在本章中，將以第二章之殼元素及第三章所提的數值程序，分析 圖 4.1 所示之圓柱薄殼受側向集中負載下的變形，以及討論位移負載 偏移、結構的不完美對結構變形的影響。該分析為文獻[23]之實驗的 數值模擬，文獻[23]的實驗中將一長寬比為 2:1 的薄板用夾鉗夾住薄 板的兩個長邊，夾鉗將薄板彎成一圓柱殼，兩夾持邊與水平面夾 20 度角(約 0.3491rad)，然後施加一位移負荷於結構中心，觀察結構變形 的過程。本文分析時採用兩階段的位移負荷來進行數值模擬，在第一 階段中使用三組位移負荷分別為λd、λθ、-λθ，如圖 3.1(a)所示。經 由第一階段的三組位移負荷將一薄板彎成如圖 4.1 的結構。第二階段 則使用一位移負荷λE(如圖 3.1(b))施加於結構中心，模擬如圖 4.1 的 圓柱薄殼中心受到一側向位移負荷後的行為並與文獻[23]的實驗結果 比較。在本章所考慮之結構的幾何及材料性質皆採用文獻[23]中的資 料，其數值分別為長度 L=35cm、寬度 W=17.5 cm、厚度 h=0.35mm，
蒲松比ν =0.4，楊氏係數E=3.8×109Nm−2，並稱其為標準尺寸。本 章除特別聲明外，皆使用標準尺寸並取整體結構來進行分析。
4.1 元素的收斂性與準確性分析
為了解本文中所採用之數值程序的可行性及三角殼元素的準確 性，本節首先分析如圖 4.2(a)所示之圓柱殼，其結構中心受到一位移 負荷λE作用，如圖 4.2(b)。結構的兩個直邊為鉸接，兩個曲邊為自由 邊。本例題分別取(a)整個結構與(b)二分之一的結構進行分析。以整 個結構分析時，將其離散為 200 個三角殼元素(10×10 之網格)，使用 18 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4，平衡迭代的容許誤差值
取1×10−4，挫曲負荷參數λcr=9.481mm；以二分之一的結構分析時，
則將結構離散成 100 個三角殼元素(5×10 之網格)，使用 20 個增量，
每個增量的平均迭代次數約為 4，平衡迭代的容許誤差值取 ，
挫曲負荷參數
10 4
1× − λcr=9.48mm。圖 4.3 是反力-位移負荷參數圖，圖 4.3 中 的 Present (a)是以整個結構分析的結果，Present (b)是以二分之一結構 分析的結果。圖 4.3 中RE為在位移負荷方向之反力，RE及λE相當於 文獻[2]中的力負荷及力負荷方向的位移，由圖 4.3 可見本文的結果與 文獻[2]的結果相當吻合，故本文的數值程序可以準確找出主要平衡路 徑、分歧點及次要路徑。
為了解本文所採用之三角殼元素的收斂性，本節用不同的元素網 格分析如圖 4.1(a)之標準尺寸的完美圓柱薄殼，其中心受到一集中位 移負荷作用。本例題分析時，將一平板分割成 24×48、30×60、40×80 的網格，並以兩階段位移負荷的步驟來分析。圖 3.1(a)(b)為本章例題 中薄殼受到位移負荷的種類，圖 3.1 (a)為第一階段的三組位移負荷參 數λd、λθ與-λθ，其中λθ=λ1(rad)、λd=28.6479λ1(mm)；圖 3.1 (b)為 第二階段的位移負荷參數λE，λE=λ2(mm)。本文中以標準尺寸的薄 板用兩階段位移負荷來分析，並將其視為與文獻[23]中的實驗等效。
文獻[23]實驗中所施加的位移負荷固定在圓柱薄殼正中心的位置，其 容許偏移誤差為 0.1mm，因此本文將第二階段的位移負荷設定在薄殼 正中心的節點(如圖 4.1(b)之 E 點)上，並固定 E 點在 X-Y 平面上位置，
使作用在 E 點的位移負荷不隨著結構變形而偏移。圖 4.4 及圖 4.5 則 分別為用 24×48、30×60、40×80 的網格分析下，所得到第一階段結 構中心(E 點)在 Z 向的位移與負荷參數λθ的關係曲線圖，以及第二階 段結構中心(E 點)在 Z 向的反力與負荷參數λE的關係曲線圖。由圖 4.4 及圖 4.5 的結果可知 24×48 的網格結果已足夠準確。為了讓結構的受
力與變形能有更細部的呈現，本文中以後的例題將一律使用 30×60 的網格來分析。圖 4.6 為第二階段負荷所得到的 E 點之反力-負荷參 數曲線圖(30×60 之網格)與文獻[23]的結果比較，可見本文在極限點 (λE=13.6mm)前的曲線與文獻[23]曲線的趨勢相當接近。
4.2 完美結構的分析
本節分析標準尺寸的殼結構，其尺寸與邊界條件皆為對稱的狀 態，所以為一完美結構。本例題分析過程中第一階段使用 19 個增量，
每個增量的平均迭代次數約為 3，平衡迭代的容許誤差值取 ；
第二階段使用 45 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4，平衡迭
代的容許誤差值取 。
10 5
1× −
10 4
1× −
圖 4.7-圖 4.22 為本例題之結果，圖 4.7 為第一階段下薄板受到三 組位移負荷作用下，結構上 AB 線段(如圖 4.1(b))隨著位移負荷λθ的 變形過程，圖 4.8 為第一階段下結構 CD 線段(如圖 4.1(b))在不同移負 荷λθ下對 E 點的相對位移；圖 4.9-圖 4.11 為第一階段下邊界反力分 布圖，由於第一階段結束後的結構邊界與水平面夾 20 度角，因此定 義邊界座標Y軸方向與總體座標之 Y 軸重合，而右邊邊界(如圖 4.1(b) 之 HI 邊)座標的X、Z軸為總體座標的 X、Z 軸繞 Y 軸順時鐘方向旋 轉 20 度後的位置，左邊邊界(如圖 4.1(b)之 FG 邊)座標的X、Z軸為 總體座標的 X、Z 軸繞 Y 軸逆時鐘方向旋轉 20 度後的位置，如圖 4.1(c)。本文以下之邊界反力皆以結構 HI 邊(如圖 4.1(b))的邊界反力 表示。由圖 4.8 中可發現 CD 線段的兩端產生較大的相對位移，CD 線段並非完全的水平，因此邊界兩端的反力比邊界其他地方明顯，由 圖 4.9 可看到邊界的兩端附近受到拉力外，其餘皆受到壓力。圖 4.12-圖 4.14 為第二階段不同位移負荷λ 下，在邊界所受到的反力圖，由
圖 4.12-圖 4.14 的結果可見完美結構在邊界X、Y、Z三個方向的反 力對邊界中點對稱。邊界反力FX在靠近結構四個端點(如圖 4.1(b)之 F、G、H、I)附近為拉力區且有最大值，邊界其他區域則為壓力區；
若將邊界反力除以結構邊界的斷面積，則邊界端點的X向最大拉應力
可達 4.025 MPa，X向最大壓應力約 0.675MPa，Y向最大應力可達 0.845 MPa。邊界反力FX在邊界中點附近(如圖4.1(b)之A、B點附近) 在λ =4.339mmE 時本來為拉力區，在λ =10.05mmE 之後則轉變為壓力 區。由圖4.15的CD線段變形圖中可觀察到施加於中點的位移負荷λE 造成結構兩個短邊(如圖4.1 (b)之FH、HI邊)翹起，為了抵抗在結構 短邊的翹曲，夾持端在端點(如圖4.1(b)之F、G、H、I)附近產生拉力 來阻止結構從夾鉗中抽離。圖4.16 則為第二階段AB線段在不同位移 負荷下 Z 方向的變形圖。結構之 AB 與 CD 線段(如圖 4.1(b))在 Z 方 向的變形皆對稱結構中點。
圖4.17為第二階段不同位移負荷λE下CD線段(如圖4.1(b))之X 向位移 變化圖，圖u 4.18則為第二階段不同位移負荷λE下AB線段(如 圖4.1(b))之Y向位移 變化圖。由圖v 4.17可發現雖然在λ =12.47mmE 時，接近 C、D 點(如圖 4.1(b))附近的 X 向位移 較其他位移負荷下
相對較大，但是基本上 X向位移 幾乎接近於零，而且位移分布對稱
於E點。圖4.18的結果亦呈現出AB線段之Y向位移 對稱於E點(如 圖4.1(b))，在位移負荷
u u
v
λ =13.67mmE 時有最大值，AB線段之 Y向位 移 大約介於v −4×10−5到3×10−5mm之間；λ =15.08mmE 時位移 分布 則又趨於平緩，此時結構為一波浪狀的薄殼。當初在第二階段分析 中，為了使位移負荷精準的施加於結構中點(E點)，而固定E點在X、 Y上的位置，因此由圖 4.17與圖4.18中可見E點的位移 、 為零。
圖4.19、圖4.20分別為 E點在X與Y 向反力-負荷參數
v
uE vE
λ 的曲線圖，
從圖中可發現在λ =12.47mmE 到極限點(λ =13.64mm)E 之間有較大的 反力產生，由圖4.17、圖4.18可知在λ =12.47mmE 時AB與 CD線段 產生相對較大的位移，而E點的 X、Y 向自由度又被固定，因此在E 點在位移負荷λ =12.47mmE 時產生反力。
圖 4.21(a)-(d)則為第二階段四種不同位移負荷參數下結構整體的 變形圖，圖 4.22 則為不同位移負荷下結構變形的上視圖。由圖 4.22 的(a)-(c)可觀察到 D-cones 在 AB 線段上產生，並且凹陷部分的脊線 圍成一個菱形，菱形區域則隨著位移負荷增加而變大，D-cones 往兩 邊界的中點(如圖 4.1(b)之 C 點、D 點)靠近，直到位移負荷超過極限 點後，結構變成一波浪狀的薄殼，如圖4.22(d)。此結果雖然可觀察到
D-cones 的產生以及結構轉換成波浪狀的變形，但是與文獻[23]的數
值結果一樣，無法觀察到實驗中產生的菱形區域對 E 點旋轉一個角
度，以及菱形區域變成梯型區域這兩種變形現象。
4.3 位移負荷λE偏移
本例題將使用標準尺寸之薄板來測試位移負荷偏離 E 點(如圖
4.1(b))對結構變形的影響，觀察是否產生 4.2 節中提到的兩個未出現
的變形轉換。由於文獻[23]提到其位移負荷的容許偏移誤差在0.1mm
以內，因此本例題測試採用三組偏移距離 分別為偏離 E 點右邊
0.01mm、0.05mm 及 0.1mm，使第二階段的位移負荷 dR
λE作用的位置 產生偏移，其中 E 點的 X 座標原為 92.5mm，偏移後的 X 座標則為 92.51、92.55以及92.6mm，並假設偏移後的位置分別為 、 、 點(如圖4.23(a))，偏移後的位移負荷稱為
E1 E2 E3 λE ′。
圖4.23(b)為 、 及 點反力-負荷參數曲線圖，結果顯示三種
位移負荷偏移的情況與位移負荷不偏移時(
E1 E2 E3
=0
dR )的情況幾乎相
同。圖 4.24 為三種偏移距離下位移負荷施加點的 X 向反力-位移負 荷參數圖，圖 4.25則為三種偏移距離下位移負荷施加點的Y向反力 -位移負荷參數圖，由圖 4.24 及圖 4.25 可知 X 與 Y 向的反力皆在 λ =12.47mmE ′ 附近產生較大的變化。而偏右距離dR ≤0.1mm的整體 結構變形圖在變形為波浪狀之前，亦無觀察到文獻[23]實驗中產生的
菱形區域對 E 點旋轉一個角度，以及菱形區域變成梯型區域這兩種
現象。本文僅顯示 mm 時的結構變形上視圖(圖 4.26)，以及 mm 結構中線 AB、CD 線段(如圖 4.1(b))的位移分布圖(圖 4.27、4.28)。由圖4.27、4.28可知因為位移負荷偏移的關係，CD中 線的 X 向位移較位移負荷不偏移的時候還要來的大，而AB 中線 Y 向位移分布在
1 .
=0 dR
1 .
=0 dR
λ =12.37mmE ′ 之後產生不對稱的分布，但對整體結構 變形的轉換仍無影響。
本文亦測試兩種位移負荷偏移的情況：(1)在 X-Y 平面上偏 E 點 上方 =0.1mm，偏移後的位置稱為 (如圖4.29(a))；(2)偏E點右上 方 =0.1mm，偏移後的位置稱為 (如圖4.30(a))，本文中僅顯示兩 種位移負荷偏移情況的結構在不同位移負荷下的變形上視圖，如圖 4.29(a)、圖4.30(b)，由圖4.30(b)可見結構在位移負荷
dU E4
dRU E5
λ =13.18mmE 的 時候，結構變形凹陷的部份近似一個三角形，但還是與文獻[23]實驗 觀察的結果不同。因此第二階段施加於結構中心的位移負荷λE，其 位置在偏移誤差 0.1mm 的範圍內皆不會產生文獻[23]實驗中觀察到 的菱形區域對中點旋轉一個角度，以及菱形區域變成梯型區域這兩個 變形轉換，但是對於D-cones移動及結構變形還是有影響。
4.4 不完美結構的分析
4.4 不完美結構的分析