不連續變形分析法之理論背景概述

第三章 DDA 理論架構及應用發展

第三章 DDA 理論架構及應用發展

不連續體分析方法最早是用於節理岩體之分析，由Goodman、Taylor與 Brekke等人(1968)利用節理元素(Joint element)配合有限元素法來模擬岩石解 理之行為，其節理元素假設無厚度，利用彈簧(如正向彈簧、剪力彈簧等)來模擬 節理之力學行為，而後Desai 與Zaman(1984)、Pande與Sharma(1979)等人引進薄 層元素(Thin-layerelement)的概念，薄層元素係利用一極薄之固體元素作為塊 體元素之節理，並在節理中放入彈塑性組合律，以模擬節理滑動與受剪之行為，

由於節理元素及薄層元素的理論限制，兩者均只能模擬小變位且塊體間無法分離 的工程問題。為了解決塊體大變位的問題，Cundall(1971)首先發表了分離元素 法(Distinct Element Method，以下簡稱DEM)， 利用力法(Force method)解決 了 此 問 題 ， 而 後 石 根 華 (1984) 提 出 了 不 連 續 變 形 分 析 法 (Discontinuous Deformation Analysis，以下簡稱DDA)，利用位移法、最小能量法及完整的塊體 運動架構，來處理離散塊體間之接觸碰撞行為及大變位。

第一節 不連續變形分析法之理論背景概述

不連續變形分析法為石根華博士於 1988 年所提出，其基於位移法，利用最 小勢能法之架構，配合自創之塊體運動學理論(block kinematics)所發展出之數 值分析方法。塊體運動學之基本理論如下 : (1) 每一個分析元素(即塊體)均可 平移、旋轉、及分離，(2) 塊體與塊體隨著計算過程自動尋找塊體之接觸位置，

(3) 塊體間需滿足無貫入與無張力之限制條件，故每一時間步長均需進行開閉疊 代運算，(4) 塊體與塊體間接觸點位置以一勁度極高之正向與剪力彈簧模擬接觸 力之傳遞，(5) 任一時間步長均滿足動力平衡(dynamic equilibrium)，(6) 接 觸問題之計算採取懲罰法(penalty method) 。

1. 理論背景

DDA 法係由岩石工程分析之塊體力學所發展，其與目前廣泛使用之有限元素

法(FEM)頗為類似，唯兩種分析法最主要之差異，在於將求解區域離散化後所形 成之元素(element)視為可分離之塊體或連續體之作法有所不同。一般而言，FEM 以元素結點之位移內插函數維持連續體位移之連續性，而元素可發生變形但不可 分離；另者，DDA 則允許塊體元素可變形且可分離，以模擬不連續體之力學行為。

此外，DDA 亦能處理塊體群在離散過程中，各塊體間之接觸碰撞及大變位行為。

不連續變形分析理論最早可回溯至 1984 年之 DDA 反算模式(Backward calculation model)，反算模式將某些非共線固定點所得之觀測位移量及應力狀 態作為輸入資料，再利用最小平方理論反算固定點之位移量直至位移量與其最終 之變形量吻合為止，並求得當時之塊體材料參數。石根華博士於 1988 年提出了 分析二維不連續體力學系統之 DDA 正算模式(Forward calculation model)，正 算模式乃利用最小能量法來進行聯立方程式之組構，進而求解各塊體元素之應 力、位移與變形之數值運算分析方法。若大幅增強塊體間接觸點之聯結彈簧 (coupling spring)之勁度(stiffness)，DDA 亦可對連續體之力學行為作相當近 似的模擬，DDA 之理論架構如圖 3-1 所示。

由於現階段不連續體顆粒分析理論均侷限於圓形或橢圓形顆粒形狀，如 PFC^2D，PFC^3D等程式，其對於顆粒性材料之不規則顆粒形狀之模擬有其限制。而 DDA程式並無顆粒形狀之限制。

第一章 緒 論 第三章 DDA 理論架構及應用發展

Simplex Integration Numerical integration method

Physical boundary (joints,bedding,... etc.)

Physical mesh (Blocks can be any shape )

Penalty method Lagrange multiplier method

Argument L. M. method Contact Problems

Mohr-Coulomb's criterion Joint interface Block Kinematics

( Newton's Second Law ) Energy Method

DDA

圖 3-1 DDA 之理論架構示意圖 2. 不連續變形分析之運算架構

DDA 主要發展之目的是用於模擬岩石塊體系統(Block system)之力學機制，

其理論包含正向與反向模式，同時也具擬靜態與動態分析之能力。DDA 之主要特 點可歸納如下：

(1) 正算與反算計算模式

DDA 理論包含了完整之正算與反算計算模式，其正算模式是將欲模擬之邊界 條件，塊體之材料特性與受力狀況輸入，進而計算出位移與應力狀態。而反算計 算模式則是將對於某固定點所得之觀測位移量及應力狀態當作輸入資料，再利用 最小平方理論反算至吻合其最終之變形量後，而求得塊體之材料參數。

(2) 靜態與動態分析

DDA 具有靜態與動態之分析能力，在動態分析部分，由於 DDA 引入了運動學 中之慣性力，可考慮加速度之作用，故可模擬塊體運動之動態行為，在動態模式 中，其速度為每一時間步長(time step)之累加值。在靜態分析部分，其速度在 每一時間步長均假設為零。

(3) 基於隱式法之推導

在 DDA 中，欲求解之未知量為每一塊體之位移與應變。DDA 同時利用最小能 量法推導組構聯立控制方程式，因此在每一時間步長均需求解聯立方程組，並在 達到總體平衡狀態下，求取每一塊體之未知量，。

(4) 直接法或疊代法求解聯立方程式

由於採用隱式法之推導方式，因此需要求解系統之聯立方程組。DDA 目前可 採用直接法中之高斯消去法或疊代法中之鬆弛疊代法(Successive

Over-Relaxation, SOR)進行求解計算。

(5) 任意時間步長均為平衡狀態

由於 DDA 基本上為一動態分析模式，為滿足塊體間之相互不貫入條件，DDA 發展了開閉疊代運算分析模式，即在每一時間步長，塊體群均滿足塊體間相互不 貫入之平衡狀態，故任意時間步長之運算結果皆在平衡狀態下所求得。

(6) 塊體可為任意形狀

由於 DDA 採用 Simplex 積分，與以往數值積分法之高斯積分不同，其積分不 侷限於固定形狀(如三角形或四邊形)，因 Simplex 積分可對任意形狀作積分，故 在 DDA 之計算中，塊體可為任意形狀。

(7) 可計算大變位問題

因 DDA 引入牛頓第二運動定律及採用 Lagrangian approach，與傳統之有限 元素法侷限於小變位之分析不同，其各個塊體可作大變位之運動而不受限制。

(8) 完整之塊體運動理論

由於 DDA 屬於一處理不連續體運動之數值模式，且必須具備偵測塊體碰撞接 觸狀態之機制，因此 DDA 發展了一套塊體運動理論，利用最先進之入線理論，以 判斷塊體是否處於接觸狀態，再進一步採用此接觸資訊作為塊體開閉疊代運算之 起始輸入資料。綜上所述，DDA 之運算架構可以圖 3-2 表示：

第一章 緒 論 第三章 DDA 理論架構及應用發展

開 始

資 料 輸 入 材 料 參 數 資 料 輸 入 塊 體 幾 何

時 階 運 算

塊 體 接 觸 偵 測

開 閉 疊 代 運 算

系 統 聯 立 方 程 組

( 最 小 勢 能 原 理 推 導 塊 體 之 應 變 , 自 重 , 外 在 荷 重 , 與 接 觸 力 等 子 矩 陣 )

聯 立 方 程 組 求 解

收 斂 判 斷

更 新 塊 體 幾 何 , 速 度 , 與 應 力 狀 態

總 時 階 數

E N D

最 大 容 許 位 移 量 否

否 否

圖 3-2 DDA 之運算架構

3. 不連續變形分析法之理論介紹

第一章 緒 論

(2) 點載重矩陣 遵循莫爾庫侖(Mohr-Coulomb)破壞準則。

F ]i

[ i [k]_i,j

第一章 緒 論

點位移束制

[ ] [ ] [ ][

m p D T T D

= 2

Π

] [ ] [ ] [ ]

T i

ii pT T

K =

(資料來源：整理自 Shi, 1989)

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