在前一章節以程式完成波的運動的編程後，本章節企圖進一步利用程式編程將 Cymatics 的生成數據化，與非牛頓流體在單體振動下的形變數據化，以及探討其發展的可能性。
34 3.2.1 程式發展
在將 Cymatics 的波紋型態由實體實驗轉化為程式的過程中，首先嘗試以 RhinoScript 編寫 數學式以定位點的生成(圖 3-15)，在參數漸變的過程中，點的排列在某些參數下可以產 生類似 Cymatics 的圖形。但是無法找到其固定的規則，且在特定的參數下無法生成以圓 心放射的圖形，而是生成不規則的紋理。此狀況並不符合 Cymatics 在所有頻率下皆可產 生相對應紋理的實際情況，且數學式生成之圖形在比較下同質性大，無法達到本研究與 實際實驗相對應之目的。
圖 3-15 以 RhinoScript 編寫數學式運算生成之圖形
因在本節前段所描述之數學式運算生成點無法產生正確的紋理基礎，故本研究重新以程
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式編寫正弦波的型態來探討流體在振動下的表面剖線。正弦波的定義為正弦函數在線性 運動下的變化產生的曲線，單體發出正弦波使流體產生的形變在剖面上表面剖線也呈現 正弦波的狀態。
正弦函數的性質而曲線呈現穩定的漸變狀態，如以中心及曲線起點或終點為波源，向外 傳遞不連續的波所表現的流體剖面。在與穩定的正弦波重疊比較下，可將各單位的干擾 點做建設性及破壞性的分類，兩波皆處於波峰的交集點為建設性干擾點，將在新的波紋 生成過程中擔任波峰的位置，相對若有其中一者是處於波谷的交集，將為新成波之波谷 位置。將十道漸變的正弦波疊加後可看出在重複的產生波動後，由兩端反彈產生的新波 與波源撞擊後生成波相互加成以及相互破壞的位置分佈。
圖 3-16 正弦波不同頻率變化的過程
36 3.2.2 單波源運動運算與成形
在 Cymatics 的產生過程中，單波源的振動為從波源發出穩定的正弦波，對於上方的流體 提供穩定的振動，本章節開始以程式編程的方式逐步完成 Cymaitcs 的生成過程。首先以 矩陣的點表現單體上方平均的流體分布，並於點雲中心成立波源，代表波源點對於每一 個流體單元點的距離乘以固定的正弦函數，並使得到的數值成為單元點往 Z 軸移動的高 度。以這樣的方式運算後，對於圓心波源相同距離的單元點將位移到相同的高度，以圓 心發散的同心圓位移將以正弦函數變化的頻率形成三維的正弦波。
在正弦函數變化的頻率較低的時候，點雲可以形成完整的同心圓波紋，但在正弦函數變 化的頻率變高後，中心的波源對於矩陣中每一個單元點的距離之間逐漸產生差異，這些 差異在低頻率時不會表現出來，而隨著頻率越高，差異逐漸明顯，使三維的波紋模型呈 現複雜的紋理。
圖 3-17 單波源產生的波紋模型
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而在給予多波源的情況下，將各個波源對與每個單元點的距離乘以正弦函數並加總，成 為單元點 Z 軸的高度，以完成的點雲形成的曲面，將為多波源所造成的正弦波曲面變化。
當波源的函數變化頻率較低時，彼此間的影響較低，還可以清楚判斷波源的位置與其自 身所產生的波紋，而頻率較高時相互的影響將使曲面的變化更加劇烈，形成複雜且無法 判斷波原位置的紋理。
圖 3-18 多波源產生的波紋模型
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無法產生高頻率 Cymatics 細膩的微小變化。Cymatics 的生成主要的原因於初代波源與經 由邊界反射產生的次代波源之間的交互關係，大量的正弦波所堆疊出具有規則性的建設
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圖 3-19 Cymatic 程式運算結果
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由上述方式進行程式的設計並生成的點，代表著符合設定的三項參數下牛頓流體生成的 形體基礎，所有的點都表示三維形體的建設性干擾點投影在平面上的位置。圖 3-20 中以 兩個步驟定義惠更斯－菲涅耳原理分析產生的點到三維形體的生成。
建設性干擾點為正弦波波峰交疊處，為波紋的高點，步驟一將點與點連線並以線段的中 點定義新的點為波紋峰谷，步驟二使所有定義為峰谷的點降至同樣的高度，且抬升波峰 的定義點將原始二維的點雲形成三維點雲。以此點雲生成的曲面表現惠更斯－菲涅耳原 理生成的點所代表的紋理，在此狀態下單純代表建設性干擾點與破壞性干擾點在分佈後 對於流體波紋賦予的性質所產生的圖像。而 Cymatics 的產生為建立在此圖像之上，建設 性干擾點彼此之間的距離在一定範圍之內會產生互相加成與影響。
圖 3-20 干擾點群形成的三維波紋模型
經由圖 3-21 的三個步驟將點重新轉譯為三維狀態的形體，第一部分設定判斷範圍的半徑，
判斷範圍為以每一個點為圓心生成的圓，位於此圓內所有的點與圓心的距離總合即為圓 心點抬升的高度。此規則代表的狀態為，每一個點都會被抬升，但周遭越密集的點所具 備的量值越大，抬升的高度越高，密度越低則相反。
第二部分將全部的點以原始平面為基準，與周遭以上視圖相近的點以不相交為基準連線，
產生的曲線群已經可以表達三維模型的形體狀態。第三部分再以曲線群建立柔化的網格
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曲面，在符合抬升後的點群座標的狀態表現流體在振動下形成的形體並加以強化凸顯局 部的差異性。
圖 3-21 Cymatics 點群成形過程
經由上述的步驟，將不同參數生成的點群，依照三種大小的選取範圍生成不同狀態的形 體。在選取半徑較小的情況下各點所定義的族群較小，因此每個族群的性質差異較大，
即使距離很近的兩個點在經過程式評估後依然有可能產生相差很大的量值特性，在這樣 的情況下生成的形體容易具有變化較劇烈的剖面線，且各部分都較細碎。而隨選取半徑 的增大，各點所具有的族群面積增大，距離相近的點會產生相近的量值，因此生成的形 體具有較為平緩的剖面線變化在選取範圍的參數變化下，生成的形體有所差異但均符合 基礎點的配置。
以下為六種參數所運算出來的點，由這些點為基礎，分別給予選取半徑 0.5 單位，1 單 位，以及 2 單位為運算參數，所產生出來的十八組三維模型，由這些模型可以理解，由 惠更斯-菲涅耳原理運算出來的點，在不同的參數設定下可以形成什麼型態的 Cymatics:
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圖 3-22 Cymatics 點群成形在參數調整下的狀態
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圖 3-23 Cymatics 點群成形在參數調整下的狀態
44 3.2.3 多波源運動運算與成形
基礎的 Cymatics 形成狀態為單獨單體在圓形邊界下以圓心振動並在邊框均勻的產生等 值的子代波源，子代波源與初代波源撞擊下生成的流體形變。在章節 3.2.2 中運算的程 式是在此狀態下生成的結果。以單波源的程式為基礎，本節加入了兩個新的變數進入虛 擬的實驗，第一個變數為邊界的變形，第二個變數為波源的數量。圖 3-24 將波源的點設 在非圓形的邊界內，並使之偏移於邊界的中心，在以章節 3.2.2 中的程式運算，由結果 可看出 Cymatics 的波紋在不同邊界與不同的波源位置下，各種頻率所產生的變化。初代 波源的發散點與邊界的距離不會影響子代波源的頻率，但是會影響次代波源的力量，距 離波源越近的邊界會反射波產生力量越強的刺代波源，而越遠的則相反，意旨距離初代 波源越遠且新生的次代波源能造成的影響越小。
圖 3-24 單波源與不規則邊界的運算結果
圖 3-25 與圖 3-26 為在邊界的內部配置不同位置的波源，並給予相同或是不同的發散頻 率，在波源撞擊後生成的建設性干擾點。經由觀察各種運算結果的圖像，可以發現頻率 越高的波源與其他波交會後依然會產生越密集的干擾點，頻率越低則相反。而越靠近邊 界的初代波源將會產生可把波傳導到更遠的次代波源，因此越靠近邊界的波源，將可以
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產生更有影響力的次代波源。因此當波源位於邊界的中心時，運算後將產生較平均分佈 於邊界內的建設性干擾點，而若是波源越靠近邊界，運算後的干擾點將會越集中於波源 的四周。
圖 3-25 多波源與不規則邊界的運算結果
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在圖 3-25 與圖 3-26 的運算結果中，除了可以觀察到的特性之外，會對最後的運算結果 產生很大影響的變數是子代波源的擴散能力。本實驗在程式中的設定讓子代波源的擴散 範圍與初代波源到邊界的距離成正比，如圖中所示，離初代越遠的子代，擴散的範圍越 小。因此，在成正比的情況下將子代的擴散範圍加大，會使干擾點的密度大為增加。
圖 3-26 多波源與不規則邊界的運算結果
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以多波源為基礎產生了建設性干擾點的分佈之後，以本節前段描述的步驟將所有的單元 點與較接近的三個點連接，並將連接線的中點定義為破壞性擾點。平居的提高所有的建 設性干擾點，再以所有的點為基礎形成曲面，將獲得干擾點分佈圖的三維模型。由模型 得知，越密集的干擾點在曲面中形成越複雜的部份，越疏的部分將越平坦。
圖 3-27 干擾點群形成的三維波紋模型
以上述步驟完成的模型，並不具有干擾點互相影響的特性，在圖 3-27 中將點與點之間的 關係加入判斷，重新運算產生的模型將合理的推演多波源在邊界彼此作用所展生的形體，
以上述步驟完成的模型，並不具有干擾點互相影響的特性，在圖 3-27 中將點與點之間的 關係加入判斷，重新運算產生的模型將合理的推演多波源在邊界彼此作用所展生的形體，