讓我們嘗試把前四章的討論來一個較有系統的總結，為了 有效地做這件工作，先引入以下的輔助術語：
「事件 A 不發生」是一個事件，記作
A
。「事件 A 和事件 B 之中至少有一個發生」是一個事件，
記作 A
B。「事件 A 和事件 B 同時發生」是一個事件，記作 A
B。如果你們熟悉集合論（Set Theory）的語言，便知道為什 麼我們用以上的符號。如果你們不熟悉集合論的語言也不打 緊，下面我們會以圖解輔助敘述的。我們可以把一切可能發生 的結果用一個集合（Set）S 來表示，S 的元素（Element）就是 那些可能發生的結果，S 就叫做「樣本空間」（Sample Space）。
如果你沒有聽過集合這字眼，不妨把 S 看作是一個長方形，長 方形內的一點代表一個可能發生的結果，碰到只有有限個可能 發生的結果的情形，便只考慮長方形內有限個點。一個事件，
是由某些結果組成，所以它是 S 的一個子集（Subset）A。利用 圖解，A 就是長方形 S 的一部份（見圖 5.1）。不難見到，事
圖 5.1
件
A
就是 A 在 S 的餘集（Complement），事件 A
B 就是 A和 B 的並集（Union），事件 A
B 就是 A 和 B 的交集（Inter section）。利用圖解，便如下圖所示（見圖 5.2）。圖 5.2
讓我們再用第二章的例子來說明吧。袋裏有兩個黑球和一 個白球，隨意地抽一個，放回袋裏，再隨意抽一個。A 是「第 一次抽着白球」這事件，B 是「第二次抽着黑球」這事件。我 們可以這樣選取樣本空聞，考慮所有數偶（a, b），其中 a 是 1、
2 或 3，代表第一次抽着的球的號碼，b 也是 1、2 或 3，代表第 二次抽着的球的號碼（記得 1 號和 2 號是黑球，3 是白球）。
這 9 個數偶，組成樣本空間 S（見圖 5.3），它的元素便是 S1 = (1, 1)、S2 = (2, 1)、S3 = (3, 1)、S4 = (1, 2)、S5 = (2, 2)、S6 = (3, 2)、
S7 = (1, 3)、S8 = (2, 3)、S9 = (3, 3)。A 是由 S3、S6、S9組成的子 集，B 是由 S1、S2、S3、S4、S5、S6組成的子集（見圖 5.3）。
所以
A
={S1、S2、S4、S5、S7、S8}，A
B={S1、S2、S3、S4、 S5、S6、S9}，A
B={S3、S6}。如果事件 A 和事件 B 不能同時發生，它們叫做互不相容的
（Mutually Exclusive）。用集合論的語言，就是說 A
B 是空 集（Empty Set），空集代表一個不可能事件。更一般地，如果 若干個事件中任何兩個都是互不相容的，它們就叫做互不相容 的。如果若干個事件中至少有一個會發生，它們構成完備群（Complete System），用集合論的語言，就是說它們的並集是 S。經常碰到構成完備群而又互不相容的若干個事件，我們把 它們稱為基本事件（Simple Event），比方在上面的例子，S1、 S2、S3、S4、S5、S6、S7、S8、S9，便是基本事件了。
我們也可以換另一個樣本空間來描述同一個情況的，這次 S 只有四個元素，就是 ww、wb、bw、bb。每一個表示兩次抽 球的結果，頭一個字母表示第一次抽着的球的顏色（w 代表白，
b 代表黑），尾一個字母表示第二次抽着的球的顏色。這樣的 話，A 就是由 ww 和 wb 組成的子集，B 就是由 wb 和 bb 組成 的子集（見圖 5.4）。所以，
A
=﹛bb, bw﹜，A
B =﹛bb, wb, ww﹜，A
B =﹛wb﹜。圖 5.3
圖 5.4
現在輪到最具關鍵性的步驟了，就是有了樣本空間後怎樣 給每個事件賦予適當的概率，以反映這個數學模型意圖表達的 客觀情況。關於這一點的討論，涉及層面較深刻，而且也不純 粹是數學上的問題，所以不打算在這樣的一本小書裏談論，在 這裏我們只打算討論事件概率的一些性質，瞭解這些性質便足 以明白這章要談的例子。既然這些性質是客觀事實的數學描 述，也就不難接受的。基本性質只有三點：
（1）事件 A 的概率是個 0 至 1 之間的實數，就是說 0 ≤ P( A ) ≤ 1。
（2）事件 S 肯定發生，就是說 P( S ) = 1。
（3）兩個互不相容的事件的概率等於每個事件的概率的和，就 是說當 A
B 是空集時，P( A
B ) = P( A ) + P( B )。特別地，P( A ) + P(
A
) = 1。更一般地，如果 A1、···、An是 n 個互不相 容的事件，那麼 P( A1
…
An ) = P( A1 ) +…+ P( An )。所以，如果 A1、···、An是基本事件，便有 P( A1 ) + …+ P( An ) = 1。
（註）
靠以上的性質，我們可以計算不少有關概率的問題。讓我 們再看一次前面的袋和球吧，樣本空間由 9 個數偶 S1、…、S9
組成。容易明白，只要我們給每個 Si賦予概率，任何事件的概
率便可以由（3）得到。客觀上我們知道每個 Si 發生的可能性 是相同的，所以我們給每個 Si賦予相同的概率，但因為 S1、···、
S9是基本事件，它們的概率加起來等於 1，所以每個 P( Si )等於
1/9。A 是由 3 個基本事件組成，所以 P( A ) = 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3。 B 是由 6 個基本事件組成，所以 P( B ) = 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 +
1/9 = 2/3。更一般的情形是這樣，假如一切可能發生的結果可以 用 N 個等可能性的基本事件表示，而其中 M 個基本事件的發生 導致事件 A 的發生，（用集合論的語言，說得較為明確，就是 這 M 個事件的並集是 A），那麼 A 的概率 P( A )等於 M／N。
當然，這就是在第二章介紹過的概率古典定義了。
你們必須留意，如何對事件賦予概率是十分重要的一步，
在第三章我們已經通過例子說明這點。比方如果我們換了用
｛ww, wb, bw, bb｝這個樣本空間來描述同樣的情況，是否也賦 予 P( ww ) = P( wb ) = P( bw ) = P( bb )= 1/4呢？ 按照先前的模 型，ww 其實是由（3, 3）組成，所以應該 P( ww ) = 1/9。wb 是 由（3, 1）和（3, 2）組成，所以應該 P( wb ) = 2/9 。同樣道理，
P( bw ) = 2/9，P( bb ) = 4/9。因此，在這個樣本空間裏，四個基 本事件並非是等可能性的，我們不能引用概率古典定義，要是 硬套概率古典定義，給每個基本事件賦予相同的概率，就不能 夠好好地反映客觀情況了。這樣一來，雖然數學上的計算沒有 錯誤，計算出來的結果與實際情況不符。（假如袋裏仍然放兩 個黑球和一個白球，仍然是隨意抽一個，放回去再隨意抽一個，
不過這次球的大小不同，以致某些球比較另一些球更易被抽 着。那麼有可能使 ww、wb、bw、bb 這四個事件變成等可能性 的。你們看完這章後，不妨想一想，算一算，在什麼情況下，
這個會發生呢？）
讓我們回到由 S1、·· ·、S9組成的樣本空間，而每個 P( Si ) 等於 1/9。利用它我們可以計算 P( A
B )，即是「第一次抽着白球和第二次抽着黑球」的概率。當然，在第二章裏，我們已 經計算過，答案是 2/9，在另一個樣本空間裏，這就是 P( wb )，
我們也知道答案是 2/9，但現在我們希望只用基本性質 (1)、(2)、
(3) 和基本事件 Si的概率來尋求答案。要計算 P( A
B )，必須 先引入一個新概念，就是事件間的獨立性（Independence）。從客觀經驗上我們知道有些事件的發生與否，並不影響另一些 事件的發生，反之亦然。例如在上面的例子，第一次抽着白球 抑或黑球並不會影響第二次抽着什麼顏色的球（當然，如果不 把第一次抽着的球放回去便抽第二次，情形便截然不同了）。
我們把這些事件稱為獨立的，對於獨立事件 A 和 B，以下的公 式成立：
P( A
B ) = P( A ) P( B )。要明白箇中道理，最好等待下一章介紹了條件概率之後才再作 詳細解釋，暫時只好請你們先接受它，然後看看怎樣運用它去 計算。回到原來的例子，P( A ) = 1/3，P( B ) = 2/3，A 和 B 是獨 立的，所以 P( A
B ) = 1/3 × 2/3 = 2/9。我們也可以利用它來計算 P( A
B )，這是因為 A
B 也即是 A
C，而 C =A
B（見 圖 5.5）。但 A 和 C 是互不相容的（A 和 B 卻不是，所以我們 才需要加添這一步變換），所以 P( A
B ) = P( A ) + P( C )。圖 5.5
因為 C 和 A
B 也是互不相容的，而 C
( A
B )正好就是 B（見圖 5.5），所以 P( C ) = P( B ) – P(A
B )。把兩式相加，便得到以下公式：
P( A
B ) = P( A ) + P( B ) – P( A
B )。在這個例子裏，P( A