2. 1 FEMET 理論基本觀念
在設計 MMI 時，必須考慮在干涉區裡的能量集中在界面上的位 置，若設計錯誤將能量集中在不連續介質的界面上，勢必造成能量的 反射，所以設計時已經確定能量將由入射波導打入後，經過 MMI 的 相互干涉作用，能量能夠相當地集中在連續介質界面的輸出波導中，
因此在整體結構上僅考慮能量傳遞，而不考慮在結構界面上的反射，
相同的在干涉區內也是只考慮場量的傳遞而不需要考慮反射。
而 全 特 徵 模 態 展 開 法 (full eigen-mode expansion technique, FEMET)，便是不考慮反射情況下所發展出來的近似理論，本節先僅 對 2×2 MMI 簡單對稱結構做基本觀念的介紹，如圖 2.1-1 所示之簡單 MMI 結構，第 1 區為輸入波導區，第 2 區為干涉波導區，第 3 區為 輸出波導區。
圖 2-1 2×2 MMI 結構圖
z0 z1
(1) (2) (3)
首先定義每一區的場量分佈型式U(1)( , )x z 、U(2)( , )x z 、U(3)( , )x z ， 利 用 在 界 面 相 鄰 兩 區 場 值 連 續 的 觀 念U(1)( ,x z=z0)=U(2)( ,x z=z0) 、
(2) (3)
1 1
( , ) ( , )
U x z=z =U x z=z ，可分別推導出第 1 區轉換到第 2 區及第 2 區轉換到第 3 區的模態轉換係數Ti j(1), →(2)、Tj k(2), →(3)，經由轉換係數Ti j(1), →(2)、
(2) (3) ,
Tj k→ 即知道U(1)( , )x z 、U(2)( , )x z 、U(3)( , )x z 的完整形式，便可分析出 MMI 的場形。
本節已概略描述簡單對稱結構 MMI 之 FEMET 理論的基本觀 念，下一節將以 TE 極化入射，針對特殊結構 MMI 做 FEMET 理論 架構詳盡的說明。
2. 2 TE 入射 FEMET 理論架構與推導
圖 2.2-1 2×2 特殊結構 MMI 分區示意圖
圖 2.2-2 階梯近似示意圖
寬度為斜邊的 MMI 結構，無法計算其干涉區的模態，因此必需 在干涉區上利用切割分區的方法做階梯近似，如圖 2.2-1 所示，近似 後如圖 2.2-2 所示。由圖可看出在第 1 區、第 N+1 區有五層，而在其 它的區域只有三層，且此結構為上下對稱，因此可利用對稱性簡化問 題，如圖 2.2-3 所示。
(1) (2) (m) (N) (N+1)
zN 1
zm− zm z1
zN
n1
n2 n2
1
zm− zm
(1) (m) (N+1)
z1
圖 2.2-3 對稱性簡化結構
在結構上下邊界導入 electric wall(EW)、magnetic wall(MW)的觀 念，一方面簡化問題，另一方面可將連續的空間頻率離散化，可進而
FEMET 理論在界面上僅做場量連續的探討，省略了切線場量連
第 m 界面，m=2 ~ N-1：E( )m ( ,x zm)=E(m+1)( ,x zm)
2. 3 數值模擬結果
我們採用2 2× 的 MMI 元件，並針對簡單結構及特殊結構的 MMI 來做模擬分析，FEMET 由於不考慮反射，所以針對穿透係數部份做 個探討，並繪製能量圖形，而這些結構的元件參數均已設定[5]，特殊 結構之斜率公式[6]為，
( )
2taper( ) N M N 1 2
N
W z W W W z
L
⎛ ⎞
= + − ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2.3-1)
WM為 MMI 斜邊的最大寬度，WN為 MMI 斜邊的最小寬度，LN是指斜 邊結構的長度。而其元件的共同參數如下表所示，
表 2.3-1 元件共同參數
元件參數定義 設定值
入射波長 1.55 mμ
Core 折射率 3.214735
Cladding 折射率 2.3
輸入輸出波導折射率 3.214735
輸入輸出波導外部折射率 2.95
輸入輸出波導間距 2.8μm
輸入輸出波導寬度 2.2 mμ
MMI 寬度 10μm
模態數 200
接著分別對四種不同的結構做分析，其結構圖分別在圖 2.3-1、
圖 2.3-5、圖 2.3-9 及圖 2.3-13。而分析後繪製出的能量份佈圖分別在 圖 2.3-2、圖 2.3-6、圖 2.3-10 及圖 2.3-14。
我們比較這四種結構，其 Bar port 與 Cross port 輸出的前 20 個模 態之穿透係數，發現大部份的能量均集中在 fundamental mode 上，因 此這樣的設計是可以工作的，如圖 2.3-3 及圖 2.3-4、如圖 2.3-7 及圖
2.3-8、如圖 2.3-11 及圖 2.3-12、如圖 2.3-15 及圖 2.3-16。而四種結構 的穿透功率數據，並以全部模態加總與單一 fundamental mode 區分，
分別為表 2.3-2、表 2.3-3、表 2.3-4 及表 2.3-5。
圖 2.3-17 及圖 2.3-18，為當改變 MMI 的長度在±20 mμ 時，Bar 與 Cross 對微量長度變化的穿透功率曲線，可發現在0 mμ 變化的位置 上，是很精準地維持在 85:15 的比例，因此這四種 MMI case 的設計 參數是相當理想的。
(1) The conventional design
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Mode number
Bar transmission coefficient.
圖 2.3-3 Bar port 前 20 個模態穿透係數
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Mode number
Cross transmission coefficient.
圖 2.3-4 Cross port 前 20 個模態穿透係數
Bar % Cross % Total
All mode
0.84426 85 0.15336 15 0.99761Fundamental mode
0.82144 85 0.14119 15 0.96263表 2.3-2 Bar & Cross 功率穿透係數
(2) The new symmetric stepped-width design
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Mode number
Bar transmission coefficient.
圖 2.3-7 Bar port 前 20 個模態穿透係數
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Mode number
Cross transmission coefficient.
圖 2.3-8 Cross port 前 20 個模態穿透係數
Bar % Cross % Total
All mode
0.85087 85 0.14748 15 0.99834Fundamental mode
0.82955 86 0.13714 14 0.96669表 2.3-3 Bar & Cross 功率穿透係數
(3) The symmetric parabolically tapered design
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Mode number
Bar transmission coefficient.
圖 2.3-11 Bar port 前 20 個模態穿透係數
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Mode number
Cross transmission coefficient.
圖 2.3-12 Cross port 前 20 個模態穿透係數
Bar % Cross % Total
All mode
0.81429 82 0.18151 18 0.99581Fundamental mode
0.78088 84 0.14451 16 0.92539表 2.3-4 Bar & Cross 功率穿透係數
(4) The symmetric tapered and stepped design
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Mode number
Bar transmission coefficient.
圖 2.3-15 Bar port 前 20 個模態穿透係數
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Mode number
Cross transmission coefficient.
圖 2.3-16 Cross port 前 20 個模態穿透係數
Bar % Cross % Total
All mode
0.83945 84 0.15848 16 0.99794Fundamental mode
0.82235 85 0.14646 15 0.96882表 2.3-5 Bar & Cross 功率穿透係數
改變 MMI 長度：Δ = ±L 20μm
Bar / (Bar+Cross)
conventional
new symmetric stepped-width symmetric parabolically tapered symmetric tapered and stepped
圖 2.3-17 Bar power transmission ratio - LΔ
Cross / (Bar+Cross)
conventional
new symmetric stepped-width symmetric parabolically tapered symmetric tapered and stepped
圖 2.3-18 Cross power transmission ratio - LΔ