在本章中，我們將介紹磁性材料相關的理論以及鐵磁層/反鐵磁層的結構。
第一節我們介紹磁區結構及其影響的各種能量；第二節我們介紹磁矩的翻轉形式 及其模型；第三節我們介紹鐵磁/反鐵磁層的雙層結構；第四節我們將介紹異向 性磁阻(AMR)理論。
2-1 磁區結構與能量
鐵磁特性中有所謂磁區(magnetic domain)，磁區的起源於鐵磁物質本身能量 的自然分佈狀態將內部自動分成許多小區域[2]，在同一磁區內磁化方向是一致 的，不同磁區間的磁化方向不同且呈混亂化，故互相抵消，平常感覺不到它有磁 性，只有在磁場內加以磁化，打破磁區之混亂狀態，才能感受到它的強磁性。
各磁矩方向不同的磁區之間由磁壁(domain wall)所隔開，因相鄰兩磁區之磁 矩方向不同，磁矩會在磁壁中作連續的空間分佈，依據磁矩連續分布的方向可以 分成bloch wall 和Néel wall，如圖2-1所式，在bloch wall，磁矩的方向為垂直兩磁 區平面；Néel wall則是平行兩磁區的平面。
圖 2-1 不同的磁壁示意圖：左圖為Bloch wall；右圖為Néel wall [3]。
磁區結構在無外加磁場的情況下，會與材料形狀及尺度大小有密切的關係。
尺寸較大的塊材或薄膜通常形成多磁區(multi-domain)結構，而尺度較小且形狀 較特殊薄膜由於各種能量的平衡，會使磁區做接近單磁區(single domain)或是漩渦 狀(vortex) [4][5]..等各種有一定規律的方式排列。圖2-2為不同磁區的結構示意 圖：
圖 2-2 不同磁區的的結構示意圖，從左到右依序為漩渦狀(vortex)、單磁區(single domain)、多磁區(multidomain)。
磁區結構是由整個系統能量所決定，一個穩定的磁區分佈即是最低能態的表 現[6]，換言之，物質的總能量決定了磁區的結構。實際上所考慮的能量有些是 材料本身的特性，例如本身飽和磁化強度和晶格結構，這些特性會與材料種類及 樣品在製作過程中的沉積(deposition)方式有關[7]；而其他外在影響因素，例如外 加磁場強度及方向，樣品的大小及形狀以及電子自旋間存在的交互作用力也是影 響能量的重要因素。
影響磁區的主要能量[8]包括交換能(exchange energy)、基曼能量(Zeeman energy)、磁彈性能(magnetoelastic energy)、晶格異向性能(magnetocrystalline anisotropy energy)、靜磁能(magnetostatic energy)、形狀異向性能(shape anisotropy energy)，以下我們逐一的來做介紹。
2-1. 1 交換能(exchange energy)
在量子理論中磁矩的主要貢獻來自於原子中電子的自旋，不同的自旋電子彼 此間會產生交互作用力(exchange force)，所產生的能量即為交換能(exchange energy)，交換能的大小可以由Heisenberg model考慮,
i , j
兩原子的電子其自旋分 別為S
i,S
j，則交換能為[6]：
E
ex= 2 − J S
i⋅ S
j (2-1) 其中J是交換積分常數，與第i第j個原子的電子分布有關，不同磁性材料有不同的J，一般來說，鐵磁性材料J＞0；反鐵磁材料J＜0。此能量在鐵磁材料中當電子的 自旋全部平行排列時能量為最小值，磁矩會呈現單一方向的磁化；相反地，在反 鐵磁材料相鄰原子的電子自旋全部反平行排列時能量為最小值。
2-1. 2 基曼能量(Zeeman energy)
基曼能量是指磁矩在外加磁場下所產生的能量，磁矩在外加磁場下會受到一 個力矩使之偏向外加磁場的方向，當外加磁場達到該材料的飽和磁場後，樣品內 所有磁矩會與外加磁場平行基曼能量的數學式如下[8]：
E
Z =−M
⋅H
(2-2) H 為外加磁場，M 為磁化向量，由此可見矩磁平行外加磁場時，此能量為最小值。2-1. 3 磁彈性能(magnetoelastic energy)
磁致彈性現象主要發生在基板受一應力而產生一應變[9]，此應變與樣品的 生長及製作過程有密切的關係。樣品與基板如果晶格結構不同，會產生不匹配的 現象，使樣品會受一應力差Δσ，因應力差導致的磁致彈性異向性能為[9]：
E
me= λ Δ
sσ 2
3
(2-3)λs為飽和磁致伸縮係數，主要跟樣品材料的晶格不匹配有關。
這項能量主要決定於不同物質間的晶格排列，所以跟材料的不同和沉積的方 式有著密切的關係，一般來說，這項能量對多層膜結構會比單層結構影響來大。
2-1. 4 晶格異向性能(magnetocrystalline anisotropy energy)
不同的磁性材料有不同的晶格結構，晶格排列方式會使電子的自旋軌道交互 作用(spin-orbit interaction)產生差異，導致能量不同，影響磁矩沿著固定的晶軸方 向做磁化，這種能量我們稱為晶格異向性能(crystalline energy)。
對於六角形晶體(hexagonal crystal)結構，晶格異向性能可表示成[8]：
E
m= K
0+ K
1sin
2θ+ K
2sin
4θ (2-4) K0、K1、K2,……是晶格異向性常數，單位為 erg/cm3，θ為磁化方向與晶軸c軸 的夾角。如2-3所示，hcp結構在其易磁軸方向飽和磁場較小，1000 Oe的磁場就能使 所有磁矩平行c軸，反之在難磁軸上磁矩緩慢的被磁場推向磁場方向，一直到 10000 Oe仍尚未完全飽和。
圖 2-3 hcp結構Co磁化強度和磁場關係圖，如插圖所示，C軸 [0001] 即為易 磁軸[10]。
2-1. 5 靜磁能(magnetostatic energy)
磁性物質本身因磁荷的堆積而會在空間中產生磁場，抵銷此空間中磁場所需
的能量我們稱為靜磁能，又可稱為去磁能(demagnetization energy)。假設在一磁 性物質中，單位體積的磁化向量為M，而Hd為磁偶極矩所造成的磁場，則靜磁能 (去磁能)可表示為[11]：
E
= ∫vH
d ⋅M dv
2μ
0(2-5)
2-1. 6 形狀異向性能(shape anisotropy energy) 負號代表去磁場與磁化方向相反，Nd為去磁係數(demagnetizing factor)，不同的樣 品形狀會影響去磁係數的大小。
) 1 ]
我們實驗上所做的平板線，aspect ratio m 為一個重要的參數，在無外加磁場
m為aspect ratio，q為Bessel function’s solution
，
q=1.8412+0.48694/m-0.11381/(m2)、Ms為該材料的飽和磁化強度、C為交換常數(exchange constant)。對於Co而言，參 數如下：Ms=1440
erg/cm 3 at 10K
，C=1.3x10 -4 erg/cm。
1.2 μm時，我們預測其零磁場下應為多磁區分佈；反之線寬小於1.2 μm時，其所 有磁矩排列同向為單磁區分佈。
2-2 磁矩翻轉
2-2. 1 概述
在外加磁場下磁區結構會發生變化，至於磁區的結構是怎麼發生變化？磁區 是由磁矩的排列所組成，所以磁矩的變化就會造成磁區的變化，磁矩變化的過程 我們稱之為 ”翻轉＂。
近幾年愈來愈多人投入磁性結構的研究，對於磁性薄膜及塊材的翻轉機制已 有很多文章做探討，對於aspect ratio較小偏向多磁區(multidomain)的翻轉形式大多 解釋成磁壁的形成擴張及消失(nucleation or annihilation of domain wall)；對於aspect ratio較大單磁區(single domain)的翻轉形式則有三種形式，分別為coherent
rotation、curling rotation 及buckling。
圖 2-8 單磁區三種不同翻轉的形式示意圖[14]，左圖為coherent，中間類3D圖為 curling，右圖為buckling。
Coherent rotation是指在翻轉的過程中，每個磁矩會做同調性排列，每個磁矩 都翻轉一樣的方向及角度，如圖2-8左圖所示，在一瞬間整體的磁矩都指向一致 性的方向；curling rotation 是在一個垂直向上的平面上磁矩會依序呈現逆時鐘方
向的排列，如圖2-8中間類3D圖所示；右圖buckling則是磁矩的分佈呈類似一個S 型的波形分布。
磁矩會做哪種形式的翻轉，主要取決於交換能和去磁能的大小，當磁矩均為 平行排列，交換能為最低，磁矩會以coherent rotation做翻轉，而當aspect ratio增 大時，去磁能漸增進而主導，磁矩則會選擇curling rotation。在橢球模型中，當 易磁軸(easy axis)與外加磁場平行時，則其coherent rotation及curling rotation的交界 半徑長度為[8]： q為Bessel function’s solution，Ms為該材料的飽和磁化強度，C為磁交換勁度常數 (exchange stiffness constant)。
由上面公式，我們知道當r>rc時，磁矩翻轉會選擇curling rotation型式；當r<rc
時，磁矩翻轉為coherent rotation[15]。由此我們可以用橢球模型算出其交界的半 徑長度來預測其可能的翻轉形式。
至於buckling 的翻轉形式介在coherent rotation及curling rotation兩者之間且 只會發生在很小的尺度範圍內，一般來說不易觀察到其變化，但是也有人依據 Aharoni的理論模型去做計算來探討最有可能的S型波狀翻轉[16]。
圖2-9為不同粒子的直徑與磁矩翻轉時磁場的關係圖，由圖中我們可以看到
最大的Hsw(switching field)出現在dth＜Ｄ＜dcrit之間，在此區間粒子主要呈現著single domain的特性並且磁矩會做coherent rotation，考慮橢球粒子的形狀異向性及材料 的晶格異向性，我們可以算出最大的瞬間翻轉場為：Hsw=(Na-Nc)Ms+2Ku/Ms。當 D<dth，Hsw會迅速的下降，主要原因是粒子小於某個尺寸
外加場產生的磁取向力太 小而無法抵抗溫度造成的熱擾動
，而導致其磁化性質變成與順磁體相似，我們稱為超順 磁性(超順磁性並不是我們主要討論的範圍)；當
dcrit＜Ｄ＜Dcrit之間，樣品的特性一樣 是single domain的特性，但是Hsw已不是最大值，在此區間磁矩的翻轉有兩種形式，一種是curling rotation，Hsw會跟D有著-2次方的關係開始下降；另一種是buckling(虛
線部份)，Hsw會跟D有著-2/3次方的關係做下降，一般大多認為翻轉形式為curling rotation，但也有人依據Aharoni的理論模型去解Brown方程式，認為翻轉形式應該 是buckling[16]；當Ｄ>Dcrit時，粒子的特性開始出現多磁區(multidomain)的特性，
磁矩的改變方式受到磁壁(domain walls)產生和消失的影響已不再是明顯的變 化，而是做緩慢的改變，我們稱此區的Hsw為coercivity，Hsw會在Ｄ>Dcrit附近迅速下 降，代表著磁壁的形成改變了翻轉的型態。
H sw
(Na-Nc).Ms
2Ku/Ms
圖 2-9 不同粒子的直徑D與磁矩翻轉時磁場Hsw(switching field)的關係圖，Na
與Nc為橢球粒子短軸和長軸的去磁係數，Ku為形狀異向性常數，dcrit
coherent rotation及curling rotation的交界半徑，Dcrit為single domain 和 mulitdomain的交界半徑，dth為超順磁性(superparamagnetism)與鐵磁性 (ferromagnetism)的交界[11]。
2-2. 2 Stoner Wohlfarth Model -Coherent rotation
Stoner-Wohlfarth Model 可以用來計算和解釋 coherent rotation，它主要是考慮 形狀異向性能和外加磁場所造成的基曼能量(Zeeman energy)，當橢球模型上φ 及
θ
分別是磁化向量與外加磁場對易磁軸方向的夾角時(圖 2-10)M H
φ θ
Easy axis
圖 2-10 Stoner-Wohlfarth Model 下橢球模型磁化向量與磁場夾角的示意圖。
我們可以把能量寫成下列式子： 我們可以令 m=M/Ms (reduced magnetization)，又M=Mscos(θ-φ)，所以m=cosθ代 入上式又可簡化成：
我們可以解出m與h的函數關係來得到磁滯曲線(圖2-11)。由圖我們可以看到當θ
=00時，m-h圖呈現的磁滯曲線為方方的，h值較大；而θ開始增加時，曲線開始 慢慢變的慢慢有點類似圓弧，h值較漸少；當θ=900時，曲線變成了一條斜直線，
而此時的h值為0。
圖 2-11 利用公式(2-15)計算出不同的外加磁場與易磁軸的角度θ的m-h曲線圖，
左圖由外而內分別為θ=00,50,300,450,600,700,850,900，右圖為θ=00,300,600,900
時各別的m-h曲線圖[8][11]。
我們接著討論磁矩的翻轉變化大小，定義方式為下：磁矩翻轉變化為最大時 外加磁場的大小，我們稱之為Hsw(switching field)
因此我們可以由
= 0
∂
∂ h
m
及 2 02 >
∂
∂
θ
E
計算出h sw
與θ
的關係式：
h
sw =(cos2/3θ
+sin2/3θ
)−3/2 (2-17) 由上式我們可以畫出圖2-12所展現的星狀圖(asteroid)，在θ=0°, 90°, 180°,270°時有 最大值 hsw有最大值；而在θ=45°, 135°, 225°, 315°則 hsw 有最小值。0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
圖 2-12 左圖中實線部份即的Stoner-Wohlfarth畫出來的星狀圖(asteroid)，x軸代表
圖 2-12 左圖中實線部份即的Stoner-Wohlfarth畫出來的星狀圖(asteroid)，x軸代表