《緝古演段》全書十九個問題，如〈《緝古演段》序〉中所言：「余乃以借根 方法，擬李氏書算之就。」94皆採用「借根方」的解題模式 ─ 亦即依循借一根為 所求，95進而得到兩式相等，最後再開方求解的過程。這種借根方的解題模式，雖 源於《數理精蘊》裡的「借根方比例」，96但在《緝古演段》中卻有一些不一樣的用 語或解法。即使是對照〈《緝古演段》序〉中提到的《借根方蒙求》，亦有所不同。
此外，在南秉吉所著的《無異解》中，每個問題結尾處的借根方解題，皆呈現與《緝 古演段》相同的特色，足見這些借根方解題中異於《數理精蘊》或是《借根方蒙求》
的部分，並非針對《緝古演段》所出現的特殊情形，而是南秉吉此時借根方解題的
「真實面貌」。以下筆者將以《緝古演段》的這些特殊用語或解法，與《無異解》、
《借根方蒙求》及《數理精蘊》做對照和比較，藉以探討其優缺與使用的緣由。
一、 寄左
「寄左」一詞原為天元術解題過程中出現的術語。天元術的解題模式，基本上 是在立天元一為所求後，利用已知條件求出兩個相等的式子，接著以兩式相消得到 開方式，最終再開方求解。而「寄左」一詞便是用於第一個式子求出來時，將其「寄 左」，再以第二個式子「與左相消」而求出開方式。以《益古演段》第9問為例，97在
「立天元一為池徑」的情形下，求得「 為八十一段如積寄左」，
92 第 19 題僅在「答曰」中差了「句」字。
93 詳見第 4、5 章。
94 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1a。
95 有時所借的根數超過一，詳見 3.2.4「內寄分母」的部分。
96 即便南秉吉的借根方法是學自李尚爀所著的《借根方蒙求》，因《借根方蒙求》亦源自於《數理 精蘊》，故《緝古演段》的借根方法仍是源自《數理精蘊》。
97 參見 3.2.1 中「條段解」的部分。
再「列真積三千一百六十八步，以八十一通之得二十五萬六千六百０八，與左相 消」，最後再開方求解。
表3.8
《數理精蘊》 《借根方蒙求》 《緝古演段》 《無異解》
「寄左」
一詞的使 用情形
都沒有出現。 只有〈線類〉最 後一題有出現。
第1~13題都有 出現「寄左」， 第14~19的勾股 問題則都沒有。
所有問題（共7 題）皆有出現
「寄左」。
如表3.8所示，《數理精蘊》的〈借根方比例〉中完全沒有出現這樣的用語。至 於好友李尚爀的《借根方蒙求》，也僅在〈線類〉的最後一題才出現「寄左」一詞。
值得一提的是，《借根方蒙求》在此題中寄左的式子，並非天元術裡的多項式，而 是方程式，98當然，接下來也就沒有「與左相消」的情形出現。99
反觀南秉吉的兩本著作 ─《緝古演段》與《無異解》，除了《緝古演段》最後
「勾股弦類」的六題外，每一題都使用「寄左」一詞。以《緝古演段》第6題為例，
100利用借根方「求倉方、高」時，在「借一根為上方」的情形下，以亭倉體積公式 求得「一立方多一十五平方又多六十六根又多一百零八尺為亭倉積」，隨後便出現 了「寄左」二字。然而，這些寄左的式子雖然與一般天元術中寄左的式子同為多項 式，但當求出另一個相等的式子後，卻不採用天元術的「與左相消」，而改以「與 寄左（數）相等」的方式處理，101最終再完成開方求解。足見這樣的解題方式，儘 管多出了「寄左」和「與寄左（數）相等」的用語，但基本上仍是借根方而非天元 術的解題模式。102
二、 內寄分母
在面對「當除而不受除」─ 即運算過程中遇到除數、除式無法將被除數、被 除式整除或除盡的情形，或是在解題過程中不想直接做除法的運算時，《緝古演段》
98 此題兩次的借根方求解中，各都出現了一次「寄左」。其句子為「一兩多半根與三等半人四等一 人相等，寄左」（引自《借根方蒙求》〈線類〉，頁 67a~67b）和「三十二兩少六根與二等二人三等四 人相等，寄左」（引自《借根方蒙求》〈線類〉，頁 68b）。
99 這兩個寄左式子，接續的處理為「以寄左一兩多半根六因之得六兩多三根為三等三人四等六人之 共數」（引自《借根方蒙求》〈線類〉頁 67b）和「以寄左三十二兩少六根倍之得???一十二根為二等 四人三等八人之共數」（引自《借根方蒙求》〈線類〉頁 69a）。
100 參見 3.2.1。
101 這也呼應了〈《緝古演段》序〉中所謂「較諸李氏原書『相消如積』，雖未識廬山之面，各加『相 等』，亦可為閇門之轍矣」。
102 值得注意的是，在南秉吉後期的《算學正義》中，借根方解題已未出現「寄左」的用語。詳見 第五章。
常會採以「內寄分母」的方式處理。103以第1題為例，104利用借根方求仰觀臺的廣、
袤、高 時，在「借一根為上廣」的情形下，試圖利用仰觀臺體積公式（ [(2×下袤
＋上袤)×下廣＋(2×上袤＋下袤)×上廣]×高÷6）求出「臺之虛積」。但因公式中[(2×
下袤＋上袤)×下廣＋(2×上袤＋下袤)×上廣]×高得到的「六立方多一百零二平方又多 四百三十根又多三百七十四丈」，有部分係數無法被6整除，所以在「六立方多一百 零二平方又多四百三十根又多三百七十四丈，即為臺之虛積寄左」後，南秉吉以較 小的字體註解了「當以六除之而不受除，故內寄六分母」。於是，當求出「一千七 百四十丈為臺之實積」後，便採取「又就分母六之得一萬零四百四十丈與寄左數相 等」。用現在的數學符號表示，即把(6x3＋102x2＋430x＋374)÷6＝1740改為6x3＋ 102x2＋430x＋374＝1740×6 。
這種「內寄分母」的解題模式，實際上與前述的「寄左」同樣源於天元術，其 內容主要出現在李冶的《測圓海鏡》中。以《測圓海鏡》卷三第4 問「或問甲出西 門南行四百八十步，乙出東門直行一十六步望見甲。問、荅同前。」為例，105在「草 曰」中於「立天元一為圓徑」之後，要以中勾（
元
）除小勾和中股的乘積
（
太
）時表示：今不受除，便以為小股也（內寄中勾分母）。乃復以中股乘之三百六十八萬六 千四百，又四之得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑羃（寄中勾分母，寄
左）。然後以天元徑自之，又以中勾乘之，得 元 為同數，與左相消……106 其後的〈（館）案〉則對此說明：
不受除者，無可除之理也。凡二數，此數與彼數有可除之理則受除，無可除之 理則不受除也……寄分者，姑寄其應除之數也，俟求得兩相等數，而此數內尚 少一除。不除此而轉乘彼，則兩數仍相等，猶之受除者也。此所謂以乘代除也。
107
103 第 1~8、12 題都有出現「內寄」的情形；第 9~11、13 題只用「內寄分母」的觀念，而沒有出現
「內寄」二字；第14~19 題則沒有運用「內寄」的觀念。
104 詳見南秉吉，《緝古演段》，頁 1a~3b。
105 詳見李冶，《測圓海鏡》卷三，頁 3~4。
106 引自李冶，《測圓海鏡》卷三，頁 3。
107 引自李冶，《測圓海鏡》卷三，頁 3~4。
足見《緝古演段》「內寄分母」的方式與《測圓海鏡》大致無異。至於較早傳入韓 國的《算學啟蒙》，即便在〈開方釋鎖門〉中以天元術解題，但並未出現「內寄分 母」的情形。因此，南秉吉「內寄分母」的作法，應是習自《測圓海鏡》才是。
這種「內寄分母」的運算模式，在南秉吉接下來的著作 ─《無異解》─ 中，
亦是屢見不鮮。108以《無異解》第3問「又有圓田一段，中有方池水占之，外有田 五十步。只云：方池一尖抵圓邊，其一尖至圓邊三步。問圓徑、方面各若干？」為 例，109在借根方解題中，得到「一平方又百分平方之八十八多三十五根又百分根之 二十八多五十二步九分二釐」後，接著說明其為「內寄七八四分母之虛積寄左」。 當然，在「副置真積五十步」後，便如上述《緝古演段》的方式一樣，「就分母以 七八四乘之得三百九十二步與寄左數相等」。
反觀《數理精蘊》和《借根方蒙求》，則幾乎沒有出現「內寄分母」的運算模 式，110而多改採其他方式面對「當除而不受除」的情形。
兩書中常見的手法是利用「借多根」的方式。以《數理精蘊》下編卷三十四的 第40問「設如有金、銀、錫、銅四色，不言重數，但知共數五分之二為銅數，金、
銀、錫共數七分之四為錫數，金、銀共數八分之五為銀數，金重三千零二十四兩。
問四色各重若干？」為例，111借根方解題的第一步即為「借二百八十根為共數」， 並在其後註明了「用三分母連乘之數，取其可以度盡也」。的確也如註中所言，以 五、七、八三個分母相乘得到的二百八十為所借的根數，使三個分母都在接下來的 運算中順利消去，112當然也就少掉了許多分數運算上的麻煩。
那麼，這種「借多根」的方式和《緝古演段》中的「內寄分母」何者較有利於 簡化分數呢？為了比較兩者的優缺，筆者將引《數理精蘊》下編卷三十四中第57 問「設如有銀六百兩，令甲、乙、丙、丁、戊、己六人分之。甲、乙共得二百兩，
丙丁共得二百兩，戊、己共得二百兩。丙所得銀比甲所得銀為四分之一，戊所得銀 比丁所得銀為三分之一，乙所得銀比己所得銀為二分之一。問六人各分銀幾何？」
的部分術文，再參考《緝古演段》第1問的「求均給積尺受廣、袤」，模擬用「內寄 分母」處理同樣的問題。
108 第 1、4、5 題沒有運用「內寄」的觀念；第 2 題只用「內寄分母」的觀念，而沒有出現「內寄」
二字；第 3、6、7 題都有出現「內寄」的情形。
109 詳見南秉吉，《無異解》，頁 9b~11a。
110 不過《借根方蒙求》〈體類〉第 15 題「設如勾股積六尺，股弦和九尺，求勾、股、弦各幾何？」
中雖無「內寄」的字眼，但蘊含著「內寄」之意。詳見4.2.1。
111 詳見《數理精蘊》下編卷三十四，頁 47~48。
112 《數理精蘊》和《借根方蒙求》在有些題目中，「借多根」並未能完全消去分母，但基本上仍具 備有簡化計算的功能。
首先，《數理精蘊》的術文為：
借十二根為甲所得銀數，則乙所得銀為二百兩少十二根，丙所得銀為三根，丁 所得銀為二百兩少三根，戊所得銀為六十六兩又三分兩之二少一根，己所得銀 為四百兩少二十四根。以戊己兩數相加得四百六十六兩又三分兩之二少二十五 根，是為二百兩與四百六十六兩又三分兩之二少二十五根相等……113
《緝古演段》第1問中的「求均給積尺受廣、袤」的相關解題術文則為：
借一根為甲縣給高，一十八丈之二根為上下廣差，一十八丈之四根為上下袤
借一根為甲縣給高，一十八丈之二根為上下廣差，一十八丈之四根為上下袤