１畅讨论下列函数的连续性：
（１）ｆ（ｘ，ｙ）＝ｔａｎ（ｘ２＋ｙ２）； （２）ｆ （ｘ ，ｙ）＝［ｘ ＋ｙ］； 眄
（３）ｆ（ｘ，ｙ）＝
ｓｉｎｘｙ
ｙ ， ｙ≠０，
０， ｙ＝０；
（４）ｆ（ｘ，ｙ）＝
ｓｉｎｘｙ ｘ２＋ｙ２
， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０；
（５）ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０， ｘ为无理数，
ｙ， ｘ为有理数；
（６） ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｙ２ｌｎ（ｘ２＋ｙ２）， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０；
・ ４ ２ １
・ 数学分析习题详解（下）
（７）ｆ（ｘ，ｙ）＝ １
ｓｉｎｘｓｉｎｙ； （８）ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｅ－ｘｙ． 解 （１） 当 ｘ２＋ｙ２＝π
２＋ｋπ＝１＋２ｋ
２ π时，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｔａｎ（ｘ２＋ｙ２）间断，故 ｔａｎ（ｘ２＋ｙ２）的间断曲线为圆族
ｘ２＋ｙ２＝π
２（１＋２ｋ）， ｋ＝０，１，２，…．
（２）当ｘ＋ｙ＝±ｎ 时，ｆ（ｘ，ｙ）＝［ｘ＋ｙ］间断，故［ｘ＋ｙ］的间断曲线为直 线族
ｘ ＋ｙ＝±ｎ， ｎ＝０，１，２，…．
（３）因为对橙（ｘ０，０）∈Ｒ２，ｘ０≠０，有
（ｘ ，ｙ）→（ｘｌｉｍ０，０）ｆ （ｘ ，ｙ）＝（ｘ ，ｙ ）→（ｘｌｉｍ０，０）
ｓｉｎｘｙ
ｙ ＝ｘ０≠ｆ （ｘ０，０）＝０，
所以间断点集为｛（ｘ，ｙ）│ｘ≠０，ｙ＝０｝．
（４）当（ｘ，ｙ）≠（０，０）时，ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｓｉｎｘｙ
ｘ２＋ｙ２连续，当（ｘ ，ｙ）＝（０，０）时，
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｓｉｎｘｙ
ｘ２＋ｙ２
垐
＝（ｘ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｓｉｎｘｙ
ｘｙ ・ ｘｙ ｘ２＋ｙ２
＝１・ （ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｘｙ ｘ２＋ｙ２
＝ｌｉｍｒ→０ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ
ｒ ＝０＝ｆ （０，０），
故 ｆ（ｘ，ｙ）在全平面连续．
（５）对橙（ｘ０，ｙ０）∈Ｒ２，ｙ０≠０，有
ｆ （ｘ０，ｙ０）＝ ０， ｘ０为无理数，
ｙ０， ｘ０为有理数．
ｉ） 当ｘ０为无理数时，取有理点列｛ｘｎ｝，使 ｘｎ→ｘ０（ｎ→∞），则
ｘｌｉｍｎ→ｘ０ ｙ＝ｙ０
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｌｉｍｎ→∞ｆ （ｘｎ，ｙ０）＝ｎ→∞ｌｉｍｙ０＝ｙ０≠０＝ｆ（ｘ０，ｙ０）．
ｉｉ） 当ｘ０为有理数时，取无理点列｛ｘｎ｝，使 ｘｎ→ｘ０（ｎ→∞），则
ｘｌｉｍｎ→ｘ０ ｙ＝ｙ０
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｎ→∞ｌｉｍｆ （ｘｎ，ｙ０）＝ｌｉｍｎ→∞０＝０≠ｙ０＝ｆ （ｘ０，ｙ０）．
而对橙（ｘ０，０）∈Ｒ２，有
（ｘ，ｙ）→（ｘｌｉｍ０，０）ｆ （ｘ ，ｙ）＝０＝ｆ （ｘ０，ｙ０），
・
５
２
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
故 ｆ（ｘ，ｙ）仅在直线 ｙ＝０ 上连续，间断点集为｛（ｘ，ｙ）│ｙ≠０｝．
（６）令ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ．因为
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｙ２ｌｎ（ｘ２＋ｙ２）＝ｌｉｍｒ→０（２ｒ２ｌｎｒ）（ｓｉｎ２θ）＝０＝ｆ （０，０），
所以 ｆ（ｘ，ｙ）在全平面连续．
（７）因为ｆ （ｘ ，ｙ）＝ １
ｓｉｎｘｓｉｎｙ的定义域为
Ｄ ＝｛（ｘ ，ｙ）│ｘ ≠ｋπ，ｙ＝ｋπ，ｋ＝０，±１，±２，…｝，
所以 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｄ 内连续．
（８）因为ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｅ－ｘｙ的定义域为
Ｄ ＝｛（ｘ ，ｙ）│ｘ ∈Ｒ ，ｙ≠０｝，
所以 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｄ 内连续．
２畅叙述并证明二元连续函数的局部保号性．
二元连续函数局部保号性定理：若函数 ｆ （ｘ，ｙ）在 Ｐ０（ｘ０，ｙ０）处连续，且 ｆ （Ｐ０） ＞０（或＜０），则对任何正数 ｒ＜ｆ （Ｐ０）（或 ｒ＜－ｆ （Ｐ０）），存在某邻域 Ｕ （Ｐ０），使对一切 Ｐ （ｘ，ｙ）∈Ｕ （Ｐ０），有
ｆ（Ｐ ）＞ｒ （或 ｆ（Ｐ ）＜－ｒ）．
证 记 Ａ ＝ｆ （Ｐ０），则二元连续函数局部保号性定理为二元函数极限局 部保号性定理的特例，其证明见本章§ ２ 习题 ５．
３畅设
ｆ （ｘ ，ｙ）＝
ｘ
（ｘ２＋ｙ２）ｐ， ｘ２＋ｙ２≠０，
０， ｘ２＋ｙ２＝０
（ｐ ＞０），
试讨论它在（０，０）点处的连续性．
解 令 ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ．因为
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｘ
（ｘ２＋ｙ２）ｐ＝ｌｉｍｒ→０ｒ１－２ｐｃｏｓθ
＝
０， ０＜ｐ ＜１ ２， 不存在， ｐ ≥１
２， 所以当 ０＜ｐ ＜１
２时，ｆ（ｘ，ｙ）在（０，０）点处连续，ｐ ≥１
２时，ｆ （ｘ，ｙ）在（０，０）点
・ ６ ２ １
・ 数学分析习题详解（下）
处不连续．
４畅设 ｆ（ｘ，ｙ）定义在闭矩形域 Ｓ ＝［ａ，ｂ］×［ｃ，ｄ ］．若 ｆ 对 ｙ 在［ｃ，ｄ］上处 处连续，对 ｘ 在［ａ，ｂ］（且关于 ｙ）为一致连续，证明 ｆ 在 Ｓ 上处处连续．
证 对橙Ｐ０（ｘ０，ｙ０）∈Ｓ ，因为 ｆ （ｘ ，ｙ）对 ｙ 在［ｃ，ｄ ］上处处连续，所以对 橙ε＞０，愁δ１＞０，当 ｃ≤ｙ≤ｄ ，│ｙ－ｙ０│＜δ１时，有
│ｆ （ｘ０，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│＜ε／２．
又由于ｆ（ｘ，ｙ）对ｘ 在［ａ，ｂ］上且关于ｙ 一致连续，因而对上面的ε＞０，愁δ２＞０，
当 ｘ１，ｘ２∈［ａ，ｂ］时，对橙ｙ∈［ｃ，ｄ］，在│ｘ１－ｘ２│＜δ２时，有
│ｆ （ｘ１，ｙ）－ｆ（ｘ２，ｙ）│＜ε／２．
取 δ＝ｍｉｎ｛δ１，δ２｝，则当（ｘ，ｙ）∈Ｓ ，│ｘ－ｘ０│＜δ，│ｙ－ｙ０│＜δ时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│≤│ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ）│＋│ｆ （ｘ０，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│＜ε，
即表明 ｆ（ｘ，ｙ）在Ｐ０处连续，由Ｐ０∈Ｓ的任意性，知ｆ（ｘ，ｙ）在Ｓ 上处处连续．
５畅证明：若 Ｄ 炒Ｒ２是有界闭域，ｆ 为 Ｄ 上连续函数，且 ｆ 不是常数函数，
则 ｆ（Ｄ ）不仅有界（定理 １６畅８），而且是闭区间．
证 因为 Ｄ 炒Ｒ２为有界闭域，ｆ （ｘ，ｙ）在 Ｄ 上连续，所以由定理 １６畅８ 知，
ｆ （ｘ ，ｙ）在Ｄ 上取最小值ｍ 和最大值Ｍ ．又由于ｆ 不是常数函数，因而ｍ ＜Ｍ ， 从而对橙μ∈（ｍ ，Ｍ ），由定理１６畅１０（介值性定理）知，愁Ｐ０∈Ｄ ，使ｆ （Ｐ０）＝μ，故 ｆ （Ｄ ）＝［ｍ ，Ｍ ］．
６畅设 ｆ（ｘ，ｙ）在区域 Ｇ 炒Ｒ２上对 ｘ 连续，对ｙ 满足利普希茨条件：
│ｆ （ｘ ，ｙ′）－ｆ（ｘ ，ｙ″）│≤Ｌ │ｙ′－ｙ″│， 其中（ｘ，ｙ′），（ｘ ，ｙ″）∈Ｇ ，Ｌ 为常数，试证明 ｆ 在 Ｇ 上处处连续．
证 首先，若Ｌ ＝０，则由ｆ （ｘ ，ｙ′）＝ｆ （ｘ ，ｙ″）且ｆ（ｘ，ｙ）在Ｇ 上对ｘ 连续，即 知 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｇ 上处处连续．
其次，若Ｌ ＞０，对任给聚点Ｐ０（ｘ０，ｙ０）∈Ｇ ，因为ｆ（ｘ，ｙ）对ｘ 连续，所以对 橙ε＞０，愁δ１＞０，当 Ｐ （ｘ，ｙ０）∈Ｇ ，│ｘ －ｘ０│＜δ１时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ０）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│＜ε／２．
取 δ＝ｍｉｎ δ１，ε
２Ｌ ，则当 Ｐ （ｘ，ｙ）∈Ｇ ，│ｘ－ｘ０│＜δ，│ｙ－ｙ０│＜δ时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│≤│ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ，ｙ０）│＋│ｆ （ｘ ，ｙ０）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│ ＆
≤Ｌ │ｙ－ｙ０│＋ε
２＜Ｌ ・ ε ２Ｌ＋ε
２＝ε．
・
７
２
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
所以ｆ（ｘ，ｙ）在Ｐ０点处连续，由Ｐ０∈Ｇ 的任意性即知ｆ（ｘ，ｙ）在Ｇ 上处处连续．
７畅若一元函数 φ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，令
ｆ （ｘ ，ｙ）＝φ（ｘ ）， （ｘ ，ｙ）∈Ｄ ＝［ａ，ｂ］×（－∞，＋∞）．
试讨论 ｆ 在 Ｄ 上是否连续？ 是否一致连续？
解 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｄ 上连续且一致连续．
因为 φ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，所以φ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续．因而对 橙ε＞０，愁δ＞０，当 ｘ１，ｘ２∈［ａ，ｂ］，│ｘ１－ｘ２│＜δ时，有
│φ（ｘ１）－φ（ｘ２）│＜ε．
由于ｆ（ｘ，ｙ）＝φ（ｘ）与ｙ 无关，所以对橙Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）∈Ｄ ，当│ｘ１－ｘ２│
＜δ，│ｙ１－ｙ２│＜δ（或 ρ（Ｐ１，Ｐ２）＜ ２ δ）时，就有
│ｆ（ｘ１，ｙ１）－ｆ （ｘ２，ｙ２）│＝│φ（ｘ１）－φ（ｘ２）│＜ε．
故 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｄ 上一致连续．
８畅设 ｆ（ｘ，ｙ）＝ １
１－ｘｙ，（ｘ ，ｙ）∈Ｄ ＝［０，１）×［０，１），
证明：ｆ 在Ｄ 上连续，但不一致连续．
证 （１） ｆ（ｘ，ｙ）＝ １
１－ｘｙ在Ｄ 上连续．
因对橙Ｐ０（ｘ０，ｙ０）∈Ｄ ，０≤ｘ０＜１，０≤ｙ０＜１，ｘ０ｙ０＜１，有
（ｘ ，ｙ）→（ｘｌｉｍ０，ｙ０）
１
１－ｘｙ＝ １
１－ｘ０ｙ０＝ｆ （ｘ０，ｙ０），
故 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｄ 上连续．
（２） ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｄ 上不一致连续．
因为对于 ε０＝１，对无论多么小的正数 δ ＜１
２４ ，只要取 Ｐ０（ｘ０，ｙ０）＝ １－δ
２，１－δ
２ ， Ｐ１（ｘ１，ｙ１）＝ １－δ ３，１－δ
３ ∈Ｄ ， 虽然有 ρ（Ｐ１，Ｐ０）＝ （ｘ１－ｘ０）２＋（ｙ１－ｙ０）２＝ １
１８ δ＜δ，
但是 │ｆ （ｘ１，ｙ１）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│＝ １ ｅ
１－ １－δ ３
２－ １
１－ １－δ ２
２
＝ １２－５δ
δ（６－δ）（４－δ）＞１２－５δ
２４δ ＞１２－５ ２４
・ ８ ２ １
・ 数学分析习题详解（下）
＞１＝ε０． 故 ｆ（ｘ，ｙ）＝ １
１－ｘｙ在 Ｄ 内不一致连续．
９畅设ｆ 在Ｒ２上分别对每一自变量ｘ 和ｙ 是连续的，并且每当固定ｘ 时ｆ 对 ｙ 是单调的，证明 ｆ 是Ｒ２上的二元连续函数．
证 任取 Ｐ０（ｘ０，ｙ０）∈Ｒ２，故只须证明ｆ （ｘ，ｙ）在 Ｐ０处连续．
不妨设每当固定 ｘ 时ｆ 对ｙ 是单调递减．因为ｆ（ｘ，ｙ）对ｙ 是连续的，所 以对橙ε＞０，愁δ１＞０，当│ｙ－ｙ０│＜δ１时，有
│ｆ （ｘ０，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│＜ε／２，
即 ｆ（ｘ０，ｙ０）－ε
２＜ｆ （ｘ０，ｙ）＜ｆ （ｘ０，ｙ０）＋ε／２．
又因为ｆ（ｘ，ｙ）对ｘ 是连续的，同样对上面的ε＞０，愁δ２＞０，当│ｘ－ｘ０│＜δ２时，
有
│ｆ （ｘ ，ｙ０＋δ）－ｆ （ｘ０，ｙ０＋δ）│＜ε／２，
即 ｆ （ｘ０，ｙ０＋δ）－ε
２＜ｆ（ｘ ，ｙ０＋δ）＜ｆ （ｘ０，ｙ０＋δ）＋ε ２，
│ｆ （ｘ ，ｙ０－δ）－ｆ （ｘ０，ｙ０－δ）│＜ε ２， 亦即 ｆ （ｘ０，ｙ０－δ）－ε
２＜ｆ（ｘ ，ｙ０－δ）＜ｆ （ｘ０，ｙ０－δ）＋ε ２． 这里，δ＝ｍｉｎ｛δ１，δ２｝，则当│ｘ－ｘ０│＜δ，│ｙ－ｙ０│＜δ时，有
ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）＜ｆ （ｘ ，ｙ０－δ）－ｆ （ｘ０，ｙ０） 珑
＜ｆ （ｘ０，ｙ０－δ）＋ε
２－ｆ （ｘ０，ｙ０）＜ ε ２＋ε
２＝ε，
ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）＞ｆ （ｘ ，ｙ０＋δ）－ｆ （ｘ０，ｙ０） 珑
＞ｆ （ｘ０，ｙ０＋δ）－ε
２－ｆ （ｘ０，ｙ０）＞－ε ２－ε
２＝－ε，
即 │ｆ （ｘ ，ｙ）－ｆ （ｘ０，ｙ０）│＜ε．
这表明 ｆ（ｘ，ｙ）在Ｐ０处连续．
§ ４ 总 练 习 题
１畅设 Ｅ 炒Ｒ２是有界闭集，ｄ（Ｅ ）为 Ｅ 的直径．证明：存在 Ｐ１，Ｐ２∈Ｅ ，使得
・
９
２
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
ρ（Ｐ１，Ｐ２）＝ｄ （Ｅ ）．
证 因为闭集 Ｅ 可能无聚点，所以分下列两种情况加以证明．
情况（１）：设有界闭集Ｅ 炒Ｒ２没有聚点，则Ｅ 中只有有限个孤立点．因为 Ｅ 中若有无限个孤立点，则由聚点定理知 Ｅ 在 Ｒ２中至少有一个聚点，但有界 闭集 Ｅ 无聚点，所以Ｅ 中只有有限个孤立点，由 ｄ（Ｅ ）的定义：
ｄ （Ｅ ）＝Ｐ ，Ｐ ′ｓｕｐ∈Ｅρ（Ｐ ，Ｐ ′），
以及 Ｅ 中点的个数的有限性，即知愁Ｐ１，Ｐ２∈Ｅ 使 ρ（Ｐ１，Ｐ２）＝ｄ （Ｅ ）．
情况（２）：设有界闭集Ｅ 中有聚点，由ｄ（Ｅ ）的定义及上确界的概念，知对 橙δ＞０，愁Ｐ ，Ｐ ′∈Ｅ ，使
ｄ （Ｅ ）－δ＜ρ（Ｐ ，Ｐ ′）≤ｄ （Ｅ ）．
现取一数串 δｎ＝１
ｎ，ｎ＝１，２，…，则得到点列｛Ｐｎ｝炒Ｅ ，｛Ｐ ′ｎ｝炒Ｅ ，使 ｄ （Ｅ ）－δｎ＜ρ（Ｐｎ，Ｐ ′ｎ）≤ｄ （Ｅ ）．
对于有界点列｛Ｐｎ｝炒Ｅ ，无论｛Ｐｎ｝中有无限个互不相同的点（此时可用聚点 定理），还是｛Ｐｎ｝中包含无穷个相同的点，都存在子列｛Ｐｎｋ｝炒｛Ｐｎ｝使
ｋ→∞ｌｉｍＰｎｋ＝Ｐ１∈Ｅ ． 故对数串 δｎｋ＝１
ｎｋ，有
ｄ （Ｅ ）－δｎｋ＜ρ（Ｐｎｋ，Ｐ ′ｎｋ）≤ｄ （Ｅ ）．
同样，对于有界点列｛Ｐ ′ｎｋ｝炒Ｅ ，无论｛Ｐ ′ｎｋ｝中有无限个互不相同的点（此时可 用聚点定理），还是｛Ｐ ′ｎｋ｝中包含无穷个相同的点，都存在子列｛Ｐ ′ｎｋ
ｒ｝炒｛Ｐ ′ｎｋ｝ 炒｛Ｐ ′ｎ｝，使
ｌｉｍｒ→∞Ｐ ′ｎｋ
ｒ＝Ｐ２∈Ｅ ． 由于｛ｎｋｒ｝炒｛ｎｋ｝，所以｛Ｐｎｋｒ｝炒｛Ｐｎｋ｝，故有
ｒ→∞ｌｉｍＰｎｋｒ＝Ｐ１． 最后，对数串 δｎｋ
ｒ＝１ ｎｋｒ
，有
ｄ （Ｅ ）－δｎｋｒ＜ρ（Ｐｎｋｒ，Ｐ ′ｎｋｒ）≤ｄ （Ｅ ）．
・ ０ ３ １
・ 数学分析习题详解（下）
令 ｒ→∞，则有
ρ（Ｐ１，Ｐ２）＝ｄ （Ｅ ）．
２畅设 ｆ （ｘ ，ｙ）＝１
ｘｙ，ｒ＝ ｘ２＋ｙ２，ｋ＞１，
Ｄ１＝ （ｘ ，ｙ） １
ｋｘ ≤ｙ≤ｋｘ ， Ｄ２＝ （ｘ ，ｙ）│ｘ ＞０，ｙ＞０ ． 试分别讨论 ｉ＝１，２ 时极限ｒ→＋∞ｌｉｍ
（ｘ ，ｙ）∈Ｄ ｉ
ｆ （ｘ ，ｙ）是否存在？ 为什么？
解 （１） ｉ＝１ 时，Ｄ１＝ （ｘ ，ｙ） １
ｋ≤ｘ ≤ｋｘ ．若记 α＝ａｒｃｔａｎ １ ｋ，β＝
ａｒｃｔａｎｋ，又令ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，则Ｄ１又可表示为 Ｄ１＝｛（ｒ，θ）│α≤θ≤β，０≤ｒ＜＋∞｝，
这里 ０＜α＜β＜π ２，β＝π
２－α且 α＜π
４．故极限
ｒ→＋∞ｌｉｍ
（ｘ ，ｙ ）∈Ｄ１
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｒ→＋∞ｌｉｍ
α≤θ≤β
１
ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ＝０存在．
（注：因为１
２ ｓｉｎ２α≤ｓｉｎθｃｏｓθ＝１
２ ｓｉｎ２θ≤１，所以 １≤ １
ｓｉｎθｃｏｓθ≤ ２
ｓｉｎ２α有界．）
（２） ｉ＝２时，Ｄ２＝｛（ｘ ，ｙ）│ｘ＞０，ｙ＞０｝为第一象限内的区域．令ｙ＝ｘ，则 ｒ＝ ｘ２＋ｙ２＝ ２ ｘ →＋∞ （ｘ →＋∞），
故 ｒ→＋∞ｌｉｍ
（ｘ ，ｙ）∈Ｄ２
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ →＋∞ｌｉｍ
ｙ＝ｘ
ｆ（ｘ ，ｙ）＝ｘ →＋∞ｌｉｍ １ ｘ２＝０．
又令 ｙ＝ｅ－ｘ（ｘ ＞０），则
ｒ＝ ｘ２＋ｙ２＝ ｘ２＋ｅ－２ｘ→＋∞ （ｘ →＋∞），
故 ｒ→＋∞ｌｉｍ
（ｘ ，ｙ）∈Ｄ２
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｒ→＋∞ｌｉｍ
ｙ＝ｅ－ｘ
ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｘ →＋∞ｌｉｍ ｅｘ
ｘ＝＋∞，
所以极限 ｒ→＋∞ｌｉｍ
（ｘ，ｙ）∈Ｄ２
ｆ （ｘ ，ｙ）不存在．
３畅设ｙ→ｙｌｉｍ
０
φ（ｙ）＝φ（ｙ０）＝Ａ ，ｘ→ｘｌｉｍ
０
ψ（ｘ ）＝ψ（ｘ０）＝０，且在（ｘ０，ｙ０）附近有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－φ（ｙ）│≤ψ（ｘ ）．证明
・
１
３
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
（ｘ，ｙ）→（ｘｌｉｍ０，ｙ０）ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ． 证 因为ｙ→ｙｌｉｍ
０
φ（ｙ）＝φ（ｙ０）＝Ａ ，所以对橙ε＞０，愁δ１＞０，当│ｙ－ｙ０│＜δ１ 时，有
│φ（ｙ）－φ（ｙ０）│＝│φ（ｙ）－Ａ │＜ε／２．
又由ｘ →ｘｌｉｍ０
ψ（ｘ ）＝ψ（ｘ０）＝０，同样对上面的 ε＞０，愁δ２＞０，当│ｘ－ｘ０│＜δ２时，有
│ψ（ｘ ）－ψ（ｘ０）│＝│ψ（ｘ）－０│＝ψ（ｘ ）＜ε／２．
再由已给条件，知愁δ３＞０，当（ｘ，ｙ）∈Ｕ （（ｘ０，ｙ０）；δ３）时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－φ（ｙ）│≤ψ（ｘ ）．
令 δ＝ｍｉｎ｛δ１，δ２，δ３｝，则当（ｘ，ｙ）∈Ｕ （（ｘ０，ｙ０）；δ）时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │≤│ｆ （ｘ ，ｙ）－φ（ｙ）│＋│φ（ｙ）－Ａ │≤ψ（ｘ ）＋│φ（ｙ）－Ａ │
＜ε／２＋ε／２＝ε．
故 （ｘ，ｙ）→（ｘｌｉｍ
０，ｙ０）ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ． ４畅设 ｆ 为定义在 Ｒ２上的连续函数，α是任一实数，
Ｅ ＝｛（ｘ ，ｙ）│ｆ （ｘ ，ｙ）＞α，（ｘ，ｙ）∈Ｒ２｝，
Ｆ ＝｛（ｘ ，ｙ）│ｆ （ｘ ，ｙ）≥α，（ｘ，ｙ）∈Ｒ２｝．
证明：Ｅ 是开集，Ｆ 是闭集．
证 （１） 取橙Ｐ０（ｘ０，ｙ０）∈Ｅ ，则 ｆ（ｘ０，ｙ０）＞α，即 ｆ （ｘ０，ｙ０）－α＞０，
由于 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｐ０处连续，所以 ｆ（ｘ，ｙ）－α也在Ｐ０处连续，且
（ｘ ，ｙ）→（ｘｌｉｍ０，ｙ０）（ｆ （ｘ ，ｙ）－α）＝ｆ （ｘ０，ｙ０）－α＞０，
故由连续函数局部保号性定理知愁δ＞０，使当（ｘ，ｙ）∈Ｕ （Ｐ０；δ）时，有 ｆ （ｘ ，ｙ）－α＞０， 即 ｆ（ｘ，ｙ）＞α，
这表明
Ｕ （Ｐ０；δ）炒Ｅ ， 即 Ｐ０为 Ｅ 的内点，因而 Ｅ 为开集．
（２）因为Ｆ ＝Ｒ２／Ｅ ，又Ｒ２为闭集，而Ｅ 为开集，故由§ １ 习题１０ 知Ｆ 为闭 集．
５畅设 ｆ 在有界开集 Ｅ 上一致连续．证明：
・ ２ ３ １
・ 数学分析习题详解（下）
（１）可将ｆ 连续延拓到Ｅ 的边界；
（２） ｆ在 Ｅ 上有界．
证 （１） ｆ 能连续延拓到 Ｅ 的边界，是指：对橙Ｐ０（ｘ０，ｙ０）∈抄 Ｅ ，若极限
Ｐ →Ｐｌｉｍ０ Ｐ ∈Ｅ
ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ （Ａ 为有限数）存在，则定义ｆ（Ｐ０）＝Ａ ，就可以使ｆ（ｘ，ｙ）在Ｐ０
处连续．
首先，由ｆ 在有界开集Ｅ 上一致连续可知，对橙ε＞０，愁δ＞０，当Ｐ１（ｘ１，ｙ１），
Ｐ２（ｘ２，ｙ２）∈Ｅ ，ρ（Ｐ１，Ｐ２）＜δ时，有
│ｆ （Ｐ１）－ｆ（Ｐ２）│＜ε． ① 现对橙Ｐ０（ｘ０，ｙ０）∈抄 Ｅ ，由于开集 Ｅ 中每一点均为内点，而界点 Ｐ０∈抄 Ｅ 的任何邻域内既有Ｅ 中的点也有不属于Ｅ 中的点，所以Ｐ０为Ｅ 的聚点．在Ｅ 中任取满足条件 Ｐｎ≠Ｐ０，ｌｉｍｎ→∞Ｐｎ＝Ｐ０的点列｛Ｐｎ｝，下面证明点列｛ｆ （Ｐｎ）｝收 敛．
由ｎ→∞ｌｉｍＰｎ＝Ｐ０可知，对上面的 δ＞０，愁Ｎ ∈Ｎ＋，当 ｎ＞Ｎ ，ｍ ＞Ｎ 时，有 ρ（Ｐｎ，Ｐ０）＜δ／２， ρ（Ｐｍ，Ｐ０）＜δ／２，
从而 ρ（Ｐｎ，Ｐｍ）＜δ／２＋δ／２＝δ．
再由式①，有 │ｆ （Ｐｎ）－ｆ （Ｐｍ）│＜ε．
所以点列｛ｆ（Ｐｎ）｝为柯西点列，故｛ｆ（Ｐｎ）｝收敛．由定理１６畅５ 的推论３ 即知极 限Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｅ
ｆ （Ｐ ）存在．故 ｆ 可以连续延拓到 Ｐ０∈抄 Ｅ ，即 ｆ 可连续延拓到 抄Ｅ ．
（２）设Ｆ ＝Ｅ ∪抄Ｅ ，则Ｆ 为有界闭集，由（１）的证明知ｆ 为有界闭集Ｆ 上的 连续函数，因而 ｆ 在Ｆ 上有界，从而ｆ 在 Ｅ 上有界．
６畅设 ｕ＝φ（ｘ，ｙ）与 ｖ＝ψ（ｘ ，ｙ）在 ｘｙ 平面中的点集 Ｅ 上一致连续；φ与 ψ 把点集Ｅ 映射为ｕｖ 平面中的点集Ｄ ，ｆ （ｕ，ｖ）在Ｄ 上一致连续．证明复合函数 ｆ （φ（ｘ ，ｙ），ψ（ｘ ，ｙ））在 Ｅ 上一致连续．
证 因为 ｆ（ｕ，ｖ）在 Ｄ 上一致连续，所以对橙ε＞０，愁δ＞０，对橙Ｐ１（ｕ１，ｖ１），
Ｐ２（ｕ２，ｖ２）∈Ｄ ，当 ρ（Ｐ１，Ｐ２）＜δ时，有
│ｆ （Ｐ１）－ｆ（Ｐ２）│＜ε．
又因为ｕ＝φ（ｘ，ｙ），ｖ＝ψ（ｘ，ｙ）在ｘｙ 平面中的点集Ｅ 上一致连续，故对上面的 δ＞０，愁τ＞０，对橙Ｑ１（ｘ１，ｙ１），Ｑ２（ｘ２，ｙ２）∈Ｅ ，当 ρ（Ｑ１，Ｑ２）＜τ时，有
・
３
３
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
│ｕ１－ｕ２│＝│φ（Ｑ１）－φ（Ｑ２）│＜δ／２，
│ｖ１－ｖ２│＝│ψ（Ｑ１）－ψ（Ｑ２）│＜δ／２．
综合上述，对上面的橙ε＞０，愁τ＞０，对橙Ｑ１，Ｑ２∈Ｅ ，当 ρ（Ｑ１，Ｑ２）＜τ时，有 ρ（（ｕ１，ｖ１），（ｕ２，ｖ２））≤│ｕ１－ｕ２│＋│ｖ１－ｖ２│＜δ，
从而 │ｆ （φ（Ｑ１），ψ（Ｑ１））－ｆ （φ（Ｑ２），ψ（Ｑ２））│＝│ｆ （Ｐ１）－ｆ （Ｐ２）│＜ε．
这表明 ｆ（φ（ｘ，ｙ），ψ（ｘ ，ｙ））在 Ｅ 上一致连续．
７畅设 ｆ（ｔ）在区间（ａ，ｂ）内连续可导，函数 Ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｆ （ｘ ）－ｆ （ｙ）
ｘ －ｙ （ｘ ≠ｙ），Ｆ （ｘ，ｘ ）＝ｆ′（ｘ ） 定义在区域 Ｄ ＝（ａ，ｂ）×（ａ，ｂ）内．证明：对任何 ｃ∈（ａ，ｂ），有
（ｘ ，ｙ ）→（ｃ，ｃ）ｌｉｍ Ｆ （ｘ，ｙ）＝ｆ ′（ｃ）．
证 取 Δｘ≠Δｙ，使 ｘ ＝ｃ＋Δｘ ∈（ａ，ｂ），ｙ＝ｃ＋Δｙ∈（ａ，ｂ），不妨设 Δｘ ＜ Δｙ，由 ｆ（ｔ）在（ａ，ｂ）内连续可导知ｆ （ｔ）在闭区间［ｃ＋Δｘ ，ｃ＋Δｙ］上连续，在开 区间（ｃ＋Δｘ，ｃ＋Δｙ）内可导，则由拉格朗日中值定理知，愁ξ＝ｃ＋Δｘ ＋θ（Δｙ
－Δｘ ）∈（ｃ＋Δｘ，ｃ＋Δｙ），０＜θ＜１，使 ｆ （ｘ ）－ｆ （ｙ）
ｘ －ｙ ＝ｆ （ｃ＋Δｘ ）－ｆ （ｃ＋Δｙ） 牋
Δｘ －Δｙ ＝ｆ ′（ξ）
＝ｆ ′（ｃ＋Δｘ ＋θ（Δｙ－Δｘ））， ０＜θ＜１．
利用 ｆ′（ｔ）的连续性，则有
（ｘ ，ｙ）→（ｃ，ｃ）ｌｉｍ Ｆ （ｘ ，ｙ）＝（Δｘ ，Δｙ ）→（０，０）ｌｉｍ Ｖ
ｆ （ｃ＋Δｘ ）－ｆ（ｃ＋Δｙ）
Δｘ －Δｙ
＝（Δｘ ，Δｙ ）→（０，０）ｌｉｍ ｆ′（ｃ＋Δｘ ＋θ（Δｙ－Δｘ））＝ｆ ′（ｃ）．