第四章 研究結果
第二節 參數估計的結果
在確認模擬資料符合模式之後，依照先前的實驗設計，進行參數的估算，
並將所得之數據整理如表 5、表 6、表 7、表 8。
表 5、表 6、表 7、表 8 的數值，分別代表當ν6(2) =1、ν6(2)
= 3
、ν6(2)= 5
與ν6(2)= 7
時所得之估計結果，直行代表在不同樣本數下，ML 估算法和 WLS 估算法在 Group1 和 Group2 截距估計值差距、MSE、95%信賴區間的覆蓋率的數值。以表 5 為例，在觀測變項截距值估計方面，Group1 與 Group2 觀測變項 截距估計值差距的範圍介於-0.0051 到 0.0063，當樣本數為 100 時，ML 估算 法所得數值為 0.0004，WLS 估算法所得數值為 0.0063；樣本數為 300 時，ML 估算法所得數值是-0.0046，WLS 估算法所得數值是-0.0051。由表 5 可看出，
ML 估算法或是 WLS 估算法所估計出來的數值都呈現跳動狀態，沒有一定的 規律，大部分的差距也都在 0.005 以下，不同的樣本數所得估計值之差距也沒 有明顯的差別。以 MSE 來說，估算所得的 MSE 值在 0.0011 到 0.0165 之間，
在樣本數為 100 時，使用 ML 估算法所得 MSE 值為 0.0105，WLS 估算法所 得 MSE 值為 0.0165；樣本數為 300 時，ML 估算法所得 MSE 值為 0.0037，
WLS 估算法所得 MSE 值為 0.0041。95%信賴區間的覆蓋率之數值則是介於 0.809 與 0.959 之間，在樣本數為 100 時，ML 估算法所得之數值為 0.955，
WLS 估算法所得之數值為 0.809；樣本數為 300 時，ML 估算法所得之數值為
在圖 10 中，X 軸代表樣本數，Y 軸代表 MSE 值，每一條折線代表不同 的估算法在不同觀測變項截距值下的表現，共有 8 條線。估算所得的 MSE 值 介於 0.0010 到 0.0180。由圖 10 可以看出，在樣本數低於 300 時，MSE 會隨 著樣本數的上升有明顯的下降，而在樣本數過 300 之後，MSE 的下降幅度便 逐漸緩和。在樣本數低於 200 時，ML 估算法的表現是比 WLS 估算法來得好，
但是在樣本數超過 200 之後，兩估計法所估算出的 MSE 值皆十分相近。
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
ML_1 ML_3 ML_5 ML_7 WLS_1 WLS_3 WLS_5 WLS_7
圖 2 MSE 值折線圖
將研究所得之 MSE 數據，根據估計法與樣本數的不同，繪製成各個觀測 變項截距值下的 MSE 值長條圖如圖 11。圖中的 X 軸代表四種不同的觀測變 項截距值，Y 軸為 MSE 值，圖中黑色的長條代表使用 ML 法估算所得之 MSE 值，灰色長條代表使用 WLS 法估算所得之 MSE 值。由圖 11 可發現，不論觀 測變項截距值(ν6(2))的真值為何，MSE 會隨著樣本數的增加而變小；大致上來 說，使用 ML 估算法所得之數值比使用 WLS 估算法所得之數值還要低。
0.0000 0.0020 0.0040 0.0060 0.0080 0.0100 0.0120 0.0140 0.0160 0.0180 0.0200
1 3 5 7
圖 3 MSE 值長條圖
根據研究所得的 95%信賴區間覆蓋率，按照估算法與觀測變項截距值的
都集中在 95%左右；當樣本數為 100 到 300 時，我們可以發現使用 WLS 估算 法所得之 95%信賴區間覆蓋率會隨著樣本數的增加有大幅上升的趨勢，而在 樣本數過了 300 之後，便趨於平穩，且所有的數值皆在 90%以上。整體來說，
使用 ML 估算法所得之數值，不會因為樣本數改變而受到影響，而使用 WLS 估算法所得之數值在樣本數低於 300 時，會因為樣本數的改變而受到相當程 度的影響。
0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
ML_1 ML_3 ML_5 ML_7 WLS_1 WLS_3 WLS_5 WLS_7
圖 4 95%信賴區間覆蓋率折線圖
根據研究所得的 95%信賴區間覆蓋率，依照估計法與樣本數的不同，繪 成各個觀測變項截距值下的 95%信賴區間覆蓋率如圖 13。圖中的 X 軸代表四 種不同的觀測變項截距值，Y 軸為 95%信賴區間覆蓋率，圖中黑色的長條代 表使用 ML 法估算所得之 95%信賴區間覆蓋率，灰色長條代表使用 WLS 法估 算所得之 95%信賴區間覆蓋率。由圖 13 可發現，使用 ML 估算法所得之數值，
除了不因樣本數改變而受到影響，觀測變項截距值的改變亦不會影響其覆蓋 率。而對於使用 WLS 估算法所得之數值來說，觀測變項截距值的改變並不會 對其 95%信賴區間覆蓋率有影響，反而是樣本數的改變，會對其有影響。
0.700 0.750 0.800 0.850 0.900 0.950 1.000
1 3 5 7
圖 5 95%信賴區間覆蓋率長條圖
表 2 ν6(2) =1的估算結果
difference MSE 95% C.I.
sample size ML WLS ML WLS ML WLS 100 0.0004 0.0063 0.0105 0.0165 0.955 0.809 200 -0.0019 -0.0024 0.0052 0.0063 0.949 0.899 300 -0.0046 -0.0051 0.0037 0.0041 0.954 0.915 400 -0.0004 -0.0004 0.0027 0.0030 0.945 0.922 500 0.0004 0.0008 0.0021 0.0022 0.951 0.933 600 -0.0002 -0.0006 0.0019 0.0020 0.946 0.932 700 0.0010 0.0012 0.0016 0.0016 0.951 0.946 800 0.0012 0.0012 0.0013 0.0014 0.957 0.950 900 -0.0005 -0.0003 0.0011 0.0012 0.959 0.951 1000 -0.0014 -0.0012 0.0011 0.0011 0.948 0.946
表 3 ν6(2) =3的估算結果
difference MSE 95% C.I.
sample size ML WLS ML WLS ML WLS 100 2.0008 2.0018 0.0113 0.0179 0.948 0.786
200 1.9987 1.9977 0.0055 0.0062 0.950 0.910 300 2.0013 2.0019 0.0041 0.0044 0.934 0.897 400 1.9998 1.9996 0.0029 0.0030 0.943 0.927 500 2.0019 2.0017 0.0022 0.0024 0.946 0.928 600 2.0003 2.0000 0.0019 0.0019 0.950 0.945 700 2.0001 2.0003 0.0016 0.0016 0.950 0.947 800 2.0007 2.0009 0.0013 0.0014 0.947 0.940 900 2.0018 2.0020 0.0012 0.0013 0.951 0.938 1000 2.0007 2.0007 0.0011 0.0011 0.945 0.934
表 4 ν6(2)
= 5
的估算結果difference MSE 95% C.I.
sample size ML WLS ML WLS ML WLS 100 4.0014 4.0014 0.0111 0.0178 0.946 0.799
200 4.0010 4.0017 0.0057 0.0069 0.945 0.894 300 3.9977 3.9988 0.0035 0.0040 0.957 0.914 400 3.9990 4.0003 0.0029 0.0031 0.948 0.922 500 4.0014 4.0012 0.0022 0.0023 0.952 0.934 600 3.9972 3.9974 0.0018 0.0019 0.947 0.937 700 3.9988 3.9992 0.0016 0.0017 0.943 0.930 800 3.9995 3.9993 0.0013 0.0014 0.956 0.947 900 3.9996 3.9998 0.0012 0.0012 0.941 0.947 1000 3.9989 3.9985 0.0011 0.0011 0.955 0.937
表 5 ν6(2)
= 7
的估算結果difference MSE 95% C.I.
sample size ML WLS ML WLS ML WLS 100 5.9998 5.9994 0.0106 0.0177 0.951 0.791
200 6.0032 6.0027 0.0056 0.0073 0.949 0.881 300 6.0007 6.0012 0.0036 0.0041 0.953 0.919 400 6.0008 6.0007 0.0029 0.0033 0.935 0.905 500 5.9994 6.0002 0.0023 0.0024 0.943 0.931 600 6.0010 6.0009 0.0017 0.0019 0.956 0.934 700 5.9991 5.9986 0.0014 0.0016 0.957 0.945 800 5.9995 5.9997 0.0014 0.0015 0.944 0.933