1 × 4 MMI 高階模態效應

5. 1 元件架構

圖 5.1-1 元件架構圖

圖 5.1-1 所示為 1

×4 power-splitter 的元件^[11]，光波入射至 MMI 後，會干涉出四倍的 self-imaging，這樣的結構只激發 even mode。

表 5.1-1 元件參數

元件參數定義 設定值

入射波長 ^{1.064 mμ}

Core 折射率 3.5

Cladding 折射率 ₁

輸入輸出波導寬度 ^{2.6 mμ}

MMI 寬度 ^{40 mμ}

模態數 200

n

1

n

2

n

²

W

L ω

ω

若為 TE 極化入射，根據式(1.2-1)，估計W_e0 =40.101μm，則最初 的兩個模態為β₀ =20.6682、β₁=20.6678，並由這兩個模態依式(1.2-4) 定義L_π =7053μm，1×4 MMI 元件干涉 4 個鏡像，利用式(1.2-21)可近 似估計傳播距離為L=1322μm，允許的範圍為δL=17μm。

z direction (μ^m) x direction (μm)

0 200 400 600 800 1000 1200

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

圖 5.1-2 1×4 power splitter 能量分佈圖

根據[12]所計算出的穿透能量為1.00030301996908，近似於 1，且 忽略反射能量，因此，Soldano 近似理論可支援這樣的結構。表(5.1-2) 所示為利用 FEMET 及 CTMIE 做穿透能量的比較。

Transmission Reflection Soldano

1.00030301996908 ×

FEMET

0.98911108256600 ×

CTMIE

0.99592691274933 0.00407055354242 表 5.1-2 穿透能量比較(ω=2.6 mμ )

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x direction (μ^m)

Intensity

圖 5.1-3 z=1322μm能量剖面圖(ω =2.6μm)

5. 2 高階模態效應

Soldano 近似理論的條件，由式(1.2-3)近似波導的β值，而其中式 (1.2-1)則將每個模態的有效寬度近似成 fundamental mode 的有效寬 度，甚至更直接近似於結構寬度W_M，會與實際β有所誤差，表(5-3) 所示為模態精確度的誤差，相位差為

(

βv βv^'

)

L¹⁸⁰

− π (5.2-1)

Mode βv β_v′ 相位差

0 20.668224245365 20.66822424589 0.00004^o

10 20.650399 20.650407 0.5898 ^o

20 20.60279 20.60290 7.8521 ^o

30 20.52519 20.52569 37.427 ^o

40 20.4173 20.4188 115.12 ^o

50 20.2785 20.2822 277.47 ^o

60 20.1083 20.1159 572.61 ^o

70 19.9059 19.9199 1061.4 ^o

80 19.6702 19.6942 1818.9 ^o

90 19.4001 19.4389 2936.8 ^o

100 19.0940 19.1538 4525.1 ^o

110 18.7503 18.8390 6716.5 ^o

120 18.3669 18.4945 9670.5 ^o

130 17.9411 18.1204 13579 ^o

140 17.4700 17.7165 18676 ^o

150 16.9497 17.2830 25247 ^o

160 16.3756 16.8197 33644 ^o

170 15.7418 16.3268 44311 ^o

180 15.0409 15.8042 57817 ^o

190 14.2629 15.2519 74907 ^o

表 5.2-1 β_v：實際的傳播常數，β_v′ ： Soldano 近似的傳播常數

根據這樣的近似方式，若波導寬度夠寬，在高階模態的有效寬度

Wev是可近似成W_e0，但是一般的 MMI 其傳播距離L通常是長距離的，

因此誤差很小的β乘上長距離L，所造成的相位估計誤差會變大，如 表 5.2-1 所示。而愈高階的模態，近似β_v 與實際β_v′ 的誤差也愈來愈 大，相對的造成相位誤差也更大。然而雖說高階模態的相位誤差很 大，而在式(1.2-7)中的激發係數c_v，愈高階模態的激發係數即愈小，

因此 superposition 後所造成的整體的誤差項並不高。

接下來我們不改變 MMI 的寬度，以維持近似β_v的值，而改變輸 入輸出波導寬度ω，分析對 self-imaging 的影響。輸入輸出波導分別 採用1μm、2.6μm、6μm的寬度，4 個鏡像的傳播距離仍為L=1322μm， 允許的範圍為分別為δL=3μm、δL=17μm、δL=93μm，使用 Soldano、

FEMET、CTMIE 理論做分析，如圖 5.2-1 所示。從圖可看出，FEMET 與 CTMIE 的分析，不論是較寬的波導或是較窄的波導，剖面圖形均 很相似，且高階模態的影響亦很明顯，而 Soldano 近似理論所分析的 圖則無明顯的高階模態的影響。

式(1.2-3)的近似β_v 為一階近似，無法模擬出高階模態的影響，因 此我們使用二階近似β_v′′ 來分析，即

( )

² 0

( )

⁴ 0³

0 2 3 4

0 0

1 1

4 64

v r

r e r e

k n n W n W

ν πλ ν πλ

β′′ − ⁺ − ⁺ ， v=0,1, 2, ,m−1 (5.2-2)

1 mμ 2.6 mμ 6 mμ

圖 5.2-2 中，可看出二階近似β_v′′ 後，則近似理論可將高階模態的影響 顯現出來。

表 5.2-2 穿透能量比較(z=1322μm)

表 5.2-2 可看出，Soldano 一階近似不會出現高階模態的效應，因 此若輸出波導即使僅有1 mμ 的寬度，能量仍會集中在輸出波導上，即

Transmission≈1。而 Soldano 二階近似便無法將能量全部穿透。另外 同樣的，FEMET 與 CTMIE 所分析高階模態效應出現在 MMI 末端，

若輸出波導不夠寬，將無法使能量集出在輸出，所以會有能量上的損 失。但輸出波導夠寬時，則損失很少，且僅只有些微的反射能量。

ω =1 mμ

Transmission Reflection Soldano 一階

0.98959198474758 ×

Soldano 二階

0.66056325765856 ×

FEMET

0.65960858778958 ×

CTMIE

0.83677494878436 0.16322063963214 ω=6 mμ

Transmission Reflection Soldano 一階

1.00019688103875 ×

Soldano 二階

0.99906697689898 ×

FEMET

0.99908189405377 ×

CTMIE

0.99963648153941 3.637863368505824e-004

5. 3 結果討論

我們將傳播距離拉長，干涉 2 個鏡像的距離為L=2645μm，干涉 一個鏡像的距離為L=5290μm，並分別做分析，結果在圖 5.5-1 ~ 5.5-2 及表 5.5-1 ~ 5.5-2。

從圖中可比較出，Soldano 一階近似公式在長距離波導仍是無法 干涉出高階模態的效應，採用 Soldano 二階近似在長距離波導仍是與 精確值相近的。但需要考慮輸出波導寬度的大小，從表中可看出，輸 出波導太小所造成的穿透能量相當小，在設計上是錯誤的，不單是 Soldano 二階近似無法使用，與 CTMIE 相近的 FEMET 理論也是無法 進行分析。

因此在設計上需做考量，在設計正確時，確定輸出能量能集中在 輸出波導上，才使用 FEMET 理論，且精確度較 Soldano 二階近似精 準，而計算量上亦少於 CTMIE 理論。

1 mμ 2.6 mμ 6 mμ

1 mμ 2.6 mμ 6 mμ

表 5.5-1 穿透能量比較(z=2645μm) 1 m

ω = μ

Transmission Reflection Soldano 一階

0.99548408161767 ×

Soldano 二階

0.50025775218708 ×

FEMET

0.49585073651145 ×

CTMIE

0.81255571941129 0.18744254250563 2.6 m

ω= μ

Transmission Reflection Soldano 一階

1.00046564846217 ×

Soldano 二階

0.95619160677070 ×

FEMET

0.95506684699534 ×

CTMIE

0.98520516654267 0.01479451746369 6 m

ω= μ

Transmission Reflection Soldano 一階

1.00021631454606 ×

Soldano 二階

0.99771917724029 ×

FEMET

0.99770086269850 ×

CTMIE

0.99925894540722 7.410619211182424e-004

表 5.5-2 穿透能量比較(z=5290μm) 1 m

ω = μ

Transmission Reflection Soldano 一階

1.00836902036303 ×

Soldano 二階

0.44112551204449 ×

FEMET

0.42755281252213 ×

CTMIE

0.77622974262247 0.22375423304741 2.6 m

ω= μ

Transmission Reflection Soldano 一階

1.00135112682008 ×

Soldano 二階

0.89022867239135 ×

FEMET

0.89057769925491 ×

CTMIE

0.96010815601903 0.03989188827218 6 m

ω= μ

Transmission Reflection Soldano 一階

1.00028932784661 ×

Soldano 二階

0.99686634277682 ×

FEMET

0.99669687818120 ×

CTMIE

0.99875495161905 0.00124537866866

參考文獻

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中英對照表

beat length 耦合長度 cladding 波覆 couple transverse mode integral equation 耦合橫向模態積分方程式 core 波核 direct image 正相鏡像 eigenfunction 特徵函數 electric wall 電牆 even mode 偶模態 excitation coefficient 激發係數 full eigen-mode expansion technique 全特徵模態展開法 fundamental mode 初始模態 lateral wavenumber 橫向波數 magnetic wall 磁牆 Maxwell equation 馬克士威爾方程式 mirror image 反相鏡像 multimode interference devices 多模干涉器 odd mode 奇模態 overlap Integral 重疊積分

propagation constant 傳播常數 reflection coefficient 反射係數 scattering 散射 self-imaging principle 自成像原理 shifted normalized sine function 歸一化正弦函數 superposition 疊加法 transmission coefficient 穿透係數

在文檔中 多模干涉器的場理論及元件物理 (頁 82-97)