第３章 《緝古演段》內容分析

第３章 《緝古演段》內容分析

藉由前一章的研究而對《緝古演段》的成書背景有所了解之後，筆者在本章中，

將繼續對全書的內容進行分析。首先，將先介紹南秉吉於開頭處所寫的〈 《緝古演 段》序〉 。序中除了說明成書緣由外，還透露出他對天元術的了解程度，這也是本 論文研究的重點。接著，筆者則會繼續探討內文中十九個問題及其解法。為了便於 分析，筆者把這十九個問題分為「多樣形體類」 、 「方圓倉窖類」以及「勾股弦類」

三類。這樣的分類方式，除了根據題目的內容外，解題過程裡「條段解」的使用情 形也是重要的依據。

當然， 「條段解」也會是本章所討論的焦點之一。就在這樣的 分類之下，筆者將先對各類中異於其他類別的內容進行分析，最終再回到全書共通 的解題模式 ─ 借根方與開方法。

希望藉由此章的內容分析，能夠勾勒出南秉吉撰 寫《緝古演段》期間所掌握的數學知識，並利用其中所蘊藏的天元術與借根方的「對 話」 ，而開啟本文的研究核心。

3.1 〈

《緝古演段》序〉

《緝古演段》一開始是一篇南秉吉所寫的自序，序中除了如 2.4.2 所述 ─ 說 明成書的緣由外，同時也交待了修補《緝古算經》缺漏處的工作、

書名的來由以 及他對於數學的觀感與展望。此外，序文中還透露出他對天元術的了解程度，這也 是筆者在此論文中關注的焦點。接下來，筆者將對前章所未提到的內容略加說明。

首先，南秉吉在序中提到：

其中勾股三問間有殘缺，故使志叟依原本字數足補。而所補若干字各於原行細 書別之。

藉由李尚爀（志叟）的協助， 《緝古算經》末三題殘缺的部分，皆以較小的字體加 以補齊。至於《緝古演段》書名的來由，則是因為：

1 此處「條段解」是指利用條段的方式解讀形體及其體積的術文，以下意思同此。另外，《緝古演 段》中，「條段」有時寫作「條叚」，本文皆採用「條段」。

2 所謂的「開方法」，除了開 n 次方根外，還包括開帶縱平方、立方……等。當然，若是只有一次 項和常數項，則直接相除求解即可。

3 《緝古算經》缺漏的情形，可參閱唐．王孝通《緝古算經》（收入郭書春、劉鈍點校，《算經十 書》，台北：九章出版社，2001 年）。

4 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1a~1b。

仰觀臺、龍尾堤等篇，所付各等體形另衍叚目以便覽者，因名曰「緝古演段」。

5

也就是說，南秉吉利用「條段解」以幫助讀者理解術文，因而，在為此書命名時，

於代表《緝古算經》的「緝古」二字後，加上「演段」二字，而以「緝古演段」作 為全書書名。

序文最後則提到：

夫算數六藝之一也，士生三代之下，樂禮尚矣。雖執御執射，亦無以式其古訓。

則苟欲緬尋墜緒，實事求是。其於九章之術，倘無留心同好君子，庶寓目焉。

6

著實意謂著南秉吉對數學及數學同好的重視。

另外，整篇序文中，格外令人注目的一句話是：

較諸李氏原書「相消如積」 ，

雖未識廬山之面，各加「相等」 ，亦可為閇門之 轍矣。

此話代表當時南秉吉對於天元術中的「相消如積」尚未了解清楚，

於是，他只好 把天元術裡兩式「相消」的過程，以借根方的兩式「相等」加以取代。在這種尚未 徹底了解天元術的情況下， 「借根方即天元一法也」對南秉吉而言，

或許也僅只於

「呼口號」的地位而已。

這種對天元術與借根方的疑慮，也促使他在下一本算學 著作 ─《無異解》─ 中，特別針對「相消」和「加減」的課題，大作文章一番。

5 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1b。

6 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1b。

7 不論「李氏原書」指的是李冶的《益古演段》或是李銳的《緝古算經衍》，「相消如積」都是指天 元術中兩式相減的過程。

8 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1b。

9 然而，若是「雖未識廬山之面，各加『相等』，亦可為閇門之轍矣。」所指的對象並非南秉吉而 是《緝古演段》的讀者，那麼有關南秉吉在撰寫《緝古演段》時「對於天元術中的『相消如積』尚 未了解清楚」的論述，勢必將作修正。但對本文中提出的天元術與借根方的「對話」過程，倒影響 不大。

10 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1a。

11 極可能是受梅瑴成，《赤水遺珍》的影響，詳見第 4 章。

12 詳見 4.3.3。

3.2 《緝古演段》的十九個問題及解法

《緝古演段》的正文部分包含了十九個問題。這十九個問題是唐朝王孝通《緝 古算經》全書二十個問題，除去了第一個天文類問題後，所剩下的十九個數學問題。

其排列順序亦相同。

至於解題的部分，除了第 2 題裡的「求人到程功運、築積尺術」外（見表 3.1)，

南秉吉在《緝古演段》中，刪去了《緝古算經》所有的解題內容，而主要改以自己 的解題方法 ─ 借根方。

表 3.1

《緝古演段》 《緝古算經》 比較

求人到程功運、築積尺術曰：

置上山四十步，（山斜高三十步而上 山三當四，故為四十步）下山二十五 步，（下山六當五，故為二十五步）

渡水二十四步，（水寬一十二步而水 行一當二，故為二十四步）平道一十 一步，踟躕之間一十步，（踟躕之間 十加一，故上山、下山、渡水、平道 共一百步，十分之一為一十步）載輸 之暇一十四步，一返計為一百二十四 步。

求人到程功運、築積尺術 曰：

置上山四十步，下山二十五 步，渡水二十四步，平道一 十一步，踟躕之間十加一，

載輸一十四步，一返計一百 二十四步。

《緝古演段》

除 了 多 了 註 解外，用字遣 詞 幾 乎 皆 和

《緝古算經》

一致。

以古人平道行一百九十二步，乘一日 六十二到，得一萬一千九百零四步。

却以一返計步除之，得九十六次為自 運土到數也。又以古人負土數二斗四 升八合，乘自運土到數九十六，得二 百三十八斗零八合。以穿方一尺土數 八斗除之得二十九尺七寸六分為一人 一日運功積。又以穿方一尺土數八斗 除一人穿土九石九斗二升，得一十二 尺四寸。以除運功積得二人又十之四

以古人負土二斗四升八 合，平道行一百九十二步，

以乘一日六十二到為實。却 以一返步為法。除得自運土 到數也。又以一到負土數乘 之，却以穿方一尺土數除 之，得一人一日運功積。又 以一人穿土九石九斗二 升，以穿方一尺土數除之為 法，除之得穿用人數。復置

兩 者 雖 然 在 文 字 上 有 諸 多不同處，但 處 理 問 題 的 步 驟 基 本 上 是相同的。

13 解題內容另外還有「條段解」，詳見 3.2.1。

14 引自南秉吉，《緝古演段》，頁 12a~12b。

15 引自郭書春、劉鈍點校，《算經十書》，頁 422。

為穿用人數。又以每人一日常積一十 一尺四寸十三分寸之六，通分納子得 一千四百八十八分為法，

運功積亦 以十三分母通之得三萬八千六百八十 八為實，以實如法而一得二人又十之 六為築用人數。乃與穿用人數相併得 五人，再加運功一人并為六人，共成 二十九尺七寸六分。以六人除之，得 四尺九寸六分，即一人一日自穿、運、

築程功也。

運功積，以每人一日常積除 之，得築用人數。并之得六 人，共成二十九尺七寸六 分。以六人除之，即一人程 功也。

為了便於分析，如附錄二所示，筆者利用這十九個問題在內容上的差異，區分 為三類。第一類為第 1 到 8 問，由於必需處理許多不同形體的體積，所以筆者稱此 類為「多樣形體類」 ；第二類為第 9 到 13 問，要處理的形體只有方倉、圓窖和方窖，

所以筆者稱此類為「方圓倉窖類」 ；第三類則為第 14 到 19 問，這六個問題都與直 角三角形的勾、股、弦相關，所以稱之為「勾股弦類」 。特別要說明的是，雖然「多 樣形體類」與「方圓倉窖類」同樣具有處理形體體積的解題內容，卻仍區分為兩類 的主要原因，除了因為後者處理的是數個方倉／窖與數個圓窖的總共體積，異於前 者的單一形體體積外， 「條段解」的使用與否則是另一項重要分類依據。因此，在 分析的過程中，亦會對「條段解」的使用情形與功能詳加論述。

接下來，筆者將逐類介紹，並予以分析。介紹與分析的方式，是先對每一類作 初步的介紹，並討論異於其他類別的數學知識內容，最後再把焦點移回各類問題間 共有的數學知識 ─ 借根方與開方法。

3.2.1 「多樣形體類」問題分析

「多樣形體類」為《緝古演段》第 1 到 8 問，共八個問題。茲以第 6 題為例，

並輔以現代數學符號及語言加以解釋：

假令亭倉，上小、下大。上、下方差 六尺，高多上方九尺。容粟一百八十 七石二斗。今已運出五十石四斗。問 倉上、下方、高及餘粟深、上方各多

假設有一個亭倉，上面的正方形比下面 的正方形小。上面和下面正方形的邊長 相差6尺，高則比上面正方形的邊長多9 尺。整個亭倉可容納187石2斗的粟。 （在

16 此處的「一千四百八十八分」應為「一萬四千八百八十分」。

17 引自南秉吉，《緝古演段》，頁 12b~13a。

18 郭書春、劉鈍點校，《算經十書》，頁 422。

少？

答曰：

上方三尺，

下方九尺，

高一丈二尺。

餘粟深、上方俱六尺。

裝滿的情形下，）今天運出了50石4斗。

請問上面和下面正方形的邊長、高以及 剩下的粟的深和上面正方形邊長，分別 為多少？

答：

亭倉上面的正方形邊長為 3 尺，

下面的正方形邊長為 9 尺，

高為 1 丈 2 尺。

剩下的粟深和上面正方形邊長都是 6 尺。

求倉方、高：

術曰：借一根為上方，一根多六尺為 下方，一根多九尺為高。乃以上方自 乘得一平方，下方自乘得一平方多一 十二根又多三十六尺，上、下方相乘 得一平方多六根，三數相併得三平方 多一十八根又多三十六尺。又以高乘 之得三立方多四十五平方又多一百九 十八根又多三百二十四尺。以三歸之 得一立方多一十五平方又多六十六根 又多一百零八尺為亭倉積寄左。以斛 法二尺五寸乘容粟一百八十七石二斗 得四百六十八尺，與寄左數相等。兩 邊各減一百零八尺得三百六十尺與一 立方多一十五平方又多六十六根相 等。以縱較立方開之得三尺為一根之 數，即上方也。加方差六尺高九尺為 下方，

加高差九尺得一丈二尺為高 也。

求亭倉上、下正方形邊長及高：

設上方（亭倉上面正方形的邊長）＝x，

則下方（亭倉下面正方形的邊長）＝x

＋6，

高＝x＋9（單位為尺）。

(上方

＋下方

＋上方×下方)×高÷3＝

3 ) 9 )](

6 )(

( ) 6 (

[

+

+

+

+

+ ÷ ＝ 108

x 66 x 15

x

+

+ +

2.5尺

/石 × 187.2石 ＝ 468尺

468 108 x 66 x 15

x

+

+ + = 360 x 66 x 15

x

+

+ =

以縱較立方開之，得 x＝3。

所以，上方＝3尺、

下方＝3＋6＝9尺、

高＝3＋9＝1丈2尺。

條段解：

中央立方體一叚：方即上方三尺，高 用全，積一百零八尺。

亭倉可分割為：

中央部分的正方柱一塊：正方柱的正方 形面邊長即為亭倉上方＝3 尺，高則為 亭倉全高＝12 尺，所以正方柱的體積 為 3×3×12＝108 尺

。

19 「加方差六尺高九尺為下方」應為「加方差六尺得九尺為下方」。

兩傍塹堵合成立方體二段：廣即上、

下方差之半三尺，袤即上方三尺，高 上仝，合積二百一十六尺。

四隅陽馬合成尖方體一叚：方即上、

下方差六尺，高上仝，積一百四十四 尺。

合積四百六十八尺。

餘粟、取出皆為同式體。

亭倉四周共有四塊塹堵，可合成兩塊長 方柱：長方柱的寬＝(下方－上方)÷2＝

3 尺，長即為亭倉上方＝3 尺，高與上 述正方柱的高一樣＝12 尺，所以合成 的兩塊長方柱體積＝(3×3×12)×2＝216 尺

。

亭倉四周共有四塊陽馬，可合成正方錐 一塊：正方錐的正方形面邊長＝下方－

上方＝6 尺，高與上述長方柱的高一樣

＝12 尺，所以正方錐的體積＝

(6×6×12)3＝144 尺

。

所以，整個亭倉的體積＝108＋216＋

144＝468 尺

。

接下來要求的剩下及取出粟的形體，皆 與上述相似。

求餘粟高及上方：

術曰：借一根為餘粟高，一十二尺之 六根為上、下方差（置方差。以餘粟 高一根乘之，以本高一十二尺除之，

當為方差。而不受除，故以一十二尺 寄為分母） ，以分母一十二尺乘之，則 上、下方差得六根。倉之下方亦以分 母乘之得一百零八尺為下方，一百零 八尺少六根為餘粟上方。乃以下方自 乘得一萬一千六百六十四尺，上方自 乘得一萬一千六百六十四尺少一千二 百九十六根多三十六平方，上、下方 相乘得一萬一千六百六十四尺少六百 四十八根。三數相併得三萬四千九百 九十二尺少一千九百四十四根多三十 六平方。又以高乘之得三萬四千九百

求剩下的粟的高及上方正方形的邊長：

設餘粟高＝y，則上、下方差＝

12 6 y（單 位為尺）

因為 12

6 y 中 12 無法把 6 整除，所以用 12 乘每一部分的長度（高除外），則可 得到：

上下方差＝6y，倉之下方＝108，餘粟 上方＝108—6y（高仍為 y）

(下方

＋上方

＋上方×下方)×高＝

3 2

36 y y

1944 y

34992 − + 為餘粟虛積（因 為上方和下方都以 12 乘過，再加上體 積原為(下方

＋上方

＋上方×下方)×

高/3，所以此處的餘粟虛積是隱含著分

母為 12

× 3）

九十二根少一千九百四十四平方多二 十六立方為餘粟虛積寄左（內寄一十 二自乘數三因之分母） 。以斛法二尺五 寸乘餘粟一百三十六石八斗，得三百 四十二尺為餘粟實積。又就分母三之 得一千零二十六尺，以分母一十二自 乘數一百四十四又乘之（虛積之高，

不帶分母，故只以自乘數乘之） ，得一 十四萬七千七百四十四尺，與寄左數 相等。以縱和立方開之得六尺為一根 之數，即餘粟高也。以方差乘高如本 高而一得三尺，以減下方九尺得六尺 得六尺為餘粟上方也。

2.5尺

/石 × 136.8石 ＝ 342尺

＝ 餘 粟實積

342 × 12

× 3 ＝ 147744 （在「餘粟虛 積 ＝ 餘粟實積」的情形下，把餘粟虛 積隱含的分母 12

× 3 乘到餘粟實積上）

147744 y

36 y 1944 y

34992 − ² + ³ =

以縱和立方開之，得到 y＝6 所以，餘粟高＝6尺、

餘粟上方＝9－(

12

6 )(6)＝6尺。

在上例中， 「求倉方、高」或是「求餘粟高及上方」的借根方解題過程裡，首 先要面對的是亭倉體積的計算。南秉吉對這部分的處理方式，是直接套用「(上方

＋下方

＋上方×下方)×高÷3」的亭倉體積公式。事實上，「多樣形體類」的其餘七 個問題也都是利用同樣的方式計算形體體積。筆者接下來亦會對這種直接套用體積 公式的情形進行分析。

另外， 「多樣形體類」在利用借根方解得所求後，常會有「條段解」的出現。

像是上例在「求倉方、高」結束後，立刻出現了「條段解」 。其內容是將所處理的 形體 ─ 亭倉，分割為「中央立方體一叚」、「兩傍塹堵合成立方體二段」和「四隅 陽馬合成尖方體一叚」 ，並利用「求倉方、高」中求得的數據，計算出各部分及整 體的體積。這種借根方解題後的「條段解」 ，僅出現在此類問題中，筆者也會對此 詳加分析。

一、各個形體的體積

對於「多樣形體類」所面對的各種形體及採取的體積公式，筆者在此將不逐一 介紹，有興趣的讀者可以參閱附錄三。此處分析的重點，將擺在南秉吉如何習得這 些體積公式，而筆者採取的研究方法，是先猜測可能與此相關的書籍，再把相關內 容予以比較。

由於南秉吉的著作裡有用以註解《九章算術》的《九章術解》 ，再加上序中提

20 引自南秉吉，《緝古演段》，頁 35b~38。

到的《借根方蒙求》 ，是好友李尚爀利用《數理精蘊》而撰寫成書的，所以筆者研 判，南秉吉多半已接觸過《數理精蘊》 。因此，筆者在表 3.2 中，針對本類問題裡 的各種體積公式，與《九章算術》和《數理精蘊》中相關的內容做比較。

表 3.2

「多樣形體類」

中，利用體積公式 計算體積的形體

及其公式：

《九章算術》

《數理精蘊》

1-(1) 仰觀臺、5 窖、7-(2) 芻童。

體積公式（以仰觀 臺為例）＝[(2×下袤

＋上袤)×(下廣)＋

(2×上袤＋下 袤)×(上廣)]×高÷6

「芻童、曲池、盤 池、冥谷皆同術。

術曰：倍上袤，下 袤從之。亦倍下 袤，上袤從之。各 以其廣乘之，并以 高若深乘之，皆六 而一。」

於「設如上、下不等長方體形，上方長四 尺、闊三尺，下方長八尺、闊六尺。問積 幾何？」一問中：

「又法以上長四尺倍之得八尺，加下長八 尺，共十六尺，與上闊三尺相乘，得四十 八尺。又以下長八尺倍之得十六尺，加上 長四尺得二十尺，與下闊六尺相乘，得一 百二十尺。兩數相併，得一百六十八尺。

與高十尺相乘，得一千六百八十尺。六歸 之，得二百八十尺，即上下不等長方體形 之積也。此法與前法同。」

1-(2) 羡道、3-(1) 龍尾隄、4-(2) 漘。

體積公式（以羡道 為例）＝下廣×袤×

高÷2＋廣差×袤×高

÷6，或(2×下廣＋上 廣)×袤×高÷6

於「今有羡除」

中：「術曰：并三 廣，以深乘之，又 以袤乘之，六而 一。」

無。

3-(2) 隄

體積公式＝{[(2×乙

無。 無。

21 《緝古演段》第 7 題的「芻甍」出現在題目及「條段解」裡，但因借根方解題中不需要處理「芻 甍」，所以也就沒有使用它的體積公式。因此，「芻甍」並未列於此表。

22 此處《九章算術》的術文，皆引自南秉吉，《九章術解》卷五。

23 「1-(1)」中，「1」指的是第 1 題，「(1)」指的是出現的第一個形體，以下同此。（亦可參見附錄 三）

24 引自南秉吉，《九章術解》卷五，頁 8a~8b。

25 引自《數理精蘊》下編卷二十五，頁 23~24。

26 引自南秉吉，《九章術解》卷五，頁 7a~7b。

縣高＋甲縣高)×(乙 縣上廣＋乙縣下 廣)÷2]＋[(2×甲縣 高＋乙縣高)×(甲縣 上廣＋甲縣下 廣)÷2]}×乙縣袤÷6 2 隄、4-(1) 穿河。

體積公式（以隄為 例）＝{(2×西頭高＋

東頭高)×[(西頭上 廣＋西頭下廣)÷2]

＋(2×東頭高＋西頭 高)×[(東頭上廣＋

東頭下廣)÷2]}×正 袤÷6

無。 無。

6 亭倉

體積公式＝(上方

＋下方

＋上方×下 方)×高÷3

於「今有方亭」

中： 「術曰：上、

下方相乘，又各自 乘，相并之，以高 乘之，三而一。」

27

於「設如上、下不等正方體形，上方每邊 四尺，下方每邊六尺，高八尺。問積幾 何？」一問中：

「法以上方每邊四尺自乘得一十六尺，下 方每邊六尺自乘得三十六尺，又以上方每 邊四尺與下方每邊六尺相乘得二十四 尺。三數相併得七十六尺。與高八尺相乘 得六百零八尺。三歸之得二百零二尺六百 六十六寸有餘，即上、下不等正方體形之 積也。」

8 圓囤

體積公式＝（上周×

下周＋上周

＋下 周

）×高÷36

於「今有圓亭」

中：「術曰：上、

下周相乘，又各自 乘，并之，以高乘 之，三十六而一。」

29

圓囤與「設如上、下不等圓面體，上徑四 尺，下徑六尺，高八尺。問積幾何？」一 問所求為相同的形體，

但《數理精蘊》

此題中使用的條件與《緝古演段》中的條 件不同 ─ 前者為直徑，後者為圓周。

27 引自南秉吉，《九章術解》卷五，頁 5a。

28 引自《數理精蘊》下編卷二十五，頁 18。

29 引自南秉吉，《九章術解》卷五，頁 5a。

30 引自《數理精蘊》下編卷二十六，頁 19。

在表 3.2 的比較當中，可以發現除了「隄」和「隄、穿河」這兩類形體外，

其 餘的形體皆可在《九章算術》中找到相同或相關的解法。

這樣的證據，看似說明 了南秉吉所掌握的體積知識主要來自於《九章算術》 。然而，當仔細比較《緝古演 段》的亭倉與《數理精蘊》裡計算上下不等正方體形體積的術文後（詳見表 3.3），

卻又會發現兩者的相似度極高。因此，筆者認為，南秉吉雖然大都直接使用《九章 算術》的公式來解決這些體積問題，但實質上，他對這些公式的理解，仍極有可能 如註解《九章術解》一般 ─ 以《數理精蘊》的知識作為理解其他知識的基石。

表 3.3

《緝古演段》 《數理精蘊》

以上方自乘得一平方，下方自乘得一平 方多一十二根又多三十六尺，上、下方 相乘得一平方多六根，三數相併得三平 方多一十八根又多三十六尺。又以高乘 之得三立方多四十五平方又多一百九十 八根又多三百二十四尺。以三歸之得一 立方多一十五平方又多六十六根又多一 百零八尺為亭倉積。

以上方每邊四尺自乘得一十六尺，下方每 邊六尺自乘得三十六尺，又以上方每邊四 尺與下方每邊六尺相乘得二十四尺。三數 相併得七十六尺。與高八尺相乘得六百零 八尺。三歸之得二百零二尺六百六十六寸 有餘，即上、下不等正方體形之積也。

接下來，筆者將繼續分析「條段解」的部分。

二、 條段解 如序中所言：

仰觀臺、龍尾堤等篇，所付各等體形另衍叚目以便覽者，因名曰「緝古演段」。

36

南秉吉在「多樣形體類」的八個問題裡，都輔以「條段解」來處理所面對的形體及 其體積。全書除了兩種情形外， 「條段解」皆出現在這八題的「術曰」之後。

這兩

31 事實上，這兩類的體積公式基本上可視為相同的。不過，由於從接下來的條段解，可發現兩者在 解讀上有所不同，故在此仍分為兩類。

32 「羡道、龍尾隄、漘」這類形體屬「羡除」的特例，故雖體積公式不相同，但實可從「羡除」的 體積公式導出此類形體的體積公式。

33 參見本論文第 2 章。

34 引自南秉吉，《緝古演段》，頁 36a。

35 引自《數理精蘊》下編卷二十五，頁 18。

36 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1b。

37 本文此處的「假令」、「答曰」與「術曰」分別是指為整個題目、答案與借根方解題的術文。以下

種情形分別為（詳見表 3.4）：

1. 「假令」及「答曰」後立即出現「條段解」：這是因為想利用「條段解」解釋題 目中的形體，但此形體卻沒有在「術曰」中出現，所以提前在「答曰」與「術 曰」間出現。

2. 「術曰」後沒有出現「條段解」 ：這是因為與先前處理過的形體相關 ─ 或為「同 式體」 ，即為同類的形體，或有比例上的關係。

表 3.4 情 形

位置 原因

1 第 7 題的「假令」

後。

因為題目中的「芻甍」沒有在借根方的「術曰」中出 現，於是在「假令」及「答曰」後立即出現「條段解」，

以說明「芻甍」 。

第 1 題的「求均給積

尺受廣、袤」

解題前有說明「甲、乙給積皆為同式體」 。 第 1 題的「求羡道均

給積尺受廣、袤」

解題前有說明「甲給積為同式體」 。

第 2 題的「求甲縣

高、廣、正袤」

解題前有說明「甲、乙、丙、丁給積皆為同式體」 。 第 3 題的「求乙縣

廣、袤、高」

在「術曰」的術文後，本應為「條段解」的位置上，

表示「乙、丙給積為築隄」 ，亦即說明其條段解與第 1 題中說明「乙給積為築堤」的「條段解」相同。

第 3 題的「求甲縣 廣、袤、高」

解題前有說明「甲給積為同式體」 。 第 5 題的「求均給積

尺受廣、袤、深」

解題前有說明「甲、乙、丙、丁給積皆為同式體」 。 第 6 題的「求餘粟及

上方」

解題前有說明「餘粟、取出皆為同式體」 。 2

第 8 題的「術曰」後 在「術曰」的術文後，本應為「條段解」的位置上，

表示「條段用方圓定率更體，則與亭倉為同式體」 ，亦 即說明其與第 6 題的亭倉有著比例關係。

意思同此。

38 同樣的情形並沒有出現在第 4 題的「穿河」，這是因為「求甲郡袤、廣、深」的「術曰」裡出現 的形體亦為「穿河」，所以此「術曰」後的「條段解」也就解釋了題目裡的「穿河」。

39 「甲給積為同式體」的「術曰」後出現的「條段解」並非針對此「術曰」裡的甲給積，而是解釋 未於「術曰」中出現的乙給積。

至於「條段解」的內容，則大致可分為七類。為了讓讀者更容易理解這七類「條 段解」 ，筆者在每一類的術文旁，都附上圖形協助說明。

不過，即便經過分類的整 理和濃縮，整體篇幅依舊過大，所以為了便於讀者閱讀，於表 3.5 中僅摘錄「仰觀 臺、窖、芻童」這類形體的部分，完整七類的內容則擺在附錄四中。

表 3.5

題目中出現的形體： 「條段解」術文（圖為筆者所附） ： 1-(1) 仰觀臺

5 窖 7-(2) 芻童

體積公式（以仰觀臺為例）：

仰觀臺體積＝[(2×下袤＋上袤)×(下 廣)＋(2×上袤＋下袤)×(上廣)]×高÷6

（右以仰觀臺為例。）

高

上袤

下袤 上廣

下廣

條叚解：

中央立方體一段：廣即上廣七丈，袤即上袤 一十丈，高用全，積一千二百六十丈。

兩傍塹堵合成立方體一段：廣即上下廣差之 半一丈，袤即上袤一十丈，高上仝，積一百 八十丈。

兩頭塹堵合成立方體一段：廣即上下袤差之 半二丈，袤即上廣七丈，高上仝，積二百五 十二丈。

四隅陽馬合成尖方體一段：廣即上下廣差二 丈，袤即上下袤差四丈，高上仝，積四十八 丈。

40 《緝古演段》原文中沒有任何圖形。

合積一千七百四十丈。

在表 3.5 中，仰觀臺分割為「中央立方體一段」 、 「兩傍塹堵合成立方體一段」、

「兩頭塹堵合成立方體一段」與「四隅陽馬合成尖方體一段」四個部分，並利用先 前借根方解題所求得的數據，計算出各部分及整體的體積。至於此類中未列出條段 解術文的窖與芻童，同樣也分割成這四部分，當然，接下來各部分及整體的體積，

則分別依其解得的數據而求出。

然而，單從這些「條段解」的術文、或是前面提到的相關序文與出現的位置，

似乎都無法更深入地洞悉「條段解」的目的與功能。於是，筆者將再由南秉吉可能 掌握的知識，作為釐清「條段解」的依據。以下將探討《算術管見》 、 《益古演段》

和《數理精蘊》與「條段解」的關係，並綜合其他證據與推測，說明「條段解」在

《緝古演段》中扮演的角色。

(一) 《算術管見》與「條段解」的關係

首先，南秉吉的好友李尚爀，在《緝古演段》成書後不久，亦完成了《算術管 見》 （1855）。

書中〈圓容三方互求〉的部分，出現「依條段解之」來處理「圓容 三方」中「知方邊求圓徑」的情形。事實上，整個〈圓容三方互求〉也就只有「設 圓內容三小方形，方邊為十二尺。問外圓徑幾何？」與「設圓徑四十尺，內容三小 方形。問每方邊幾何？」兩個問題。其中，第一題即上述的「知方邊求圓徑」 ，至 於第二題則為「知圓徑求方邊」 。前者的結尾處，出現了「右依條段解之」六字，

而後者的結尾處，則出現了「右以天元演之」六字，故可斷定這兩題的解法分別是 利用「條段」和「天元」 。

既然《算術管見》亦出現與「條段」相關的內容，又有在南秉吉「借根方即天 元一法也」的看法下與借根方「相同」的天元術，

在討論《緝古演段》借根方解 題後的「條段解」時，勢必得關注兩書間的關係。筆者在此將先介紹這兩個問題的 內容，接著，再特別針對「條段」的部分，予以分析及討論。

41 引自南秉吉，《緝古演段》，頁 4a~4b。

42 南秉吉所寫的〈《算術管見》序〉文末有「乙卯孟冬宜春南元裳序」，依此判斷其成書年代。

43 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1a。

首先是第一題：

設圓內容三小方形，方邊為十二尺。

問外圓徑幾何？

答曰：三十尺九寸二分三釐三毫弱。

假如一個圓裡包含了三個小正方形，小 正方形邊長為12尺。請問圓的直徑是多 少？

答：約為30.9233尺。

法曰：方邊自乘，方邊折半自乘，二 數相減餘為實，方邊倍之數為法，實 如法而一。所得以減於方邊倍之數，

餘折半為股，方邊為勾，求得弦，倍 之為外圓徑。

{正方形邊長×2－[(正方形邊長)

－(正 方形邊長÷2)

]÷(正方形邊長×2)}÷2＝

股，

正方形邊長＝勾

圓的直徑＝2×弦＝2×

草曰：自圓心抵方面之角作半徑，則 成二式勾股形。一以方邊為勾，如甲 乙丙形；一以方邊之半為勾，如甲丁 戊形。同以半徑為弦，而其兩股併即 方邊倍之數，如乙丁也。今以方邊自 乘得一百四十四尺，方邊折半自乘得 三十六尺，相減餘一百零八尺，即兩 形股羃之較也。（弦既相等，則勾冪 之較即股冪之較。）凡積較即邊和與 邊較相乘數，故以兩股併二十四尺除 股冪之較得兩股較四尺五寸，以減於 兩股併，餘折半得甲乙小股九尺七寸 五分，仍自乘得九十五尺單六寸二十 五分。以乙丙方邊為勾，自乘得一百 四十四尺，併之得二百三十九尺單六 寸二十五分為實。平方開之，得弦即 甲丙半徑。

戊

甲

乙 丙

丁

如上圖（甲為圓心）。

直角△戊丁甲和直角△甲乙丙中，因為 甲戊＝甲丙，所以(甲丁)

－(甲乙)

＝(乙 丙)

－(丁戊)

＝12

－(12÷2)

＝108尺。

甲丁－甲乙＝[(甲丁)

－(甲乙)

]÷(甲丁

＋甲乙)＝108÷24＝4.5尺。

甲乙＝[(甲丁＋甲乙)－(甲丁－甲 乙)]÷2＝(24－4.5)÷2＝9.75尺

圓半徑甲丙＝

＝

2 2 (12) )

75 . 9

( +

≒ 15.46165 （實際值小 於15.46165）。

又法曰：方邊折半，三因四歸，以加 方邊倍之數為股，方邊為勾，求得弦 即外圓徑。

股＝[(正方形邊長÷2)×3÷4]＋(正方形邊 長×2)，

勾＝正方形邊，

圓的直徑＝弦＝

。

草曰：甲乙方邊引長抵圓界丙，則甲 戊與戊庚之比同於戊己與戊丙之 比。（試作甲己線及丙庚線，成甲戊 己、庚戊丙二勾股形，此二形既各有 一直角，而其己角、丙角共對甲庚 弧，其甲角、庚角共對己丙弧，則三 角必兩兩相等而為同式形，故甲戊股 與戊庚股之比同於戊己勾與戊丙勾 之比也。）而戊庚原為甲戊四分之三

（甲戊即二方邊，戊庚即一方邊及半 方邊，戊己即半方邊。以戊己為一 分，則戊庚為三分，甲戊為四分），

故方邊折半得戊己六尺，三因四歸得 戊丙四尺五寸。以加二方邊甲戊得甲 丙二十八尺五寸為股，自乘得八百十 二尺二十五寸，以甲丁方邊為勾，自 乘得一百四十四尺，併之，得九百五 十六尺二十五寸為實。平方開之，得 弦即丁丙圓徑。（甲直角立於圓界之 半，故丁丙線為圓徑。）

戊 甲

乙

丙 丁

庚 己

如圖。

因為∠甲戊己＝∠庚戊丙＝90°、∠己甲 戊＝∠丙庚戊、∠甲己戊＝∠庚丙戊，

所以△甲己戊～△庚丙戊。因此，甲戊：

戊庚＝戊己：戊丙。

因為戊庚＝

4

3

甲戊，所以戊丙＝

4 3

戊己

＝(正方形邊長÷2)×3÷4＝4.5尺。

股＝甲丙＝甲戊＋戊丙＝(正方形邊長

×2)＋戊丙＝28.5尺，

勾＝甲丁，

圓的直徑＝丁丙＝弦＝

＝ 30.9233（實際值小於30.9233）。

右依條段解之。

上面的方式是利用條段解題。

再來是第二題：

設圓徑四十尺，內容三小方形。問每 方邊幾何？

答曰：十五尺五寸二分二釐三毫弱。

假如一個直徑為40尺的圓內，包含了三 個小正方形。請問正方形的邊長是多 少？

答：約為15.5223尺

法曰：半徑自乘為實，一尺六寸六分 以圓半徑20尺，自乘得400尺

為實，以

44 引自李尚爀，《算術管見》，頁 16b~18b。原文的句子為由右到左，由於本論文的撰寫方式為由上 到下，故「右依條段解之」在此可解釋為「上依條段解之」。

零一毫五絲六忽二微五纖為隅法，平 方開之，得方邊。

1.66015625尺為隅法，以開平方法求得 正方形的邊長。

草曰：立天元一為方邊，

太

自乘得

，又半天元自乘得 太

，相

減得 太

，以倍天元除之得

，以減倍天元得

，半之得 太

仍為

股，自乘得 太

。以

天元為勾，自乘得

，併之為弦

冪

寄左。以半徑為 弦，自乘得 ，與寄左相消，

得開方式 ，

平方 開之，得方邊。

令正方形邊長＝x，

股＝

2) (x x x 2

2 2

=

− −

， 所以，股

＝(0.8125)

＝0.66015625x

； 勾＝x，

所以，勾

＝x

。

弦

＝股

＋勾

＝1.66015625x

。

由於弦＝圓半徑＝20尺，所以弦

＝400 尺

。

解1.66015625x

＝400尺

，得x＝15.5223

（實際值小於15.5223）。

45 按正確的天元術，此式應為

又法曰：圓徑自乘為實，六尺六寸四 分零六毫二絲五忽為隅法，平方開 之，得方邊。

以圓直徑40尺，自乘得1600尺

為實，以 6.640625尺為隅法，以開平方法求得正 方形的邊長。

草曰：立天元一為方數 太

，折半得

太

，就三因四歸得

。以

加倍天元得

仍為股，自乘

得

太

，以天元為勾，自乘

得

，併之為弦冪

太

寄左。

以圓徑為弦，自乘得 ，與 寄左相消，得開方式

，

平方開之，得 方邊。

令正方形邊長＝x，

股＝

3 2

x ⎟+ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

_，

所以，股

＝(2.375x)

＝5.640625x

； 勾＝x，

所以，勾

＝x

。

弦

＝股

＋勾

＝6.640625x

。

由於弦＝圓直徑＝40尺，所以弦

＝1600 尺

。

解6.640625x

＝1600，得x＝15.5223（實 際值小於15.5223）。

右以天元演之。

上面的方式是利用天元術解題。

這兩題的數據雖然不同，但是解題的方向完全一致。特別是如果單看第二題的 天元術解法，一定無法明白解題的實際內容。但若是把第二題的兩種解法，分別對 照第一題的兩種解法，便會發現雖然前者採用天元術、後者利用條段解題，但基本 上皆倚賴第一題中作圖所產生線段間的關係。因此，李尚爀利用條段解題的方式，

46 按正確的天元術，此式應為

實與天元術關係密切，

更可視其為此處天元術解題所必需。

反觀《緝古演段》的「借根方」與「條段解」 ，借根方的解題步驟主要是利用 體積公式，這與「條段解」中切割形體來求其體積的方式實不相同。待筆者繼續從 其他資訊檢視「條段解」後，將會明確地說明其與《算術管見》 「依條段解之」的 差異。

(二) 《益古演段》與「條段解」的關係

除了《算術管見》外，由於序中曾經提到：

近讀鮑氏《知不足齋叢書》所在《益古演段》

意謂著南秉吉當時正在閱讀《益古演段》 。若是他把從《益古演段》裡學得的條段 法「現學現賣」 ，

想必是極有可能的。因此，筆者接著將介紹《益古演段》 ，

並 探討其與《緝古演段》中輔以「條段解」的著述方式，有著何種關係。

《益古演段》全書共有六十四問，除了第 44 問裡出現「梯田」外，其餘的問 題基本上都是與矩形（含正方形）和圓形相關。茲以第 9 問為例，並輔以現代的數 學符號及語言加以解釋。

第九問

今有方田一段，內有圓池占之，外計 地三千一百六十八步。只云內、外周 與實徑共和得三百三十步。問三事各 多少？

第九題

在一個方田（正方形的田地）裡，有一 個圓池（圓形的水池），實際田地的面 積（即，方田減去圓池的面積）為3168 步

。只知道方田的周長、圓池的周長和

47 引自李尚爀，《算術管見》，頁 18b~19b。原文的句子為由右到左，由於本論文的撰寫方式為由上 到下，故「右以天元演之」在此可解釋為「上依天元解之」。

48 雖然此處李尚爀所使用的天元術有些錯誤，不過筆者在此僅探究使用條段的目的，故暫且不論此 處天元術的使用情形。

49 《算術管見》中「依條段解之」可用以「推導」天元術，而《緝古演段》的「條段解」則極有可 能是用以「驗證」體積公式。下有詳述。

50 引自南秉吉，〈《緝古演段》序〉，頁 1a。

51 本文所謂的「條段法」是指李冶於《益古演段》中「條段圖」、「依條段求之」和「義」的部分，

與孔國平於《李冶、朱世傑與金元數學》中所謂的「條段法」不盡相同。因此，孔國平雖曾表示：

「《益古演段》中的 “依條段求之＂，與條段法的意義不同」（引自孔國平，《李冶、朱世傑與金元 數學》，頁205），但與本文並不衝突。

52 主要參考李秀卿，《二方方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》、孔國平，《李 冶、朱世傑與金元數學》及孔國平，〈《益古演段》提要〉（收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通 彙》數學卷卷一）。

53 引自李冶，《益古演段》卷上，頁 18。

荅曰：外方周二百四十步，實徑一十 八步，圓周七十二步。

圖3.1

實徑（如圖3.1，即為圓池與方田外圍的 最短距離）總和為330步，請問方田的周 長、圓池的周長和實徑長度各是多少？

答：方田的周長＝240步，實徑＝18步，

圓池的周長＝72步。

法曰：立天元一為池徑，以五之減倍

之相和步得

太

為九个方

面。以自增乘得

為八十一段方田積於頭位（二之相和 步別得是八方面六圓徑二實徑。今將 二實徑與一圓徑就成一方面，共前數 計九方面五圓徑，卻更無實徑也） 。 再立天元池徑以自之，又以六十步七

分半乘之得

元

為八十一 个圓池（所以用六十步七分半乘之 者，欲齊其八十一分母也。每个圓池 七分半，以八十一通之，遂得六十步 七分半也） ，以此減頭位餘

為八十一段

法曰：

令x＝圓池直徑，

2×330－5x＝660－5x＝9×方田邊長。

(660－5x)

＝435600－6600x＋25x

＝81 塊方田的面積，

（2×330＝8×方田邊長＋6×圓池直徑＋

2×實徑。因為2×實徑＋圓池直徑＝方田 邊長，所以2×330＝9×方田邊長＋5×圓 池直徑。）

x

× 60.75＝60.75 x

＝81塊圓池的面積。

（用60.75去乘x

是因為想要求出81個 圓池的面積，而0.75 x

為一個圓池的面 積，所以得到81×0.75 x

＝60.75 x

。）

(435600－6600x＋25x

)－(60.75 x

)＝

435600－6600x－35.75x

＝81塊實際田 地的面積（即，方田減去圓池的面積）

3168×81＝256608，與435600－6600x－

35.75x

相減，得178992－6600x－

35.75x

。

利用開方術而得到x＝24。

（類似解178992－6600x－35.75x

＝0）

54

(2×330－5×24)÷9＝60＝方田邊長，

（60－24）÷2＝18＝實徑。

54 天元術解題最後的開方式與一邊為零的方程式是有些差異的。林倉億指出「等式概念在天元式的 表達形式中，顯得十分隱晦而且不易被察覺。」（引自林倉億，《中國清代1723~1820 年的借根方與 天元術》，頁33。）

如積寄左。然後列真積三千一百六十 八步，以八十一通之得二十五萬六千 六百０八，與左相消得下

步

。開平方得二 十四步為池徑也。五因池徑減倍相和 餘九而一得方田面。以池徑減方餘折 半為實徑。

依條段求之：倍共步自乘於頭，以八 十一之田積減頭位餘為實，二十之共 步為從，三十五步七分半為常法。

利用條段圖來計算：

{[2×共步330步（方田的周長、圓池的周 長和實徑總和）]

－81×田積3168步

}＝

「實」，20×共步330步＝「從」，35.75

＝「常法」。

圖 3.2

兩倍共步 x

減

減 減

從從 從 從 從

從 從 從 從 從

方八 田十 積一 個

減

圖中的

減 方八

田十 積一 個

減 減

減

應當是

（後圖中 代表方田， 代表圓池）。

義曰：八十一个方面內帶起八十一个 圓池。每个圓池七分半，此八十一 个，計該六十步七分半。其從步合除 去二十五个外，猶剩三十五個七分 半，故以之為常法也。

條段圖的意思是：

81塊方田中有81個圓池，每個圓池是 0.75x

，所以這81個圓池共計60.75 x

。 圖中10條長為兩倍共步、寬為x的從步，

重疊處多了25個x

，所以還剩下35.75個

55 引自李冶，《益古演段》，頁 19。

x

，因此以35.75為常法。

舊術曰：倍相和步，自乘為頭位。又 以八十一乘田積減頭位餘退一位為 實。倍相和步為從法，廉常置三步五 分七釐半。

舊術的方式是：

{[2×相和步（方田的周長、圓池的周長 和實徑總和） ]

－81×田積}÷10＝「實」，

2×相和步＝「從法」，3.575＝「廉」。

從以上所舉的例子中，可以看出《益古演段》解題的內容大致可分為「法」 、 「條 段圖」 、 「依條段求之」 、 「義」和「舊術」五個部分。

「法」是以天元術解題的過 程； 「條段圖」是用來幫助解題的圖形； 「依條段求之」是指利用「條段圖」而求得 開方式的過程；「義」為解釋「條段圖」；「舊術」則為蔣周《益古集》中的解法。

由於李冶在《測圓海鏡》後再撰《益古演段》的主要目的，是為了普及天元術，那 麼書中呈現的「條段法」與普及天元術的關連何在？特別是與使用天元術的「法」

有何關係？李秀卿認為： 「李冶希望借助條段法賦與天元術直觀的幾何解釋，除了 幫助人們理解天元術抽象的代數運算之外，也藉此說明天元術代數方法的有效性。

此外，透過二術的比較，突顯出天元術的優越性，加深學算者採用的意願。」

而 孔國平則認為： 「書中天元術在前 “依條段求之” 在後，李冶的條段法不是為了推 導方程，而是為了驗證方程。」

並且「許多用條段法難於解決的問題，用天元術 解起來易如反掌」 。

總而言之， 「條段法」於《益古演段》中所扮演的角色，應是 用以輔助說明，進而協助並鼓勵學習者認識天元術。

那麼，當回頭檢視《緝古演段》時，南秉吉的「條段解」又是扮演何種角色呢？

首先， 《緝古演段》裡「條段解」的位置，除了第 7 題中有關芻甍的「條段解」

外，皆撰寫於借根方的「術曰」之後，這與《益古演段》裡的「條段法」情形一樣。

61

從這樣的位置看來， 《緝古演段》的「條段解」似乎亦有可能「不是為了推導方程，

而是為了驗證方程。」

再者，由附錄四或表 3.5 中所列的「條段解」術文，則可發現「條段解」的使

56 引自李冶，《益古演段》，頁 18~20。

57 並非每個題目皆有後四部分，詳見李秀卿，《二方方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教 世界為例》，頁13~14。

58 引自李秀卿，《二方方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》，頁 29。

59 引自孔國平，《李冶、朱世傑與金元數學》，頁 206。除了先後順序外，孔國平主要以例子中李冶 的「條段法」與採用天元術的「法」相比較，說明李冶的「條段法」是用以證明天元術。詳見《李 冶、朱世傑與金元數學》，頁205~208。

60 引自孔國平，《李冶、朱世傑與金元數學》，頁 211。

61「條段圖」、「依條段求之」和「義」都在「法」之後。

用時機皆是在計算某形體體積所需的條件皆已獲知的情形下。以第 6 題的亭倉為 例：利用題目已知的上方（亭倉上面正方形的邊長） 、下方（亭倉下面正方形的邊 長）與高三者間的關係以及整個亭倉的體積，以借根方解出上方、下方和高之後，

「條段解」即以這些數據來說明分割亭倉後的各個形體及其體積。南秉吉把亭倉分 割成「中央立方體一叚」 、 「兩傍塹堵合成立方體二段」和「四隅陽馬合成尖方體一 叚」 ，並利用先前求出的上方、下方和高，計算出各個部分的體積。並在最後，將 各個部分的體積加總，而求出與題目已知相符的亭倉體積。因此，筆者更是覺得，

「條段解」的目的是為了要「驗證」而非「推導」 。

綜合以上的推論，筆者認為「條段解」用以「驗證」應是肯定的。當我們進一 步類比《益古演段》中「條段法」的使用目的時， 「條段解」似乎可能用以「驗證 借根方」 。不過，就另一方面而言，由於第一類的這八個問題，在「術曰」中除了 運用借根方外，也都需要利用體積公式求解。那麼， 「條段解」有沒有可能用以驗 證體積公式而非借根方呢？一般的解題模式，遇到像羡道、堤等少見的形體，的確 很有可能會利用分割的方式，把原本的形體分成如正方體等熟知的簡單形體，再利 用這些簡單形體的體積公式，推導出所求形體的體積公式或直接計算出所求形體的 體積。然而，南秉吉在《緝古演段》中，沒有任何指出與體積公式相關的直接證據。

因此，筆者將再從《數理精蘊》裡尋找新的線索。

(三) 《數理精蘊》與「條段解」的關係

由於先前在討論形體的體積公式時，曾對南秉吉下過「極有可能如註解《九章 術解》一般，以《數理精蘊》的知識作為理解其他知識的基石。」的結論，至於《緝 古演段》的主要內容 ─ 借根方，更是源於《數理精蘊》的〈借根方比例〉，所以 筆者決定在《數理精蘊》中，找尋體積公式或借根方與「條段解」相關的證據。

首先，關於處理體積問題的部分，主要是在《數理精蘊》下編的第二十五卷。

筆者於表 3.6 中列出了此卷中與「條段解」或體積相關的題目。

表 3.6

題號 題目

5 設如塹堵體形，闊五尺，長十二尺，高七尺。問積幾何？

6 設如芻蕘體形，闊四尺，長十二尺，高四尺。問積幾何？

8 設如方底尖體形，

底方每邊六尺，高三尺。問積幾何？

9 設如陽馬體形，底方每邊六尺，高亦六尺。問積幾何？

10 設如鼈臑體形，長與闊俱四尺，高九尺。問積幾何？

62 「方底尖體形」，即《數理精蘊》和《緝古演段》中出現的「尖方體」。

11 設如上下不等正方體形，上方每邊四尺，下方每邊六尺，高八尺。問積幾 何？

12 設如上下不等長方體形，上方長四尺、闊三尺，下方長八尺、闊六尺，高 十尺。問積幾何？

13 設如上下不等芻蕘體形，上長十尺，下長十四尺，下闊五尺，高十二尺。

問積幾何？

14 設如兩兩平行邊斜長方體形，長二尺四寸，闊八寸，高三尺七寸。問積幾 何？

接著，筆者以此卷第 11 題為例，說明《數理精蘊》對體積公式的證明方式，

並與《緝古演段》的「條段解」做比較。 《數理精蘊》的證明為：

如甲乙丙丁上下不等正方體形。戊丁上方邊自乘，得甲戊丁己正方面形。庚丙 下方邊自乘，得乙庚丙辛正方面形。戊丁上方邊與庚丙下方邊相乘，得壬癸子 丑長方面形。將此三方形相併，與高八尺相乘，得三長方體形。其一上、下方 面，俱如甲戊丁己；其一上、下方面，俱如乙庚丙辛；其一上、下方面，俱如 壬癸子丑。葢乙庚丙辛長方體比甲戊丁己長方體多壬癸戊甲、戊寅卯丁、己丁 子丑、辰甲己巳四方廉體，又多乙壬甲辰、癸庚寅戊、丁卯丙子、巳己丑辛四 長廉體。而壬癸子丑長方體比甲戊丁己長方體多壬癸戊甲、己丁子丑二方廉 體。若將共多之六方廉體、四長廉體俱截去，則此三長方體之上、下方面，必 皆如甲戊丁己。乃以每一方廉體變為二塹堵體，每一長廉體變為三陽馬體，共 得十二塹堵體、十二陽馬體。將甲戊丁己類三長方體各加四塹堵體、四陽馬體，

則皆成上下不等三正方體。故三歸之而得甲乙丙丁上下不等一正方體形之積 也。

圖 3.3

63 《數理精蘊》中證明體積公式的方式不只一種，筆者選擇介紹這個證明方式，是因為其與「條段 解」最為相關。

64 引自《數理精蘊》下編卷二十五，頁 18~19。

65 此處的兩張圖皆仿自《數理精蘊》下編卷二十五，頁 18~19。

(1) (2)

巳 辰

甲 乙

丙 丁 己

庚 辛

壬

癸 子

丑

寅 卯

戊 乙

戊

辛

庚 己

丁

丙

甲

這段術文的意思是指：當圖形標示如圖 3.3(1)時，體積公式＝[(戊丁)

+(庚丙)

＋(戊丁)×(庚丙)]×高÷3。單就公式中「[(戊丁)

+(庚丙)

＋(戊丁)×(庚丙)]×高」的部 分而言，[(戊丁)

×高]、[(庚丙)

×高]、[(戊丁)×(庚丙)×高]可視為三個長方體。如圖 3.3(2)，這三個長方體的底面分別標示為甲戊丁己、乙庚丙辛、壬癸子丑。

以乙庚 丙辛為底面的長方體比以甲戊丁己為底面的長方體多了壬癸戊甲、戊寅卯丁、己丁 子丑、辰甲己巳四個「方廉體」及乙壬甲辰、癸庚寅戊、丁卯丙子、巳己丑辛四個

「長廉體」 ；

以壬癸子丑為底面的長方體比以甲戊丁己為底面的長方體多了壬癸戊 甲、己丁子丑兩個「方廉體」 。把每一個「方廉體」變成兩個塹堵，每一個「長廉 體」變成三個陽馬，則整個「[(戊丁)

+(庚丙)

＋(戊丁)×(庚丙)]×高」就會變成三個 甲戊丁己為底面的長方體、十二個塹堵和十二個陽馬。因為一個甲戊丁己為底面的 長方體、四個塹堵和四個陽馬會合成一個上下不等正方體形，所以「[(戊丁)

+(庚 丙)

＋(戊丁)×(庚丙)]×高」要再除以 3，才會與上下不等正方體形的體積一樣。

縱觀整個證明的過程， 《數理精蘊》先將體積公式形體化，再把這個由三種長 方體所組成的形體，分解為長方體、塹堵和陽馬，並以此組成上下不等正方體形，

因而完成證明。證明中，以長方體、塹堵和陽馬組成上下不等正方體形的部分，與

《緝古演段》第 6 題亭倉的「條段解」是一樣的，但其他主要證明體積公式的部分，

則都沒有出現在《緝古演段》中。

倒是在南秉吉的另一本著作 ─《九章術解》─ 中，於卷五〈商功〉 「今有方亭」

裡， 「術曰：上、下方相乘，又各自乘，相并之，以高乘之，三而一。」後的註解：

68

此法上方自乘，以高乘之，得立方體一。下方自乘，以高乘之，得中央上、下 方面與上方面俱等之立方體一、四面壍堵體各二、四角陽馬體各三。上、下方 相乘，以高乘之，得中央上、下方面與上方面俱等之立方體一、兩面壍堵體各 二。共得立方體三、壍堵體十二、陽馬體十二。將此一立方體四面四角各加壍 堵體四、陽馬體四，則成方亭者三，故以三歸之得一方亭積也。

呈現出十分類似《數理精蘊》的體積證明方式。

另一方面， 《數理精蘊》有關借根方的內容，則在下編的第三十一卷到第三十 六卷。這六卷中，唯一出現以切割立體形體作為解釋的部分，是在第三十一卷中〈乘

66 高則與上下不等正方體形相同。

67 例如：壬癸戊甲這個「方廉體」即指底面為壬癸戊甲而高與上下不等正方體形相同的長方體；乙 壬甲辰這個「長廉體」即指底面為乙壬甲辰而高與上下不等正方體形相同的長方體。

68 引自南秉吉，《九章術解》，頁 4b。

69 引自南秉吉，《九章術解》，頁 5a。

法〉的第 3 題「設如有二平方多三根，以二根多四真數乘之，問得幾何？」。

此題 在解得「四立方多十四平方又多十二根」之後， 《數理精蘊》配合圖 3.3 對此乘法 運算做解釋：

如圖甲乙丙丁為二平方，丁丙戊己為多三根，庚辛為二根，戊庚為多四真數。

以甲乙戊己二平方多三根與戊辛二根多四真數相乘，成乙己辛癸扁方體。其丙 己庚子十二根，卽四真數乘三根之數；其甲乙丙丁子丑八平方，卽四真數乘二 平方之數；其子寅庚辛壬卯六平方，卽二根乘三根之數；其丑子卯癸四立方，

卽二根乘二平方之數也。

卯

寅

丑

子 癸

壬

辛 庚

己

戊 丁

丙 乙 甲

圖 3.3

這般的解釋與附圖，實在很難與「條段解」的內容有所關連。相較而言， 「條 段解」與前面形體體積公式的證明，顯得較為相關。

(四) 與「條段解」相關的其他證據或推測

除了與《算術管見》 、 《益古演段》和《數理精蘊》比較下得到的這些資訊外，

「條段解」沒有在《緝古演段》其他兩類問題中出現的情形，亦可從「驗證形體體 積公式」的觀點上獲得合理的解釋 ─ 第二類問題中出現的形體若非正方柱和圓 柱，便與第一類中的亭倉和圓囤相同，因此，在計算體積上不是太過「基本」就是 前已「驗證」 ，當然也就不需要「條段解」 。至於全是勾股問題的第三類問題，沒有 困擾的體積或面積公式，同樣也就不需要「條段解」 。

另一種可能，則是南秉吉純粹把「條段解」視為「驗算」─ 由答案的正確來 說明整個解題過程的有效性。這種猜測似乎可能會與借根方產生關連。然而，利用

70 引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 27。

71 引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 27~28。

72 仿自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 28。

解出的答案回頭驗算時，為何不直接採用體積公式？顯然，南秉吉的確認為這些公 式對於《緝古演段》的讀者來說，並非容易或直觀的。於是，即使是從純為「驗算」

的觀點切入，依舊有很大的成分是在驗證形體體積的求法。

最終，值得注意的，是第 7 題中芻甍的「條段解」出現在「假令」及「答曰」

之後，並且與接下來的解題術文沒有直接關連。這似乎意謂著「條段解」不僅與借 根方解題無關，也與體積公式沒有關連。然而，當注意到其「條段解」結束後「乙 給積為同式體」的敘述時，

便會發現此處的「條段解」除了有助於讀者了解題目 中出現的芻甍外，對於試圖在解題上先處理「乙給積」的部分時，

亦會有所幫助。

另外，「條段解」中不僅只是描述分割後的各部分形體，更將各部分形體的體積及 整體的體積計算出來。這種情形除了可解釋為確認分割無誤外，亦有可能表示其與 體積的關連。這些情形，皆代表著此處的「條段解」仍可能與形體體積公式有所關 連。因此，筆者認為「條段解」雖然具備「描述形體之用」，但與形體體積的關連，

勢必也意謂著其與「驗證形體體積公式」的作用相關。

綜合以上(一)到(四) 中所述，筆者認為，《緝古演段》裡「條段解」的主要目的 及功能，除了「描述形體之用」外，亦極可能具備有「驗證」 （而非「證明」或「推 導」 ）各形體體積公式的功能。

3.2.2 「方圓倉窖類」問題分析

「方圓倉窖類」則是第 9 到 13 題，共五個問題。如前所述，與第一類問題的 主要差異，在於第二類問題沒有條段解。茲以第 12 題為例，同樣地，也以現代的 數學符號加以解釋：

假令有粟五千一百四十五石。欲作方 窖、圓窖各一。令口小底大，方面與圓 徑等，兩深亦同。其深少於下方七尺，

多於上方一丈四尺。盛各滿中，而粟適 盡。（圓率、斛法並與前同）問方、徑、

深各多少？

答曰：

上方、徑各七尺，

下方、徑各二丈八尺，

深各二丈一尺。

假設有粟5145石。想要做方窖與圓窖 各一個，而兩者皆上面小、下面大，

方窖上、下面正方形邊長與圓窖上、

下面圓形直徑相等，兩窖的深也相 等。就方窖而言，深比下面正方形邊 長少7尺，多上面正方形邊長1丈4 尺。而所有的粟恰好可填滿方窖與圓 窖(與前面的問題一樣，圓周：直徑＝

22：7，粟1石為2.5尺

)。問方窖上、

下面正方形邊長、圓窖上、下面圓形

73 引自南秉吉，《緝古演段》，頁 39a。

74 不過，由於此題僅求「甲給積」的部分，因而在解題中並沒有出現芻甍的體積公式。