第七章 圓形
習題 7. 4
習題 7.4-1：
如圖 7.4-13，ABCD 為圓 O 的內接四邊形。若∠C＝70°，∠D＝100°，則∠A 與∠B 的度數各為何？
圖 7.4-13 習題 7.4-2：
如圖 7.4-14，若∠B＝75°、∠D＝105°，是否可以找到一個圓通過四邊形 ABCD 的四個頂點？為什麼？
圖 7.4-14 習題 7.4-3：
證明圓的內接梯形必為等腰梯形。
習題 7.4-4：
證明圓的內接平行四邊形必為矩形或正方形。
如圖 7.4-15，已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切。若 ＝22 公分，
＝20 公分，則 ＋ ＋ ＋ 之值。
圖 7.4-15 習題 7.4-6：
如圖 7.4-16，已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切。
若 ＋ ＋ ＋ ＝60 公分，則 ＋ ＝______公分。
圖 7.4-16 習題 7.4-7：
圖 7.4-17 中的圓為四邊形 ABCD 的內切圓。若 ＝x， ＝y， ＝x＋6，
＝y－2，2y＝3 x，求 ＋ ＋ ＋ 之值。
圖 7.4-17
本章重點
本章介紹圓形的一些名詞及其相關的性質：
1. 同圓半徑相等。
2. 圓心角等於所對的弧度。
3. 圓周角為所對弧度的一半。
4. 同弧所對的圓心角為圓周角的 2 倍。
5. 直徑所對的圓周角為直角。
6. 同圓中等弦對等弧。
7. 同圓中等弧對等弦。
8. 同圓中平行線截等弧。
9. 垂直於弦的直徑必平分此弦。
10. 同圓中大弦對小弦心距、小弦對大弦心距。
11. 圓內角的度數，等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半。
12. 圓外角的度數，等於它們所截兩弧度數差的一半。
13. 若直線與圓只交於一點，則此直線稱為此圓的切線。
14. 若直線與圓相交於兩點，則此直線稱為此圓的割線。
15. 過切點的半徑與切線垂直。
16. 圓外一點對圓所作的兩切線等長。
17. 弦切角為所對弧度的一半。
18. 圓外切四邊形的相對一組對邊和等於另一組對邊和。
19. 若四邊形的一組對邊和等於另一組對邊和，則此四邊形必為一圓的外切四邊 形。
20. 圓內接四邊形的對角互為補角。
21. 若四邊形的對角互為補角，則此四邊形必為圓內接四邊形。
22. 一直線同時與兩圓相切就叫作此兩圓的公切線；其中若兩圓在直線的兩側叫 作內公切線，若兩圓在直線的同側叫作外公切線。
為外公切線，2 條為內公切線。
24. 若連心線長＝兩半徑和，則兩圓外切；且此兩圓共有 3 條公切線，其中 2 條 為外公切線，1 條為內公切線。
25. 若兩半徑差＜連心線長＜兩半徑和，則兩圓相交於兩點；且此兩圓共有 2 條 外公切線。
26. 若連心線長＝兩半徑差，則兩圓內切；且此兩圓只有 1 條外公切線。
27. 若連心線長＜兩半徑差，則兩圓內離；此兩圓沒有公切線。
28. 若連心線長＝0，則兩圓為同心圓；此兩圓沒有公切線。
歷年基測題目
1. 如圖 7.1，圓上有 A、B、C、D 四點，圓內有 E、F 兩點且 E、F 在 上。若 四邊形 AEFD 為正方形，則下列弧度關係，何者正確？(97-1)
(A) AB︵
＜AD︵
(B) AB︵
＝AD︵
(C) AB︵
＜BC︵
(D) AB︵
＝BC︵
圖 7.1 解答：(C) AB︵
＜BC︵
想法：(1) 利用第二章的逆樞紐定理：
兩三角形有兩個對應相等的邊，若一三角形的的第三邊大於另一三角 形的第三邊，則此三角形夾角大於另一三角形的夾角。
(2) 利用弧的度數等於所對圓心角的度數。
圖 7.1(a) 解：
敘述 理由
(1) △ABE 為直角三角形，AEB＝90
(2) ＞ ＝
(3) △AOB 與△AOD 中，
＝
＝
＞
已知四邊形 AEFD 為正方形， ⊥ 由(1)直角三角形斜邊 大於任一股
＆四邊形 AEFD 為正方形， ＝ 如圖 7.1(a)所示
同圓半徑相等 同圓半徑相等
由(2) ＞ 已證
(5) 所以AB︵
＞AD︵
(6) △ABE 中， ＋ ＞ (7) ＋ ＞
(8) ＋ ＋ ＞
(9) △BOC 與△AOB 中，
＝
＝
＞
(10) 所以BOC＞AOB
(11) 所以BC︵
＞AB︵
(12) 所以本題答案選(C) AB︵
＜BC︵
對應相等的邊，若一三角形的的第三邊 大於另一三角形的第三邊，則此三角形 夾角大於另一三角形的夾角
弧的度數等於所對的圓心角度數 ＆ (4) AOB＞AOD
三角形任兩邊和大於第三邊
四邊形 AEFD 為正方形， ＝ 代入(6)式得
由(7)
如圖 7.1(a)所示 同圓半徑相等 同圓半徑相等
已知 E、F 在 上， ＝ ＋ ＋
＆ (8) ＋ ＋ ＞
由(9) ＆逆樞紐定理：兩三角形有兩個 對應相等的邊，若一三角形的的第三邊 大於另一三角形的第三邊，則此三角形 夾角大於另一三角形的夾角
弧的度數等於所對的圓心角度數 ＆ (10) BOC＞AOB
由(5) ＆ (11)
2. 如圖 7.2，A、B、C、D 四點均在一圓弧上， ∥ ，且 與 相交於 E 點。若BCA＝10，BAC＝60，則E＝？ (97-1)
(A) 35 (B) 40 (C) 60 (D) 70
10
60 E
C
D A B
圖 7.2 解答：(B) 40
想法：利用已知 ∥ ＆ 平行線之內錯角相等，可得知DAC；
利用已知 ∥ ＆ 同圓中平行線截等弧，可得知AB︵
＝CD︵
； 利用AB︵
＝CD︵
＆ 同圓中等弧對等弦，可得知 ＝ ；
利用已知 ∥ 、 ＝ ＆ 一組對邊平行且兩腰等長為等腰梯形，
可得知四邊形 ABCD 為等腰梯形；
利用四邊形 ABCD 為等腰梯形＆ 等腰梯形兩底角相等，
可得知CDA＝ BAD；
利用CDA＝ BAD ＆ △ADE 內角和為 180，可得知E 解：
敘述 理由
(1) DAC＝BCA＝10
(2) BAD＝DAC＋BAC ＝10+ 60＝70
(3) AB︵
＝CD︵ (4) ＝
(5) 四邊形 ABCD 為等腰梯形
已知 ∥ ＆ 兩平行線之內錯角相等
＆ 已知BCA＝10
如圖 7.2，全量等於分量之和 ＆ (1) DAC＝10 、已知BAC＝60
已知 ∥ ＆ 同圓中平行線截等弧 由(3) AB︵
＝CD︵
＆ 同圓中等弧對等弦 已知 ∥ ＆ (4) ＝ ＆ 一組對邊平行且兩腰等長為等腰梯形
(7) BAD＋CDA＋E＝180
(8) 70＋70＋E＝180
(9) E＝180－70－70＝40
(10) 所以本題答案選(B) 40
＆ (2) BAD＝70
△ADE 內角和為 180
將(6) CDA＝ BAD＝70代入(7)式得 由(8) 等量減法公理
由(9)
3. 如圖 7.3，圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓。若AOB＝70，則COD＝？(97-1) (A) 110 (B) 125 (C) 140 (D) 145
D
B C A
O
圖 7.3 解答：(A) 110
想法： (1) 圓心與切點連線垂直切線 (2) 圓外一點與圓的兩切點等距離 (3) RSH 全等三角形定理
(4) 全等三角形之對應角相等
4 3 2
1 4
2 3 1
D
B C
A G
O H
E
F
圖 7.3(a) 解：
敘述 理由
(1) 過 O 點分別作 ⊥ 、 ⊥ 、
⊥ 、 ⊥ ，如圖 7.3(a) (2) 在△AHO 與 △AEO 中
AHO＝AEO＝90
＝
＝
已知圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓
＆ 圓心與切點連線垂直切線 如圖 7.3(a)所示
由(1) ⊥ 、 ⊥
圓外一點與圓的兩切點等距離 同一線段相等
(4) AOH＝AOE＝1
(5) 同理可證△BEO △BFO
BOE＝BOF＝2
(6) 同理可證△CFO △CGO
COF＝COG＝3
(7) 同理可證△DGO △DHO
DOG＝DOH＝4
(8) 2(1＋2＋3＋4)＝360
1＋2＋3＋4＝180
(9) AOB＝1＋2＝70
(10) COD＝3＋4
＝180－(1＋2) ＝180－70
＝110
由(3) ＆ 全等三角形之對應角相等 由(2)~(4)
同(2)~(4)
同(2)~(4)
如圖 7.3(a)所示，繞 O 點一圈為 360
全量等於分量之和 ＆ 已知AOB＝70
全量等於分量之和 由(8) 等量減法公理
將(9)式1＋2＝70代入得
4. 如圖 7.4，△ABC 的內切圓分別切 、 、 於 D、E、F 三點，其中 P、
Q 兩點分別在DE︵
、DF︵
上。若A＝30，B＝80，C＝70，則DPE︵
是DQF︵ 的幾倍？ (96-1)
(A) 3
2 (B) 7
8 (C) 3
4 (D) 3 8
80 70
30
C B
A
D F
E P
Q
圖 7.4 解答：(A)
3 2
90
90 90
150
100
30
80 70
C B
A
O D F
E P
Q
圖 7.4(a)
作圖，找出△ABC 的內切圓圓心 O 點；
利用內切圓圓心與切點的連線垂直切線的性質，得知
ADO＝BDO＝OFA＝OEB＝90；
利用四邊形 BEOD 內角和 360 ＆ BDO＝OEB＝90、已知B＝80，
可得知DOE；
利用圓弧的度數等於所對圓心角的度數，可得知DPE︵
；
利用四邊形 ADOF 內角和 360 ＆ ADO＝OFA＝90、已知A＝30，
可得知DOF；
利用圓弧的度數等於所對圓心角的度數，可得知DQF︵
； 解：
敘述 理由
(1) 過切點 D、E、F 分別作切線的垂直線 相交於內切圓的圓心 O 點，如圖 7.4(a) 所示，則：
ADO＝BDO＝OFA＝OEB＝90
(2) 在四邊形 BEOD 中，
B＋BDO＋DOE＋OEB＝360
80＋90＋DOE＋90＝360
DOE＝100
(3) DPE︵
＝DOE＝100
(4) 在四邊形 ADOF 中，
A＋OFA＋DOF＋ADO＝360
30＋90＋DOF＋90＝360
DOF＝150
(5) DQF︵
＝DOF＝150
(6) 所以DPE︵
＝2 3DQF︵ (7) 所以本題答案選(A)
3 2
圓心與切點的連線與切線垂直
如圖 7.4(a)所示 四邊形內角和 360
將已知B＝80 &
(1) BDO＝OEB＝90 代入得 由(2) ＆ 弧度等於所對圓心角度數 如圖 7.4(a)所示
四邊形內角和 360
將已知A＝30 &
(1) ADO＝OFA＝90 代入得 由(4) ＆ 弧度等於所對圓心角度數 由(3) ＆ (5)
由(6)
5. 如圖 7.5，A、B、C 三點在圓周上，D 點在圓內，E 點圓外，L 為過 B 點之 切線。根據圖中1、2、3、4 的位置，判斷下列哪一個角的角度最大？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 (95-1)
圖 7.5 解答： (A) 1
想法： (1) 圓周角等於所對弧度的一半
(2) 弦切角等於弦與切線所夾弧度的一半 (3) 三角形外角大於任一內對角
圖 7.5(a) 解：
敘述 理由
(1) 作 延長線交圓周於 F 點，作 、 ， 如圖 7.5(a)
(2) 2＝4＝5＝6＝1 2︵AB
(3) △ADF 中，1＞5
作圖
圓周角等於所對弧度的一半 ＆ 弦切角等於弦與切線所夾弧度的 一半
三角形外角大於任一內對角
(5) 1＞2＝4 ＞3 (6) 所以本題選(A) 1 最大
由(2)、(3)、(4) 遞移律 由(5)
6. 如圖 7.6，圓弧上有五個點 A、B、C、M、N。比較MAN、MBN、MCN 的大小關係，下列敘述何者正確？(93-1)
(A) MAN＝MBN＝MCN (B) MBN＞MCN＞MAN (C) MAN＞MCN＞MBN (D) MAN＝MCN＞MBN
圖 7.6 解答：(A) MAN＝MBN＝MCN 想法： 等弧對等圓周角定理
圖 7.6(a) 解：
敘述 理由
(1) 過 A、B、C 三點作一圓，
如圖 7.6(a)所示
(2) MAN＝MBN＝MCN＝1 2MFN︵
過三點可作一圓
MAN、MBN、MCN 三角都對 相同的MFN︵
＆ 等弧對等圓周角
7. 如圖 7.7， 為圓 O 的直徑，P、Q、R、S 為圓周上相異四點。下列敘述何 者正確？(92-1)
(A) APB 為銳角 (B) AQB 為直角 (C) ARB 為鈍角 (D) ASB＜ARB
A O B
P
Q
R
S
圖 7.7 解答：(B) AQB 為直角
想法：直徑所對的圓周角為直角 解：
敘述 理由
(1) APB、AQB、ARB、ASB 皆為直角
(2) 所以本題答案選(B) AQB 為直角
已知 為圓 O 的直徑 ＆ 直徑所對的圓周角為直角 由(1)
使得BM︵
＝CM︵
，則下列四個作法中，哪一個是錯誤的？(91-1) (A) 作 BAC 之平分線交BC︵
於 M (B) 作 中垂線交BC︵
於 M
(C) 作 A 與 的中點連線，延長交BC︵
於 M (D) 作 O 與 的中點連線，延長交BC︵
於 M
A O D
B
C
圖 7. 8 解答： (C)
想法： 依題意作圖，再證明正確性 解：
敘述 理由
1. (A)正確
M
A O D
B
C
圖 7.8(a) 2. (B)正確
90
M E
A O D
B
C
圖 7.8(b)
如圖 7.8(a)
BAM＝CAM＝1
2BAC (作圖)
∴BM︵
＝CM︵
(等圓周角對等弧)
如圖 7.8(b)
的中垂線必通過圓心 O (弦的中垂線過圓心)
△OBC 為等腰三角形 (同圓半徑等長 ＝ )
BOM＝COM＝1
2BOC
(等腰三角形底邊中垂線平分頂角)
∴BM︵
＝CM︵
(等圓心角對等弧)
3. (C)錯誤
M E
A O D
B
C
圖 7.8(c) 4. (D)正確
M E
A O D
B
C
圖 7.8(d)
如圖 7.8(d)
的中點與圓心的連線與弦垂直 (弦的中垂線過圓心)
△OBC 為等腰三角形 (同圓半徑等長 ＝ )
BOM＝COM＝1
2BOC
(等腰三角形底邊中垂線平分頂角)
∴BM︵
＝CM︵
(等圓心角對等弧)