理論

實驗中，我們試圖探討氧化鋅奈米片的電性傳輸機制及其狀態密度。根據實驗數據，

電阻隨著溫度降低而升高，我們可以以二維變程式跳躍傳輸原理來分析載子傳輸行為；

另一方面應用電子穿隧效應來探討氧化鋅奈米片的狀態密度。在此章節中，會對結果與 討論及研究方法需使用到的原理做個說明。

3-1 變程式跳躍傳輸 (Varible Range Hopping, VRH)

在晶格的組成中，依照原子排列的週期性有無分為有序(order)以及無序(disorder)。

若是有序列的原子形成週期性排列，稱為有序系統，電子在其中會以平面波的形式傳導 並擴展到整個晶格空間，稱之為擴展態；但若原子組成並非週期性排列時，稱為無序系 統，這時在晶格內的電子波函數會因為遇到雜質或是缺陷而散射，電子隨著距離增加而 指數衰減形成一個包絡區域，這時電子被侷域在晶格空間的某一範圍內，稱為侷域態，

如圖 3.1(b)所示，其中 ζ 為侷域長度(localization length)。

圖 3.1 (a)擴展態的電子波函數 (b)侷域態的電子波函數。

若晶格為週期性的排列，位能如圖 3.2(a)，每個原子帶有一個價電子以位能井表示，

而原子佔據於以短線表示的束縛能階上。由於原子間的靠近使得電子波函數疊加，造成 能階形成一個寬度為 B 的能帶。但若晶格呈現無序的狀況，可能使位能井有不同的深度，

其中的原子佔據在不同的束縛能階上，如圖 3.2(b)所示，波函數疊加使能階形成一個寬 度為 W 的能帶。

圖 3.2 安德森侷域的電子位能束縛圖。

這種電子侷域化的觀念，最早在 1958 年由安德森(P. W. Anderson)提出，在弱無序系 統中，電子因為晶體內部少量雜質發生散射，散射波互相干涉使波函數侷域化，意指電 子只能存在於特定範圍內，限制了電子的傳輸行為，這種侷域行為稱為安德森侷域化 (Anderson localization) [1]。隨著無序程度提高，電子自由徑變短、侷域化程度提高，就 像把電子困在一個有限的區域中，導電程度降低。當侷域長度ζ 遠小於材料尺度 L 時(ζ 過程稱為變程式跳躍(variable range hopping)。

在此先假設電子的平均跳躍距離為𝑅̅，無序系統中單位體積的能態密度為 g(ε)，以 下將系統設定為二維來進行公式的推導。若同時考慮侷域態跳躍距離與環境熱能因素，

跳躍機率可寫成 [2]

將(式 3.5)簡化成𝑇₀的形式 粒子穿越此位能障的機率為 0。1924 年，德布羅伊(de Broglie)提出了物質波(Matter wave) 的假設，他提議波能表現出粒子的行為，那麼粒子也能表現出波的性質，這假設就是波 動－粒子二重性(wave-particle duality principle)。

光子的動量為 [3]

考慮一維且不隨時變的狀況下，加入粒子若遇到較高位能障的邊界條件，可求出方 程式的解，在電子能量 E 小於位障 U 時，位障區亦存在波向量，電子仍有穿隧的機率，

稱之為穿隧效應(tunneling effect)。而穿隧時產生的電流稱為穿隧電流(tunneling current )，

穿隧電流大小

I e^2K Z^ (式 3.16) 其中 K 是位障區中的波向量

2 (m U E)

K 

 (式 3.17)

3-2-2 電流-電壓特徵曲線之物理意義

實驗中，我們會建構一個金屬-絕緣層-金屬(Metal-Insulator-Metal, MIM)的穿隧結結 構，其中電子會從電極的佔據態(filled state)穿隧至空乏態(empty state)，我們在佔據態找 到電子的機率可由費米-狄拉克分布函數(Fermi- Dirac distribution)決定，如圖 3.3 所示

圖 3.3 費米-狄拉克分布函數圖。

數學關係式則可由(式 3.18)所描述，其中 μ 為化學位能(chemical potential)

( )/

( ) 1

1 ^{E k TB} f E  e ^

 (式 3.18)

當 T=0 K 時，分布函數會成為步階函數，這時 μ 為佔據態中能量最高的一個(也稱 為費米能階 E_F)。假設有兩個完全相同的電極，擁有同樣的能量 E，則穿隧的機率可看 成在兩個態皆可存在的機率 f E( ) [1  f E( )]。

1960 年，Bardeen [4]將穿隧系統視為兩個子系統，這兩個子系統可以各別用一個不 隨時變的薛丁格方程式來求出電子態(electron state)。現在考慮外加偏壓 V_B時，將穿隧 前的態假設令為| i > ，穿隧後的態假設為 < f | 。跳躍機率 T 可以用費米黃金定則(Fermi golden rule)來計算

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參考文獻:

[1] Tal Schwartz, Guy Bartal, Shmuel Fishman and Mordechai Segev, Nature, 446, 52, (2007)

[2] Z. K. Tang, G. K. L. Wong, P. Yu, M. Kawasaki, A. Ohtomo, H. Koinuma, and Y.

Segawa, Appl. Phys. Lett. 72, 3270 (1998).

[3] Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, (2003).

[4] C. Julian Chen, Introduction to Scanning Tunneling Microscopy, 48, (2008).