Baytown, Texas

此案例地點位於美國德州貝敦 (Baytown, Texas)，Stuedlein et al. (2012) 在此進 行基腳載重試驗 (footing load test) ，並施作了 5 孔 SPT 與 9 孔的 CPT，圖 4-20 中 CPT-1 ~ CPT-3 以及 CPT-F1 ~ CPT-F6 為施作 CPT 的位置，並利用 qt進行垂直與水

平方向的隨機場研究，從圖4-21 中的可以看出兩層黏土之間夾了一層砂土層，而圖

4-22 為 9 孔的 qt空間分布資料，可以看出除了中間的CPT-1 ~ CPT-3 之外，其餘的 CPT-F1 ~ CPT-F6 在地下 6 公尺以下的的深度並沒有 qt資料，故本研究將此案例分 成兩部分進行分析，上半部扣除表層黏土後分析深度從0.9 公尺到 3.2 公尺，厚度為 2.3 公尺，資料間距為 0.02 公尺，並考慮全部鑽孔的 qt空間分布資料，如圖4-23。

下半部分則考慮深度5.4 公尺到 15.32 公尺，厚度為 9.92 公尺，資料間距 0.02 公尺，

且只考慮中間CPT-1 ~ CPT-3 三孔的 qt空間分布資料，如圖4-24，再分別以不同形 態的基函數 (shifted Legendre polynomial, discrete cosine basis, radial basis function) 判 斷整個空間中的趨勢函數，並進一步以step2 的結果建立隨機場模型。

表 4-2 土壤各層 N 值與 qt資料 (Stuedlein et al., 2012)

圖 4-20 案例地點之佈孔位置圖 (Stuedlein et al., 2012)

圖 4-21 案例地點沿 A-A’之剖面圖 (Stuedlein et al., 2012)

圖 4-22 案例地點 qt空間分布資料

圖 4-23 上半部 qt空間分布資料

圖 4-24 下半部 qt空間分布資料

4.2.1 Step1 分析結果

4.2.1.1 Upper step1 分析結果

以上半部分0.9 公尺到 3.2 公尺之黏土 qt空間分布資料分別以 shifted Legendre polynomial, discrete cosine basis, radial basis function 為基函數進行 step1 的分析，步 驟4 的最佳化過程為了避免數值問題，分別假設 δv, δh, νv, νh的上下界：

以shifted Legendre polynomial 為基函數時，跟 Hollywood 的案例相同，x 方向、

y 方向、z 方向分別各以 10 個基函數進行擬合，共有 1000 種組合 (mx, my, mz) = (10, 10, 10)，並將 x 方向與 y 方向合併成水平方向 (mh = 100)。最後 step1 估計出來的樣 本標準差σ = 0.41，並以判別式 sk > 50%選出sk所對應的Φk，在這裡Φ0及Φ1滿 足此條件，分別對應到 (Φh,0, Φz,0) 與 (Φh,0, Φz,1)，表示水平方向趨勢項為常數，而

垂直方向趨勢為一次函數，所對應到的權重w = (1.28, 0.29)。

4.2.1.2 Lower step1 分析結果

以CPT-1 ~ CPT-3 下半部分 5.4 公尺到 15.32 公尺之黏土 qt空間分布資料分別以 shifted Legendre polynomial, discrete cosine basis, radial basis function 為基函數進行 step1 的分析，shifted Legendre polynomial 及 discrete cosine basis 的參數上下界皆與 上半部相同，基函數為 radial basis function 時，需預先假設一組水平方向與垂直方 向的關聯性長度，在這裡假設垂直方向關聯性長度 δz = 0.6 公尺，水平方向關聯性 長度δh = 1 公尺，則垂直方向 radial basis function 的標準差 σr,z = SOFz×dz，水平方 向radial basis function 的標準差 σr,h = SOFh×dh，並將 dz 和 dh 一起加入步驟 4 的最 佳化過程中，上下界假設也與上半部分相同。

以shifted Legendre polynomial 為基函數時，x 方向、y 方向、z 方向分別各以 10 個基函數進行擬合，共有1000 種組合 (mx, my, mz) = (10, 10, 10)。最後 step1 估計出

以radial basis 為基函數時，x 方向、y 方向、z 方向的基函數個數由該方向的關 聯性長度決定，此案例z 方向長度 9.9 公尺，x 座標均相同所以長度為 0 公尺，y 方 向長度約17.1 公尺，在這裡假設垂直方向關聯性長度 SOFz = 0.6 公尺，水平方向關 聯性長度SOFh = 1 公尺，故 x 方向、y 方向、z 方向的基函數分別為 (mx, my, mz) = (1, 9, 20)，共有 180 種組合，最後 step1 估計出來的 dz = 5.44，dh = 8.87，也就是說 垂直方向的基函數是由20 個標準差為 5.440.6 = 3.26 的常態分布形式組成，水平方 向的基函數則是由9 個標準差為 8.871 = 8.87 的常態分布形式組成，樣本標準差 σ

= 0.21，並以判別式 sk > 50%選出sk所對應的Φk，在這裡Φ0、Φ15、Φ16、Φ160、 Φ163、Φ174滿足此條件，分別對應到 (Φh,0, Φz,0)、(Φh,0, Φz,15)、(Φh,0, Φz,16)、(Φh,8, Φz,0)、

(Φh,8, Φz,3)、(Φh,8, Φz,14)，所對應到的權重 w = (0.42, 0.34, 0.73, 0.71, 0.30, 1.12)。

表 4-4 Baytown upper step1 基函數選擇結果

(mx, my, mz) σ Φ w SOFz SOFh dz dh

Legendre (10, 10, 10) 0.23 Φ0 Φ1 Φ3 Φ401 Φ940 2.16,0.22,0.14,0.12,0.12 - - - - cosine (3, 3, 10) 0.23 Φ0 Φ1 Φ3 Φ80 20.1,0.33,0.14,0.14 - - - -

radial (1, 9, 20) 0.21 同上文共6 個 同上文共6 個 0.3 2 5.44 8.87

4.2.2 Step2 分析結果

根據step1 上半部分與下半部分的分析結果以 TMCMC 的方法對後驗機率密度 函數f(lnσ, lnδv, lnδh, lnνv, lnνh|Y, M’)進行 2000 次的取樣，並分別假設 σ, δv, δh, νv, νh

的先驗分布為均佈分布：

lnσ ∈ [ln(0.1) , ln(100)]

lnδ_𝑣 ∈ [ln(0.01) , ln(20)]

lnδ_ℎ ∈ [ln(0.1) , ln(100)]

lnν_𝑣 ∈ [ln(0.2) , ln(10)]

lnν_ℎ ∈ [ln(0.2) , ln(10)]

4.2.2.1 Upper step2 分析結果

以shifted Legendre polynomial 為基函數時，取樣結果如圖 4-25 到圖 4-28，標準 差σ 大約 0.35 到 0.5，垂直方向的關聯性長度 δv大約0.4 公尺到 0.6 公尺，垂直方 向平滑性參數νv大約1.2 到 1.35，水平方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh從分布圖 來看並沒有估準，計算出來的模型證據 (evidence) 為 2.495×10³。估計出的空間中的 趨勢函數，如圖4-29，圖中所畫的趨勢是模擬 2000 組趨勢函數之中位數，垂直方向 為一次式，水平方向則判斷為常數，整體模擬結果還可以接受，但因為水平方向被 判斷為常數，所以其中CPT-3 孔有明顯的偏差。

圖 4-25 TMCMC 取樣的 σ 分布

圖 4-26 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δv與平滑性參數νv分布

圖 4-27 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh分布

圖 4-28 TMCMC 取樣分布

圖 4-29 以 shifted Legendre polynomial 擬合的趨勢

以discrete cosine basis 為基函數時，取樣結果如圖 4-30 到圖 4-33，標準差 σ 大 約0.32 到 0.45，垂直方向的關聯性長度 δv大約0.35 公尺到 0.55 公尺，垂直方向平 滑性參數νv大約1.2 到 1.4，水平方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh則一樣沒有估 準，計算出來的模型證據為2.487×10³。估計出的空間中的趨勢函數如圖4-34，圖中 所畫的趨勢是模擬的2000 組趨勢函數之中位數。

圖 4-30 TMCMC 取樣的 σ 分布

圖 4-31 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δv與平滑性參數νv分布

圖 4-32 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh分布

圖 4-33 TMCMC 取樣分布

圖 4-34 以 discrete cosine basis 擬合的趨勢

以radial basis 為基函數時，取樣結果如圖 4-35 到圖 4-38，標準差 σ 大約 0.25 到0.4，垂直方向的關聯性長度 δv大約0.27 公尺到 0.45 公尺，垂直方向平滑性參數 νv大約 1.2 到 1.4，水平方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh則沒有估準，計算出來 的模型證據為2.358×10³。估計出的空間中的趨勢函數如圖4-39，圖中所畫的黑色實

線是模擬的2000 組趨勢函數之中位數。由於選到的基函數較多，模型證據的分數來

看radial basis 較前面兩種基函數低，但就單一孔位來看擬合的較好。

圖 4-35 TMCMC 取樣的 σ 分布

圖 4-36 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δv與平滑性參數νv分布

圖 4-37 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh分布

圖 4-38 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δv與平滑性參數νv分布

圖 4-39 以 radial basis function 擬合的趨勢

4.2.2.2 Lower step2 分析結果

以shifted Legendre polynomial 為基函數時，取樣結果如圖 4-40 到圖 4-43，標準 差σ 大約 0.2 到 0.27，垂直方向的關聯性長度 δv大約0.22 公尺到 0.31 公尺，垂直 方向平滑性參數νv大約1 到 1.25，水平方向關聯性長度 δh與平滑性參數 νh從分布 圖來看並沒有估準，計算出來的模型證據 (evidence) 為 3.239×10³。估計出的空間中 的趨勢函數如圖4-44，圖中所畫的趨勢是模擬的 2000 組趨勢函數之中位數。

圖 4-40 TMCMC 取樣的 σ 分布

圖 4-41 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δv與平滑性參數νv分布

圖 4-42 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh分布

圖 4-43 TMCMC 取樣分布

圖 4-44 以 shifted Legendre polynomial 擬合的趨勢

以discrete cosine basis 為基函數時，取樣結果如圖 4-45 到圖 4-48，標準差 σ 大 約0.21 到 0.26，垂直方向的關聯性長度 δv大約0.22 公尺到 0.31 公尺，垂直方向平 滑性參數νv大約1 到 1.25，水平方向關聯性長度 δh與平滑性參數 νh則一樣沒有估 準，計算出來的模型證據為3.263×10³。估計出的空間中的趨勢函數如圖4-49，圖中 所畫的趨勢是模擬的2000 組趨勢函數之中位數。

圖 4-45 TMCMC 取樣的 σ 分布

圖 4-46 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δv與平滑性參數νv分布

圖 4-47 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh分布

圖 4-48 TMCMC 取樣分布

圖 4-49 以 discrete cosine basis 擬合的趨勢

以radial basis 為基函數時，取樣結果如圖 4-50 到圖 4-53，標準差 σ 大約 0.18 到0.24，垂直方向的關聯性長度 δv大約0.2 公尺到 0.25 公尺，垂直方向平滑性參數 νv大約 1.1 到 1.3，水平方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh則沒有估準，計算出來 的模型證據為 3.266×10³。估計出的空間中的趨勢函數如圖 4-54 圖中所畫的趨勢是 模擬的2000 組趨勢函數之中位數。

圖 4-50 TMCMC 取樣的 σ 分布

圖 4-51 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δv與平滑性參數νv分布

圖 4-52 TMCMC 取樣的垂直方向關聯性長度 δh與平滑性參數νh分布

圖 4-53 TMCMC 取樣分布

圖 4-54 以 radial basis function 擬合的趨勢

4.2.3 Step3 模擬結果

透過step2 的趨勢函數擬合與 TMCMC 的取樣已經獲得 2000 組 t(x, y, z) 與 (σ, δv, δh, νv, νh) 的樣本，而每一組的樣本透過 3.5 節公式 3-42 就能建立具有關聯性的 隨機場，以此案例下半部分為例，並以任意一組radial basis 所擬合的趨勢 t(x, y, z) 與參數 (σ, δv, δh, νv, νh) 進行模擬，圖 4-55 為一組具聯性隨機場空間分布資料，黑 色實線為真實的現地鑽探資料，當隨機場位置與鑽孔位置相同時，隨機場資料將與 鑽探資料完全一致，相鄰位置則會依 (σ, δv, δh, νv, νh) 等關聯性參數進行模擬。

圖4-55 Baytown 下半部分隨機場空間分布資料