１畅试求下列极限（包括非正常极限）：
（１）（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｘ２ｙ２
ｘ２＋ｙ２； （２）（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ 北
１＋ｘ２＋ｙ２ ｘ２＋ｙ２ ；
（３）（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｘ２＋ｙ２ １＋ｘ２＋ｙ２－１
； （４）（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｘｙ＋１ ｘ４＋ｙ４；
（５）（ｘ ，ｙ）→（１，２）ｌｉｍ １
２ｘ －ｙ； （６）（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ （ｘ ＋ｙ）ｓｉｎ １ ｘ２＋ｙ２；
（７）（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２） ｘ２＋ｙ２ ． 解 （１） 因为 ０≤ ｘ２ｙ２
ｘ２＋ｙ２≤ ｘ２ｙ２ ２│ｘ ││ｙ│＝１
２│ｘ ││ｙ│→０（（ｘ ，ｙ）→（０，０）），所 以
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｘ２ｙ２ ｘ２＋ｙ２＝０．
（２）作极坐标代换．令ｘ ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
１＋ｘ２＋ｙ２ ｘ２＋ｙ２ ＝ｌｉｍｒ→０
１＋ｒ２
ｒ２ ＝＋∞．
（３）令ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｘ２＋ｙ２ １＋ｘ２＋ｙ２－１
＝ｌｉｍｒ→０
ｒ２ １＋ｒ２－１
＝ｌｉｍｒ→０ １＋ １＋ｒ２ ＝２．
（４）令ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，则
・
５
１
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
（ｘ ，ｙ ）→（０，０）ｌｉｍ ｘｙ ＋１
ｘ４＋ｙ４＝ｌｉｍｒ→０ ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ＋１ ｒ４（ｃｏｓ４θ＋ｓｉｎ４θ）． 对橙Ｍ ＞０，因为ｒ→０，所以不妨设 ０＜ｒ＜１，由于
ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ＋１ ｒ４（ｃｏｓ４θ＋ｓｉｎ４θ）＝
１
２ｒ２ｓｉｎ２θ＋１ ｒ４・ １
４（３＋ｃｏｓ４θ）＝４＋２ｒ２ｓｉｎ２θ ｒ４（３＋ｃｏｓ４θ）＞２
４ｒ４，
取 δ＝ｍｉｎ １， ４ １
２Ｍ ，则当 ０＜ｒ＜δ 时，便有 ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ＋１ ｒ４（ｃｏｓ４θ＋ｓｉｎ４θ）＞Ｍ ．
故 （ｘ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｘｙ＋１
ｘ４＋ｙ４＝＋∞．
（５）因为（ｘ ，ｙ）→（１，２）ｌｉｍ （２ｘ －ｙ）＝０，由无穷小与无穷大之间的关系，知
（ｘ，ｙ）→（１，２）ｌｉｍ １
２ｘ －ｙ＝∞．
（６）因为（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ （ｘ ＋ｙ）＝０，而 ｓｉｎ １
ｘ２＋ｙ２ ≤１，利用有界函数与无穷 小之积仍为无穷小，即知
（ｘ ，ｙ ）→（０，０）ｌｉｍ （ｘ ＋ｙ）ｓｉｎ １ ｘ２＋ｙ２＝０．
（７）令ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）
ｘ２＋ｙ２ ＝ｌｉｍｒ→０ ｓｉｎｒ２ ｒ２ ＝１．
２畅讨论下列函数在（０，０）点的重极限与累次极限：
（１）ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｙ２
ｘ２＋ｙ２； （２）ｆ （ｘ ，ｙ）＝（ｘ ＋ｙ）ｓｉｎ １ ｘ ｓｉｎ
１ ｙ；
（３）ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｘ２ｙ２
ｘ２ｙ２＋（ｘ －ｙ）２； （４）ｆ （ｘ ，ｙ）＝ｘ３＋ｙ３ ｘ２＋ｙ；
（５） ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙｓｉｎ １
ｘ； （６） ｆ （ｘ ，ｙ）＝ ｘ２ｙ２ ｘ３＋ｙ３；
（７）ｆ（ｘ，ｙ）＝ｅ
ｘ－ｅｙ ｓｉｎｘｙ． 解 （１） 令 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０），则
・ ６ １ １
・ 数学分析习题详解（下）
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｌｉｍｙ→０ｌｉｍｘ →０ｘ３＋ｙ３
ｘ２＋ｙ＝ｌｉｍｙ →０ｙ２＝０．
（５）因为（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｙ＝０，而 ｓｉｎ １
ｘ ≤１，所以重极限
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｙｓｉｎ １ ｘ＝０．
累次极限 ｌｉｍｘ →０ｌｉｍｙ→０ｙｓｉｎ １
ｘ＝ｌｉｍｘ →００＝０，
ｌｉｍｙ→０ｌｉｍｘ →０ｙｓｉｎ １
ｘ＝ｌｉｍｙ→０ ｙｌｉｍｘ →０ｓｉｎ １ ｘ 不存在．
（６）令ｙ＝ｘ，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｙ＝ｘ
ｘ２ｙ２
ｘ３＋ｙ３＝ｌｉｍｘ →０ ｘ４ ２ｘ３＝０，
又令 ｘ＝ｙ２－ｙ，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｘ ＝ｙ２－ｙ
ｘ２ｙ２ ｘ３＋ｙ３＝ｌｉｍｙ→０
ｙ２（ｙ４－２ｙ３＋ｙ２） ｙ３＋（ｙ６－３ｙ５＋３ｙ４－ｙ３）＝１
３． 所以重极限不存在．
累次极限 ｌｉｍｘ →０ｌｉｍｙ→０
ｘ２ｙ２
ｘ３＋ｙ３＝ｌｉｍｘ →００＝０，
ｌｉｍｙ→０ｌｉｍｘ →０ ｘ２ｙ２
ｘ３＋ｙ３＝ｌｉｍｙ →００＝０．
（７）令ｙ＝ｘ，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｙ＝ｘ
ｅｘ－ｅｙ
ｓｉｎｘｙ＝ｌｉｍｘ →０ ０ ｓｉｎｘ２＝０，
又令 ｘ＝ｙ－ｙ２，则
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｘ＝ｙ－ｙ２
ｅｘ－ｅｙ
ｓｉｎｘｙ＝ｌｉｍｙ→０ｅｙ（ｅ－ｙ２－１）
ｓｉｎ（ｙ２－ｙ３）＝ｌｉｍｙ→０ －ｙ２ ｙ２－ｙ３＝－１，
所以重极限不存在．
累次极限ｌｉｍｘ →０ｌｉｍｙ→０ｅｘ－ｅｙ
ｓｉｎｘｙ 与ｌｉｍｙ→０ｌｉｍｘ →０ｅｘ－ｅｙ
ｓｉｎｘｙ 都不存在．
３畅证明：若 １°（ｘ ，ｙ ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ（ｘ，ｙ）存在且等于 Ａ ；２°ｙ 在 ｂ 的某邻域内，存在
・ ８ １ １
・ 数学分析习题详解（下）
有ｌｉｍｘ →ａｆ（ｘ ，ｙ）＝φ（ｙ），则ｌｉｍｙ→ｂｌｉｍｘ→ａｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ． 证 依题意，即证
ｌｉｍｙ→ｂｌｉｍｘ→ａｆ （ｘ ，ｙ）＝ｌｉｍｙ→ｂφ（ｙ）＝Ａ ． 设 ｙ∈Ｕ （ｂ；δ１），因为
（ｘ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ（ｘ ，ｙ）＝Ａ ，
所以对橙ε＞０，愁δ２＞０，当 ０＜│ｘ－ａ│＜δ２，０＜│ｙ－ｂ│＜δ２时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＜ε．
又因为 ｌｉｍｘ →ａｆ （ｘ ，ｙ）＝φ（ｙ）， ｙ∈Ｕ （ｂ；δ１），
愁δ３＞０，当 ０＜│ｘ－ａ│＜δ３，│ｙ－ｂ│＜δ１时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－φ（ｙ）│＜ε．
取 δ＝ｍｉｎ｛δ１，δ２，δ３｝，则对上面的 ε＞０，当 ０＜│ｘ－ａ│＜δ，０＜│ｙ－ｂ│＜δ 时，
有
│φ（ｙ）－Ａ │≤│φ（ｙ）－ｆ （ｘ，ｙ）│＋│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＜２ε．
故 ｌｉｍｙ→ｂｌｉｍｘ →ａｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ． ４畅试应用 ε唱δ定义证明：
（ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ ｘ２ｙ ｘ２＋ｙ２＝０．
证 因为对橙ｘ，ｙ∈Ｒ ，有ｘ２＋ｙ２≥２│ｘ │・ │ｙ│，因此 ｘ２ｙ
ｘ２＋ｙ２－０ ＝ｘ２│ｙ│
ｘ２＋ｙ２≤１ ２│ｘ │， 所以，对橙ε＞０，取 δ＝２ε，则当 ０＜│ｘ│＜δ，０＜│ｙ│＜δ 时，就有
ｘ２ｙ
ｘ２＋ｙ２－０ ＜ε．
故 （ｘ ，ｙ）→（０，０）ｌｉｍ
ｘ２ｙ ｘ２＋ｙ２＝０．
５畅叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理，局部有界性定理与局部保 号性定理．
（１）二元函数极限的惟一性定理：若（ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）存在，则此极限惟 一．
（ ２）二元函数局部有界性定理：若（ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ ）存在，则 ｆ （ｘ，ｙ）在
・
９
１
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
Ｐ０（ａ，ｂ）的某一空心邻域内有界．
（３）二元函数的局部保号性定理：若（ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ＞０（或＜０），则 对任何正数 ｒ＜Ａ （或 ｒ＜－Ａ ），存在 Ｕ °（Ｐ０），使得对一切（ｘ，ｙ）∈Ｕ °（Ｐ０）有
ｆ （ｘ ，ｙ）＞ｒ＞０ （或 ｆ（ｘ，ｙ）＜－ｒ＜０）．
证 （１） 反证法：假设
（ｘ ，ｙ ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ（ｘ ，ｙ）＝Ａ ， （ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ｂ ，且Ａ ＜Ｂ ． 因为（ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ，所以，对给定的 ε０＝Ｂ －Ａ
２ ＞０，愁δ１＞０，当（ｘ，ｙ）∈
Ｕ °（（ａ，ｂ）；δ１）时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＜ε０，
即 ３Ａ －Ｂ
２ ＜ｆ （ｘ，ｙ）＜Ａ ＋Ｂ ２ ；
同理，由（ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ｂ ，对上面的 ε０＞０，愁δ２＞０，当（ｘ，ｙ）∈Ｕ °（（ａ，ｂ）；
δ２）时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ｂ │＜ε０，
即 Ａ ＋Ｂ
２ ＜ｆ （ｘ ，ｙ）＜３Ｂ －Ａ ２ ． 取 δ＝ｍｉｎ｛δ１，δ２｝，则当（ｘ，ｙ）∈Ｕ °（（ａ，ｂ）；δ）时，有
Ａ ＋Ｂ
２ ＜ｆ （ｘ ，ｙ）＜Ａ ＋Ｂ ２ ． 故矛盾，所以假设不对，即极限惟一．
（２）由于极限（ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ 存在，所以，对 ε０＝１，愁δ＞０，当（ｘ，ｙ）
∈Ｕ °（Ｐ０；δ）时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＜ε０＝１，
于是 │ｆ （ｘ ，ｙ）│＝│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ ＋Ａ │≤│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＋│Ａ │＜１＋Ａ
＝Ｍ ， （ｘ ，ｙ）∈Ｕ °（Ｐ０；δ）
故 ｆ（ｘ，ｙ）在 Ｕ °（Ｐ０；δ）内有界．
（ ３）设 Ａ ＞０（对于 Ａ ＜０ 的情况可类似地证明），对橙ｒ∈（０，Ａ ）， 由
（ｘ ，ｙ）→（ａ，ｂ）ｌｉｍ ｆ （ｘ，ｙ）＝Ａ ，则对 ε０＝Ａ －ｒ＞０，愁δ＞０，当（ｘ，ｙ）在 Ｕ °（Ｐ０；δ）时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＜ε０＝Ａ －ｒ，
・ ０ ２ １
・ 数学分析习题详解（下）
即 ｆ （ｘ ，ｙ）＞Ａ －ε０＝ｒ．
故结论成立．
６畅试写出下列类型极限的精确定义：
（１）（ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ； （２）（ｘ ，ｙ ）→（０，＋∞）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ． ＠
解 （１） 若对橙ε＞０，愁Ｍ ＞０，当 ｘ＞Ｍ ，ｙ＞Ｍ 时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＜ε．
则称（ｘ，ｙ）→（＋∞，＋∞）时，ｆ（ｘ，ｙ）以 Ａ 为极限，记为
（ｘ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝Ａ ．
（２）若对橙ε＞０，愁δ＞０，Ｍ ＞０，当 ０＜│ｘ│＜δ 且ｙ＞Ｍ 时，有
│ｆ （ｘ ，ｙ）－Ａ │＜ε．
则称（ｘ，ｙ）→（０，＋∞）时，ｆ（ｘ，ｙ）以 Ａ 为极限，记为
（ｘ ，ｙ）→（０，＋∞）ｌｉｍ ｆ（ｘ ，ｙ）＝Ａ ． ７畅试求下列极限：
（１）（ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ ｘ２＋ｙ２
ｘ４＋ｙ４； （２）（ｘ ，ｙ ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ （ｘ２＋ｙ２）ｅ－（ｘ ＋ｙ）；
（３）（ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ １＋１ ｘｙ
ｘｓｉｎｙ
； （４）（ｘ ，ｙ ）→（＋∞，０）ｌｉｍ １＋１ ｘ
ｘ ２ ｘ ＋ｙ． 解 （１） 利用极坐标代换．令 ｘ ＝ｒｃｏｓθ，ｙ ＝ｒｓｉｎθ，当（ｘ，ｙ）→（＋∞，
＋∞）时，ｒ→＋∞，由于 ０＜ｘ２＋ｙ２
ｘ４＋ｙ４＝ ｒ２
ｒ４（ｃｏｓ４θ＋ｓｉｎ４θ）＝１ ｒ２
４
（３＋ｃｏｓ４θ）≤４
２ｒ２→０ （ｒ→＋∞），
故 （ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ
ｘ２＋ｙ２ ｘ４＋ｙ２＝０．
（２）（ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ （ｘ２＋ｙ２）ｅ－（ｘ ＋ｙ ） Ｚ
＝（ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ ［ｘ２ｅ－ｘｅ－ｙ＋ｙ２ｅ－ｙｅ－ｘ］
＝ｘ →＋∞ｌｉｍ （ｘ２ｅ－ｘ）・ ｙ→＋∞ｌｉｍ ｅ－ｙ＋ｙ→＋∞ｌｉｍ （ｙ２ｅ－ｙ）・ ｘ →＋∞ｌｉｍ ｅ－ｘ＝０． 儋
（３）（ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ １＋１ ｘｙ
ｘｓｉｎｙ 剟
＝（ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ １＋１ ｘｙ
ｘｙ ｓｉｎｙ ｙ
＝ （ｘ ，ｙ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ １＋１ ｘｙ
ｘｙ ｌｉｍ ｙ→＋∞
ｓｉｎｙｙ
・
１
２
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
＝ｅ１＝ｅ．
（４）（ｘ ，ｙ）→（＋∞，０）ｌｉｍ １＋１ ｘ
ｘ ２
ｘ ＋ｙ＝ ｘ→＋∞ｌｉｍ １＋１ ｘ
ｘ ｌｉｍ
（ｘ ，ｙ ）→（＋∞，０）
ｘ ｘ ＋ｙ
＝ｅ１＝ｅ．
８畅试作一函数 ｆ（ｘ，ｙ）使当 ｘ→＋∞，ｙ→＋∞时，
（１）两个累次极限存在而重极限不存在；
（２）两个累次极限不存在而重极限存在；
（３）重极限与累次极限都不存在；
（４）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．
解 （１） 令 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｙ２ ｘ２＋ｙ２，则
ｘ→＋∞ｌｉｍ ｙ→＋∞ｌｉｍ ｙ２
ｘ２＋ｙ２＝１， ｙ→＋∞ｌｉｍ ｘ →＋∞ｌｉｍ ｙ２ ｘ２＋ｙ２＝０，
但由定理 １６畅６ 的推论 ２ 知重极限不存在．
（２）令ｆ（ｘ，ｙ）＝１
ｘ ｓｉｎｘｃｏｓｙ＋１
ｙ ｓｉｎｙｃｏｓｘ，由于
ｙ→＋∞ｌｉｍ ｘ →＋∞ｌｉｍ １
ｘ ｓｉｎｘｃｏｓｙ＝ ｌｉｍｙ→＋∞ ｃｏｓｙ ｌｉｍｘ →＋∞１
ｘ ｓｉｎｘ ＝ｙ→＋∞ｌｉｍ ０＝０，
但是ｘ →＋∞ｌｉｍ ｃｏｓｘ 不存在，故 ｌｉｍｙ→＋∞ｘ →＋∞ｌｉｍｆ （ｘ ，ｙ）不存在．同理ｘ →＋∞ｌｉｍ ｙ→＋∞ｌｉｍ ｆ （ｘ，ｙ）也 不存在．
又因为│ｓｉｎｘｃｏｓｙ│≤１，│ｓｉｎｙｃｏｓｘ│≤１，所以
（ｘ ，ｙ ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ １
ｘ ｓｉｎｘｃｏｓｙ＝０，
（ｘ ，ｙ ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ １
ｙ ｓｉｎｙｃｏｓｘ＝０，
即（ｘ ，ｙ ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ ｆ （ｘ ，ｙ）＝０，故重极限存在．
（３）令 ｆ （ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎｙ＋ｙｃｏｓｘ，则易知，当ｘ→＋∞，ｙ→＋∞时，重极限 与两个累次极限均不存在．
（４）令ｆ（ｘ，ｙ）＝１
ｘ ｃｏｓｙ，则
（ｘ ，ｙ ）→（＋∞，＋∞）ｌｉｍ １
ｘ ｃｏｓｙ＝０，
ｙ→＋∞ｌｉｍ ｘ→＋∞ｌｉｍ １
ｘ ｃｏｓｙ＝ｙ→＋∞ｌｉｍ ０＝０，
・ ２ ２ １
・ 数学分析习题详解（下）
但ｘ →＋∞ｌｉｍ ｙ→＋∞ｌｉｍ １
ｘ ｃｏｓｙ不存在．
９畅证明定理 １６畅５ 及其推论 ３．
（１）定理 １６畅５：Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ 的充要条件是，对于 Ｄ 的任一子集 Ｅ ，只要 Ｐ０是 Ｅ 的聚点，就有
Ｐ →Ｐｌｉｍ０ Ｐ ∈Ｅ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ ．
（２）推论３：极限Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ （Ｐ ）存在的充要条件是，对于Ｄ 中任一满足条件Ｐｎ
≠Ｐ０且ｎ→∞ｌｉｍＰｎ＝Ｐ０的点列｛Ｐｎ｝，它所对应的函数列｛ｆ（Ｐｎ）｝都收敛．
证 （１） 必要性：设Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ ，所以对橙ε＞０，愁δ＞０，当Ｐ ∈Ｕ °（Ｐ０；δ）
∩Ｄ 时，有
│ｆ （Ｐ ）－Ａ │＜ε．
由于 Ｅ 炒Ｄ ，Ｐ０为 Ｅ 的聚点，所以 Ｕ °（Ｐ０；δ）∩Ｅ ≠碬，故当 Ｐ ∈Ｕ °（Ｐ０；δ）
∩Ｅ 炒Ｕ °（Ｐ０；δ）∩Ｄ 时，有
│ｆ （Ｐ ）－Ａ │＜ε，
即表明 Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｅ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ ． 充分性：设 Ｅ 炒Ｄ ，Ｐ０为 Ｅ 的聚点，
Ｐ →Ｐｌｉｍ０ Ｐ ∈Ｅ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ ．
下 面采用反证法：假设Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ （Ｐ ）≠Ａ ，则必愁ε０，对橙δｎ＝１
ｎ＞０，愁Ｐｎ∈ Ｕ °（Ｐ０；δｎ）∩Ｄ ，使│ｆ（Ｐｎ）－Ａ │≥ε０且 Ｐｎ互不相同．
因为 Ｅ ＝｛Ｐｎ｝炒Ｄ ，ｎ→∞ｌｉｍρ（Ｐｎ，Ｐ０）≤ｎ→＋∞ｌｉｍ １ ｎ＝０，
所以 Ｐ０为 Ｅ 的聚点，这与条件Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｅ
ｆ （Ｐ ）＝ｎ→∞ｌｉｍｆ （Ｐｎ）＝Ａ 相矛盾，故假设不 对，即有
Ｐ →Ｐｌｉｍ０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ ．
・
３
２
１
第十六章 多元函数的极限与连续 ・
（２）必要性：设Ｐ →Ｐｌｉｍ
０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ ，令 Ｅ ＝｛Ｐｎ｝炒Ｄ ，由 Ｐｎ≠Ｐ０，ｎ→∞ｌｉｍＰｎ＝Ｐ０，知 Ｐ０为 Ｅ 的聚点，故由上面已证的定理 １６畅５，即知
Ｐ →Ｐｌｉｍ０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ（Ｐ ）＝Ｐ →Ｐｌｉｍ０ Ｐ ∈Ｅ
ｆ （Ｐ ）＝ｌｉｍｎ→∞ｆ （Ｐｎ）＝Ａ ．
充分性：设当 Ｐ０≠Ｐｎ∈Ｄ ，ｎ→∞ｌｉｍＰｎ＝Ｐ０时，有ｎ→∞ｌｉｍｆ （Ｐｎ）＝Ａ 收敛．
首先，应说明的是上面的极限是惟一的．采用反证法：假设 愁｛Ｐ（１）ｎ ｝炒Ｄ ， ｛Ｐ（２）ｎ ｝炒Ｄ ， ｎ→∞ｌｉｍＰ（１）ｎ ＝ｎ→∞ｌｉｍＰ（２）ｎ ＝Ｐ０， 且 ｎ→∞ｌｉｍｆ （Ｐ（１）ｎ ）＝Ａ ， ｌｉｍｎ→∞ｆ （Ｐｎ（２））＝Ｂ ，
但 Ａ ＜Ｂ ，则对于给定的 ε０＝Ｂ －Ａ
２ ＞０，愁Ｎ ∈Ｎ＋，当 ｎ＞Ｎ 时，有 ｆ （Ｐ（１）ｎ ）＜Ａ ＋ε０＝Ａ ＋Ｂ
２ ＝Ｂ －ε０＜ｆ （Ｐｎ（２））．
故发生矛盾，即假设不对，所以 Ａ ＝Ｂ ．
其次，利用类似于定理 １６畅５ 充分性证明中采用的反证法可证
Ｐ →Ｐｌｉｍ０ Ｐ ∈Ｄ
ｆ （Ｐ ）＝Ａ ．