（ｎ＋１）！ｄ
ｎ＋１ｆ （ｘ０＋θ（ｘ －ｘ０），ｙ０＋θ（ｙ－ｙ０））， ０＜θ＜１，
其中，ｄｋｆ＝ （ｘ －ｘ０） 抄
抄ｘ＋（ｙ－ｙ０） 抄 抄ｙ
ｋ
ｆ （即 ｆ 的ｋ 阶全微分）．
当ｎ＝０ 时，泰勒公式即为中值公式．
７畅函数的极值点必须是函数定义域的内点．Ｐ０为极值点的必要条件是 ｄｆ（Ｐ０）＝０，即ｆｘ（Ｐ０）＝ｆｙ（Ｐ０）＝０（或者说ｇｒａｄ ｆ│Ｐ０＝０）．由泰勒公式，Ｐ０为 极值点的充分条件是ｄｆ（Ｐ０）＝０，ｄ２ｆ （Ｐ０）恒正或恒负．由于
ｄ２ｆ （Ｐ０）＝（ｘ－ｘ０，ｙ－ｙ０）Ｈｆ（Ｐ０）（ｘ －ｘ０，ｙ－ｙ０）Ｔ，
故ｄ２ｆ （Ｐ０）的符号可由 ｆ 在 Ｐ０的黑赛矩阵 Ｈｆ（Ｐ０）的正定性来确定（定理 １７畅１１）．
８畅若多元连续函数ｆ 在区域Ｄ 内只有惟一的极值点，则该点未必是最值 点．此性质不同于一元函数，体现了在Ｒ２中动点变化的自由度比Ｒ 中自由度 大得多．
习 题 详 解
§ １ 可 微 性
１畅求下列函数的偏导数：
（１）ｚ＝ｘ２ｙ； （２） ｚ＝ｙｃｏｓｘ； 怂
（３）ｚ＝ １ ｘ２＋ｙ２
； （４）ｚ＝ｌｎ（ｘ２＋ｙ２）；
・ ６ ３ １
・ 数学分析习题详解（下）
（５）ｚ＝ｅｘｙ； （６）ｚ＝ａｒｃｔａｎ ｙ
ｆｘ（ｘ ，１）＝１．
３畅设
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ ｙｓｉｎ １
ｘ２＋ｙ２， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０，
考察函数 ｆ 在原点（０，０）的偏导数．
解 由偏导数的定义，有 抄 ｆ
抄 ｘ （０，０）＝ｌｉｍｘ →０
ｆ （ｘ ，０）－ｆ （０，０）
ｘ－０ ＝ｌｉｍｘ →０
０
ｘ＝０存在，
而 抄ｆ
抄ｙ （０，０）＝ｌｉｍｙ→０
ｆ （０，ｙ）－ｆ （０，０）
ｙ－０ ＝ｌｉｍｙ→０
ｙ・ ｓｉｎ １ ｙ２
ｙ ＝ｌｉｍｙ→０ｓｉｎ １
ｙ２不存在．
４畅证明函数 ｚ＝ ｘ２＋ｙ２在点（０，０）处连续但偏导数不存在．
证 因为 （ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｚ＝（ｘ ，ｙ ）→（０，０）ｌｉｍ ｘ２＋ｙ２＝０＝ｆ （０，０），
所以 ｆ 在点（０，０）处连续．但 抄ｆ
抄ｘ （０，０）＝ｌｉｍｘ →０ ｆ （ｘ ，０）－ｆ （０，０）
ｘ －０ ＝ｌｉｍｘ →０ ｘ２
ｘ ＝ｌｉｍｘ →０ │ｘ │ ｘ 不存在， 抄 ｆ
抄ｙ （０，０）＝ｌｉｍｙ→０
ｆ （０，ｙ）－ｆ（０，０）
ｙ－０ ＝ｌｉｍｙ→０
│ｙ│
ｙ 也不存在． ５畅考察函数
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ ｘｙｓｉｎ １
ｘ２＋ｙ２， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０ 在点（０，０）处的可微性．
解 首先 抄 ｆ
抄 ｘ （０，０）＝ｌｉｍｘ →０ｆ （ｘ ，０）－ｆ（０，０）
ｘ －０ ＝ｌｉｍｘ →０ ０
ｘ＝０＝Ａ ，
同理 抄ｆ
抄 ｙ （０，０）＝０＝Ｂ ，
又 Δｚ－Ａ Δｘ －Ｂ Δｙ＝Δｚ＝Δｘ ・ Δｙｓｉｎ １
（Δｘ ）２＋（Δｙ）２， 而 ｌｉｍρ→０ Δｚ－Ａ Δｘ －Ｂ Δｙ
ρ ＝ｌｉｍρ→０ρｓｉｎθｃｏｓθｓｉｎ １ ρ２＝０，
所以 Δｚ＝Ａ Δｘ ＋Ｂ Δｙ＋ｏ（ρ），
・ ８ ３ １
・ 数学分析习题详解（下）
故 ｆ 在点（０，０）处可微．
６畅证明函数
ｆ （ｘ ，ｙ）＝
ｘ２ｙ
ｘ２＋ｙ２， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０ 在点（０，０）处连续且偏导数存在，但在此点不可微．
证 令 ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，则
（ｘ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｌｉｍｒ→０ｒ３ｃｏｓ２θｓｉｎθ
ｒ２ ＝ｌｉｍｒ→０ｒｓｉｎθｃｏｓ２θ＝０＝ｆ （０，０），
故 ｆ（ｘ，ｙ）在点（０，０）处连续．
又 ｆｘ（０，０）＝ｌｉｍｘ →０
ｆ（ｘ，０）－ｆ （０，０）
ｘ－０ ＝ｌｉｍｘ →０
１
ｘ・ ｘ２・ ０
ｘ２＋０２＝０＝Ａ ， ｆｙ（０，０）＝ｌｉｍｙ→０ｆ （０，ｙ）－ｆ （０，０）
ｙ－０ ＝ｌｉｍｙ →０ １
ｙ・ ０２・ ｙ
０２＋ｙ２＝０＝Ｂ ， 所以 ｆ 在点（０，０）的偏导数存在．
下面证明ｆ 在点（０，０）处不可微．采用反证法：假设ｆ 在点（０，０）处可微，
则
Δｚ＝ｆ （０＋Δｘ ，０＋Δｙ）－ｆ （０，０）＝ｆ （Δｘ ，Δｙ）＝Ａ Δｘ ＋Ｂ Δｙ＋ｏ（ρ），
即 （Δｘ ）２（Δｙ）
（Δｘ ）２＋（Δｙ）２＝ｏ（ρ）， ① 其中 ρ＝ （Δｘ ）２＋（Δｙ）２．
由于式①对橙Δｘ，Δｙ 都成立，故取 Δｘ＝Δｙ，则
（Δｘ ）３ ２（Δｘ ）２＝１
２Δｘ ＝ｏ（ ２ │Δｘ │） 是不可能的．故假设不对，即 ｆ 在点（０，０）处不可微．
７畅证明函数
ｆ（ｘ，ｙ）＝
（ｘ２＋ｙ２）ｓｉｎ １ ｘ２＋ｙ２
， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０，
在点（０，０）处连续且偏导数存在，但偏导数在点（０，０）处不连续，而 ｆ 在原点
（０，０）处可微．
・
９
３
１
第十七章 多元函数微分学 ・
证 （１） 由于 （ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｌｉｍｒ→０ｒ２ｓｉｎ １
ｒ＝０＝ｆ（０，０），
故 ｆ 在点（０，０）处连续．
（２）因为 ｆｘ（０，０）＝ｌｉｍｘ →０
ｆ （ｘ ，０）－ｆ （０，０）
ｘ －０ ＝ｌｉｍｘ →０
１
ｘ・ ｘ２ｓｉｎ １
│ｘ │
＝ｌｉｍｘ →０ｘ・ ｓｉｎ １
│ｘ │＝０＝Ａ ，
同理 ｆｙ（０，０）＝０＝Ｂ ，
所以 ｆ 在点（０，０）处的偏导数存在．
（３）因为ｆｘ＝
２ｘｓｉｎ １ ｘ２＋ｙ２
－ ｘ
ｘ２＋ｙ２ｃｏｓ １ ｘ２＋ｙ２
， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０，
令 ｙ＝０，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｙ＝０
ｆｘ（ｘ ，ｙ）＝ｌｉｍｘ →０ ２ｘｓｉｎ １
│ｘ │－ ｘ
│ｘ│ｃｏｓ １
│ｘ │ 不存在，
所以ｆｘ（ｘ ，ｙ）在点（０，０）处不连续．同理可证ｆｙ（ｘ ，ｙ）也在点（０，０）处不连续．
（４）由于 ｌｉｍρ→０ Δｚ－Ａ Δｘ －Ｂ Δｙ
ρ ＝ｌｉｍρ→０ρ・ ｓｉｎ １ ρ＝０，
所以 Δｚ＝Ａ Δｘ ＋Ｂ Δｙ＋ｏ（ρ），
即 ｆ 在点（０，０）处可微．
８畅求下列函数在给定点的全微分：
（１）ｚ＝ｘ４＋ｙ４－４ｘ２ｙ２在点（０，０），（１，１）；
（２）ｚ＝ ｘ
ｘ２＋ｙ２在点（１，０），（０，１）．
解 （１） 因为 抄ｚ
抄ｘ＝４ｘ３－８ｘｙ２， 抄ｚ
抄ｙ＝４ｙ３－８ｘ２ｙ，
所以 ｄｚ （０，０）＝０， ｄｚ （１，１）＝ｆｘ（１，１）ｄｘ＋ｆｙ（１，１）ｄｙ＝－４ｄｘ－４ｄｙ．
（２）因为 抄 ｚ 抄ｘ＝
ｘ２＋ｙ２－ｘ ・ １
２（ｘ２＋ｙ２）１２－１（２ｘ ）
ｘ２＋ｙ２ ＝ ｙ２
（ｘ２＋ｙ２）３／２， 抄ｚ
抄ｙ＝－ ｘｙ
（ｘ２＋ｙ２）３／２，
所以 ｄｚ （１，０）＝０， ｄｚ （０，１）＝ｄｘ．
・ ０ ４ １
・ 数学分析习题详解（下）
９畅求下列函数的全微分：
ｆｘ（３，１）＝９， ｆｙ（３，１）＝１，
故切平面方程
ｚ－１＝９・ （ｘ －３）＋１・ （ｙ－１）， 即 ９ｘ＋ｙ－ｚ＝２７，
法线方程
ｘ －３ ９ ＝ｙ－１
１ ＝ｚ－１
－１．
１２畅在曲面 ｚ＝ｘｙ 上求一点，使这点的切平面平行于平面 ｘ ＋３ｙ＋ｚ＋９
＝０；并写出这切平面方程和法线方程．
解 因为抄ｚ 抄ｘ＝ｙ，抄ｚ
抄ｙ＝ｘ ，所以曲面 ｚ＝ｘｙ 上在切点为（ｘ，ｙ，ｚ）处的切平 面的法线向量为｛ｙ，ｘ ，－１｝，平面 ｘ＋３ｙ＋ｚ＋９＝０ 的法线向量为｛１，３，１｝，故 有
ｚ＝ｘｙ，
ｙ １＝ｘ
３＝－１ １ ，
解之可得，切点（ｘ，ｙ，ｚ）＝（－３，－１，３），因而切平面的法线向量为｛－１，－３，
－１｝，则切平面方程
－１（ｘ＋３）－３（ｙ＋１）－１（ｚ－３）＝０， 即 ｘ＋３ｙ＋ｚ＋３＝０，
法线方程
ｘ ＋３ １ ＝ｙ＋１
３ ＝ｚ－３ １ ． １３畅计算近似值：
（１） １畅００２×２畅００３２×３畅００４３； （２）ｓｉｎ２９°×ｔａｎ４６°．
解 （１） 令 ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘｙ２ｚ３．
取点 （ｘ０，ｙ０，ｚ０）＝（１，２，３），Δｘ ＝０畅００２，Δｙ＝０畅００３，Δｚ＝０畅００４．
因为 ｆ （１，２，３）＝１０８， ｆｘ（１，２，３）＝ｙ２ｚ３ （１，２，３）＝１０８，
ｆｙ（１，２，３）＝２ｘｙｚ３ （１，２，３）＝１０８， ｆｚ（１，２，３）＝３ｘｙ２ｚ２
（１，２，３）＝１０８，
所以 １畅００２×２畅００３２×３畅００４３ 创
≈ｆ （１，２，３）＋ｆｘ（１，２，３）Δｘ ＋ｆｙ（１，２，３）Δｙ＋ｆｚ（１，２，３）Δｚ
＝１０８＋１０８（０畅００２＋０畅００３＋０畅００４）＝１０８畅９７．
・ ２ ４ １
・ 数学分析习题详解（下）
（２）令 ｚ＝ｆ（ｘ ，ｙ）＝ｓｉｎｘｔａｎｙ，
取点 （ｘ０，ｙ０）＝ π ６， π
４ ， Δｘ＝－ π
１８０， Δｙ＝ π １８０． 因为 ｆ （ｘ０，ｙ０）＝１
２， ｆｘ（ｘ０，ｙ０）＝ｃｏｓｘ・ ｔａｎｙ π ６，π
４
＝ ３ ２ ， ｆｙ（ｘ０，ｙ０）＝ｓｉｎｘ・ ｓｅｃ２ｙ
π ６，π
４
＝１，
所以 ｓｉｎ２９°ｔａｎ４６°≈ｆ（ｘ０，ｙ０）＋ｆｘ（ｘ０，ｙ０）Δｘ＋ｆｙ（ｘ０，ｙ０）Δｙ＝０畅５０２３．
１４畅设圆台上下底的半径分别为 Ｒ ＝３０ｃｍ，ｒ＝２０ｃｍ，高ｈ＝４０ｃｍ．若Ｒ ， ｒ，ｈ分别增加 ３ｍｍ，４ｍｍ，２ｍｍ，求此圆台体积变化的近似值．
解 圆台的体积 Ｖ ＝１
３πｈ（ｒ２＋Ｒ２＋ｒＲ ）．
取点 （Ｒ０，ｒ０，ｈ０）＝（３０，２０，４０）， ΔＲ ＝０畅３， Δｒ＝０畅４， Δｈ＝０畅２．
因为 抄Ｖ 抄Ｒ＝πｈ
３（２Ｒ ＋ｒ）， 抄Ｖ 抄ｒ＝πｈ
３（２ｒ＋Ｒ ）， 抄 Ｖ 抄ｈ＝π
３（ｒ２＋Ｒ２＋ｒＲ ），
所以 ΔＶ ＝Ｖ （Ｒ０＋ΔＲ ，ｒ０＋Δｒ，ｈ０＋Δｈ）－Ｖ （Ｒ０，ｒ０，ｈ０） ゥ
≈ｄＶ （Ｒ０，ｒ０，ｈ０）
＝抄Ｖ
抄Ｒ （Ｒ０，ｒ０，ｈ０）ΔＲ ＋抄 Ｖ
抄ｒ （Ｒ０，ｒ０，ｈ０）Δｒ＋抄Ｖ
抄ｈ （Ｒ０，ｒ０，ｈ０）Δｈ
＝４０π
３ ［（６０＋２０）×０畅３＋（４０＋３０）×０畅４］
＋π
３（２０２＋３０２＋２０×３０）×０畅２
≈２５７６（ｃｍ３）．
１５畅证明：若二元函数 ｆ 在点 Ｐ （ｘ０，ｙ０）的某邻域 Ｕ （Ｐ ）内的偏导函数 ｆｘ 与 ｆｙ有界，则ｆ 在 Ｕ （Ｐ ）内连续．
证 首先证明 ｆ 在Ｐ （ｘ０，ｙ０）处连续．根据条件，愁Ｍ ＞０，使
│ｆｘ（ｘ ，ｙ）│≤Ｍ ， │ｆｙ（ｘ ，ｙ）│≤Ｍ ， 橙（ｘ，ｙ）∈Ｕ （Ｐ ），
于是，由拉格朗日中值定理，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│≤│ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ，ｙ０）│＋│ｆ （ｘ ，ｙ０）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│ ＆
＝│ｆｙ（ｘ，ｙ０＋θ１Δｙ││Δｙ│＋│ｆｘ（ｘ０＋θ２Δｘ ，ｙ０││Δｘ │
≤Ｍ （│Δｘ │＋│Δｙ│），
・
３
４
１
第十七章 多元函数微分学 ・
其中 Δｘ ＝ｘ －ｘ０， Δｙ＝ｙ－ｙ０， ０＜θ１，θ２＜１．
由此可见（ｘ ，ｙ）→（ｘｌｉｍ
０，ｙ０）ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｆ （ｘ０，ｙ０），故 ｆ 在 Ｐ （ｘ０，ｙ０）处连续．
其次，对橙Ｐ１（ｘ１，ｙ１）∈Ｕ （Ｐ ），由于 Ｐ１为 Ｕ （Ｐ ）的内点，故存在 Ｐ１的某邻 域Ｕ ′（Ｐ１）炒Ｕ （Ｐ ），且ｆｘ，ｆｙ在Ｕ ′（Ｐ１）内有界，则由上面的证明知ｆ 在Ｐ１处连 续，由 Ｐ１∈Ｕ （Ｐ ）的任意性知 ｆ 在 Ｕ （Ｐ ）内连续．
１６畅设二元函数 ｆ 在区域Ｄ ＝［ａ，ｂ］×［ｃ，ｄ］上连续．
（１）若在ｉｎｔＤ 内有ｆｘ≡０，试问 ｆ 在Ｄ 上有何特性？
（２）若在ｉｎｔＤ 内有ｆｘ≡ｆｙ≡０，ｆ又怎样？
（３）在（１）的讨论中，关于ｆ 在Ｄ 上的连续性假设可否省略？ 长方形区域 可否改为任意区域？
解 （１） 取定ｘ０∈［ａ，ｂ］，对橙ｘ ∈［ａ，ｂ］，ｙ∈［ｃ，ｄ］，即（ｘ，ｙ）∈Ｄ ，由于 ｆｘ
≡０，则由拉格朗日中值定理，有
ｆ （ｘ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ）＝ｆｘ（ξ，ｙ）（ｘ －ｘ０）＝０，
其中，ξ在ｘ０与 ｘ 之间，即
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｆ （ｘ０，ｙ）＝φ（ｙ）．
又由 ｆ 在 Ｄ 上连续，故 ｆ＝φ（ｙ）在［ｃ，ｄ］上连续．
（２）由于 ｆｘ＝ｆｙ≡０，（ｘ ，ｙ）∈ｉｎｔＤ ，所以由（１）的讨论知 ｆ ≡Ｃ （Ｃ 为常 数）．
（３）在（１）的讨论中，关于 ｆ 在 Ｄ 上连续性假设可以省略，ｆ （ｘ，ｙ）＝
φ（ｙ），ｙ∈［ｃ，ｄ ］，但 φ（ｙ）不一定连续．
长方形区域不能随意改为任意区域．因为，在条件 ｆｘ≡０下，ｆ （ｘ，ｙ）＝
φ（ｙ）可能在区间［ｃ，ｄ］上不能定义．例如，取 ｃ＜ｃ１＜ｄ１＜ｄ ，ａ＜ａ１＜ｂ，记 Ｄ１＝｛（ｘ ，ｙ）│ａ≤ｘ ≤ａ１，ｃ１≤ｙ≤ｄ１｝＝［ａ，ａ１］×［ｃ１，ｄ１］，
令 Ｄ ＝［ａ，ｂ］×［ｃ，ｄ ］＼Ｄ１， 即 Ｄ 为原矩形区域内挖去一个小矩形区域 Ｄ１．又令
ｆ（ｘ，ｙ）＝
ｙ， （ｘ ，ｙ）∈［ａ，ａ１］×［ｃ，ｃ１］，
２ｙ， （ｘ ，ｙ）∈［ａ，ａ１］×［ｄ１，ｄ ］，
３ｙ， （ｘ ，ｙ）∈［ａ１，ｂ］×［ｃ，ｄ ］．
条件 ｆｘ≡０，（ｘ ，ｙ）∈ｉｎｔＤ 仍然满足，但当ｙ∈［ｃ，ｃ１］时，ｆ （ｘ，ｙ）＝φ（ｙ）＝ｙ，而
・ ４ ４ １
・ 数学分析习题详解（下）
当 ｙ∈［ｃ，ｄ］车［ｃ，ｃ１］时，φ（ｙ）＝３ｙ，矛盾．所以 Ｄ 为任意区域时（１）的函数特 性不存在．
１７畅试证在原点（０，０）的充分小邻域内，有 ａｒｃｔａｎ ｘ＋ｙ
１＋ｘｙ≈ｘ ＋ｙ ． 证 令 ｆ （ｘ ，ｙ）＝ａｒｃｔａｎ ｘ ＋ｙ
１＋ｘｙ， 定义域 Ｄ ＝｛（ｘ，ｙ）│ｘｙ≠－１｝．
由于 抄ｆ
抄ｘ＝ １ １＋ ｘ ＋ｙ
１＋ｘｙ
２
（１＋ｘｙ）－（ｘ ＋ｙ）ｙ
（１＋ｘｙ ）２ ＝ １－ｙ２
（１＋ｘｙ）２＋（ｘ ＋ｙ）２，
同理 抄 ｆ
抄ｙ＝ １－ｘ２
（１＋ｘｙ）２＋（ｘ ＋ｙ）２， 取 ０＜δ＜１，则ｆｘ，ｆｙ在 Ｕ （（０，０）；δ）内连续（注：│ｘｙ│≤１
２（ｘ２＋ｙ２）＜ １ ２δ２＜ １），因而ｆ （ｘ ，ｙ）在（０，０）处可微分，故由近似公式，有
ｆ （ｘ ，ｙ）≈ｆ （０，０）＋ｆｘ（０，０）ｘ ＋ｆｙ（０，０）ｙ＝ｘ＋ｙ．
１８畅求曲面ｚ＝ｘ２＋ｙ２
４ 与平面ｙ＝４ 的交线在ｘ＝２ 处的切线与Ｏ ｘ 轴的交 角．
解 由于交线方程为
ｚ＝ｘ２＋ｙ２ ４ ， ｙ＝４，
所以由偏导数的几何意义，知 ｔａｎφ（２，４）＝抄ｚ
抄 ｘ （２，４）＝１ ２ｘ
（２，４）＝１，
故 φ＝π
４． １９畅试证：
（１）乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和；
（２）商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之差．
证 （１） 仅证两个因子乘积的情况（有限个因子乘积的情况为自然推 广）．
・
５
４
１
第十七章 多元函数微分学 ・
设ｚ＝ｆ（ｘ ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ），ｆ（ｘ，ｙ），ｇ（ｘ，ｙ）可微．因为