理論

2-1 光性

光以波向量(Wave Vector)的方向在元件內部傳播，除了 n-type GaAs 接觸層與其金屬電極界面外，不同材料界面的反射率與穿透率

模擬傳統平面式發光二極體金屬電極界面時仍以菲涅爾方程式計算 反射率與穿透率，並假設一旦光穿透進入電極內部即形成金屬損耗。

圖2.1 傳統平面式發光二極體。區域一是空氣層 ; 區域二是直徑 100μm 的金(Au) 電極 ; 區域三是長寬各 300μm 的 n-type GaAs 接觸層。

2-1-2 表面粗化發光二極體(Surface Texture LED)

表面粗化發光二極體如圖

2.2，與平面式發光二極體的差異在於

表面粗化二極體

n-type GaAs 接觸層與空氣之間具有粗糙界面。在球

座標系

φ

=constant 下，其粗糙度由 cos^nst

θ

_n表示，

θ

_n是粗糙界面法向

量

n

texture與平面法向量

n

planar的夾角如圖

2.3。入射角相對於平面法向

量為

θ

_i，相對於粗糙界面法向量為

θ θ

_i− _n。因此表面粗糙結構的好處 在於當入射角大於臨界角，相對於平面而言會全反射，但入射在粗糙 界面的不同位置會有不同的法向量，有機會改變入射角使之小於臨界 角。在

φ

=constant 或

θ

_n=constant 下，不同法向量對應到不同的機率

y z x

Region 2 Region 3 h

Region 1

18 

2

( ) ' '

n

i n n

i _{θ π}^θ

P d

ρ

=

∫

₋

θ θ

,

2

( ) ' '

t ^φ_π

P d

ρ

=

∫

₋

φ φ

^,

(6) 利用菲涅爾方程式計算反射率與穿透率

接下來探討cos^nst

θ

_n函數所代表的表面粗糙度圖像如圖

2.5，當 n

_st 值越大(~5000)越接近於平面，也就是當

θ

_n = ° 時0

cos

⁵⁰⁰⁰

θ

_n

= 1

，其餘 角度的

θ

_n都會使

cos

⁵⁰⁰⁰

θ

_n

= 0

。

n 值越小表面彎曲程度越大，例如

_st

st 50

n

= ， 小 角 度 的

θ

_n 可 以 使

cos

⁵⁰

θ

_n

≠ 0

， 大 角 度 的

θ

_n 仍 會 使

cos

50

θ

_n

= 0

。當

n =1 時表面最彎曲可以選取任意角度的粗糙界面法

_st

向量。本論文將模擬不同表面粗糙度

n 值來取得最佳化的結果，並

_st 且預期當

n 值越大其結果越接近於傳統平面式發光二極體的結果。

_st

圖 2.2 表面粗化發光二極體。區域一是空氣層 ; 區域二是直徑 100μm 的金(Au) 電極 ; 區域三是長寬各 300μm 的 n-type GaAs 接觸層。n-type GaAs 接觸層與空 氣層之間具有粗糙界面。

y x

z

Region 2 Region 3 Region 1

20 

圖2.3 表面粗化發光二極體示意圖。在φ=constant 下界面粗糙度由cos^nstθ 表示，_n 其中θ_n是粗糙界面法向量ntexture與平面法向量

n

planar的夾角。入射角相對於平面 法向量為θ_i，相對於粗糙界面法向量為θ θ_i− _n。

圖2.4 平面法向量旋轉方向。先固定

φ

角轉動θ_n角，再固定θ_n角轉動φ 角。在φ

=constant 下與入射方向同向轉θ_n定義為負，反之為正。在θ_n=constant 下繞+z 軸 逆時針轉φ 定義為正，反之為負。

圖 2.5 cos^nstθ 表面粗糙度。_n n 值越大(~5000)越接近於平面，_st n_st值越小表面彎 曲程度越大，入射光所看到的粗糙界面法向量範圍也越廣。

Planar Surface

planar

n

Air θi

texture

n

Texture Surface θn

Incident light

planar

n

θi

Incident light

θn

−

φ +

Planar Surface cos^nstθ_n n_st→5000

Texture Surface Texture Surface

Texture Surface

cos^nstθ_n n_st→1 cos^nstθ_n n_st→50

cos^nstθ_n n_st→500

2-1-3 金屬孔洞電極發光二極體

當入射光在

n-type 接觸層與金屬孔洞電極界面時，必須考慮金屬

孔洞電極所提供的散射機制，不能再以簡單的菲涅爾方程式來決定界 面的反射率與穿透率，因此必須從馬克斯威爾方程式著手來解此系統 的波動行為。金屬孔洞電極結構如圖

2.6。

圖2.6 金屬孔洞電極結構。區域一是空氣層 ; 區域二是金屬孔洞電極 ; 區域三 是n-type GaAs 接觸層。A 是週期長度，a 是正方形孔洞長度，金屬厚度為 h。

我們將整個空間切割成三個區域分別是區域一空氣層、區域二金 屬孔洞電極層及區域三 n-type GaAs 接觸層，A 是週期長度，a 是正 方形孔洞長度，金屬厚度為

h。使用平面波為基底去展開區域一及區

域三的電磁波，而在區域二使用傅立葉模型法解出本徵態(eigenstate)，

再利用這些本徵態當基底去線性疊加區域二的電磁波。1997 年李立 峰教授提出改良的傅立葉模型法後解決了傅立葉模型法計算金屬結

A a Region 2

Region 3

y x z h

Region 1

22  構會發散的問題 [26]。

由於計算結構具有二維的週期性，故區域一及區域三的平面波基 底必須滿足布洛赫型式(Bloch Form)，意即平面波的基底在 x-y 平面 上的波向量

k 、

_x

k

_y只能是入射波的平行波向量

k 、

_x0

k

_y0加上一個反晶 格向量(Reciprocal Lattice Vector)。則

0

圖 2.7 各區域基底展開係數。A 、₁ B 是區域一的展開係數 ; ₁ A 、₂ B₂是區域二 的展開係數 ; A 、₃ B₃是區域三的展開係數。各展開係數之間的關係由界面的水 平電場、磁場連續條件決定。

定義穿透率及反射率分別為透射光及反射光沿 z 軸方向的能量 流除以入射光沿 z 軸方向的能量流。透射光與反射光需先滿足

( )

^{2 2 2}

I,III 0

z x y

k

=

ε ω c

−

k

−

k

> 的條件，再對不同

( m n 模態所貢獻的穿

^,

)

透率及反射率進行加總，同時也可以得知不同角度入射光的金屬損 耗。

傳統平面式發光二極體必須遵守入射角等於反射角，也就是當入 射角大於臨界角則光會在元件內部全反射難以逃脫元件。金屬孔洞電 極最大的好處在於其提供的散射機制，不同

( m n 模態反射光具有不

^,

)

同水平波向量

k 、

_x

k

_y，即可換算出不同模態的反射角。

本 論 文 在 模 擬 金 屬 孔 洞 發 光 二 極 體 時 ， 針 對 不 同 入 射 角

θ

( ^{0 ~ 89°} )

^、

φ ( ^{0 ~ 89°} )

^{先建立一個90 90}× 筆反射率與穿透率的資料庫，

以便之後在執行蒙地卡羅光跡追蹤法時使用。此外對於各入射角而言

n-type GaAs contact layer Incident light

Region 1 Region 2

Region 3 A3

A1

A2

B3

B1

B2

24 

歸一化同時擲一個介於0~1 之間的均勻亂數，便可以決定反射角。在 大量的光子統計下其反射角的分佈就會對應到各反射率之間的比 例。

2-2 電性

當兩異質半導體材料接觸時，在未外加偏壓的情況下費米能階需 達成平衡，材料間的傳導帶與價電帶需維持固定的偏差值(Band Offset)。載子達到熱平衡後總電流為零，異質接面處會形成空乏區以 及能帶彎曲現象。外加偏壓的情況下當載子達到穩態，總電流為一定 值。

為了描述整個能帶彎曲現象必須引入載子所需遵守的基本方程 式，熱平衡下遵守泊松方程式(Poisson Equation)，穩態下遵守泊松方 程式、電子電洞連續方程式(Continuity Equations)，並藉由數值分析 方法計算能帶圖(Band Diagram)來了解元件內部載子的行為。

2-2-1 基本方程式

欲 計 算 界 面 能 帶 彎 曲 現 象 ， 需 解 一 維 非 線 性 泊 松 方 程 式 :

( ) ( )

0

( ) ( ) _d ( ) _a ( )

r

q p x n x N x N x d x d x

dx ε dx φ ε

+ −

⎡ ⎤

⎣ − + − ⎦

− = ,,, (2.4)

外加偏壓下，除了計算能帶彎曲現象外欲知元件內部電流電壓特

性，需加上穩態電子電洞連續方程式: (Auger) [27]及蕭克萊-瑞德-霍爾復合(Shockley-Read-Hall, SRH) [28]。

本論文輻射復合速率並非以頻譜的形式表示，而是對頻譜積分過後的

26 

由於主動層輻射平均光子能量約

E

_g

+ 3 k T

_B

2

的光，因此當光子在 元件內部反射過程中有可能被主動層再吸收產生電子電洞對，此再吸 收現象稱為光子循環效應(Photon Recycling Effect) [29,30]，所貢獻的 載子產生速率(Generation Rate)必須在穩態電子電洞連續方程式中考 慮，載子產生速率的計算方式將在之後章節中詳細說明。

穩態電子電洞連續方程式中，電子電洞電流需考慮以下兩種模型:

漂移擴散電流模型及熱激發電流模型。

2-2-1-1 漂移擴散電流模型(Drift-Diffusion Current)

漂移擴散電流由濃度梯度所造成的擴散電流及電場漂移所造成 示時，費米-狄拉克積分方程式(Fermi-Dirac Integral)的微分形式 [31]

及電子(電洞)擴散係數與電子(電洞)遷移率的關係 [32]可表示如下。

電子電洞在任何位置都達到穩態平衡後有各自的費米-狄拉克分 佈，將(2.12)、(2.13)代入(2.10)、(2.11)，可將漂移擴散電流模型改寫 成準費米能階(quasi fermi level)的型式，準費米能階會是位置的連續 函數。則

( ) ( )

_Fc

( ) ( )

_Fc

( )

n n

dE x d x

x n x qn x

dx dx

μ μ φ

= = −

J

n ,,, (2.14)

( ) ^{( )}

p ^Fv

^{( ) ( )}

p ^Fv

^{( )}

dE x d x

x p x qp x

dx dx

μ

=

μ φ

= −

J

p ,, (2.15)

2-2-1-2 熱激發電流模型( Thermionic Emission Current )

兩異質界面若彼此之間傳導帶及價電帶的偏差值>2

k T

_B ，則漂移 擴散電流模型無法描述載子在界面遇到能障阻擋時的行為。只有高能 量的載子可以通過能障且在能障區域的載子不一定符合費米-狄拉克 分佈，準費米能階會分裂不再是連續函數，因此我們必須改以熱激發 電流模型來計算界面電流。

針對熱激發電流模型，我們也做了一些假設如下:

(1) 能量高於能障高度的載子可以完全通過能障，不會被能障反射。

(2) 能量低於能障高度的載子無法通過能障，且沒有穿隧現象發生。

熱激發電流模型的機制如圖

2.8，對於異質材料 GaAs 及 AlGaAs，

我們在異質界面兩側定義傳導帶能量

^E

_c1

( ^interface ) ^E

_c2

( ^interface )

^，準

費米能階

E

_Fc1

(

interface

)

、

E

_Fc2

(

interface

)

，而界面兩側隨著不同位置

28 

interface max interface , interface

interface

^{Fc c c}

B

interface max interface , interface

interface

^{Fc c c}

B

min interface , interface interface

interface

^Fv

min interface , interface interface

interface

^Fv

圖2.8 熱激發電流模型。電子由第一區流入第二區或第二區流入第一區，能量必 須高於Δ 或φ₁ Δ ，在界面處準費米能階φ₂ E_Fc1(interface)、 E_Fc2(interface)不再連 續會分裂開。

2-2-2 數值方法(Numerical Method)

計算2-2-1 節中載子所遵守的基本方程式時，由於等號兩側與

φ

、

E 、

Fc

E 有關無法直接積分求解，需將空間切割成離散的點。點切

_Fv

的越細越能準確的描述能帶彎曲情形，但也相對耗時。本論文引入不 等分割切點法，對於能帶變化劇烈的區域切割間距較小，平坦的區域 間距較大，如此可準確的描述能帶彎曲程度及省時。在材料內部與材 料界面地方切割點的方式也有所不同，如圖

2.9、2.10。界面的地方

定義兩個間距非常小約

10 cm

⁻¹² 的點，兩個很靠近的點之間的電流為 熱激發電流，兩點數值上的差異(如Δ 、

E

_c Δ 、

E

_v Δ

E

_Fc及Δ

E

_Fv)可充份 描述界面上不連續的情形。

e⁻ e⁻ e⁻ e⁻ e⁻

φ1

Δ Δφ₂

( )

Ec1 x

( )

EFc1 x Ec2

( )

x

( )

EFc2 x

Thermionic Current

GaAs AlGaAs

( )

EFc2 interface

( )

EFc1 interface

( )

Ec2 interface

( )

E interfacec1

30 

材料內部區:

32 

寫下各點所對應的離散基本方程式後，必須使用數值方法來求得 各點的

φ

、

E 、

_Fc

E 。以下介紹兩種常用的數值方法: Newton-Jacobin

_Fv Iteration Method 及 Newton-Raphson Method [35]

2-2-2-1 Newton-Jacobin Iteration Method (迭代法)

在材料內部以(2.18)

∼

(2.20)解

φ

、

E 、

_Fc

E ，在材料界面以(2.21)

_Fv

電場的連續性解

φ

，以(2.22)、(2.23)電子電洞電流流入等於流出界面 來解界面兩側的

E 、

_Fc

E 。

_Fv

定義

φ ( ) x

=

E x

c

( )

−

E

c

( )

¹，位能的零點定義在初始點傳導帶能量的 位置，任何位置的位能為任何位置的傳導帶能量與初始點傳導帶能量 的差。假設表面復合速率(Surface Recombination Rate)無限大。

熱平衡零偏壓下，費米能階為一定值，將整體費米能階固定在初 始點的費米能階位置，假設位能的初始值(Initial Guess)，將 i 由 2 依 序帶到end-1 解出各點位能。要計算第 i 個點的

φ

、

E 、

_Fc

E 需知其

_Fv 相鄰兩點

i

− 、 11

i

+ 的

φ

、

E 、

_Fc

E ，欲解第 i 個點時，第

_Fv

i

− 個點為1 本次迭代已解的值，第

i

+ 個點為上次迭代已解的值，如圖 2.11。 1

圖2.11 迭代法求解示意圖。

1 Thermal Equilibrium

( ) ^x

34 

圖2.12 Newton-Jacobin Iteration Method 流程圖。

2-2-2-2 Newton-Raphson Method

除了上述的 Newton-Jacobin Iteration Method 外，本論文使用另外 一種數值方法Newton-Raphson Method。載子所需遵守的泊松方程式、

穩態電子電洞連續方程式可以整理移項改寫成

^{f x} ( )

^{= 的形式，其中0}

的

x 就是我們想要求得的 φ

、

E 、

_Fc

E 。將

_Fv

f x 取泰勒展開式，則 ( )

( ) ( )

⁰

(

0

)

'

( )

⁰ 0

initial initial initial initial

0 0 0 0

36 

( )

Newton-Jacobin Iteration Method 及 Newton-Raphson Method 兩 種數值方法優缺點的比較如表

2.1

Newton-Jacobin Iteration Method Newton-Raphson Method 收斂性 收斂性較佳且可允許的外加偏

表2.1 Newton-Jacobin Iteration Method 與 Newton-Raphson Method 方法比較。

38 

2-3 蒙地卡羅光跡追蹤法

當光子在主動層發光後其在元件內部的行為就被追蹤直到逃脫 元件或是被吸收。本論文利用蒙地卡羅光跡追蹤法 [25]，除了藉此 計算發光二極體的外部量子效率外，當考慮光子循環效應下也可以計 算穩態電子電洞連續方程式中主動層的載子產生速率。

光子在元件內部傳播編號為 P=1，也就是光子是活著的，當光子 被主動層、接觸層、金屬電極或逃脫元件時編號為P=0。

1 (photon alive) 0 (photon absorbed)

P

P

⎧⎪⎨

⎪⎩

=

= , (2.30)

電性上的輻射復合速率會決定電子電洞對在主動層各點復合的 機率，意即光子產生的位置必須考慮電性上輻射復合速率的影響。此 外一旦光子在主動層產生，其傳播方向是各向均勻的，我們必須藉由 均勻亂數的方式來決定初始傳播角度

θ

、

φ

。

電性上的輻射復合速率會決定電子電洞對在主動層各點復合的 機率，意即光子產生的位置必須考慮電性上輻射復合速率的影響。此 外一旦光子在主動層產生，其傳播方向是各向均勻的，我們必須藉由 均勻亂數的方式來決定初始傳播角度

θ

、

φ

。

在文檔中 利用金屬孔洞電極提升發光二極體之外部量子效率 (頁 26-52)