馬可夫鏈蒙地卡羅法

在一個大地工程現地調查中往往無法取得大量有用的資訊，只能對相對稀少的 資料進行分析，然而該如何利用少量的訊息推測所關心的議題的全貌就成了大地工 程中十分重要的研究課題。馬可夫鏈蒙地卡羅法 (Markov chain Monte Carlo, MCMC) 是一套廣義的方法論，其中Metropolis-Hastings algorithm (MH; Metroplis et al., 1953;

Hastings 1970; Beck and Au, 2002) 為最常被使用的演算法，因為 MH 操作相對其他 方法容易，且不需而外計算證據機率 (evidence) 就能進行估計，透過這個方法能在 即使已知資料量較少的情況下，依然可以從所關心的機率密度分布函數取得樣本，

其估計樣本的步驟簡述如下：

1. 決定初始值 θ0。

2. 從提議分布函數 (proposal distribution) 取出候選樣本 θC，並計算r：

r =f(x₁, x₂, ⋯ , x_n|θ_c)

f(x₁, x₂, ⋯ , x_n|θ₀) 2-29 其中提議分布函數可依據不同情況由使用者自行定義。

3. θC有 min(1,r)的機率被接受成為 θ1，若θc被拒絕，則 θ1=θ0。 4. 重複步驟2 到 3，直到取到足夠的樣本數量。

步驟2 中的提議分布較常採用聯合常態分布，其平均值向量為前一階段的樣本

除了提議分布選擇的問題外，MH 還有 burn-in period 以及收斂性的問題，burn-in period 是從初始狀態到穩態的過程中會有一段不屬於目標機率分布樣本的區段，

由於此區段的樣本與目標樣本相關信極低，所以需要剔除，至於要剔除多少樣本也 都是由使用者自行決定。而要有多少馬可夫鏈樣本才足以表達目標樣本的問題則為 收斂性的問題，由於馬可夫鏈相鄰的樣本相關性往往較高，獨立樣本數較少，在樣 本數較少時難以確定這樣樣本是有有足夠的代表性。

2.8 漸進式馬可夫鏈蒙地卡羅法

至於提議分布仍採用聯合常態分布函數，但是在TMCMC 中，共變異數矩陣會

TMCMC 使用流程：

第三章 研究方法

本研究以已知的參數分別模擬空間中的趨勢項t 以及平均值為零的震盪項，趨

勢項t 的模擬會先假設已知基函數以及其對應的權重 w，例如：以 shifted Legendred polynomial 的第 0 項與第 1 項，權重分別為 100 跟 50。這樣可以模擬出一條一次線 性的方程式。零均震盪項的模擬則先假設已知的隨機場參數來進行模擬，最後將兩 項相加即可得到一個趨勢接近一次函數的空間分布資料。

第一步先透過SBL 的方法選出所需要的基函數，並觀察所選擇的基函數是否跟

一開始假設的相同，接下來將被選到的基函數帶入第二步的貝氏分析，以TMCMC

估計隨機場的參數樣本，並檢視估計出來的參數樣本是否包含一開始假設的真實參 數。

本章節將詳細說明資料如何模擬，Step1 如何利用 SBL 來決定基函數並說明三 維空間的計算問題，Step2 的 TMCMC 取樣，以及不同型態的基函數的影響，最後 如何利用step2 取得的趨勢與參數建立隨機場模型 (3.5)。