有限元素法在建立元素力與位移的關係時與矩陣位移法相似，因 此靠近似的位移關係式，而非理論上真正的關係式來建立，根據功與 能量的原則來處理。有限元素分析(finite element analysis)的基本 概念是將一個複雜的結構體分割成許多小區域的單位元素
(element)，此分割動作又稱網格化（mesh），即使再細的分割，分割 數目是一有限的數。每一單位元素有若干節點(node)，每一節點有若 干自由度，由力學分析可求得每一個元素的平衡方程式，由於結構必 須滿足諧和(compatibility)條件，因此可以把個別的元素的平衡方程 式與諧和條件連結起來，這個過程可以把整個結構以一組聯立方程式 表示出來，進而得到整體結構的平衡方程式，而主要變數即為結構物 元素節點上的變數（位移、斜率、力等），像矩陣分析法一樣，有限元 素法也分別有位移分析法與力分析法兩種[12]，視節點的主變數是位 移或力而定。另外也有混合型有限元素，即節點的主變數同時用位移
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與力來表示；最後透過矩陣運算求得結構受負載之位移變形與結構應 力、應變等近似解。此法優點有內插函數之選擇可依問題精度調整，
解析部分較快速及精確，但因須對整個區域做離散化，所需計算機容 量大，故不適用於無限域或半無限域問題。
有限元素法的元素類型依形狀區分為三大類：
1. 線形元素：如桁架(truss)元素、樑(beam)元素、介面(interface) 或接觸(contact)性元素，在可依使用場合分為 1D、2D、3D 元素，
但皆呈線段形式，每一節點的自由度數由所考慮的維度而會有不 同的自由度定義，而同樣維度的線形元素，其自由度也會依元素 特性而不同。
2. 平面形元素：典型的平面元素，依形狀可分為三角形(triangle) 及四邊形(quadrilateral)元素，相同的平面元素，可有不同數目 和位置的節點定義，自由度數也依使用場合的不同而有所不同。
3. 立體元素：所有的結構可以說都是立體的，原則上任何結構都可 依立體元素分析，常見的立體元素有角錐體(tetrahedron)及立方 體(hexahedron)元素，可依分析需要加上邊節點和體內節點。
有限元素法有兩項基本原則，稱為相容性條件：
1. 元素內任一點之位移或自由度，可表示成該元素所有節點位 移或自由度的函數
2. 相鄰元素所共有的節點，此節點有相同的位移或自由度，也就 是結構的諧和(compatibility)。
有限元素法處理問題的基本流程：
大體上可分為三個步驟：前處理、求解、後處理
前處理部分，是根據所面對的問題型式，將原來的問題適當地離 散切割成有限個元素，再利用各個元素上的節點以及問題本身所牽涉 到的物理量，來形成一整體的勁度矩陣 K(stiffness matrix)及負荷 向量 F（load vector），再與待求向量 U 組成一線性聯立方程組 KU=F。
求解部分，則是根據前處理所形成的線性聯立方程組，再使用直 接法或迭代法來求解線性聯立方程組，求出待求向量 U。
若一元素的所有節點位移或自由度可表示成 {a}e ，{a}e 定義為 元素之節點位移向量nodal displacement vector ，由第一個相容性 條件知，可定義一個形狀函數(shape function)矩陣 [N] ，滿足下式：
{a}nd*1=[N] nd*n{a}e，其中{a}為該元素內任一點之位移或自由度的向量
表示式，nd為該元素考慮的位移或自由度的數目，n為元素所有節點的 總自由度數，而在固體力學中，應變與位移之關係式知：
{ε}=[δ] {a} ， 則
{ε}=[δ]{N} {a}e =[B] {a}e 其中， [B]= [δ]{N} ，
[B]為形狀函數矩陣{N}之微分，再由應力與應變之關係得：
{σ}=[D] {ε}=[D][B] {a}e
在結構靜力分析中，每一個元素都要平衡，都有其平衡方程式，每個 元素有nn個節點，每個節點有nd個自由度，所以每個元素有n=nn×nd個自 由度，該元素的節點位移向量(或自由度向量)以
{ }
aenx1表示，而該元素 每個節點自由度的外力向量(nodal external force vector) 定義為{ }
f enx1。以虛功原理推導該元素之平衡方程式，首先假設該元素的虛位- 7 -
移
{ } δaenx1，則由節點外力向量所做的虛外功為：
δW f =
{ }
δa eT{ }
f e由應變與變形關係，可得虛應變 {δε}=[B]
{ }
δa e又該元素由內應力所做的虛內功(virtual internal work)為 δW i =
∫
eδWio d(vol)………(2-1)其中δWio為元素內單位體積的虛內功，且 Wio
δ = {δε }T{σ}
={δε }T[D] {ε}
=([B]{δa})T[D] ([B]
{ }
a e)={δa} [B]eT T[D] [B]
{ }
a e 再代入(2-1)式，得δW i =
∫
e {δa} [B]eT T[D] [B]{ }
a e d(vol)由於元素節點之虛位移向量{δa}及元素節點位移向量
{ }
a e為常數，故 δW i ={δa} [eT∫
e [B]T[D] [B] d(vol)]
{ }
a e ={δa} [K]eT e{ }
a e其中 [K]e為元素勁度矩陣
再由虛功原理知，外力所做的虛外功要等於虛應力所做的虛內功 δW i＝δW f 所以得
{δa} [K]eT e
{ }
a e＝{ }
δa eT{ }
f e 簡化得[ ]
K e{ } { }
a e = f e 上式即為元素之平衡方程式而結構體由ne個元素所組成每一個元素的平衡方程式為
[ ]
K e{ } { }
a e = f e e=1、2、3、……、ne由於結構體的諧和，可得所有的元素平衡方程式組合得結構體之平衡
方程式
[ ]
K g{ } { }
a g = f g 其中 [K]g =∑
= ne
e
K e 1
]
[ 為結構勁度矩陣，為n x n 的矩陣
{ }
a g 為結構節點位移向量，為 n x 1 的向量{ }
f g 為結構節點外力向量，為 n x 1 的向量其中n為該結構所有自由度之數目，有限元素法即是將一連續的結構 體，分割成ne 個元素，分別得到所有元素之平衡方程式，再由結構之 諧和條件，組合得結構之平衡方程式，代入已知的邊界條件boundary condition或位移限制displacement constraint，以及外力負荷狀況 loading condition，即可求聯立方程式之解，得到結構所有未知的節 點位移及節點外力，再可求得結構之應力、應變。
歸納整個有限元素法分析的步驟
1. 建立結構體之有限元素分析模型，決定使用的元素形式(element type)、分割(mesh)方式、定義已知的邊界條件(boundary
condition)、定義已知的外力負載。
2. 定義元素勁度矩陣、及其平衡方程式
3. 定義整體結構的勁度矩陣、及其平衡方程式
4. 代入已知條件，如邊界條件、外力：當位移已知，則外力為未知；
當外力是已知，則位移為未知。因此由結構平衡方程式，得 n 個 方程式，求 n 個未知數，這些 n 個未知數代表未知節點位移及未 知節點外力。
5. 求解結構平衡方程式，可得結構節點位移向量
{ }
a g、結構節點外力 向量{ }
f g。此稱為有限元素的初始結果(primary results)6. 求解二次結果(secondary results)，也就是在求得應力、應變，
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求結構體的應力場與應變場，以作為結構之破壞與設計分析。