目錄

第七章 圓形 ... 1

7.1 節 圓的基本性質 ... 1

定義 7.1-1 圓，圓周，圓心，半徑，直徑 ... 1

定義 7.1-2 圓心角 ... 7

定義 7.1-3 圓周角 ... 7

定義 7.1-4 同心圓 ... 9

定義 7.1-5 扇形 ... 9

定理 7.1-1 等半徑定理： 同圓或等圓的半徑相等 ... 9

定理 7.1-2 全等圓定理： 兩圓的半徑相等，則兩圓相等 ... ...10

習題 7.1...11

7.2 節 弦與弧 ... 13

定義 7.2-1 弧 ... 13

定義 7.2-2 弦 ... 13

定義 7.2-3 弧的度數 ... 13

定理 7.2-1 等圓心角對等弧定理 ... 26

定理 7.2-2 等弧對等圓心角定理 ... 27

定理 7.2-3 等弧對等弦定理 ... 28

定理 7.2-4 等弦對等弧定理 ... 32

定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理 ... 34

定理 7.2-6 弦與圓心距離定理 ... 38

定理 7.2-7 圓周角定理 ... 40

定理 7.2-8 直徑所對的圓周角為直角...55

定理 7.2-9 兩弦相交定理(圓內角定理) ... 67

定義 7.2-4 定義 公弦 ... 71

定理 7.2-10 兩圓相交定理 ... 72

習題 7.2...74

7.3 節 割線與切線 ... 82

定義 7.3-1 割線 ... 82

定義 7.3-2 切線 ... 82

定理 7.3-1 切線定理 ... 86

圓切線作圖 ... 87

定理 7.3-2 切線長定理 ... 92

定義 7.3-3 相切圓 ... 98

定理 7.3-3 兩圓相切定理 ... 99

兩圓之位置關係...100

定義 7.3-4 公切線 ... 109

定理 7.3-4 切線與弦交角定理 ... 127

定理 7.3-5 割線與切線交角定理(1)：(圓外角定理 1) ... 138

定理 7.3-6 割線與切線交角定理(2)：(圓外角定理 2) ... 146

定理 7.3-7 割線與切線交角定理(3)：(圓外角定理 3) ... 150

定理 7.3-8 平行線截取等弧定理………154

習題 7.3...156

7.4 節 圓的內接及外切多邊形 ... 166

定義 7.4-1 內接與外切 ... 166

定理 7.4-1 內接四邊形對角定理 ... 168

定理 7.4-2 圓內接四邊形的判別定理 ... 171

定理 7.4-3 圓外切四邊形之邊長定理 ... 173

定理 7.4-4 圓外切四邊形判別定理 ... 177

習題 7.4...180

本章重點 ... 182

歷年基測試題………184

第七章 圓形

7.1 節 圓的基本性質

我們在第一章已經敘述過圓的定義了，本章我們要討論圓的一些性質，我們 先複習一下圓的定義，再討論圓的基本性質。

定義 7.1-1 圓，圓周，圓心，半徑，直徑

圓周為一封閉曲線，線上各點都與其內一點等距離，此點稱為圓心；圓周 內的部份為圓； 圓周上任一點與圓心的距離就是此圓的半徑；通過圓心 而兩端點在圓周上的線段為此圓的直徑，如圖 7.1-1 所示。

(a) 圓周 (b) 圓 (c) 直徑 ，半徑 圖 7.1-1

例題 7.1-1：

有一圓的直徑是 10 公分。請在空格中填入外、內或上：

(1)有一點 P 與圓心相距 7 公分，則 P 點必在圓______。

(2)有一點 Q 與圓心相距 5 公分，則 Q 點必在圓______。

(3)有一點 R 與圓心相距 3 公分，則 R 點必在圓______。

想法：(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑 (2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

圖 7.1-2 解：

敘述 理由

(1) 依題意作圖，如圖 7.1-2。

(2) 圓半徑為 5 公分 (3) P 點必在圓外 (4) Q 點必在圓周上 (5) R 點必在圓內

作圖

圓的直徑是 10 公分

P 與圓心相距 7 公分，7 公分＞5 公分 Q 與圓心相距 5 公分，5 公分＝5 公分 R 與圓心相距 3 公分，3 公分＜5 公分

已知圓 O 的直徑為 12 公分，且 A、B、C 三點與此圓心 O 的距離分別 為 9 公分、6 公分、5 公分，試判斷 A、B、C 三點與圓 O 的位置關係：

（填入 A、B、C）

(1) 在圓內的是 點。

(2) 在圓上的是 點。

(3) 在圓外的是 點。

想法：(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑 (2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

圖 7.1-3 解：

敘述 理由

(1) 依題意作圖，如圖 7.1-3。

(2) 圓 O 半徑為 6 公分 (3) A 點必在圓外 (4) B 點必在圓周上 (5) C 點必在圓內

作圖

已知圓 O 直徑為 12 公分

已知 ＝9 公分＞6 公分＝圓 O 半徑 已知 ＝6 公分＝圓 O 半徑

已知 ＝4 公分＜6 公分＝圓 O 半徑

例題 7.1-3：

有一圓的圓心 O 與 A、B、C 三點的距離分別為 ＝5 公分， ＝7 公分，

＝9 公分。已知 A、B、C 三點中，有兩點在圓內，有一點在圓外，則此 圓的半徑 r 可能的範圍為______________。

想法：(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑 (2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

圖 7.1-4 解：

敘述 理由

(1) 依題意作圖，如圖 7.1-4。

(2) ＜ ＜

(3) A、B 兩點在圓內，C 點在圓外

(4) 7 公分＜r＜9 公分

作圖

已知 ＝5 公分、 ＝7 公分、 ＝9 公分 已知 A、B、C 三點中，有兩點在圓內，

有一點在圓外

A、B 兩點在圓內，半徑必大於 7 公分＝ ＆ C 點在圓外，半徑必小於 ＝9 公分

已知圓 O 的半徑為 6 公分，且圓心 O 到三條直線 L1、L2、L3的距離分別為 4 公分、6 公分、8 公分，則：

(1) 直線________和圓 O 相交於兩點。

(2) 直線_______和圓 O 相交於一點。

(3) 直線_______和圓 O 不相交。

想法：(1) 直線外一點到直線的最短距離為垂直線段(詳見例題 4.1-1) (2) 直線到圓心的距離大於圓半徑，則直線與圓不相交

(3) 直線到圓心的距離等於圓半徑，則直線與圓相交於一點 (4) 直線到圓心的距離小於圓半徑，則直線與圓相交兩點

圖 7.1-5 解：

敘述 理由

(1) 如圖 7.1-5，直線 L1和圓 O 相交於 P、Q 兩點

(2) 如圖 7.1-5，直線 L2和圓 O 相交於 一點 R 點

(3) 如圖 7.1-5，直線 L3和圓 O 不相交

圓心 O 到直線 L1的距離為 4 公分＜6 公分＝半徑

圓心 O 到直線 L2的距離為 6 公分＝半徑

圓心 O 到直線 L3的距離為 8 公分＞6 公分＝半徑

例題 7.1-5：

如圖 7.1-6，A 在圓 O 外， 通過圓心 O 且交圓 O 於 B、C 兩點。已知

＝6 公分，圓 O 的半徑為 3 公分，則：

(1) A 到圓 O 的最短距離為______公分。

(2) A 到圓 O 的最長距離為______公分。

圖 7.1-6 想法：圓外一點與圓的距離為點到圓周的線段長 解：

敘述 理由

(1) A 到圓 O 的最短距離為 (2) ＝ －

＝6 公分－3 公分 ＝3 公分 (3) A 到圓 O 的最長距離為

(4) ＝ ＋

＝6 公分＋3 公分 ＝9 公分

如圖 7.1-6 所示

已知 ＝6 公分 ＆ 半徑 ＝3 公分

如圖 7.1-6 所示

已知 ＝6 公分 ＆ 半徑 ＝3 公分

兩半徑所夾的角，叫圓心角。

定義 7.1-3 圓周角

過圓周上同一點的兩弦所夾的角，叫圓周角。

O A

B

F

H G

C

D

E

圖 7.1-7

圖 7.1-7 中，∠AOB 為圓心角，∠CDE 及∠FGH 都是圓周角。

例題 7.1-6：

當時鐘在六點五十分時，時針和分針的夾角為幾度？

圖 7.1-8 想法：兩半徑所夾的角，叫圓心角

解：

敘述 理由

(1) 分針一分鐘走 6 度

(2) 分針從 6 點 30 分走到 6 點 50 分共 走了 120 度，如圖 7.1-8(a)

(3) 時針一分鐘走 0.5 度

(4) 時針從 6 點走到 6 點 50 分共走了 25 度，如圖 7.1-8(a)

(5) 所以六點五十分時，時針分針夾角 ＝120 度－25 度

＝95 度

分針 60 分鐘走 360 度一分鐘 6 度 分針 20 分鐘走 6 度×20 分＝120 度

時針 60 分鐘走 30 度一分鐘 0.5 度 時針 50 分鐘走 0.5 度×50 分＝25 度

圖 7.1-8(a)

半徑不同，圓心相同的諸圓，叫同心圓。

定義 7.1-5 扇形

兩半徑與所夾的弧圍成的圖形，叫做扇形。

同心圓 扇形

I

G

H

圖 7.1-9

定理 7.1-1 等半徑定理： 同圓或等圓的半徑相等。

A

O

B

圖 7.1-10 已知：如圖 7.1-10， 與 都是圓 O 的半徑。

求證： ＝

想法：固定 O 點，旋轉 ，使 與 重合。

證明：

敘述 理由

(1) 固定 O 點，旋轉 ，使 與 重合。

(2) A 點與 B 點重合。

(3) ＝

不改變圖形的大小、形狀，可自一 位置移至另一位置。

圓周上每一點與圓心等距離。

等線段相等。

Q. E. D.

定理 7.1-2 全等圓定理： 兩圓的半徑相等，則兩圓相等。

O

A A'

O'

圖 7.1-11

已知：如圖 7.1-11，圓 O 及圓 O`兩圓， ＝ 。 求證： 圓 O 及圓 O`相等。

想法：應用移形公理，證明兩圓重合。

證明：

敘述 理由

(1) 將圓 O`放在圓 O 上，使圓心 O`與 圓心 O 重合， 落在 上。

(2) 點 A`與點 A 重合。

(3) 圓 O`與圓 O 相等。

移形公理。

已知 ＝ 同圓相等。

Q. E. D.

習題 7.1-1

圓與圓周如何區別？

習題 7.1-2

一個圓有多少條半徑？多少條直徑？

習題 7.1-3

若圓 O 的半徑為 8 公分，根據下列判斷 P 點、Q 點、R 點與圓 O 的位置 關係：

(1) ＝10 公分 (2) ＝8 公分 (3) ＝4 公分

習題 7.1-4

若圓 O 的半徑為 6 公分，P 為圓 O 內部一點， ＝t，則 t 的範圍為________。

習題 7.1-5

已知圓 O 的半徑為 12 公分，且圓心 O 到三條直線 L1、L2、L3的距離分別 為 8 公分、12 公分、16 公分，則：

(1) 直線________和圓 O 相交於兩點。

(2) 直線_______和圓 O 相交於一點。

(3) 直線_______和圓 O 不相交。

習題 7.1-6

若圓 O 的半徑為 6 公分，圓外一點 A 到圓心 O 的距離為 10 公分，則 A 點 到圓 O 的最短距離是______，A 點到圓 O 的最長距離是______。

習題 7.1-7

當時鐘在五點五十五分時，時針和分針的夾角為幾度？

習題 7.1-8

作一圓心角為 90的扇形。

習題 7.1-9

作一圓周角其角度為 90。

習題 7.1-10

試作兩同心圓，其直徑分別為 3 公分與 5 公分。

習題 7.1-11

試證矩形的四頂點在同一圓周上。

定義 7.2-1 弧

圓周的一部份稱為弧，大於半圓周的為優弧，小於半圓周的為劣弧，通常 劣弧簡稱弧。

定義 7.2-2 弦

圓周上任意兩點的連線叫做弦。

優弧 劣弧

弦

O A B

C D

圖 7.2-1 圖 7.2-1 中， 是此圓的一弦； CD︵

大於半圓周為優弧， AB︵

小於半圓 周為劣弧。

定義 7.2-3 弧的度數

將圓周分成 360 等分，每一等分的弧叫做 1 度；而圓心角等於所對弧的度 數。

例題 7.2-1：

如圖 7.2-2， AB︵

的度數是 45°，試求其所對應的圓心角∠AOB。

圖 7.2-2 想法：圓心角等於所對弧的度數

解：

敘述 理由

(1) AB︵

＝45°

(2) ∠AOB＝ AB︵

＝45°

已知 AB︵

的度數是 45°

由(1) AB︵

＝45° ＆ 圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵ 的度數

如圖 7.2-3，有一正十二邊形的所有頂點均在圓 O 上，A、B 為其中 兩個相鄰的頂點，試求 AB︵

的度數。

圖 7.2-3 想法：(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解：

敘述 理由

(1) AB︵

＝12

1 ×圓周

(2) AB︵

＝12

1 ×360°＝30°

已知正十二邊形將圓周 12 等分， AB︵

占 1 等分

將圓周 360°代入(1)

例題 7.2-3：

如圖 7.2-4，已知圓心角∠AOB＝56，則AB︵

＝ 度，ACB︵

＝ 度。

圖 7.2-4 想法：(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解：

敘述 理由

(1) AB︵

＝∠AOB＝56

(2) ACB︵

＝360°－ AB︵ ＝360°－56°＝304°

圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵

的度數 ＆ ∠AOB＝56

︵AB

＋ACB︵

為圓周＝360° ＆ 由(1) AB︵

＝56已證

如圖 7.2-5，若 AB︵

＝70°，BC︵

＝155°，則∠AOC 的度數＝？

圖 7.2-5 想法：(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解：

敘述 理由

(1) AB︵

＋BC︵

＋CA︵

＝360°

(2) 70°＋155°＋CA︵

＝360°

(3) CA︵

＝360°－70°－155°＝135°

(4) ∠AOC＝CA︵

＝135°

AB︵

＋BC︵

＋CA︵

為圓周＝360°

將AB︵

＝70°，BC︵

＝155° 代入 (1)

由(2) 等量減法公理

圓心角∠AOC 等於所對弧CA︵

的度數 ＆ (3) CA︵

＝135°

例題 7.2-5：

如圖 7.2-6，已知 A、B、C 是圓 O 上相異三點，若ACB︵

的度數比AB︵ 度數 的 3 倍多 60°，則∠AOB＝_______度。

圖 7.2-6 想法：(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解：

敘述 理由

(1) AB︵

＋ACB︵

＝360°

(2) ACB︵

＝3AB︵

＋60°

(3) AB︵

＋(3AB︵

＋60°)＝360°

(4) AB︵

＝75°

(5) ∠AOB＝AB︵

＝75°

︵AB

＋ACB︵

為圓周＝360°

已知ACB︵

的度數比 AB︵

度數的 3 倍多 60°

將(2) ACB︵

＝3AB︵

＋60° 代入(1)

由(3) 解一元一次方程式

由(4) AB︵

＝75° ＆ 圓心角∠AOB 等於所對 弧AB︵

的度數

如圖 7.2-7， 是半圓的直徑，C 為AB︵

上一點，M 為AC︵

的中點，N 為BC︵ 的 中點。則MCN︵

的弧度為________度。

圖 7.2-7 想法：半圓周為 180°

解：

敘述 理由

(1) ACB︵

＝180°

(2) MC︵

＝2 1︵AC

(3) CN︵

＝2 1︵BC

(4) MCN︵

＝MC︵

＋CN︵

(5) MCN︵

＝2 1︵AC

＋2 1︵BC

＝ 2 1(AC︵

＋BC︵ )

＝ 2 1ACB︵

＝2

1×180°

＝90°

ACB︵

為圓周的一半

M 為 AC︵

的中點

N 為 BC︵

的中點

如圖 7.2-7 所示

將(2) MC︵

＝2 1︵AC

＆ (3) CN︵

＝2 1︵BC

代入(4) ＆ 由(1) ACB︵

＝180°

例題 7.2-7：

如圖 7.2-8， 、 、 皆為直徑，AC︵

＝2x°，CE︵

＝4x°，EB︵

＝3x°，則：

(1) x＝_______。

(2) ∠4＝______度。

(3) ∠6＝______度。

圖 7.2-8 想法：(1) 半圓周為 180°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解：

敘述 理由

(1) AC︵

＋ CE︵

＋ EB︵

＝180°

(2) 2x°＋4x°＋3x°＝180°

(3) x＝20

(4) ∠1＝AC︵

＝2x°＝2×20°＝40°

(5) ∠4＝∠1＝40°

(6) ∠3＝ EB︵

＝3x°＝3×20°＝60°

(7) ∠6＝∠3＝60°

為直徑 ＆ AC︵

＋ CE︵

＋ EB︵

為半圓弧

將AC︵

＝2x°， CE︵

＝4x°， EB︵

＝3x°代入(1) 由(2) ＆ 解一元一次方程式

圓心角∠1 等於所對弧AC︵

的度數 ＆ AC︵

＝2x°

對頂角相等 ＆ (4) ∠1＝40°

圓心角∠3 等於所對弧 EB︵

的度數 ＆

︵EB

＝3x°

對頂角相等 ＆ (6) ∠3＝60°

如圖 7.2-9，若 是圓 O 的直徑，C 在圓 O 上，且 AC︵

＝2BC︵

， 則∠BOC＝______度。

圖 7.2-9 想法：(1) 半圓周為 180°

(2) 圓心角為所對弧度數 解：

敘述 理由

(1) ACB︵

＝180°

(2) AC︵

＋BC︵

＝ACB︵

＝180°

(3) 2BC︵

＋BC︵

＝180°

(4) BC︵

＝180°÷3＝60°

(5) ∠BOC＝BC︵

＝60°

ACB︵

為圓周的一半

全量等於分量之和 ＆ 由(1) ACB︵

＝180°

將已知AC︵

＝2BC︵

代入(2)

由(3) 解一元一次方程式

圓心角∠BOC 為所對弧BC︵

的度數 ＆ (4)BC︵

＝60°

例題 7.2-9：

如圖 7.2-10，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝25°。以 C 為圓心， 為 半徑的圓交 於 D，交 於 E，則 DE︵

的度數是多少？

圖 7.2-10 想法：(1) 三角形內角合 180°

(2) 圓心角等於所對弧的度數

圖 7.2-10(a) 解：

敘述 理由

(1) 作 ，如圖 7.2-10(a)所示 (2) △ABC 中，

∠A＋∠B＋∠ACB＝180°

作圖

如圖 7.2-10(a)所示 ＆ 三角形內角和 180°

(4) ∠A＝180°－25°－90°＝65°

(5) ＝ 為圓 C 半徑 (6) △ACD 為等腰三角形 (7) ∠ADC＝∠A＝65°

(8) △ACD 中，

∠ADC＋∠A＋∠ACD＝180°

(9) 65°＋65°＋∠ACD＝180°

(10) ∠ACD＝180°－65°－65°＝50°

(11) ∠BCD＝∠BCA－∠ACD ＝90°－50°＝40°

(12) DE︵

＝∠BCD＝40°

由(3) 等量減法公理

同圓半徑皆相等 ＆ 已知 為圓 C 半徑 由(5) ＝ ＆ 等腰三角形定義 等腰三角形兩底角相等 ＆ (4) ∠A＝65°

如圖 7.2-10(a)所示 ＆ 三角形內角和 180°

將(7) ∠ADC＝∠A＝65° 代入(8) 由(9) 等量減法公理

如圖 7.2-10(a)所示

＆ 已知∠ACB＝90° ＆ (10)∠ACD＝50°

圓心角∠BCD 等於所對弧DE︵

的度數

＆ (11) ∠BCD＝40°

例題 7.2-10：

如圖 7.2-11，圓 P 的半徑 為 15 公分，圓 Q 的半徑 為 9 公分，

∠APB＝∠CQD。已知CD︵

＝50°，則：

(1) ∠APB＝ 度。 (2) AB︵

＝ 度。

圖 7.2-11 想法：圓心角等於所對弧的度數

解：

敘述 理由

(1) 圓 Q 中，∠CQD＝CD︵

＝50°

(2) ∠APB＝∠CQD＝50°

(3) 圓 P 中，AB︵

＝∠APB＝50°

圓心角∠CQD 等於所對弧CD︵

的度數 ＆ 已知CD︵

＝50°

已知∠APB＝∠CQD ＆ (1) ∠CQD＝50°

圓心角∠APB 等於所對弧AB︵

的度數

＆ (2) ∠APB＝50°

如圖 7.2-12，兩同心圓的圓心為 O， 、 為小圓的半徑， 、 為 大圓的半徑。已知∠AOB＝120，則：

(1) ∠COD＝ 度。 (2) AB︵

＝ 度，CD︵

＝ 度。

圖 7.2-12 想法：(1) 同心圓圓心角相等

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解：

敘述 理由

(1) ∠COD＝∠AOB＝120

(2) AB︵

＝∠AOB＝120

(3) CD︵

＝∠COD＝120

同心圓圓心角∠COD 與∠AOB 相等

圓心角∠AOB 等於所對弧AB︵

的度數 ＆ 已知∠AOB＝120°

圓心角∠COD 等於所對弧CD︵

的度數 ＆ (1) ∠COD＝120°

定理 7.2-1 等圓心角對等弧定理

在同圓或等圓中，若兩圓心角相等，則所對的兩弧相等。

O

A A'

O'

B B'

圖 7.2-13

已知：如圖 7.2-13，圓 O 及圓 O`為等圓，∠AOB＝∠A`O`B`。

求證：AB︵

＝A'B'︵

想法：應用移形公理，證明兩弧重合。

證明：

敘述 理由

(1) 將圓 O`放在圓 O 上，使∠A`O`B`與

∠AOB 重合。

(2) 點 A`與點 A 重合，點 B`與點 B 重合。

(3) A'B'︵ 與AB︵

重合。

(4) A'B'︵

=AB︵

移形公理及己知∠AOB＝∠A`O`B`。

等圓半徑相等。

等圓周上重合兩點之兩弧也重合。

兩弧重合。

Q. E. D.

在同圓或等圓中，若兩弧相等，則所對的兩圓心角也相等。

O

A A'

O'

B B'

圖 7.2-14 已知：如圖 7.2-14，圓 O 及圓 O`為兩等圓，AB︵

＝A'B'︵

。 求證：∠AOB＝∠A`O`B`

想法：應用移形公理。

證明：

敘述 理由

(1) 將圓 O`放在圓 O 上，使A'B'︵ 與AB︵

重合。

(2) 點 A`與點 A 重合，點 B`與點 B 重合。

(3) 與 重合， 與 重合。

(4) ∠A`O`B`=∠AOB

移形公理。

己知AB︵

=A'B'︵

過兩點可畫一直線且只有一直線。

重合兩直線的夾角相等。

Q. E. D.

定理 7.2-3 等弧對等弦定理

在同圓或等圓中，若兩弧相等，則所對的弦也相等。

D A

O

B

C

圖 7.2-15 已知：如圖 7.2-15，圓 O 中，AB︵

＝CD︵

。

求證： ＝

想法：利用等弧對等圓心角定理及全等三角形的對應邊相等的性質。

證明：

敘述 理由

(1) ∠AOB=∠COD。

(2) 在△AOB 與△COD 中

=

∠AOB=∠COD

=

(3) △AOB △COD (4) ＝

己知AB︵

＝CD︵

，由等弧對等圓心角定理。

如圖 7.2-15 所示 同圓半徑等長 由(1)

同圓半徑等長

由(2) ＆ 根據 S.A.S. 三角形全等定理。

由(3) 兩全等三角形的對應邊相等。

Q. E. D.

如圖 7.2-16，已知在圓 O 中，AB︵

＝CD︵

，求證：(1) ＝ (2) ＝

圖 7.2-16 想法：等弧對等弦定理

證明：

敘述 理由

(1) 圓 O 中， ＝ (2) AB︵

＋BC︵

＝CD︵

＋BC︵ (3) AC︵

＝BD︵ (4) ＝

已知AB︵

＝CD︵

＆ 等弧對等弦定理 已知AB︵

＝CD︵

＆ 等量加法原理、同加BC︵ 由(2) ＆ AC︵

＝AB︵

＋BC︵

、 BD︵

＝CD︵

＋BC︵ 由(3) AC︵

＝BD︵

＆ 等弧對等弦定理

例題 7.2-13：

如圖 7.2-17，已知 ABCDEF 為正六邊形的六個頂點，且這六個頂點都落在 圓 O 上，則：

(1) ∠AOE＝ 度，∠DOB＝ 度。

(2) ＝ 嗎？為什麼？

圖 7.2-17 想法：(1) 正六邊形的六個頂點將圓周 6 等分

(2) 圓心角等於所對的弧度 (3) 等弧對等弦定理

圖 7.2-17(a) 解：

敘述 理由

(1) ABCDEF 將圓周平分成 6 等分 (2) AF︵

＝ FE︵

＝CD︵

＝BC︵

＝360°÷6＝60°

已知 ABCDEF 為正六邊形的六個頂點 由(1) ＆ 圓周為 360°

(4) AE︵

＝ AF︵

＋ FE︵

＝60°＋60°＝120°

(5) ∠AOE＝AE︵

＝120°

(6) BD︵

＝CD︵

＋BC︵

＝60°＋60°＝120°

(7) ∠DOB＝BD︵

＝120°

(8) AE︵

＝BD︵

＝120°

(9) ＝

全量等於分量之和

＆ (2) AF︵

＝ FE︵

＝60°

由(4) AE︵

＝120° ＆ 圓心角∠AOE 等於所對弧AE︵

的度數 全量等於分量之和 ＆ (2) CD︵

＝BC︵

＝60°

由(6) BD︵

＝120° ＆ 圓心角∠DOB 等於所對弧BD︵

的度數

由(4)AE︵

＝120°＆(6)BD︵

＝120° 遞移律 由(8) ＆ 等弧對等弦定理

定理 7.2-4 等弦對等弧定理：

在同圓或等圓中，若兩弦相等，則所對的弧也相等。

圖 7.2-18

已知：如圖 7.2-18，圓 O 中， ＝ 。 求證：AB︵

＝CD︵

想法：利用全等三角形的對應角相等的性質及等圓心角對等弧定理。

證明：

敘述 理由

(1) 在△AOB 與△COD 中

＝

＝

＝

(2) △AOB △COD (3) ∠AOB=∠COD

(4) AB︵

＝CD︵

如圖 7.2-18 所示 己知 ＝

同圓的半徑相等 同圓的半徑相等

由(1) ＆ 根據 S.S.S. 三角形全等定理 由(2) ＆ 全等三角形的對應角相等

由(3) ＆ 等圓心角對等弧定理

Q. E. D.

如圖 7.2-19， 、 為圓 O 的兩弦，且 ＝ 。若AB︵

＝45，則CD︵

＝ 度。

圖 7.2-19 想法：等弦對等弧定理

解：

敘述 理由

(1) CD︵

＝AB︵

(2) CD︵

＝AB︵

＝45

已知 ＝ ＆ 等弦對等弧定理

由(1) ＆ 已知AB︵

＝45

定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理

垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧。

E D

A

O

B C

圖 7.2-20

已知：圖 7.2-20 圓 O 中， 為圓上之一弦， 為過圓心 O 且垂直 的直徑。

求證：(1) ＝ (2) DB︵

＝ BE︵

想法：利用全等三角形的對應邊及對應角相等性質及等圓心角對等弧定理。

E D

A

B O

C

圖 7.2-20(a) 證明：

敘述 理由

(1) 作 及 ，如圖 7.2-20(a) (2) 在△OCD 與△OCE 中

∠OCD＝∠OCE = 90

＝ ＝

(3) △OCD △OCE (4) ＝

(5) ∠COD = ∠COE

(6) DB︵

＝ BE︵

兩點可作一直線 如圖 7.2-20(a)所示 己知 ⊥

同圓的半徑相等 同線段相等

由(2) ＆ 根據 R.H.S. 三角形全等定理 由(3) ＆ 全等三角形的對應邊相等 由(3) ＆ 全等三角形的對應角相等

由(5) ＆ 等圓心角對等弧定理

Q. E. D.

( )作垂直線( )，則此線段( )必平分此弦( )。此一性質在本章及第八 章會常用到,請同學牢記。

例題 7.2-15：

如圖 7.2-21， 為圓 O 直徑， 為圓 O 之一弦，若 ⊥ ，且 ＝20 公分、DE︵

＝106，試求：(1) ＝？ (2) AE︵

＝？

圖 7.2-21

想法：垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧 解：

敘述 理由

(1) ＝ ＆ AD︵

＝AE︵

(2) ＝ ＝1

2 ＝1

2×20 公分 ＝10 公分 (3) AE︵

＝AD︵

＝1 2︵DE

＝1

2×106＝53

已知 為圓 O 直徑， 為圓 O 之一弦，

且 ⊥ ＆ 垂直於弦的直徑必平分 這弦與這弦所對的弧

由(1) ＆ 已知 ＝20 公分

由(1) ＆ 已知DE︵

＝106

例題 7.2-16：

如圖 7.2-22，已知 A、B、C 三點為同一圓上的三點，試找出這個圓的圓心 並完成此圓。

圖 7.2-22

想法：(1) 若 A、B、C 三點為同一圓上的三點，則 與 為圓上之弦；

(2) 根據垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧，則圓心必在 的 中垂線上；

(3) 根據垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧，則圓心必在 的 中垂線上；

(4) 根據上述條件，此圓的圓心為 與 的中垂線交點。

作法： 如圖 7.2-22 (a)

(1) 連接 A、B 兩點，B、C 兩點。

(2) 分別作 與 的中垂線，兩中垂線相交於 O 點。

(3) 連接 A、O 兩點，B、O 兩點，C、O 兩點。

(4) 以 O 點為圓心， 為半徑畫圓，圓 O 即為所求。

圖 7.2-22(a)

證明：

敘述 理由

(1) 為 的中垂線 (2) ＝

(3) 為 的中垂線 (4) ＝

(5) ＝ ＝

(6) 所以圓 O 通過 A、B、C 三點

作圖(如作法(1)~(2))

由(1) ＆ 中垂線上任一點到線段兩端等距離 作圖(如作法(1)~(2))

由(3) ＆ 中垂線上任一點到線段兩端等距離 由(2) ＆ (4) 遞移律

由(5) ＝ ＝ ＆ 同圓半徑皆相等

定理 7.2-6 弦與圓心距離定理

在同圓或等圓中，若兩弦相等，則與圓心的距離也相等。

C D

E

F O

A

B

圖 7.2-23

已知：如圖 7.2-23， 及 為圓 O 中的二弦，且 ＝ ， ⊥ ， ⊥ 。 求證： ＝

想法：利用全等三角形的對應邊相等的性質。

C D

E

F A

O

B

圖 7.2-23(a) 證明：

敘述 理由

(1) 作 及 ，如圖 7.2-23(a) (2) ＝1

2 ＆ ＝1 2 (3) ＝1

2 ＝1

2 ＝ (4) 在△OAD 與△OBF 中

＝

＝

∠OAD = ∠OBF (5) △OAD △OBF (6) ＝

兩點可作一直線

己知 ⊥ ， ⊥ ＆ 垂直於弦的直徑定理

由(2) ＆ 已知 ＝ 如圖 7.2-23(a)所示 同圓的半徑相等 由(3) 已證

已知 ⊥ ， ⊥

由(4) ＆ 根據 R.H.S. 三角形全等定理 由(5) ＆ 全等三角形的對應邊相等

Q. E. D.

如圖 7.2-24， 與 為圓 O 之兩弦，已知 ＝ 、 ⊥ 、 ⊥ 且

＝4 公分，則 ＝？

C D

E

F O

A

B

圖 7.2-24

想法：在同圓中，若兩弦相等，則與圓心的距離也相等 解：

敘述 理由

(1) ＝

(2) ＝

＝4 公分

已知 與 為圓 O 之兩弦，且 ＝ 、 ⊥ 、 ⊥

＆ 在同圓中，若兩弦相等，則與圓心的距離也相等 由(1) ＆ 已知 ＝4 公分

定理 7.2-7 圓周角定理

在同圓或等圓中，圓周角等於同弧或等弧的圓心角的一半。

同弧的圓心角與圓周角的情形有如圖 7-2.25 三種：

(a)圓心在圓周角的一邊上 (b)圓心在圓周角內 (c)圓心在圓周角外。

(b) (c) (a)

B

A

B O A B O O

C C A

C

圖 7.2-25 已知：如圖 7.2-25，圓 O 中，AC︵

所對的圓心角為∠AOC，圓周角為∠ABC。

求證：∠ABC＝1

2∠AOC＝1 2︵AC

想法：利用等腰三角形及三角形的外角等於兩內對角和定理。

(a) 圓心 O 在∠ABC 的一邊上，如圖 7.2-25(a)。

B O A

C

圖 7.2-25(a) 證明：

敘述 理由

(1) ＝

(2) △OBC 為等腰三角形 ＆ ∠B＝∠C (3) △OBC 中，∠AOC＝∠B +∠C

同圓的半徑相等

由(1) ＆ 等腰三角形兩底角相等 三角形的外角等於不相鄰兩內角和

＝2∠ABC (5) ∠ABC＝1

2∠AOC＝1 2︵AC

由(4) 等式兩邊同除以 2 ＆ 圓心角等於所對弧的度數

Q. E. D.

(b) 圓心 O 在∠ABC 內，如圖 7.2-25(b)。

A

B O D

C

圖 7.2-25(b) 證明：

敘述 理由

(1) 作直徑 (連接 O、B 兩點，延長 與圓周交於 D 點)，如圖 7.2-25(b) (2) ∠ABD ＝1

2∠AOD，∠DBC＝1

2∠DOC (3) ∠ABC ＝∠ABD +∠DBC

＝1

2(∠AOD＋∠DOC) ＝1

2∠AOC (4) ∠ABC＝1

2∠AOC＝1 2︵AC

過兩點可作一直線

由(a)己證

全量等於分量的總和 將(2)式代入(3)式得 全量等於分量的總合

由(3) ＆ 圓心角等於所對弧的度數 Q. E. D.

(c) 圓心 O 不在∠ABC 內，如圖 7.2-25(c)。

B O D

A C

圖 7.2-25(c) 證明：

敘述 理由

(1) 作直徑 ，如圖 7.2-25(c) (2) ∠DBC＝1

2∠DOC，∠DBA＝1

2∠DOA (3) ∠ABC＝∠DBC－∠DBA

＝1

2(∠DOC－∠DOA) ＝1

2∠AOC (4) ∠ABC＝1

2∠AOC＝1 2︵AC

過兩點可作一直線 由(a)己證

全量等於分量的總和 將(2)式代入(3)式得 全量等於分量的總和

由(3) ＆ 圓心角等於所對弧的度數

Q. E. D.

透過以上三種情形的證明，我們都可以得知∠ABC＝1

2∠AOC＝1 2︵AC

，所 以可以確定圓周角定理：在同圓或等圓中，圓周角等於同弧或等弧的圓心角的一 半。若將等號兩邊同乘以 2，我們可以得到 2∠ABC＝∠AOC＝AC︵

，所以本定理 也可改成：弧的度數為所對圓周角的 2 倍；或是：同弧所對之圓心角為圓周角的 2 倍。

如圖 7.2-26 所示，△ABC 三頂點皆在圓周上。若∠A＝30°，∠B＝45°，則

∠C 所對的 AB︵

弧度為多少？

圖 7.2-26 想法：1. 三角形內角和 180°

2. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 解：

敘述 理由

(1) △ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

(2) 30°＋45°＋∠C＝180°

(3) ∠C＝180°－30°－45°＝105°

(4) ∠C＝

2 1︵AB

(5) 105°＝

2 1AB︵

(6) AB︵

＝2×105°＝210°

如圖 7.2-26 ＆ 三角形內角和 180°

將已知∠A＝30°，∠B＝45°代入(1)式 由(2) 等量減法公理

圓周角∠C 等於所對弧AB︵

度數的一半

將(3) ∠C＝105°代入(4)

由(5) 等式兩邊同乘以 2

例題 7.2-19：

如圖 7.2-27 所示，D 為扇形 ABC 的BDC︵

上的一點。若∠BAC＝70°，則

∠BDC＝？

圖 7.2-27 想法：1. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 2. 圓心角等於所對弧度

3. 圓周為 360°

圖 7.2-27(a) 解：

敘述 理由

(1) 將圓 A 完成，如圖 7.2-27(a)

(2) 劣弧BDC︵

＝∠BAC＝70°

作圖

圓心角∠BAC 等於所對的弧度BDC︵ ＆ 已知∠BAC＝70°

(4) 70°＋優弧 BC︵

＝360°

(5) 優弧BC︵

＝360°－70°

＝290°

(6) ∠BDC＝

2

1×優弧BC︵

＝ 2

1×290°＝145°

將(2) 劣弧BDC︵

＝70°代入(3)式得

由(5) 等量減法公理

圓周角∠BDC 等於所對弧度BC︵

的一半

＆ (5) 優弧BC︵

＝290°

例題 7.2-20：

如圖 7.2-28，A、B、C、D 四點都在圓 O 上，∠AOC＝150°，則ABC︵

＝ 度，

ADC︵

＝ 度，∠B＝ 度。

圖 7.2-28 想法：1. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 2. 圓周 360°

解：

敘述 理由

(1) ∠AOC 為ABC︵

所對的圓心角 (2) ABC︵

＝∠AOC＝150°

(3) ABC︵

＋ADC︵

＝360°

(4) 150°＋ADC︵

＝360°

(5) ADC︵

＝360°－150°＝210°

(6) ∠B 為ADC︵

所對的圓周角 (7) ∠B＝

2 1ADC︵

＝2

1×210°＝105°

如圖 7.2-28 所示，∠AOC 對ABC︵ 由(1)圓心角∠AOC 等於所對弧ABC︵

的度數

＆ 已知∠AOC＝150°

如圖 7.2-28 所示，ABC︵

＋ADC︵

為圓周 360°

將(2) ABC︵

＝150° 代入(3) 由(4) 等量減法公理

如圖 7.2-28 所示，∠B 對ADC︵ 由(6) 圓周角∠B 為所對弧ADC︵

度數的一半

＆ (5) ADC︵

＝210°

如圖 7.2-29，△ABC 三頂點皆在圓周上，且 ＝ 。已知∠A＝50°，則 AC︵ 的度數＝？

圖 7.2-29 想法：1. 三角形內角和 180°

2. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 解：

敘述 理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠C＝∠B

(3) △ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

(4) 50°＋∠B＋∠B＝180°

(5) ∠B＝(180°－50°)÷2＝65°

(6) ∠B＝

2 1︵AC

＝65°

(7) AC︵

＝2×65°＝130°

(8) 所 以 弧 AC︵

的 度 數 為 所 對 圓 周 角

∠B 的 2 倍

已知 ＝

等腰三角形兩底角相等 三角形內角和 180°

將已知∠A＝50° ＆ (2) ∠C＝∠B 代入(3)式得

由(4) 解一元一次方程式

圓周角∠B 等於所對弧AC︵

度數的一半

由(6) 等式兩邊同乘以 2

由(7) AC︵

＝130° ＆ (6) ∠B＝65°

例題 7.2-22：

如圖 7.2-30，A、B、C、D 四點在圓周上，∠A＝90°，∠B＝65°， ＝ ， 求 AB︵

的度數。

圖 7.2-30 想法：1. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 2. 同圓中等弦對等弧

解：

敘述 理由

(1) BCD︵

＝2∠A＝2×90°＝180

(2) BC︵

＝DC︵ (3) BC︵

＝DC︵

＝1 2BCD︵

＝90

(4) ADC︵

＝2∠B＝2×65°＝130

(5) ADC︵

＋BC︵

＋AB︵

＝360

(6) AB︵

＝360－ADC︵

－BC︵ ＝360－130－90

＝140

弧度為所對圓周角的 2 倍 ＆ 已知∠A＝90°

已知 ＝ ＆ 同圓中等弦對等弧 由(1) ＆ (2)

弧度為所對圓周角的 2 倍 ＆ 已知∠B＝65°

全量等於分量之和 ＆ 圓周為 360

由(5) 等量減法公理 由(4) ADC︵

＝130 ＆ (3) BC︵

＝90 已證

如圖 7.2-31，△ABC 三頂點皆在圓周上。若∠C＝65°，則∠AOB＝____度。

圖 7.2-31 想法：1. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧為所對圓周角的 2 倍 2. 圓心角等於所對弧度

解：

敘述 理由

(1) ∠C＝

2 1︵AB

＝65°

(2) AB︵

＝2×65°＝130°

(3) ∠AOB＝AB︵

＝130°

(4) 所以同弧AB︵

之圓心角∠AOB 為 圓周角∠C 的 2 倍

(也可以說，同弧AB︵

之圓周角∠C 為圓心角∠AOB 的一半)

圓周角∠C 等於所對弧AB︵

度數的一半

由(1) 等號兩邊同乘以 2

圓心角∠AOB 等於所對弧AB︵

的度數

由(3) ∠AOB＝130° ＆ (1) ∠C＝65°

例題 7.2-24：

如圖 7.2-32，圓 O 中，若 是直徑，且∠ACD＝30°，則∠AOD＝？

圖 7.2-32 想法：1. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 解：

敘述 理由

(1) ∠AOD 為AD︵

所對的圓心角 (2) ∠ACD 為AD︵

所對的圓周角 (3) ∠AOD＝2∠ACD

＝2×30°＝60°

如圖 7.2-32 所示

如圖 7.2-32 所示 由(1) ＆ (2) 同弧AD︵

之圓心角∠AOD 為 圓周角∠ACD 的 2 倍 ＆ 已知∠ACD＝30°

如圖 7.2-33，A、B、C 三點都在圓周上，∠BOC＝120，且 為∠ACB 的 角平分線，則∠A＝ 度，∠ABC＝ 度。

圖 7.2-33 想法：1. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍

(4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 2. 圓的半徑等長

3. 三角形內角和 180°

解：

敘述 理由

(1) ∠A 為BC︵

所對的圓周角 (2) ∠BOC 為BC︵

所對的圓心角

(3) ∠A＝

2

1

2

1

(4) △OBC 為等腰三角形 (5) ∠OBC＝∠OCB (6) △OBC 中，

∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°

(7) 120°＋∠OCB＋∠OCB＝180°

如圖 7.2-33 所示，∠A 對BC︵ 如圖 7.2-33 所示，∠BOC 對BC︵

由(1)(2)同弧 BC︵

之圓周角∠A 等於圓心 角∠BOC 的一半 ＆ 已知∠BOC＝120°

已知 ＝ 為半徑

由(4) 等腰三角形兩底角相等 如圖 7.2-33 所示，

三角形內角和 180°

將已知∠BOC＝120° ＆ (5) ∠OBC＝∠OCB 代入(6)

(8) ∠OCB＝(180°－120°)÷2＝30°

(9) ∠ACB＝2∠OCB＝2×30°＝60°

(10) △ABC 中，

∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°

(11) ∠ABC＝180°－(∠ACB＋∠A) ＝180°－(60°＋60°) ＝60°

由(7) 解一元一次方程式

已知 為∠ACB 的角平分線 ＆ (8) ∠OCB＝30°

如圖 7.2-33 所示 三角形內角和 180°

由(10) 等量減法公理 ＆

(9) ∠ACB＝60° ＆ (3)∠A＝60° 已證

如圖 7.2-34， 和 是圓的兩弦，且相交於 E 點。若∠B＝60°，∠A＝50°，

則：(1) ∠1＝_______度。(2) ∠2＝_______度。

圖 7.2-34 想法：目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 解：

敘述 理由

(1) ∠B＝

2 1︵AD

＝60°

(2) ∠1＝

2 1︵AD

＝∠B＝60°

(3) ∠A＝

2 1︵BC

＝50°

(4) ∠2＝

2 1︵BC

＝∠A＝50°

(5) 所以同弧AD︵

之圓周角∠B 與∠1 相等

(6) 所以同弧BC︵

之圓周角∠A 與∠2 相等

圓周角∠B 等於所對弧AD︵

度數的一半

圓周角∠1 等於所對弧AD︵

度數的一半 ＆ (1)

圓周角∠A 等於所對弧BC︵

度數的一半

圓周角∠2 等於所對弧BC︵

度數的一半 ＆ (3)

由(2) ∠B＝∠1＝60°

由(4) ∠A＝∠2＝50°

例題 7.2-27：

如圖 7.2-35，∠ACB＝47，則∠ADB＝ 度。

圖 7.2-35 想法：目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

解：

敘述 理由

(1) ∠ACB 為AB︵

所對之圓周角

(2) ∠ADB 為AB︵

所對之圓周角

(3) ∠ADB＝∠ACB＝47

如圖 7.2-35 所示，∠ACB 對AB︵

如圖 7.2-35 所示，∠ADB 對AB︵

同弧AB︵

所對之圓周角∠ADB 與∠ACB 相等

＆ 已知∠ACB＝47

△ABC 三頂點皆在圓周上，且 為圓的直徑，則∠BAC＝90°

圖 7.2-36

已知：如圖 7.2-36，△ABC 三頂點皆在圓周上，且 為圓 O 的直徑 求證：∠A＝90°

想法：1. 目前已知圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

2. 直徑將圓周分為一半 3. 圓周 360°

證明：

敘述 理由

(1) BAC︵

＝BDC︵ (2) BAC︵

＋BDC︵

＝360°

(3) BDC︵

＋BDC︵

＝360°

(4) BDC︵

＝360°÷2＝180°

(5) ∠A 為BDC︵

之圓周角 (6) ∠A＝

2 1BDC︵

＝2

1×180°＝90°

(7) 所 以 直 徑 所 對 的 圓 周 角

∠A＝90°

已知 為圓 O 的直徑，直徑將圓周分為一半

如圖 7.2-36 所示，BAC︵

＋BDC︵

為圓周 360°

將(1) BAC︵

＝BDC︵

代入(2)式得 由(3) 解一元一次方程式

如圖 7.2-36 所示，∠A 對BDC︵ 由(5) 圓周角∠A 為所對弧BDC︵

度數的一半

＆ (4) BDC︵

＝180°

由(6) ∠A＝90°

Q.E.D.

例題 7.2-28：

如圖 7.2-37， 為直徑，求∠C＋∠D＋∠E＝？

圖 7.2-37 想法：圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 解：

敘述 理由

(1) ∠C 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠C＝90°

(3) ∠D 為直徑 所對的圓周角 (4) ∠D＝90°

(5) ∠E 為直徑 所對的圓周角 (6) ∠E＝90°

(7) 所以∠C＋∠D＋∠E ＝90°＋90°＋90°＝270°

如圖 7.2-37 ＆ 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-37 ＆ 已知 為圓 O 的直徑 由(3) 直徑 所對的圓周角∠D 為直角 如圖 7.2-37 ＆ 已知 為圓 O 的直徑 由(5) 直徑 所對的圓周角∠E 為直角 由(2)式＋(4)式＋(6)式

如圖 7.2-38，△ABC 三頂點皆在圓周上，且 為圓 O 的直徑。已知

∠B＝30°，則∠C＝ 度。

圖 7.2-38 想法：1. 圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 三角形內角和 180°

解：

敘述 理由

(1) ∠A 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠A＝90°

(3) 三角形 ABC 中，

∠A＋∠B＋∠C＝180°

(4) 90°＋30°＋∠C＝180°

(5) ∠C＝180°－90°－30°＝60°

如圖 7.2-38 所示 ＆ 已知 為圓 O 的直徑 由(1) ＆ 直徑所對的圓周角為直角

如圖 7.2-38 所示 三角形內角和 180°

將(2) ∠A＝90° ＆ 已知 ∠B＝30°代入(3) 由(4) 等量減法公理

例題 7.2-30：

圖 7.2-39 是一個半圓，A 點在半圓上， 為直徑。已知∠B＝55，

則AB︵

＝ 度。

圖 7.2-39 想法：1. 圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 三角形內角和 180°

解：

敘述 理由

(1) ∠A 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠A＝90°

(3) 三角形 ABC 中，

∠A＋∠B＋∠C＝180°

(4) 90°＋55°＋∠C＝180°

(5) ∠C＝180°－90°－55°＝35°

(6) ∠C 為AB︵

所對的圓周角

(7) AB︵

＝2∠C＝2×35°＝70°

如圖 7.2-39 所示 ＆ 已知 為圓 O 的直徑 由(1) ＆ 直徑所對的圓周角為直角

如圖 7.2-39 所示 三角形內角和 180°

將(2) ∠A＝90° ＆ 已知 ∠B＝55°代入(3) 由(4) 等量減法公理

如圖 7.2-39 所示，∠C 對AB︵

由(6) 弧AB︵

為所對圓周角∠C 的 2 倍

＆ (5) ∠C＝35°

如圖 7.2-40， 是圓 O 的直徑，且 ＝ ，∠BAC＝50°，則AE︵

＝ 度，

︵DE

＝ 度，BD︵

＝______度。

圖 7.2-40 想法：1. 圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 等腰三角形的性質：

(1) 兩腰等長 (2) 兩底角相等 解：

敘述 理由

(1) ∠AEB 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠AEB＝90°

(3) 三角形 AEB 中，

∠BAC＋∠AEB＋∠ABE＝180°

(4) 50°＋90°＋∠ABE＝180°

(5) ∠ABE＝180°－50°－90°＝40°

(6) AE︵

為∠ABE 所對的弧 (7) AE︵

＝2∠ABE＝2×40°＝80°

如圖 7.2-40 ＆ 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-40 所示

三角形內角和 180°

將已知∠BAC＝50° ＆ (2) ∠AEB＝90°

代入(3)

由(4) 等量減法公理

如圖 7.2-40 所示，AE︵

對∠ABE 由(6) 弧AE︵

的度數為所對圓周角∠ABE 的 2 倍 ＆ (5) ∠ABE＝40°

--- 以下求 DE︵ ---

(8) 三角形 ABC 為等腰三角形 (9) ∠C＝∠ABC

(10) ∠ABC＋∠C＋∠BAC＝180°

(11) ∠ABC＋∠ABC＋50°＝180°

(12) ∠ABC＝(180°－50°)÷2＝65°

(13) ∠EBC＝∠ABC－∠ABE (14) ∠EBC＝65°－40°＝25°

(15) DE︵

為∠EBC 所對的弧度

(16) DE︵

＝2∠EBC＝2×25°＝50°

--- 以下求BD︵ ---

(17) BDE︵

為∠BAC 所對的弧

(18) BDE︵

＝2∠BAC＝2×50°＝100°

(19) BDE︵

＝BD︵

＋DE︵

(20) 100°＝BD︵

＋50°

(21) BD︵

＝100°－50°＝50°

已知 ＝ ，兩腰等長為等腰三角形 由(8) 等腰三角形兩底角相等

由(8) 三角形內角和 180°

將(9) ∠ABC＝∠C ＆ 已知∠BAC＝50°代入(10) 由(11) 解一元一次方程式

如圖 7.2-40，∠EBC＋∠ABE＝∠ABC 將(12) ∠ABC＝65° ＆ (5) ∠ABE＝40°

代入(13)

如圖 7.2-40 所示，DE︵

對∠EBC

由(15) 弧DE︵

的度數為所對圓周角∠EBC 的 2 倍 ＆ (14) ∠EBC＝25°

如圖 7.2-40 所示，BDE︵

對∠BAC

由(17) 弧BDE︵

的度數為所對圓周角

∠BAC 的 2 倍 ＆ 已知∠BAC＝50°

如圖 7.2-40 所示，BDE︵

＝BD︵

＋DE︵

將(18) BDE︵

＝100° ＆ (16) DE︵

＝50°

代入(19)

由(20) 等量減法公理

如圖 7.2-41， 為圓 O 的直徑，且∠C＝60°，求：

(1) ∠EBC＝ 度。 (2) DE︵

＝ 度。

圖 7.2-41 想法：1. 圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角

2. 三角形外角定理：外角等於內對角的和 解：

敘述 理由

(1) ∠AEB 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠AEB＝90°

(3) 三角形 CEB 中，

∠AEB 為∠BEC 的外角 (4) ∠AEB＝∠C＋∠EBC (5) 90°＝60°＋∠EBC

(6) ∠EBC＝90°－60°＝30°

(7) DE︵

為∠EBC 所對的弧 (8) DE︵

＝2∠EBC＝2×30°＝60°

如圖 7.2-41 所示 ＆ 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-41 所示

外角∠AEB 等於內對角∠C 與∠EBC 的和 將(2) ∠AEB＝90° ＆ 已知∠C＝60°

代入(4)

由(5) 等量減法公理

如圖 7.2-41 所示，DE︵

對∠EBC 由(7) 弧DE︵

的度數為所對圓周角∠EBC 的 2 倍 ＆ (6) ∠EBC＝30°

接著，我們將第七章中所提到圓的弧、圓心角與圓周角之間的關係，應用到 第四章中所提到的三角形的外心，來作以下的例題 7.2-33~例題 7.2-36。

例題 7.2-33：

圖 7.2-42

已知：如圖 7.2-42，O 點為△ABC 的外心，且 O 點在△ABC 的外部。

求證：BOC＝360－2A

想法：(1) 弧的度數為所對圓周角的 2 倍 (2) 圓心角的度數等於所對弧的度數 (3) 圓周為 360

證明：

敘述 理由

(1) BC︵

＝2∠A (2) BAC︵

＋BC︵

＝360

(3) BAC︵

＝360－BC︵ ＝360－2A (4) BOC＝BAC︵

(5) 所以BOC＝360－2A

如圖 7.2-42，弧的度數為所對圓周角的 2 倍

如圖 7.2-42，BAC︵

＋BC︵

＝圓周＝360

由(2) 等量減法公理 ＆ (1) BC︵

＝2∠A 已證

如圖 7.2-42，圓心角的度數等於所對弧的度數 由(3) ＆ (4) 遞移律

圖 7.2-43 中，已知 O 點為△ABC 的外心，且A＝100，則BOC＝？

圖 7.2-43

想法：若 O 點為△ABC 的外心，且 O 點在△ABC 的外部，則BOC＝360－2A 解：

敘述 理由

(1) BOC＝360－2A ＝360－2×100

＝160

已知 O 點為△ABC 的外心，且 O 點在

△ABC 的外部，則BOC＝360－2A ＆ 已知A＝100

例題 7.2-35：

圖 7.2-44

已知：如圖 7.2-44，O 點為△ABC 的外心，且 O 點在△ABC 的內部，

求證：BOC＝2A

想法：同弧所對之圓心角為圓周角的 2 倍 證明：

敘述 理由

(1) BOC＝2A 同弧(BC︵

)所對之圓心角(BOC)為圓周角(A)的 2 倍

例題 7.2-36：

圖 7.2-45 中，已知 O 點為△ABC 的外心，且A＝45，則BOC＝？

圖 7.2-45

想法：若 O 點為△ABC 的外心，且 O 點在△ABC 的內部，則BOC＝2A 解：

敘述 理由

(1) BOC＝2A

＝2×45＝90

若 O 點為△ABC 的外心，且 O 點在△ABC 的內部，

則BOC＝2A ＆ 已知A＝45

例題 7.2-37：

如圖 7.2-46，若∠A＝45°，∠D＝60°，求∠AEC 的度數。

圖 7.2-46 想法：1. 圓周角的性質有：

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角

2. 三角形外角定理：外角等於內對角的和 解：

敘述 理由

(1) ∠A 與∠C 皆為 BD︵

所對之圓周角

(2) BD︵

＝2∠A＝2×45°＝90°

(3) ∠C＝

2 1︵BD

(4) AC︵

為∠D 所對之弧

(5) AC︵

＝2∠D＝2×60°＝120°

如圖 7.2-46 所示，∠A 與∠C 皆對 BD︵ 由(1) 弧BD︵

的度數為所對圓周角∠A 的 2 倍 ＆ 已知∠A＝45°

由(1) 圓周角∠C 為所對弧BD︵ 度數 的一半

如圖 7.2-46 所示，AC︵

對∠D 由(4) 弧AC︵

的度數為所對圓周角∠D 的 2 倍 ＆ 已知∠D＝60°

(6) ∠D＝

2 1︵AC

(7) △ECD 中，∠AEC＝∠C＋∠D

(8) ∠AEC＝

2 1 BD︵

＋2 1 AC︵

＝ 2 1(BD︵

＋AC︵ )

(9) ∠AEC＝

2

1(90°＋120°)＝105°

由(4) 圓周角∠D 為所對弧AC︵ 度數 的一半

如圖 7.2-46 所示 ＆ 外角∠AEC 等於 內對角∠C 與∠D 的和

將(3) ∠C＝

2 1︵BD

＆ (6) ∠D＝

2 1︵AC 代入(7)式得

將(2) BD︵

＝90° ＆ (5) AC︵

＝120°

代入(8)式得

圓內相交二弦所成交角的度數，等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的 一半。

E

D O

C B

A

圖 7.2-47

已知：如圖 7.2-47， 與 為圓 O 的兩弦，此兩弦相交於 E 點。

求證：∠AEC ＝ 2 1( AC︵

＋BD︵ )。

想法：利用圓周角的度數等於所對弧的一半。

證明：

敘述 理由

(1) 連接 A 點與 D 點，如圖 7.2-47 (2) △EAD 中，

∠AEC＝∠EAD＋∠EDA (3) ∠EAD＝

2 1︵BD

∠EDA＝

2 1︵AC

(4) ∠AEC＝

2 1︵BD

＋2 1︵AC

＝ 2 1( AC︵

＋BD︵ )

(5) ∠AEC ＝ 2 1( AC︵

＋BD︵ )

過兩點可作一直線 如圖 7.2-47 所示

三角形的外角等於內對角的和 如圖 7.2-47 所示

圓周角的度數等於所對弧的一半

將(3)式代入(2)式得

由(4) 已證

Q. E. D.

接著，我們將定理 7.2-9：兩弦相交定理(圓內角定理)，應用在例題 7.2-38~

例題 7.2-40 之中。

例題 7.2-38：

如圖 7.2-48，兩弦 與 相交於圓內一點 P。已知AC︵

＝124，BD︵

＝48，

則∠BPD＝ 度。

圖 7.2-48

想法：圓內角的度數，等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解：

敘述 理由

(1) ∠BPD 為圓內角 (2) ∠BPD＝

2 1( BD︵

＋AC︵ )

(3) ∠BPD＝

2

1( 48°＋124° ) ＝86°

已知 P 點為兩弦 與 在圓內的交點

由(1) 圓內角∠BPD 的度數，等於這角∠BPD 與 它的對頂角∠CPA 所對兩弧BD︵

與AC︵

度數和的 一半

將已知BD︵

＝48 ＆ AC︵

＝124代入(2)式得

如圖 7.2-49，兩弦 、 相交於圓內一點 P。已知 AD︵

＝92°，∠APD＝80°，

則BC︵

＝ 度。

圖 7.2-49

想法：圓內角的度數，等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解：

敘述 理由

(1) ∠APD 為圓內角 (2) ∠APD＝

2 1( BC︵

＋AD︵ )

(3) 80°＝

2 1(BC︵

＋92°) (4) BC︵

＝2×80°－92°＝68°

已知 P 點為兩弦 與 在圓內的交點

由(1) 圓內角∠APD 的度數，等於這角∠APD 與 它的對頂角∠CPB 所對兩弧AD︵

與BC︵

度數和的 一半

將已知∠APD＝80° ＆ AD︵

＝92°代入(2)式得 由(3) 解一元一次方程式

例題 7.2-40：

如圖 7.2-50，若∠DEC＝76°，且CD︵

－AB︵

＝20°，則∠DAC＝_______度。

想法：1. 圓周角的性質有： 圖 7.2-50 (1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角

2. 圓內角的度數，等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解：

敘述 理由

(1) ∠DEC 為圓內角 (2) ∠DEC＝

2 1( CD︵

＋AB︵ )

(3) 76°＝

2 1( CD︵

＋AB︵ ) (4) CD︵

＋AB︵

＝152°

(5) CD︵

－AB︵

＝20°

(6) CD︵

＝( 152°＋20° )÷2＝86°

(7) ∠DAC 為CD︵

所對的圓周角 (8) ∠DAC＝

2 1︵CD

＝ 2

1×86°＝43°

已知 E 點為兩弦 與 在圓內的交點

由(1) 圓內角∠DEC 的度數，等於這角∠DEC 與它的對頂角∠AEB 所對兩弧CD︵

與AB︵

度數和 的一半

將已知∠DEC＝76°代入(2)式得 由(3) 等號兩邊同乘以 2

已知

由(4) ＆ (5) 解二元一次聯立方程式 如圖 7.2-50 所示，∠DAC 對CD︵ 由(7) 圓周角∠DAC 為所對弧CD︵

度數的一半

＆ (6) CD︵

＝86°

若兩圓相交於相異兩點，則連接相交兩圓交點的線段就叫此兩圓的公弦。

如圖 7.2-51 所示， 為圓 A 與圓 B 的公弦。

圖 7.2-51

定理 7.2-10 兩圓相交定理：

相交兩圓的兩圓心連線( 連心線 )，必垂直平分這兩圓的公弦。

E C

D

A B

圖 7.2-52

已知：如圖 7.2-52，圓 A 及圓 B 兩圓相交於 C、D 兩點。

求證：(1) ⊥ (2) ＝

想法：利用垂直平分線定理：到線段兩端點等距離的兩點連線必垂直平分此 一線段。

E C

D

B A

圖 7.2-52(a) 證明：

敘述 理由

(1) 作 、 、 、 ，如圖 7.2-52(a) (2) ＝ 且 ＝

(3) ⊥ 且 ＝

過兩點可作一直線 同圓半徑相等

由(2) 到線段兩端點等距離的兩點連線 必垂直平分此一線段(定理 3.1-1)

Q. E. D.

如圖 7.2-53，圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點，若 ＝10 公分，則：

(1) ＝？ (2) ∠CEB＝？

圖 7.2-53

想法：相交兩圓的兩圓心連線(連心線)，必垂直平分這兩圓的公弦 解：

敘述 理由

(1) 為連心線 ＆ 為公弦 (2) ⊥ ＆ ＝

(3) ∠CEB＝90° ＆ ＝5 公分

已知圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點 由(1) 連心線必垂直平分這兩圓的公弦 由(2) ⊥ ＆ ＝ ＆ 已知 ＝10 公分

習題 7.2

習題 7.2-1：

如圖 7.2-54， AB︵

的度數是 60°，試求其所對應的圓心角∠AOB。

圖 7.2-54 習題 7.2-2：

如圖 7.2-55，圓 P 的半徑 為 8 公分，圓 Q 的半徑 為 4 公分，

∠APB＝∠CQD，AB︵

＝60°。則：

(1) ∠CQD＝ 度。 (2) CD︵

＝ 度。

圖 7.2-55 習題 7.2-3：

如圖 7.2-56，將一圓平分成八等分，試求優弧 ACB︵

所對應的圓心角。

圖 7.2-56

如圖 7.2-57，已知圓心角∠AOB＝60，則AB︵

＝ 度，ACB︵

＝ 度。

圖 7.2-57 習題 7.2-5：

如圖 7.2-58，若 AB︵

＝60°，BC︵

＝140°，則∠AOC 的度數＝？

圖 7.2-58 習題 7.2-6：

如圖 7.2-59，已知 A、B、C 是圓 O 上相異三點，若ACB︵

的度數比AB︵ 度數 的 3 倍少 60°，則∠AOB＝_______度。

圖 7.2-59