利用金屬孔洞電極提升發光二極體之外部量子效率

國

立 交 通 大 學

電子工程學系電子研究所碩士班

碩士論文

利用金屬孔洞電極提升發光二極體

之外部量子效率

Enhancement of the external efficiency of

light-emitting diodes

by using metallic hole array contacts

研 究 生 : 廖宏韋

指導教授 : 顏順通 教授

利用金屬孔洞電極提升發光二極體

之外部量子效率

Enhancement of the external efficiency of

light-emitting diodes

by using metallic hole array contacts

研 究 生, : 廖宏韋 Student ,:, Hung-Wei Liao

指導教授 : 顏順通 博士 Advisor : Dr. Shun-Tung Yen

國 立 交 通 大 學

電子工程學系電子研究所碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Electronics Engineering & Institute of Electronics College of Electrical and Computer Engineering

National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of Master In

Electronics Engineering August 2010

利用金屬孔洞電極提升發光二極體

之外部量子效率

學生 : 廖宏韋 指導教授 : 顏順通 博士

國 立 交 通 大 學

電子工程學系電子研究所碩士班

摘要

本論文提出自洽計算及傅立葉模型法探討金屬孔洞電極發光二 極體之電性與光性。考慮光子循環效應下，以蒙地卡羅光跡追蹤法計 算載子產生速率並加於電子電洞連續方程式中。入射光激發電極表面 態使得大於臨界角仍有穿透率以及利用週期性結構造成布拉格散射， 改變光子反射路徑來降低全反射效應。金屬孔洞電極不僅可以提升光 萃取效率同時也可以解決電流擴散及散熱問題。此外我們也分析金屬 孔洞長度、電極厚度的影響，在適當的電極設計下其外部量子效率與 傳統平面式結構相比有顯著提升但仍低於表面粗化結構。

ii 

Enhancement of the external efficiency of

light-emitting diodes

by using metallic hole array contacts

Student : Hung-Wei Liao Advisor : Dr. Shun-Tung Yen

Department of Electronics Engineering & Institute of Electronics National Chiao Tung University

Abstract

In this thesis, we present a self-consistent calculation and Fourier Modal Method to investigate the electrical and optical properties of light-emitting diodes with metallic hole array contacts. For the photon recycling effect, we include a generate rate in the electron-hole continuity equations which is obtained by the Monte-Carlo ray-tracing method. The limitation of the critical angle can be broken by surface-state assisted transmission. In addition, the light with large incident angles has the opportunity to be scattered into the light cone. Thus, the extraction efficiency can be improved. In addition, we studied the influences of the hole size as well as the contact thickness on the device performance. With a proper design we find that the external efficiency can be significantly improved which is larger than that for planar surface structures but lower than that for surface texture structures.

致謝

碩士兩年生涯終究是熬過了，回想起剛從大學畢業抱著忐忑不安 的心情進到實驗室，如今卻要帶著滿滿的不捨離開交大校園。在這段 求學旅途中我最感謝的是我的指導教授 顏順通博士，從老師身上學 習到身為學者的風範，除了學識上的陶冶、做人處事的道理之外，最 重要的是懂得誠實與為自己負責。老師在學術上的堅持與執著也讓我 十分敬佩與充滿敬意。 接著我要感謝實驗室的各位，一路走來最感謝的就是冠成學長， 學長總是不厭其煩的替我解決研究上的問題，英明的領導使我能快速 的熟悉研究領域避免走冤枉路。感謝佩鋼學長、德賢學長平日的指導 與教誨，感謝泓文同學在我研究上提供的實質協助以及皓宇、晉勛、 仲村、宗謀同學平日的陪伴與相處，使我碩士生活充滿回憶。最後還 要感謝黃遠東教授實驗室的博班學長，無償提供我超級電腦跑Data。 我要感謝我的父母，提供給我這麼好的環境，能夠無憂無慮的求 學問，不斷的鼓勵我，使我能朝自己的興趣去發展，在他們身上我看 到了對子女的無悔付出。最後，我要感謝從大學陪伴我到現在的女友 riva，在我最忙碌的時候，妳能包容我 ; 在我失落挫折時，妳能鼓勵 我，給我站起來的力量。在此萬分的感謝大家，我愛你們。

iv 

目錄

摘要- - - ,,i Abstract- - - ,ii 致謝- - - iii 目錄- - - iv 圖目錄- - - vi 表目錄- - - viii 第一章 簡介- - - -1 1-1 發光二極體之發展- - - 1 1-2 研究動機與目的- - - -7 1-3 模擬結構- - - 10 1-4 發光效率- - - 13 第二章 理論- - - -16 2-1 光性- - - -16 2-1-1 傳統平面式發光二極體- - - -16 2-1-2 表面粗化發光二極體- - - 17 2-1-3 金屬孔洞電極發光二極體- - - 21 2-2 電性- - - -24 2-2-1 基本方程式- - - 24 2-2-1-1 漂移擴散電流- - - -26

2-2-1-2 熱激發電流- - - 27

2-2-2 數值方法- - - -29

2-2-2-1 ,Newton-Jacobin Iteration Method- - - 32

2-2-2-2 ,Newton-Raphson Method- - - -34 2-3 蒙地卡羅光跡追蹤法- - - -38 2-4 光性、電性與蒙地卡羅的結合- - - -40 第三章 結果與討論- - - -42 3-1 模擬假設與參數- - - 42 3-2 金屬孔洞電極提升外部量子效率的機制- - - 45 3-4 主動層摻雜-- - - 47 3-4 主動層厚度分析- - - 48 3-5 金屬孔洞內填充SiO 的影響- - - 50 ₂ 3-6 週期與孔洞長度 A/a 分析- - - -51 3-7 金屬孔洞電極厚度分析- - - 55 3-8 金屬孔洞電極週期長度分析- - - -57 3-9 最佳化表面粗化結構- - - -59 第四章 結論- - - -61 參考文獻- - - 63 簡歷- - - -65

vi  圖目錄 圖1.1 發光二極體各發展階段之元件結構(I)。 4 圖1.2 發光二極體各發展階段之元件結構(II)。 6 圖1.3 發光二極體發展年表及其發光強度。 6 圖1.4 薄膜金屬孔洞電極發光二極體元件結構。 10 圖1.5 薄膜金屬孔洞電極發光二極體製程步驟。 12 圖1.6 外部量子效率計算圖像。 15 圖2.1 傳統平面式發光二極體。區域一是空氣層 ; 區域二是直徑 100μm 的金(Au) 電極 ; 區域三是長寬各 300μm 的 n-type GaAs 接觸層。 17 圖 2.2 表面粗化發光二極體。區域一是空氣層 ; 區域二是直徑 100μm 的金(Au) 電極 ; 區域三是長寬各 300μm 的 n-type GaAs 接觸層。n-type GaAs 接觸層與空 氣層之間具有粗糙界面。 19 圖2.3 表面粗化發光二極體示意圖。在φ=constant 下界面粗糙度由cosnst n θ 表示， 其中θ_n是粗糙界面法向量 ntexture與平面法向量 nplanar的夾角。入射角相對於平面 法向量為θ_i，相對於粗糙界面法向量為θ θ_i − _n。 20 圖2.4 平面法向量旋轉方向。先固定φ角轉動θ_n角，再固定θ_n角轉動φ 角。在φ =constant 下與入射方向同向轉θ_n定義為負，反之為正。在θ_n=constant 下繞+z 軸 逆時針轉φ 定義為正，反之為負。 20 圖 2.5 cosnst n θ 表面粗糙度。n 值越大(~5000)越接近於平面，_st n_st值越小表面彎 曲程度越大，入射光所看到的粗糙界面法向量範圍也越廣。 20 圖2.6 金屬孔洞電極結構。區域一是空氣層 ; 區域二是金屬孔洞電極 ; 區域三 是n-type GaAs 接觸層。A 是週期長度，a 是正方形孔洞邊長，金屬厚度為 h。21 圖 2.7 各區域基底展開係數。A 、₁ B 是區域一的展開係數 ; ₁ A 、₂ B₂是區域二 的展開係數 ; A 、₃ B₃是區域三的展開係數。各展開係數之間的關係由界面的水 平電場、磁場連續條件決定。 23 圖2.8 熱激發電流模型。電子由第一區流入第二區或第二區流入第一區，能量必 須高於Δ 或φ₁ Δ ，在界面處準費米能階φ₂ E_Fc1(interface)、 E_Fc2(interface)不再連 續會分裂開。 29 圖2.9 材料內部切割點的方式。位能、傳導帶能量、價電帶能量、準費米能階定 義在點上，電流定義在兩點之間。 30 圖2.10 材料界面上切割點的方式。在界面上定義兩個間距非常小約_{10 cm}−12 的點， 兩個很靠近的點之間的電流J_ni為熱激發電流，而J_ni−1、J_ni+1為漂移擴散電流。 兩點數值的差異(如Δ 、E_c Δ 、E_v ΔE_Fc、ΔE_Fv)可充份描述界面上不連續的情形。 30 圖2.11 迭代法求解示意圖。 33

圖2.12 Newton-Jacobin Iteration Method 流程圖。 34

圖2.13 Newton-Raphson Method 以泰勒展開式求解 f x

( )

= 。 35 0 圖2-14 蒙地卡羅光跡追蹤模擬流程圖。 40

圖2-15 光性、電性與蒙地卡羅結合流程圖。 41 圖3.1 金屬孔洞電極以不同波長入射所對應穿透率。在半高寬範圍內( 3k T )穿透_B 率沒有明顯的變化。 42 圖3.2 入射各種角度的光於金屬孔洞電極，布拉格散射導致不同模態折射角與反 射角，加總為穿透率T 與反射率 R，其中金屬損耗 L=1-(T+R)。 45 圖 3.3 入射光在φ= ° 、不同θ 角所對應的穿透率。(a)為 GaAs/空氣界面 (b)為0 金屬孔洞電極。可以發現(b)當入射角大於臨界角仍有微量穿透率。 46 圖3.4 金屬孔洞電極之光子色散關係ω−k_&。 46 圖 3.5 金屬孔洞電極內部填充SiO 、 /₂ A a=0.35 / 0.33μm、h=0.1μm、主動層 厚度100nm條件下的模擬結果。(a)不同偏壓下的載子注入效率、內部量子效率、 光子循環效率、光萃取效率及外部量子效率。(b)不同偏壓下的輻射復合電流密 度及非輻射復合電流密度。 49 圖3.6 不同主動層厚度下的金屬損耗效率、光子循環效率、光萃取效率及外部量 子效率。主動層厚度在1.5 mμ 有最大的外部量子效率。 49 圖3.7 模擬結果。 /A a=0.35 / 0.33μm、h=0.1μm的金屬孔洞電極填充與不填充 2 SiO 的金屬損耗效率、光子循環效率、光萃取效率及外部量子效率。填充SiO 後₂ 外部量子效率由14% 增加至 15.5%。 50 圖3.8 表面態近場分佈。(a)孔洞填充SiO (b)孔洞沒有填充_{2 SiO 。 51 2}

圖 3.9 模擬三種不同平面式結構。(a)有直徑100 mμ 圓形電極 (b)沒有圓形電極

(c)GaAs 接觸層與空氣界面有SiO 。 52₂

圖3.10 模擬結果。不同孔洞長度 a 的金屬損耗效率、光子循環效率、光萃取效

率及外部量子效率。元件設計不良如a≤0.31μm(EQE=12.601%)會使其外部量子

效率比平面式結構(EQE=13.254%)低。 54

圖3.11 表面態近場分佈。(a) a=0.27 (b) a=0.29 (c) a=0.31 (d) a=0.33μm。 54

圖3.12(a) A/a=0.35/0.33μm、孔洞填充SiO ，改變不同金屬電極厚度的模擬結₂

果。(b) 改變入射光θ =0 ~ 16°，觀察不同金屬孔洞電極厚度下的穿透率，垂直

入射下在厚度h=0.22μm、h=0.6μm及h=0.98μm發現有Fabry-Perot 干涉現象。 55

圖3.13 改變入射光θ =0 ~ 16°，觀察不同金屬孔洞長度a 與不同電極厚度下的穿

透率，發現第一階Fabry-Perot 建設性干涉發生的厚度隨著孔洞長度縮小而增加。

(a) a=0.27 (b) a=0.29 (c) a=0.31 (d) a=0.33 mμ 。 57

圖 3.14 模擬結果。固定 /A a=0.35 / 0.33μm比值並將其長度等比例縮小及放大

所得的金屬損耗效率、光子循環效率、光萃取效率及外部量子效率。 58

圖3.15 入射角θ_i = °，不同粗糙界面法向量(30 θ_n)在不同表面粗糙度n_st值之機率

分佈。 60 圖3.16 表面粗化結構在不同表面粗糙度下之外部量子效率。 60

viii 

表目錄

表2.1 Newton-Jacobin Iteration Method 與 Newton-Raphson Method 方法比較。

37 表3.1 AlGaAs 及 GaAs 材料參數。 44 表3.2 以各種角度入射填充SiO 後的金屬孔洞電極，所得到的穿透率、反射率、₂ 金屬損耗及散射機率。 50 表3.3 以各種角度入射不同孔洞長度 a 的金屬孔洞電極所得到的穿透率、反射率、 金屬損耗及散射機率。 53 表3.4 固定週期A=0.35μm，不同孔洞長度a 所對應的外部量子效率。 53 表 3.5 固定 /A a=0.35 / 0.33μm比值並將其長度等比例縮小及放大所得到的穿 透率、反射率、金屬損耗及散射機率。 58

第一章

簡介

1-1 發光二極體(Light-Emitting Diodes, LEDs)之發展

發光二極體之發展最早追溯到1907 年美國 H. J. Round 提出 SiC LED [1] ，將 SiC 晶體與金屬電極接觸形成蕭特基二極體(Schottky Diode)，但此二極體的材料特性很差。1969 年 SiC 製程技術的進步及 p-n 接面的製作，美國奇異公司提出功率轉換效率 0.005%的 SiC 藍光 LED [2]。爾後幾年 SiC 非直接能隙的特性使其效率無法提升，直到 1993 年 Edmond 才提出波長 470nm，功率轉換效率 0.03%的 SiC 藍光 LED [3]。

1950 年以氣相磊晶(Vapor Phase Epitaxy, VPE)及液相磊晶(Liquid Phase Epitaxy, LPE)成長 GaAs 基板及 GaP、GaAsP 材料。1962 年美 國奇異公司 Holonyak 和 Bevacqua 以氣相磊晶法將 GaAsP 成長於 GaAs 基板上，發表首顆在可見光波段 p-n 接面的 GaAsP 紅光 LED [4]。

然而GaAsP 與 GaAs 基板晶格不匹配產生大量晶格缺陷以及磷含量過

高形成非直接能隙材料使得發光效率無法提升，於是 1969 年 Nuese

以很厚的 GaAsP 緩衝層來降低與 GaAs 基板之間的晶格缺陷 [5]。

GaAsP LED 低成本低亮度的特性目前主要作為指示燈泡用途。1963 年Allen 等人在 p-GaP 摻雜錫(Sn)，發表第一顆 p-n 接面 GaP LED [6]。

2 

移來達到動量守恆。1968 年 AT&T 貝爾實驗室 Logan 等人在 GaP 中 摻雜氮，提出EQE=0.6%的 GaP 綠光 LED [7]。

1980 年由於 AlGaAs 材料與 GaAs 基板晶格匹配具有高磊晶品質， 開始用來製作高亮度LED。1982 年日本東北大學 J. Nishizawa 等人提 出單異質結構(Single Heterojunction, SH)AlGaAs 紅光 LED [8]，然而

主動層AlGaAs 能隙大於基板 GaAs 能隙，大量的光會被基板吸收， 因

此 1983 年 日 本 松 下 公 司 H. Ishiguro 提 出 雙 異 質 結 構 (Double Heterojunctions, DH)及應用透明 AlGaAs 基板製作紅光 LED，其雙異

質結構大幅增加載子注入效率，同時也解決了 GaAs 基板吸光問題

[9]。AlGaAs 材料雖然可以用來製作高亮度 LED，但是當 Al 比例大

於0.45 會變成間接能隙材料，因此 AlGaAs 材料只適用於紅光波段。

1990 年有機金屬化學氣相沉積(MOCVD)設備的出現，開啟了高 亮度AlGaInP LED 的製作。與 AlGaAs 相比 AlGaInP 具有寬廣的能隙， 可應用於紅光(625nm)、橘光(610nm)及黃光(590nm)波段。1990 年美 國HP 公司 C. P. Kuo 等人最先提出封裝後 EQE>2%，成長在 GaAs 基 板上的 p-n 接面 AlGaInP 黃光 LED [10]，同年日本 Toshiba 公司的 H. Sugawara 等人以AlGaAs 窗戶層(Window Layer)製作 EQE=1.5% 的 AlGaInP 橘光 LED [11]，希望利用窗戶層增加側面出光及電流擴散均 勻性。1992 年美國 HP 公司 K. H. Huang 等人提出 EQE>6%，以 15

μ

m

~45 m

μ

厚 GaP 當作窗戶層的 AlGaInP LED [12]，其概念與 AlGaAs

窗戶層類似但GaP 擁有更大的能隙及透光率。為了解決 GaAs 基板吸

光問題，1993 年日本 Toshiba 公司 H. Sugawara 等人提出 DBR 結構， 該結構可以反射朝基板入射的光避免被基板吸收 [13]。隨即 1994 年 美國HP 公司 F. A. Kish 等人提出 GaP 透明基板結構，將吸光的 GaAs

基板蝕刻去除並利用晶圓鍵合技術靠凡得瓦力貼在透光的 GaP 基板

上 [14]。1999 年美國 HP 公司 M. R. Krames 等人提出倒金字塔 (Truncated Inverted Pyramid, TIP)結構，將元件側面斜切35°增加出光

臨界角，封裝後EQE=55% [15]。DBR 結構雖然可以反射入射光，但

是大角度入射仍有很高的穿透率導致基板吸光，因此 1999 年洪瑞華

教授提出薄膜金屬反射鏡(Thin Film Metal Mirror)LED [16]，利用

2

Au/AuBe/SiO /Si 當作金屬反射鏡，其中SiO /Si 導熱性佳但導電性差。₂ Si 的高導熱性可以使元件產生的熱迅速排除，藉由觀察發光頻譜可以 驗證高導熱性使得發光峰值波長沒有漂移。發光二極體各發展階段之 元件結構如圖1.1。

4  圖1.1 發光二極體各發展階段之元件結構(I)。

(

Al Gax 1-x

)

0.5In P0.5 雖然具有寬廣能隙，但是當x>0.53會變為間 接能隙材料。製作白光 LED 所需的紅光、綠光可由前面所述的 AlGaAs Material AlGaInP Material p Al_0.35GaAs n Al_0.65GaAs p GaAs(Zn) sub SH (AS) p Al_0.8GaAs i Al_0.35GaAs p AlGaAs sub DH (TS) n Al_0.8GaAs n Al_0.65GaAs n AlInP n AlGaInP n GaAs sub p AlInP Conventional (AS) n Al_0.7GaInP i Al_0.2GaInP n GaAs sub p Al_0.7GaInP

AlGaAs Window (AS)

n AlGaAs

n AlInP i AlGaInP

n GaAs sub p AlInP

GaP Window (AS)

p GaP AlGaInP Material n AlInP n AlGaInP n GaAs sub p AlInP DBR n AlInP i AlGaInP n GaP p AlInP GaP (TS) p GaP TIP AlGaInP Material n AlGaInP i AlGaInP p AlGaInP p GaAsAu AuBeSiO2 n Si host sub

GaAsP:N 材料及 GaP:N 材料提供，唯獨以氮化物為主的藍光 LED 發 展相對緩慢，主要因為沒有晶格匹配的基板導致成長磊晶層界面有應

力產生，晶格缺陷過高無法提升發光效率。此外 p 型 GaN 的成長因

為摻雜物(Mg)容易與氫氣產生鍵結而降低電洞濃度，直到 1986 年日

本名古屋大學的H. Amano 以 MOCVD 在低溫下成長 AlN 作為緩衝層，

有效降低GaN 與藍寶石基板之間的晶格缺陷 [17]。之後 Nichia 公司 的S. Nakamura 也以低溫成長 GaN 緩衝層，此階段 GaN 磊晶技術獲 得重大突破。此外在1989 年 H. Amano 以低能量的電子束照射 Mg 摻 雜的p-GaN [18] 以及 1992 年 S. Nakamura 以高溫熱退火方式順利解 決了高摻雜濃度 p-GaN 製作的問題 [19]。1996 年 S. Nakamura 以藍

光LED 激發釔鋁石榴:鈰(YaG:Ce)螢光粉製作全世界第一顆白光 LED，

從此開啟白光LED 照明的新頁。 藍寶石基板也有許多缺點，例如藍寶石基板常溫下的電阻率很大， 導電率低無法用來製作傳統垂直結構 LED，必須將 p 型及 n 型電極 製作於同一側，導致元件有效發光面積減少及橫向電流在元件轉角處 形成電流壅塞(Current Crowding)。再來藍寶石基板的導熱性很差，大 量的熱無法排除也會造成發光效率及元件壽命下降。由於高濃度 p-GaN 製作不易，傳統藍寶石基板 LED 晶片結構會在其電極鍍一層 透明導電層(Transparent Conductive Layer , TCL)，除了可以達到歐姆

6  接觸外，高導電率可以增加電流擴散(Current Spreading)均勻性。常用 的透明導電層為 Ni/Au 雙金屬層及氧化銦錫(ITO)，後者具有較高 (90%)透光率。除了傳統藍寶石基板外尚有使用 SiC 為基板或薄膜金 屬反射鏡結構。雖然SiC 高導電性及導熱性可以用來製作垂直結構， 成本卻也相對昂貴。薄膜金屬反射鏡則利用底層金屬的高反射率以及 表面粗化來彌補薄膜所帶來側面出光的損失。 圖1.2 發光二極體各發展階段之元件結構(II)。 圖1.3 發光二極體發展年表及其發光強度 [20]。 Sapphire n GaN MQW p GaN SiC n GaNMQW p GaN Metal Mirror n GaN MQW p GaN

Conventional Sapphire SiC Metal Mirror

GaN Material InGaN TIP+TF AlGaInP TS AlGaInP GaAsP (1962) GaP: Zn,O (1965) GaP: N (1967) SH AS AlGaAs (1982) DH TS AlGaAs (1983) 1960 1970 1980 1990 2000 2010 0.1 1 10 100 L umi no us Pe rfor m an ce ( lm/ W) year AlGaInPAlGaInP₍₁₉₉₀₎ TS AlGaInP (1992) TIP & TF AlGaInP (1999) SiC (1993) GaN (1992) InGaN (1993) Fluorescent Unfiltered incandescent Red filtered incandescent Thomas Edison’s first light bulb

GaAsP: N GaAsP: N

1-2 研究動機與目的

對於紅光波段的 AlGaAs 及 AlGaInP 材料，其高折射率 n=3.6 造 成光在半導體/空氣界面的臨界角只有_{sin 1 3.6}−1

(

)

_{= °，約16 1 4n}2 _=2% 的光才可以離開元件，其餘的光在元件內部多次全反射後被主動層吸 收 或 是 金 屬 電 極 損 耗 導 致 很 低 的 光 萃 取 效 率(Light Extraction Efficiency, LEE)。許多增加光萃取效率的研究被提出例如晶片塑形 (Chip Shaping)、表面粗化結構(Surface Texture)、圖形化基板(Patterned Sapphire)、共振腔結構(Resonant Cavity)及光子晶體結構(Photonic Crystal, PhC)等。以下將對目前已提出的結構做介紹。 (1) 晶片塑形 傳統 LED 為長方體結構，即使多次全反射後入射角始終大於臨 界角無法出光，因此可以藉由晶片幾何形狀來改變光的反射路徑。例 如1999 年美國 HP 公司 M. R. Krames 等人所提出的倒金字塔結構 [15] 及Osram 公司斜切 SiC 基板使光萃取效率與長方體結構相比由 25 % 提升至 52 %。由此可知光子在元件中平均路徑長度的減少可以避免 材料內部的損耗。 (2) 表面粗化結構 表面粗化可以減少半導體與空氣界面的全反射而提升光萃取效 率。1973 年 Bergh 等人最先在美國專利中提出表面粗化的構想，並

8 

且在元件底部製作反射鏡面 [21]。直到 1993 年加州大學的 I. Schnitzer 等人以自然蝕刻法(Natural Lithography)將 n-AlGaAs 表面粗化及運用 雷射剝離技術(Laser Lift Off)將基板移除以製作反射鏡面，EQE 由 9% 提升至30% [22]。對於 GaN LED 亦可以藉由 p-GaN 表面粗化來提

升光萃取效率，然而 p-GaN 表面粗化會破壞其磊晶層使得透明導電 層製作不易，因此藉由控制磊晶成長過程來形成自然表面粗化是較為 可行的方法。 (3) 圖形化基板 GaN 磊晶層改以橫向磊晶的方式成長於圖形化基板上可以減少 晶體缺陷密度，提高內部量子效率。亦可以藉由圖形化基板上的不平 坦結構來改變光子反射路徑。2006 年 Nichia 公司利用圖形化基板及 ITO 透明導電層將白光 LED 的發光效率提高至 150lm/W [23]。 (4) 共振腔結構 通常共振腔結構包含一個主動層、共振腔體及兩個相鄰的布拉格 反射鏡面。當主動層處於一個與發光波長尺寸相近的共振腔體中，光 源經由鏡面來回反射在腔體形成共振或是駐波，藉由共振修正主動層 的自發性放射過程使得只有特定波段的光可以射出元件，進而縮短光 譜線寬。1992 年 Schubert 等人最先提出具體的共振腔結構 [24]。

(5)光子晶體結構

週期性介電質結構可以對電磁波產生破壞性干涉，形成光子能隙 (Photonic Bandgap)。當光子晶體應用於主動層中，可以利用柏塞爾效 應 (Purcell Effect) 來 提 高 主 動 層 的 輻 射 復 合 速 率 (Radiative Recombination Rate) ， 或 是 利 用 光 子 能 隙 的 概 念 將 波 導 模 態 (Waveguide Mode)耦合成輻射模態(Radiation Mode)。當光子晶體製作 於元件表面上可以利用週期性結構形成布拉格散射(Bragg Scattering) 改變光子行進路線。 對於垂直結構發光二極體而言，電流擴散(Current Spreading)均勻 性問題也會影響出光效率。高阻值材料導致電流不易擴散，大部份電 流集中於電極正下方，電子電洞對在電極正下方復合使得輻射的光大 部份被電極阻擋。因此低阻值高透光率材料例如ITO 透明導電層普遍 應用於目前的發光二極體元件。 為了解決上述垂直結構發光二極體所面臨的全反射及電流擴散 均勻性問題，本論文提出金屬孔洞電極結構。金屬孔洞電極提供的布 拉格散射機制可以使原先大於臨界角的入射光有機會藉由散射改變 其反射路徑，進而提高光萃取效率。此外週期性金屬孔洞結構也能提 供良好的電流擴散均勻性。

10 

1-3 模擬結構

本論文提出薄膜金屬反射鏡AlGaAs/GaAs/AlGaAs 異質接面發光 二極體。其模擬結構與製程步驟參考 1999 年洪瑞華教授所提出的薄 膜金屬反射鏡 AlGaInP 結構 [16]。希望藉由模擬簡單結構來分析金 屬孔洞電極對於外部量子效率的影響。詳細的元件結構與製程步驟如 圖1.4、1.5。 圖1.4 薄膜金屬孔洞電極發光二極體元件結構。 Layer 1 Layer 3 Layer 2 Layer 5 Layer 4 Layer 7 Layer 6 n+ _GaAs Substrate AlAs Sacrificial layer n+ _GaAs Substrate AlAs n+ _GaAs Contact layer n+ _GaAs Substrate AlAs n+ _GaAs n+ _AlGaAs p+ _AlGaAs p+ _GaAs DH p+ _GaAs Contact layer (a) (b) (c)

n+  _GaAs Substrate AlAs n+ _GaAs n+  _AlGaAs p+  _AlGaAs p+ _GaAs p+ _GaAs n Si Substrate SiO2 AuBe Au host substrate n+  _GaAs Substrate AlAs n+ _GaAs n+  _AlGaAs p+  _AlGaAs p+ _GaAs p+ _GaAs n Si Substrate SiO2 AuBe Au wafer bonding Apiezon - W black wax ohmic contact thermal evaporation (d) (e) n Si Substrate SiO2 AuBe p+  _AlGaAs p+ _GaAs Au n+  _AlGaAs p+ _GaAs AlAs n+ _GaAs Substrate n+ _{GaAs n}+ _GaAs n+  _AlGaAs p+  _AlGaAs p+ _GaAs p+ _GaAs n Si Substrate SiO2 AuBe Au 10% HF 7 : =10 :1 Selectivity AlAs GaAs (f) (g)

12 

圖1.5 薄膜金屬孔洞電極發光二極體製程步驟。

Layer 1 及 Layer 7 分別是 n 型金屬孔洞電極與整面 p 型電極。 Layer 2 及 Layer 6 分別是厚度 10nm、摻雜濃度_{5 10 cm×} 18 −3_{的n 型及}

p 型 GaAs 接觸層(Contact Layer)。Layer 3 及 Layer 5 分別是厚度 2μm、

摻雜濃度1 10 cm× 18 −3的n 型及 p 型 Al0.4Ga0.6As 披覆層(Cladding Layer)。

Layer 4 是厚度 100nm、摻雜濃度_{8 10 cm×} 17 −3_{的 p 型 GaAs 主動層}

(Active Layer)。金屬孔洞電極週期長度為 A，正方形孔洞長度為 a， 電極厚度為h。AlxGa1-xAs 披覆層其 Al 比例 x=0.4 高能障可以阻擋載 子流出主動層形成漏電流。為了形成良好的歐姆接觸，使用低能隙且 高摻雜濃度5 10 cm× 18 −3的 GaAs 當作接觸層。然而接觸層的能隙比主 動層發出光源的平均光子能量低會吸收損耗，因此接觸層的厚度越薄 越好，以能達到良好歐姆接觸的厚度為上限。 n+ _GaAs n+  _AlGaAs p+  _AlGaAs p+ _GaAs p+ _GaAs n Si Substrate SiO2 AuBe Au n+ _GaAs n+  _AlGaAs p+  _AlGaAs p+ _GaAs p+ _GaAs n Si Substrate SiO2 AuBe Au ( ) removed by trichloroethylene TCE reactived ions (h) (i)

第二章將針對 LED 的理論詳加介紹。2-1 節中求解馬克斯威爾方 程式並配合傅立葉模型法(Fourier Modal Method, FMM)來得到金屬 孔洞電極的波特性。2-2 節中以 Newton-Jacobin Iteration Method 及 Newton-Raphson Method 數值分析技巧處理載子所需遵守的泊松方程

式、穩態電子電洞連續方程式。2-3 節中以蒙地卡羅光跡追蹤法

(Monte-Carlo Ray-Tracing Method)追蹤每顆光子在元件內部的傳播行 為並計算元件的外部量子效率。此外當考慮光子循環效應下可用來計 算主動層載子產生速率。

第三章將模擬不同條件下最佳化的外部量子效率，例如改變主動

層厚度、改變金屬電極週期長度A 與孔洞長度 a、改變電極厚度 h 及

孔洞內填充SiO 與沒有填充₂ SiO 的比較。此外也將表面粗化 LED 結₂ 構的表面粗糙度最佳化，同時藉由模擬傳統平面式及表面粗化結構來 與金屬孔洞電極發光二極體的外部量子效率做比較。

1-4 發光效率

LED 外部量子效率與載子注入效率(Injection Efficiency)、內部量 子效率(Internal Quantum Efficiency)、光萃取效率(Extraction Efficiency) 有關。考慮光子循環效應(Photon Recycling Effect)下，我們額外定義 光子循環效率(Photon Recycling Efficiency)。以下將分別介紹這些效

14  率的基本定義。 (1) 載子注入效率

η

_inj 載子注入效率為流入主動層內部的載子數與電極注入載子數的 比值。 (2) 內部量子效率

η

_IQE 流入主動層內部的載子部份會輻射復合發光，另一部分非輻射復 合產生熱。其中輻射復合光子數與電子電洞對總復合數的比值稱為內 部量子效率。 (3) 光萃取效率

η

_xp 輻射復合的光子在元件內部經過多次全反射下部份的光子會逃 脫元件，部份的光子會被元件內部的損耗機制所消滅，其中逃脫元件 的光子數與輻射復合總光子數的比值稱為光萃取效率。 (4) 光子循環效率

η

_pr 元件內部的損耗機制包含金屬電極的損耗、接觸層的損耗、寄生 損耗(Parasitic Loss)及主動層的吸收。本論文中定義光子循環效率為 被主動層吸收的光子數與無法逃脫元件的總光子數之比值。 LED 的外部量子效率

η

_EQE與上面所提的四種效率有關，其關係 如圖1.6。則

(

xp

)

IQE inj EQE pr xp IQE 1 1

η η η

η

η η

η

= − − ,,, (1.1) total J Jinj JRad

(

)

pr 1 xp G Rad J =η −η J

( )

Auger SRH leak J 、J J_Auger、J_SRH

(

active

)

xp RadJ η   圖1.6 外部量子效率計算圖像。                                             

16 

第二章

理論

2-1 光性

光以波向量(Wave Vector)的方向在元件內部傳播，除了 n-type GaAs 接觸層與其金屬電極界面外，不同材料界面的反射率與穿透率 由菲涅爾方程式(Fresnel’s Equation)決定。假設橫電場(TE)與橫磁場 (TM)各貢獻一半的偏振方向，不同偏振方向的反射率與穿透率如 下。 2 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos cos cos TE n n R n n

θ

θ

θ

θ

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = + , TTE = −1 RTE,, (2.1.a) 2 1 2 2 1 1 2 2 1 cos cos cos cos TM n n R n n

θ

θ

θ

θ

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = + , TTM = −1 RTM,, (2.1.b) 其中n1、n2代表入射與折射介質折射率，θ1、θ2代表入射角與折射角。 針對傳統平面式、表面粗化及金屬孔洞電極發光二極體 n-type GaAs 接觸層與其金屬電極之間光性的處理技巧將在 2-1-1、2-1-2、 2-1-3 節中討論。

2-1-1 傳統平面式發光二極體(Planar LED)

傳統平面式發光二極體如圖 2.1，p-type 與 n-type 金屬電極通常 以 Au/AuBe 及 Au/NiAuGe 形成歐姆接觸。折射率n=0.199 5.84+ i、 入射光波長

λ

=0.85 m

μ

則電極的吸收係數

α

2

π

κ

4.317 10 cm7 1

λ

− = = × 。

模擬傳統平面式發光二極體金屬電極界面時仍以菲涅爾方程式計算 反射率與穿透率，並假設一旦光穿透進入電極內部即形成金屬損耗。

圖2.1 傳統平面式發光二極體。區域一是空氣層 ; 區域二是直徑 100μm 的金(Au)

電極 ; 區域三是長寬各 300μm 的 n-type GaAs 接觸層。

2-1-2 表面粗化發光二極體(Surface Texture LED)

表面粗化發光二極體如圖 2.2，與平面式發光二極體的差異在於 表面粗化二極體n-type GaAs 接觸層與空氣之間具有粗糙界面。在球 座標系

φ

=constant 下，其粗糙度由 cosnst n θ 表示，

θ

_n是粗糙界面法向 量ntexture與平面法向量

n

planar的夾角如圖 2.3。入射角相對於平面法向 量為

θ

_i，相對於粗糙界面法向量為

θ θ

_i− _n。因此表面粗糙結構的好處 在於當入射角大於臨界角，相對於平面而言會全反射，但入射在粗糙 界面的不同位置會有不同的法向量，有機會改變入射角使之小於臨界 角。在

φ

=constant 或

θ

_n=constant 下，不同法向量對應到不同的機率 y z x Region 2 Region 3 h Region 1

18 

(

_i, _n

)

cos

(

_{i n}

)

S θ θ = θ θ− 、S

(

θ φ_i,

)

=cosφ 及表面粗糙度cosnst n θ 、cosnst

φ

_所 決定。 粗糙界面法向量的選取可以視為將平面法向量轉動

θ

_n角，先固定

φ

角轉動

θ

_n角，再固定

θ

_n角轉動

φ

角，同時定義

θ

_n、

φ

轉動的正負號 方向如圖 2.4。一旦決定粗糙界面法向量再利用菲涅爾方程式計算反 射率與穿透率 [25]。其詳細流程如下: (1) 在

φ

=constant 下 ， 決 定 表 面 粗 糙 度 cosnst n θ 的 n 值 ， 其 中_st / 2 _n / 2

π

θ

π

− < < (2) 在

φ

=constant 下，入射光對應不同粗糙界面位置所看到的等效截 面積 S

(

θ θ_i, _n

)

=cos

(

θ θ_i − _n

)

，其中

θ π

_i− / 2<

θ θ π

_n < _i+ / 2 (3) 在

φ

=constant 下轉動

θ

_n，求不同

θ

_n所對應的機率分佈並且歸一化:

( )

cosnst cos

(

)

n i n i n P θ =κ θ × θ θ− ，其中

θ π

_i− / 2<

θ

_n <

π

/ 2 歸一化係數

(

)

2 2 1 cos cos i st i _n n i n d n π θ π

κ

θ

θ θ

θ

− = × −

∫

, (4) 在

θ

_n=constant 下轉動

φ

，求不同

φ

所對應的機率分佈並且歸一化:

( )

_cosn_st 1 t P φ =κ + φ，其中−

π

/ 2< <

φ π

/ 2 歸一化係數 ₂ 2 1 1 cos st t _n d π π

κ

φ φ

− + =

∫

, (5) 擲兩個介於 0~1 的均勻亂數

ρ

_i、

ρ

_t，藉此求解

θ

_n、

φ

來決定粗糙 界面法向量

( )

2 ' ' n i n n i P d θ θ π

ρ

=

∫

₋

θ

θ

,

( )

2 ' ' t P d φ π

ρ

=

∫

₋

φ φ

, (6) 利用菲涅爾方程式計算反射率與穿透率 接下來探討cosnst n θ 函數所代表的表面粗糙度圖像如圖2.5，當n_st 值越大(~5000)越接近於平面，也就是當

θ

_n = ° 時0

_cos

5000

₁

n

θ

=

，其餘 角度的

θ

_n都會使

cos

5000

θ

_n

=

0

。n 值越小表面彎曲程度越大，例如_st 50 st n = ， 小 角 度 的

θ

_n 可 以 使

cos

50

θ

_n

≠

0

， 大 角 度 的

θ

_n 仍 會 使 50

cos

θ

_n

=

0

。當n =1 時表面最彎曲可以選取任意角度的粗糙界面法_st 向量。本論文將模擬不同表面粗糙度n 值來取得最佳化的結果，並_st 且預期當n 值越大其結果越接近於傳統平面式發光二極體的結果。 _st 圖 2.2 表面粗化發光二極體。區域一是空氣層 ; 區域二是直徑 100μm 的金(Au)

電極 ; 區域三是長寬各 300μm 的 n-type GaAs 接觸層。n-type GaAs 接觸層與空 氣層之間具有粗糙界面。 y x z Region 2 Region 3 Region 1

20  圖2.3 表面粗化發光二極體示意圖。在φ=constant 下界面粗糙度由cosnst n θ 表示， 其中θ_n是粗糙界面法向量ntexture與平面法向量nplanar的夾角。入射角相對於平面 法向量為θ_i，相對於粗糙界面法向量為θ θ_i− _n。 圖2.4 平面法向量旋轉方向。先固定φ 角轉動θ_n角，再固定θ_n角轉動φ 角。在φ =constant 下與入射方向同向轉θ_n定義為負，反之為正。在θ_n=constant 下繞+z 軸 逆時針轉φ 定義為正，反之為負。 圖 2.5 cosnst n θ 表面粗糙度。n 值越大(~5000)越接近於平面，_st n_st值越小表面彎 曲程度越大，入射光所看到的粗糙界面法向量範圍也越廣。 Planar Surface planar n Air i θ texture n Texture Surface n θ Incident light planar n i θ Incident light n θ − φ + Planar Surface cosnst 5000 n nst θ →

Texture Surface Texture Surface

Texture Surface cosnst 1 n nst θ → cosnst 50 n nst θ → cosnst 500 n nst θ →

2-1-3 金屬孔洞電極發光二極體

當入射光在 n-type 接觸層與金屬孔洞電極界面時，必須考慮金屬 孔洞電極所提供的散射機制，不能再以簡單的菲涅爾方程式來決定界 面的反射率與穿透率，因此必須從馬克斯威爾方程式著手來解此系統 的波動行為。金屬孔洞電極結構如圖2.6。 圖2.6 金屬孔洞電極結構。區域一是空氣層 ; 區域二是金屬孔洞電極 ; 區域三

是n-type GaAs 接觸層。A 是週期長度，a 是正方形孔洞長度，金屬厚度為 h。

我們將整個空間切割成三個區域分別是區域一空氣層、區域二金 屬孔洞電極層及區域三 n-type GaAs 接觸層，A 是週期長度，a 是正

方形孔洞長度，金屬厚度為h。使用平面波為基底去展開區域一及區 域三的電磁波，而在區域二使用傅立葉模型法解出本徵態(eigenstate)， 再利用這些本徵態當基底去線性疊加區域二的電磁波。1997 年李立 峰教授提出改良的傅立葉模型法後解決了傅立葉模型法計算金屬結 A a Region 2 Region 3 x y z h Region 1

22 

構會發散的問題 [26]。

由於計算結構具有二維的週期性，故區域一及區域三的平面波基 底必須滿足布洛赫型式(Bloch Form)，意即平面波的基底在 x-y 平面 上的波向量k 、_x

k

_y只能是入射波的平行波向量k 、_x0

k

_y0加上一個反晶 格向量(Reciprocal Lattice Vector)。則

0 2 x x m k k A

π

= + ,,, (2.2.a) 0 2 y y n k k A

π

= + , (2.2.b) 其中k 、_x

k

_y分別是x 與 y 方向上的波向量，入射波及第零階的散 射波所對應到的

(

m n,

)

=

( )

0,0 ，意即k 、_x0

k

_y0是入射波及第零階散射波 的水平波向量。z 方向的波向量

(

)

2 2 2 I,III z x y k = ε ω c −k −k ，

ω

是光的 角頻率，c 是光的真空速度，

ε

_I,III分別是區域一或區域三的介電常數。 當入射光以

θ

、

φ

角度入射此金屬孔洞電極時，入射光波向量可表示 為: III 0 sin cos x k c ω ε θ φ = ,,,,, (2.3.a) III 0 sin sin y k c ω ε θ φ = ,,, (2.3.b) 將各區域的電磁波以其對應的基底展開，加上各區域界面的平行 電場、磁場邊界連續條件可以解出各區域基底展開係數A 、₁ A 、₂ A 、₃ 1 B 、B 、₂ B 。如圖 2.7 ₃

圖 2.7 各區域基底展開係數。A 、₁ B 是區域一的展開係數 ; ₁ A 、₂ B₂是區域二 的展開係數 ; A 、₃ B₃是區域三的展開係數。各展開係數之間的關係由界面的水 平電場、磁場連續條件決定。 定義穿透率及反射率分別為透射光及反射光沿 z 軸方向的能量 流除以入射光沿 z 軸方向的能量流。透射光與反射光需先滿足

(

)

2 _{2 2} I,III 0 z x y k = ε ω c −k −k > 的條件，再對不同

(

m n 模態所貢獻的穿,

)

透率及反射率進行加總，同時也可以得知不同角度入射光的金屬損 耗。 傳統平面式發光二極體必須遵守入射角等於反射角，也就是當入 射角大於臨界角則光會在元件內部全反射難以逃脫元件。金屬孔洞電 極最大的好處在於其提供的散射機制，不同

(

m n 模態反射光具有不,

)

同水平波向量k 、_x

k

_y，即可換算出不同模態的反射角。 本 論 文 在 模 擬 金 屬 孔 洞 發 光 二 極 體 時 ， 針 對 不 同 入 射 角

θ

(

0 ~ 89°

)

、

φ

(

0 ~ 89°

)

先建立一個90 90× 筆反射率與穿透率的資料庫， 以便之後在執行蒙地卡羅光跡追蹤法時使用。此外對於各入射角而言 n-type GaAs contact layer

Incident light Region 1 Region 2 Region 3 3 A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B

24  歸一化同時擲一個介於0~1 之間的均勻亂數，便可以決定反射角。在 大量的光子統計下其反射角的分佈就會對應到各反射率之間的比 例。

2-2 電性

當兩異質半導體材料接觸時，在未外加偏壓的情況下費米能階需 達成平衡，材料間的傳導帶與價電帶需維持固定的偏差值(Band Offset)。載子達到熱平衡後總電流為零，異質接面處會形成空乏區以 及能帶彎曲現象。外加偏壓的情況下當載子達到穩態，總電流為一定 值。 為了描述整個能帶彎曲現象必須引入載子所需遵守的基本方程 式，熱平衡下遵守泊松方程式(Poisson Equation)，穩態下遵守泊松方 程式、電子電洞連續方程式(Continuity Equations)，並藉由數值分析 方法計算能帶圖(Band Diagram)來了解元件內部載子的行為。

2-2-1 基本方程式

欲 計 算 界 面 能 帶 彎 曲 現 象 ， 需 解 一 維 非 線 性 泊 松 方 程 式 :

( )

( )

0 ( ) ( ) _d ( ) _a ( ) r q p x n x N x N x d _x d _x dx

ε

dx

φ

ε

+ − ⎡ ⎤ ⎣ − + − ⎦ − = ,,, (2.4) 外加偏壓下，除了計算能帶彎曲現象外欲知元件內部電流電壓特

性，需加上穩態電子電洞連續方程式:

( )

_{( )}

_{( )}

n dJ x q R x G x dx = ⎡⎣ − ⎤⎦,, (2.5)

( )

_{( )}

_{( )}

p dJ x q R x G x dx = − ⎡⎣ − ⎤⎦, (2.6) 其中

( )

0

( )

c c E x = E −q xφ , E x_v

( )

=E_v0−q xφ

( )

, (2.7.a)

( )

c

( )

1 2

( )

c n x =N x F η ,,, η_c ≡

(

E_Fc

( )

x −E x_c

( )

)

k T_B ,, (2.7.b)

( )

, v

( )

1 2

( )

v p xφ = N x F η , η_v ≡

(

E x_v

( )

−E_Fv

( )

x

)

k T_B ,,, (2.7.c) ( ) 1 EFc Ed k TB d d d N + =N ⎡_⎢⎣ + g e − ⎤_⎥⎦,,, (2.7.d) ( ) 1 eEa EFv k TB a a a N −

N

_⎡ g − _⎤ ⎣ ⎦ = + ,,, (2.7.e) 電子電洞對的復合機制主要為輻射復合(Radiative)、歐傑復合 (Auger) [27]及蕭克萊-瑞德-霍爾復合(Shockley-Read-Hall, SRH) [28]。 本論文輻射復合速率並非以頻譜的形式表示，而是對頻譜積分過後的 結果。歐傑復合則考慮CHHS 及 CHCC 的情況。則

( )

Rad

( )

Aug

( )

SRH

( )

R x =R x +R x +R x ,,, (2.8) 其中

( )

( ) ( )

2 Rad i R x =B n x p x⎡_⎣ −n ⎤_⎦,, (2.9.a)

( )

( )

( ) ( ) ( )

2 Aug p n i R x =_⎣⎡C p x +C n x _{⎦ ⎣}⎤⎡n x p x −n ⎤_⎦,,, (2.9.b)

( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

2 SRH i n i p i n x p x n R x p x n n x n τ ⎡_⎣ ⎤_⎦ τ ⎡_⎣ ⎤_⎦ − = + + + ,, (2.9.c)

26 

由於主動層輻射平均光子能量約

E

_g

+

3

k T

_B

2

的光，因此當光子在 元件內部反射過程中有可能被主動層再吸收產生電子電洞對，此再吸 收現象稱為光子循環效應(Photon Recycling Effect) [29,30]，所貢獻的 載子產生速率(Generation Rate)必須在穩態電子電洞連續方程式中考 慮，載子產生速率的計算方式將在之後章節中詳細說明。 穩態電子電洞連續方程式中，電子電洞電流需考慮以下兩種模型: 漂移擴散電流模型及熱激發電流模型。 2-2-1-1 漂移擴散電流模型(Drift-Diffusion Current) 漂移擴散電流由濃度梯度所造成的擴散電流及電場漂移所造成 的漂移電流所組成。則

( )

x = −qn x

( )

μ

nd x

φ

_dx

( )

+qDndn x_dx

( )

n J ,,, (2.10)

( )

x = −qp x

( )

μ

pd x

φ

_dx

( )

−qDpdp x_dx

( )

p J ,, (2.11) 當電子電洞濃度以費米-狄拉克分佈(Fermi-Dirac Distribution)表 示時，費米-狄拉克積分方程式(Fermi-Dirac Integral)的微分形式 [31] 及電子(電洞)擴散係數與電子(電洞)遷移率的關係 [32]可表示如下。

( )

_{( )}

1 2 1 2 dF F d

η

η

η

= − ,, (2.12)

( )

( )

1 2 1 2 i B i i i F k T D q F

η

μ

η

− = , i n p= , ,, (2.13)

電子電洞在任何位置都達到穩態平衡後有各自的費米-狄拉克分 佈，將(2.12)、(2.13)代入(2.10)、(2.11)，可將漂移擴散電流模型改寫 成準費米能階(quasi fermi level)的型式，準費米能階會是位置的連續 函數。則

( )

( )

Fc

( )

( )

Fc

( )

n n dE x d x x n x qn x dx dx

φ

μ

μ

= = − n J ,,, (2.14)

( )

( )

Fv

( )

( )

Fv

( )

p p dE x d x x p x qp x dx dx

φ

μ

=

μ

= − p J ,, (2.15)

2-2-1-2 熱激發電流模型( Thermionic Emission Current )

兩異質界面若彼此之間傳導帶及價電帶的偏差值>2k T_B ，則漂移 擴散電流模型無法描述載子在界面遇到能障阻擋時的行為。只有高能 量的載子可以通過能障且在能障區域的載子不一定符合費米-狄拉克 分佈，準費米能階會分裂不再是連續函數，因此我們必須改以熱激發 電流模型來計算界面電流。 針對熱激發電流模型，我們也做了一些假設如下: (1) 能量高於能障高度的載子可以完全通過能障，不會被能障反射。 (2) 能量低於能障高度的載子無法通過能障，且沒有穿隧現象發生。 熱激發電流模型的機制如圖 2.8，對於異質材料 GaAs 及 AlGaAs， 我們在異質界面兩側定義傳導帶能量

E

_c1

(

interface

)

E

_c2

(

interface

)

，準 費米能階E_Fc1

(

interface

)

、E_Fc2

(

interface

)

，而界面兩側隨著不同位置

28  分別有不同的傳導帶能量

E x

_c1

( )

、

E x

_c2

( )

及準費米能階 E_Fc1

( )

x 、

( )

2 Fc E x 。當第一區傳導帶的電子想要通過界面到達第二區傳導帶時， 電子的能量必須高於界面能障高度Δ ，相同的當第二區傳導帶的電

φ

₁ 子想要通過界面到達第一區傳導帶時，必須高於界面能障高度Δ ，

φ

₂ 其電子電洞熱激發電流計算如下[33,34]。

(

)

1

(

)

(

1

(

)

2

(

)

)

* 2 1 2 n1 1

interface max interface , interface interface Fc c c B E E E A T F k T → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = n J

(

)

2

(

)

(

1

(

)

2

(

)

)

* 2 2 1 n2 1

interface max interface , interface interface Fc c c B E E E A T F k T → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = n J 第一區流入第二區的淨電子熱激發電流為 1 2net→ = 1 2→

−

2 1→ n n n

J

J

J

,,, (2.16) 對於電洞熱激發電流亦可藉由相同模型推導。則

(

)

(

v1

(

)

v2

(

)

)

1

(

)

* 2 1 2 p1 1

min interface , interface interface

interface Fv B E E E A T F k T → ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = p J

(

)

(

v1

(

)

v2

(

)

)

2

(

)

* 2 2 1 p2 1

min interface , interface interface

interface Fv B E E E A T F k T → ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = p J 第二區流入第一區的淨電洞熱激發電流為 2 1 2 1 1 2 net → = →

−

→ p p p

J

J

J

,, （2.17)

圖2.8 熱激發電流模型。電子由第一區流入第二區或第二區流入第一區，能量必 須高於Δ 或φ₁ Δ ，在界面處準費米能階φ₂ E_Fc1(interface)、 EFc2(interface)不再連 續會分裂開。

2-2-2 數值方法(Numerical Method)

計算2-2-1 節中載子所遵守的基本方程式時，由於等號兩側與

φ

、 Fc E 、E 有關無法直接積分求解，需將空間切割成離散的點。點切_Fv 的越細越能準確的描述能帶彎曲情形，但也相對耗時。本論文引入不 等分割切點法，對於能帶變化劇烈的區域切割間距較小，平坦的區域 間距較大，如此可準確的描述能帶彎曲程度及省時。在材料內部與材 料界面地方切割點的方式也有所不同，如圖 2.9、2.10。界面的地方 定義兩個間距非常小約10 cm−12 的點，兩個很靠近的點之間的電流為 熱激發電流，兩點數值上的差異(如Δ 、E_c Δ 、E_v ΔE_Fc及ΔE_Fv)可充份 描述界面上不連續的情形。 e− e− e− e− e− 1 φ Δ Δφ₂

( )

c1 E x

( )

Fc1 E x Ec2

( )

x

( )

Fc2 E x Thermionic Current GaAs _AlGaAs

(

)

Fc2 E interface

(

)

Fc1 E interface

(

)

c2 E interface

(

)

c1 E interface

30  圖2.9 材料內部切割點的方式。位能、傳導帶能量、價電帶能量、準費米能階定 義在點上，電流定義在兩點之間。 圖2.10 材料界面上切割點的方式。在界面上定義兩個間距非常小約_{10 cm}−12 的點， 兩個很靠近的點之間的電流 i n J 為熱激發電流，而J_ni−1_、 i 1 n J + _{為漂移擴散電流。} 兩點數值的差異(如Δ 、E_c Δ 、E_v ΔE_Fc、ΔE_Fv)可充份描述界面上不連續的情形。 由於空間切割成離散點，則 2-2-1 節中所描述的基本方程式必須 改寫成離散的形式，同時分為下列兩個區域來改寫: 材料內部區及材 料界面區。

i-2 i-1 i i+1 i+2

2 i n J − i 1 n J − i n J i 1 n J + 2 i x− Δ _Δxi−1 _Δxi _Δxi+1 1 1 1 1 1 i i c i v i Fc i Fv E E E E φ − − − − − i i c i v i Fc i Fv E E E E φ 1 1 1 1 1 i i c i v i Fc i Fv E E E E φ+ + + + + 2 2 2 2 2 i i c i v i Fc i Fv E E E E φ + + + + + 2 2 2 2 2 i i c i v i Fc i Fv E E E E φ− − − − −

i-2 i-1 i i+1 i+2

1 i n J − thermionic current i n

J

1 i n J + 2 i x− Δ _Δxi−1 _Δxi+1 i i c i v i Fc i Fv E E E E φ i+3 2 i x+ Δ 12 10− 1 1 1 1 1 i i c i v i Fc i Fv E E E E φ + + + + +

材料內部區:

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )

2

i i i i i i i i a d i i x x _{q p i n i N i N i} x x

ε φ

φ

ε

φ φ

ε

+ − − − _{+ −} − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − − Δ Δ _{− + −} = − Δ + Δ ,, (2.18)

(

)

(

)

( )

( )

-1 1 2 i i i i q R i G i x x − ⎡⎣ ⎤⎦ − = − Δ + Δ n n J J ,,, (2.19)

(

)

(

)

( )

( )

1 1 2 i i i i q R i G i x x − − ⎡⎣ ⎤⎦ − = − − Δ + Δ p p J J ,,, (2.20) 材料界面區:

(

1

)

1

(

1

)

1 i i i i i i i i x x ε φ₊ φ ε ₋ φ φ₋ − − − = Δ Δ ,,, (2.21) 1 1 thermionic i− ₌ i+ ₌ i n n n J J J ,, (2.22) 1 1 thermionic i− ₌ i+ ₌ i p p p J J J ,, (2.23) 其中

( )

( )

₁

(

1

)(

1

)

4 i i i i n n Fc Fc i i n i n i q x

μ

μ

+

φ

+

φ

⎡ ⎤ + − ⎣ + + ⎦ = − Δ n J ,

( )

( )

₁

(

1

)(

1

)

4 i i i i p p Fv Fv i i p i p i q x

μ

μ

+

φ

+

φ

⎡ ⎤ + − ⎣ + + ⎦ = − Δ p J , 1 2 thermionic i net → = n n

J

J

, 2 1 thermionic i net → = p p J J ,

32 

寫下各點所對應的離散基本方程式後，必須使用數值方法來求得 各點的

φ

、E 、_Fc E 。以下介紹兩種常用的數值方法: Newton-Jacobin _Fv Iteration Method 及 Newton-Raphson Method [35]

2-2-2-1 Newton-Jacobin Iteration Method (迭代法)

在材料內部以(2.18)

∼

(2.20)解

φ

、E 、_Fc E ，在材料界面以(2.21)_Fv

電場的連續性解

φ

，以(2.22)、(2.23)電子電洞電流流入等於流出界面

來解界面兩側的E 、_Fc E 。 _Fv

定義φ

( )

x =E x_c

( )

−E_c

( )

1，位能的零點定義在初始點傳導帶能量的 位置，任何位置的位能為任何位置的傳導帶能量與初始點傳導帶能量 的差。假設表面復合速率(Surface Recombination Rate)無限大。

熱平衡零偏壓下，費米能階為一定值，將整體費米能階固定在初 始點的費米能階位置，假設位能的初始值(Initial Guess)，將 i 由 2 依 序帶到end-1 解出各點位能。要計算第 i 個點的

φ

、E 、_Fc E 需知其_Fv 相鄰兩點i− 、 11 i+ 的

φ

、E 、_Fc E ，欲解第 i 個點時，第_Fv i− 個點為1

圖2.11 迭代法求解示意圖。 以下為熱平衡迭代過程: 步驟 輸入 基本方程式 輸出 1 假設位能初始值 (2.7.b), (2.7.c), (2.7.d), (2.7.e),

( )

x

n

,

p

( )

x , d

N

+,N_a−, 2

n

( )

x ,

p

( )

x d

N

+,N_a− 非界面(2.18), 界面(2.21), φ

( )

x 3 φ

( )

x (2.7.b), (2.7.c), _{(2.7.d), (2.7.e),}

n

( )

x ,

p

( )

x , d

N

+,N_a−_, 4 重複步驟2~3 直到φ

( )

x 收斂 以下為穩態迭代過程: 步驟 輸入 基本方程式 輸出 1 _φThermal Equilibrium

_{( )}

_{x ,}

_{( )}

Fc x E ,E_Fv

( )

x , (2.7.b), (2.7.c), (2.7.d), (2.7.e),

( )

x

n

,

p

( )

x , d

N

+,N_a−, 2

n

( )

x ,

p

( )

x , d

N

+,N_a− 非界面(2.18), 界面(2.21), φ

( )

x 3 φ

( )

x (2.7.b), (2.7.c), (2.7.d), (2.7.e),

( )

x

n

,

p

( )

x , d

N

+,N_a−_, 4

n

( )

x ,

p

( )

x , d

N

+,N_a−_, (2.9.a), (2.9.b), (2.9.c), RRad (x), RAug(x), RSRH (x), G(x),

i-2

i-1

i

i+1

i+2

i 不為界面上的點 : 代入(2.18)(2.19)(2.20)

i 為界面上的點 : 代入(2.21)(2.22)(2.23)

本次迭代已解的值 本次迭代欲解的值 上次迭代已解的值

34  5 RRad (x), RAug(x), RSRH (x), G(x), (2.19), (2.20), (2.22), (2.23), EFc

( )

x ,EFv

( )

x , 6 φ

( )

x ,EFc

( )

x ,EFv

( )

x , (2.7.b), (2.7.c), _{(2.7.d), (2.7.e),}

n

( )

x ,

p

( )

x , d

N

+,N_a−, 7 重複步驟2~6 直到φ

( )

x ,E_Fc

( )

x ,E_Fv

( )

x 收斂 整體的迭代流程圖如圖2.12。 ( ) n J q R G ∇ ⋅ = − ( )ϕ ρ ε −∇ ⋅ ∇ = ( ) p J q R G ∇ ⋅ = − − - _G D A _{Rad Auger SRH} n p N +N R R R -D A n p N +N ( )ϕ ρ ε −∇ ⋅ ∇ = -D A n p N N ϕ + G fc fv Rad Auger SRH E E R R R ϕ ϕ ( )0 , ( ) f f E E end ϕ ϕ fc E fv E

圖2.12 Newton-Jacobin Iteration Method 流程圖。

2-2-2-2 Newton-Raphson Method

除了上述的 Newton-Jacobin Iteration Method 外，本論文使用另外 一種數值方法Newton-Raphson Method。載子所需遵守的泊松方程式、

穩態電子電洞連續方程式可以整理移項改寫成 f x

( )

= 的形式，其中0

( )

( )

0

(

₀

)

'

( )

0 0 x f x f x x x f x Δ + = − = ,, (2.24) 圖2.13 Newton-Raphson Method 以泰勒展開式求解 f x

( )

= 。 0 以泰勒展開式求解 f x

( )

= 如圖 2.13，首先需假設0 initial o x ，可對 應到前節所假設的位能初始值。接著代入泰勒展開式來得到修正項， 當修正到第 n 次使

( )

( )

( ) 0 ( ) ( ) ' 0 0 n n n f x x f x − Δ = 時，此時x₀( )n 逼近於我們想要 的 x 值。將泊松方程式、穩態電子電洞連續方程式改寫成 f x

( )

= 的0 形式，則

( )

( )

0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a d r f q p x n x N x N x d _x d _x dx dx φ

ε

φ

_ε

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − − + − − = ,, (2.25)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) initial 2 2

initial initial initial initial

0 0 0 0 initial 2 0 2 3 2 2 2 3 0 0 0 0 2 0 3 0 3 4 3 3 0 0 3 0 ' ' ' f x x x x x x x f x f x x x x x x x f x f x x x x x f x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − Δ = → = + Δ → − Δ = → = + Δ → − Δ = → = + Δ → 修正 改成 代回 修正 改成 代回 修 ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 0 0 0 0 2 3 1 initial initial 0 0 0 = 0 ' 0 n n n n n n x x f x x f x f x f x x x x ⎛_⎜ x x x x − ⎞_⎟ ⎝ ⎠ − Δ = = → = = + Δ + Δ + Δ + Δ 正 改成 代回 當