西元 1996 年，S.Y. Lin 等人[11]發現利用光子能隙(PBG)材質的特殊性質，
可 以 製 造 出 一 個 具 有 高 度 色 散 性 質 的 稜 鏡 ， 而 這 也 開 啟 了 異 常 折 射 (ultra-refraction)的研究。
4-1 PGB 材質所具有的特性
PBG 材質所具有的性質，就是在某些特定頻率範圍(或特定波長範圍)之下的 電磁波，沒有辦法在此一材質中傳播、也不被這個材質所吸收，這個頻率範圍就 稱做光能隙(photonic bandgap)。
圖 4-1、光子在 (a)真空中及 (b)(c)週期分佈的材質中的能量色散關係圖 (dispersion relation)。
圖 4-1 說明了當光子在真空中傳播時，並不會在某個頻率範圍內產生能隙；但是 當光子在週期分佈的材質中傳播時，便會受到週期位勢的影嚮而產生能隙，導致 某些頻率範圍內的電磁波無法在這個材質裡傳播。
(a) (b) (c)
同時，由圖 4-2 的色散關係(dispersion relation)可以看出，在特定的頻 率之下，也就是能隙的兩端，所等效的折射率可以相差到 30~40%，如圖 4-2 所 示：
圖 4-2、(a)PGB 材料的色散關係圖(dispersion relation)，圖中指出了色散關係線性 及非線性的區域 (b)等效折射率neff 與頻率 f 的關係[11]
4-2 B. Gralak 等人的工作
西元 2000 年，B. Gralak 等人利用光子晶體(photonic crystal)產生異常折 射(ultra-refraction)的現象，雖然這篇文章中所發表的是模擬結果，但不同於 以往的是，他們將光子晶體的結構和光柵做了一個比對。圖 4-3 為 Gralak 所使 用的結構：
向為週期排列的圓柱，週期為 d ；y 方向則是有限的，一共有 N 層(在此例中 N=3)。[11]
在這個結構中，Gralak 等人利用圓柱在空氣中週期排列，造成折射率的週期性 變化，構成一個具有光能隙的材質；但另一方面，也可將這個結構視為一個光柵。
在模擬系統中，設定柱狀材質折射率為 3、半徑 0.475、d=1.27，結構週期 常數 Δx=0、Δy=d，經由模擬可以得到此結構的色散關係(dispersion relation) 及固定頻率下的色散圖(constant-frequency dispersion diagram)，如圖 4-4 所示：
圖 4-4、(a)立體空間的三維色散關係圖，水平平面為波向量 k，垂直軸為頻率 (b)固定 波長之下(λ=2.545)的色散關係圖；以及固定波向量 kx的條件之下，能量流動 的方向(如圖中箭號所標示之方向)。[11]
(a) (b)
由圖 4-4(b)的觀念，我們可以知道，如果使kx −ky平面所產生的圖形愈接近 圓形且圓形愈小，則有指向性發射(directive emission)的現象發生；若圖形愈 接近圓形，則代表材質愈具有各向同性(isotropic)的性質；而圓形愈小，則kx愈 小，因而發散角度愈小，愈具有方向性。因此，他們更進一步的比較不同波長之 下的kx −ky圖形，如圖 4-5 所示：
圖 4-5、不同波長下的kx −ky關係圖，波長分別為 2.55 及 2.56 [11]
2 2 0 2 2
eff y
x k k n
k + =
由 4-1 式可以知道，當波長為 2.56 時，折射率為 0.086。
在他們的工作中，成功的模擬了異常折射的現象，結果如圖 4-6 所示：
(4-1)
圖 4-6、模擬場型的場強度分佈圖，其中所使用的結構為 67 x 9 個圓柱所組合而成入 射波的入射角為 6.4 度。在上層的交界面處因為反射波與入射波的干涉，而產 生了駐波。[11]
4-3 異常折射現象的理論及實驗發展
如同其他許多的研究論文[12]所指出的一個特性，也就是當入射電磁波的波 長遠大於結構的週期時，材料就愈可能呈現出各向同性(isotropic)的性質。同 年，也有一篇類似的文章在 Journal of Applied Physics 刊出[13]，主要是將 這個結構應用在天線傳輸上。比較不一樣的地方是，他們利用相同的結構來製造 一個共振腔，所以當點源放置在結構內時，利用共振腔的效應，使發射出去的光 達到高效率與高方向性。
4-4 小結
在此之前，異常折射的現象大都是考慮 PBG 材料所造成的特殊能帶分佈產生 的結果，或是利用共振腔的效應來達到指向性發射的目的，而對於折射率，或者 說對於介電常數 ε 及磁導係數 μ 並沒有很直接的關聯。直到 2002 年，S. Enoch 在 Physics Review Letters 期刊上發表了一篇文章：＂A meta-material for directive emission＂[14]，在這篇論文中，第一次引入了電漿頻率(plasma frequency)的觀念，這個想法是有別於光子晶體的解釋觀點，而與 J. B. Pendry 最初的論點是一致的。