第三章 模式構建與求解演算法
3.1.3 數學定式
道佈設方式相關，必須考慮是否有通過重要空間(如路線合併點)，
一般運行節線的起點為折返站，連接若干個必須經過之路線合併 點，抵達另ㄧ端折返站為節線終點。由於列車運行速度相同，因此 同一起迄點對的節線是相互平行。此類節線的流量下限為 0，流量 的上限為1。
(三) 發車與收車節線
收發車節線主要係列車從機廠發出至折返站，或是由折返站收 車回機廠的節線，與運行節線相同，節線流量代表列車在此時空是 否有無通過，節線連接的方式亦與軌道佈設方式相關，同樣必須考 慮是否有通過重要空間(如路線合併點)，一般發車節線的起點為機 廠，連接若干個路線合併點，抵達折返站為節線終點；相反的，收 車節線的起點為折返站，連接若干個路線合併點，抵達機廠為節線 終點。由於列車運行速度相同，因此同一起迄點對的節線是相互平 行。此類節線的流量下限為0，流量的上限為 1。
(四) 停留節線
停留節線依空間地點可分為折返站停留節線與機廠停留節線，
主要係用來表達列車在相同地點但不同時間的時空連結線。機廠停 留節線的流量代表該時空在機廠內所停放之列車數，節線的下限為 0，上限為該機廠之容量；折返站停留節線的流量代表該時空在折返 站月台所滯留之列車數，節線的下限為0，上限為折返站月台容量。
ls 運行同一路線所需要之折返次數；
Hw 捷運系統在時段 t 之法定班距；
tU
c：捷運系統在尖峰時段所需要之列車數(列車需求量最高)；t d u
c
Hw
Tr ls Tn
U
=Tn
+ + * ； (3.1)α ：放鬆法定班距之參數，α ≥0；
t
i：節點i 的時間；Sn ：在第 n 個路線合併點列車所需滿足之安全時間間隔；
Sm ：在第 m 個折返站列車所需滿足之安全時間間隔；
d
1st：首班車發車時間；TSp：虛擬供給節點，代表第p 個機廠所發出之列車數；
TDp：虛擬需求節點，代表第p 個機廠所收回之列車數；
三、集合定義：
N ：所有節點之集合；
M ：所有折返站之集合；
S
m：第m 個折返站所有發車班次之集合；N
m：第m 個折返站所有節點之集合；NJ ：所有路線合併點之集合；
N
n：第n 個路線合併點所有節點之集合；P ：所有機廠之集合；
Np ：第 p 個機廠所有節點之集合；
AK
：由折返站發車的所有節線集合；AD ：時空路網中所有運行節線集合；
本研究參考台北捷運系統實際營運方式，利用數學規劃方式將捷運列車 排班問題定式為一整數規劃問題，數學定式如下：
[ ]
22 1
1 1
2 ) ( )
(
∑ ∑
∈
−
= + − + − + −
=
M m
S
s
m s m s m s m s
m
t t t
t Z
Min (3.2)
ST
=0
−
∑
∑
∈ k∈N t t ki Nj t t ij
i j k
i x
x ∀i∈N (3.3)
j it t ij i m
s
t x
t
= × ∀i
∈N
m,∀ij
∈AK
,∀s
∈S
m, Mm∈
∀ (3.4)
∑
=c P
p
p
U
TD
=−∑
∈ (3.6)p
p
TD
TS
=− ∀p
∈P
(3.7)st
m
d
t
1 = 1 ∀m∈M (3.8)α +
≤
+ − m t
s m
s t Hw
t 1 ∀m∈M ,∀
s
∈S
m (3.9)1
1 1
≤
=
∑ ∑
∑ ∑
= ∈ = ∈ Snt k N
t t ki Sn
t j N
t t ij
i
i k
i
j
i x
x ∀
i
∈N
n,∀n∈NJ (3.10) 10 \
0 \
≤ +
∑ ∑
∑ ∑
= ∈ = ∈ Smt k N N
t t ki Sm
t j N N
t t ij
i m
i k
i m
j
i x
x ∀
i
∈N
m,∀m∈M (3.11)i j k
i i
k tt
i k Tr
i j N
t t ij Tr
i k N
t t
ki x x
x '
1 0 0
1×
≥
−
∑∑
∑∑
−= ∈
= ∈ ∀
i
∈N
m,∀m∈M,∀ 'ki∈AD (3.12) 211
,it+i+ ≤
t i
xi ∀
i
∈N
m,∀m∈M (3.13)p t t
i
i U
xii ≤
≤ ,++11
0 ∀
i
∈N
p,∀p
∈P
(3.14){ }
0,1∈
j it t
x
ij ∀ij
∈AD
(3.15)模式中的目標式如式(3.2)所示，係為兩班距平方差總和最小化，其意義 表示希望列車班距間的變動愈小愈好，將班距差平方的目的除了確保班距相 減後能夠取得正值外，更重要的是突顯班距穩定變化的重要性，期望班距能 夠隨著時間增加以漸變的方式進行調整，而非在短時間內班距大幅變化；式 (3.3)代表列車排程時空網路之流量守恆限制式；式(3.4)係代表節線流量與班 次之間的關係，用以決定第m 個折返站在時間 i 是否有列車班次 s 發出；式 (3.5)代表機廠總共所必須供應之列車數，即為系統尖峰時間所需要的列車 數，計算方式如式(3.1)所示，將列車繞行路線ㄧ周所需時間除上尖峰時間所 必須滿足之班距，即可得到所需要之列車數(若有小數則必須進位取整數)；
式(3.6)代表機廠總共所必須收回之列車數，以保持網路流量守恆；式(3.7)代 表每個機廠都必須遵守列車收發車平衡；式(3.8)代表首班車發車的時間限制 式；式(3.9)代表列車班距必須滿足該時段的法定班距，其中α 可用以調整法 定班距，藉由放鬆法定班距限制以確保產生可行解；式(3.10)代表在路線合併 點的號誌開通時間限制，當列車通過合併點時限制其他列車在未達到開通時 間前不得通過該路線合併點，如圖3.2 所示，模式的設計係使列車流入節點 i 後亦必須從i 點流出以維持流量守恆，在開通時間內其他節點並無流量通過；
式(3.11)代表在折返站的號誌開通時間限制，當列車到達或離開折返站時，限 制其他列車在未達到開通時間前不得進出該折返站，如圖 3.3 所示，模式的 設計係使列車流入折返站m 的節點 i 後，在開通時間內除了同ㄧ折返站停留 節線的流量外，其他折返站時空節點並無流量流入或流出，亦即只考慮到達
列車或離開列車而不考慮停留在月台的列車；式(3.12)係指列車到達折返站之 後，必須在折返站月台停留準備換邊發車，滿足列車折返準備時間之限制式，
列車進出折返站可能情境如圖 3.4~圖 3.8 所示，情境一係月台上無列車而節 點i 有列車進入月台，以圖 3.4 為例，從列車流入開始算起直到滿足折返時間 總計有四個節點，將四個節點流入量(4)加總減去三個節點的流出量(3)必須大 於等於一，如此才能確保列車能有足夠的折返準備時間，而不會先行離開折 返站。其他情境亦是相同推算方式；情境二係月台上無列車且節點 i 無列車 進入月台，此時在折返時間內並無流量進出，因此相減後為零，與情境ㄧ結 果不同；情境三係月台上有列車滯留而且準備離開月台，從節點i 開始算起，
在折返時間內的四個節點的流入量(3)減去三個節點的流出量(3)，相減後為零 與情境二結果相同；情境四係月台上有列車滯留而且準備離開月台，此時節 點 i 有列車進入月台並準備停靠月台，在折返時間內的四個節點流入量(6)加 總減去三個節點的流出量(5)，相減後為一與情境ㄧ結果相同；情境五係月台 上有列車滯留，此時節點 i 有列車進入月台並準備停靠月台，在折返時間內 的四個節點流入量(8)加總減去三個節點的流出量(6)，相減後為二，情境ㄧ結 果相同皆為大於等於一。綜合上述情境，當有列車在時空點i 進入折返站時，
折返時間(Tr)流入量必須大於折返時間(Tr-1)流出量以滿足列車折返準備時 間，因此藉由此結果設計限制式；式(3.13)係代表折返站月台之容量限制式；
式(3.14)係代表機廠容量限制式；式(3.15)係代表所有運行節線之流量限制式。
……
圖3.3 折返站列車開通時間設計示意圖
圖3.4 列車折返準備時間設計示意圖－情境一
Tr 內節點流入-(Tr-1) 內節點流出
= 4 – 3 = 1 節點i
折返站m
折返時間
Tr
Tr-1
圖3.5 列車折返準備時間設計示意圖－情境二
圖3.6 列車折返準備時間設計示意圖－情境三
圖3.7 列車折返準備時間設計示意圖－情境四
Tr 內節點流入-(Tr-1) 內節點流出
= 0 – 0 = 0
Tr 內節點流入-(Tr-1) 內節點流出
= 3 – 3 = 0
Tr 內節點流入-(Tr-1) 內節點流出
= 6 – 5 = 1
圖3.8 列車折返準備時間設計示意圖－情境五