第一節 模型比較

首先描述 EDFPM 模擬特殊模型情況，接著考慮隨機利率下，比較 Merton、FPM、

EDFPM 的信用風險溢酬期間結構。

一、EDFPM 以連續時間監視公司

EDFPM 可以連續時間監視公司，或是採用離散監視方式，我們知道實際 Merton 模 型只在負債到期日監視公司，對於債權人沒有足夠保障；而 FPM 無時無刻監視公司狀 況也與實際不符，EDFPM 為 DFPM 延伸至隨機利率的模型，當 EDFPM 將隨機利率設

EDFPM 可以連續時間監視公司，或是採用離散監視方式，我們知道實際 Merton 模 型只在負債到期日監視公司，對於債權人沒有足夠保障；而 FPM 無時無刻監視公司狀 況也與實際不符，EDFPM 為 DFPM 延伸至隨機利率的模型，當 EDFPM 將隨機利率設

在文檔中 隨機利率下信用風險之衡量—使用創新之立體樹狀模型 (頁 13-0)