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(1)

第七章 圓形 ... 1

7.1 節 圓的基本性質 ... 1

定義 7.1-1 圓,圓周,圓心,半徑,直徑 ... 1

定義 7.1-2 圓心角 ... 7

定義 7.1-3 圓周角 ... 7

定義 7.1-4 同心圓 ... 9

定義 7.1-5 扇形 ... 9

定理 7.1-1 等半徑定理: 同圓或等圓的半徑相等 ... 9

定理 7.1-2 全等圓定理: 兩圓的半徑相等,則兩圓相等 ... ...10

習題 7.1...11

7.2 節 弦與弧 ... 13

定義 7.2-1 弧 ... 13

定義 7.2-2 弦 ... 13

定義 7.2-3 弧的度數 ... 13

定理 7.2-1 等圓心角對等弧定理 ... 26

定理 7.2-2 等弧對等圓心角定理 ... 27

定理 7.2-3 等弧對等弦定理 ... 28

定理 7.2-4 等弦對等弧定理 ... 32

定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理 ... 34

定理 7.2-6 弦與圓心距離定理 ... 38

定理 7.2-7 圓周角定理 ... 40

定理 7.2-8 直徑所對的圓周角為直角...55

定理 7.2-9 兩弦相交定理(圓內角定理) ... 67

定義 7.2-4 定義 公弦 ... 71

定理 7.2-10 兩圓相交定理 ... 72

習題 7.2...74

7.3 節 割線與切線 ... 82

定義 7.3-1 割線 ... 82

定義 7.3-2 切線 ... 82

定理 7.3-1 切線定理 ... 86

圓切線作圖 ... 87

定理 7.3-2 切線長定理 ... 92

定義 7.3-3 相切圓 ... 98

定理 7.3-3 兩圓相切定理 ... 99

兩圓之位置關係...100

定義 7.3-4 公切線 ... 109

定理 7.3-4 切線與弦交角定理 ... 127

(2)

定理 7.3-5 割線與切線交角定理(1):(圓外角定理 1) ... 138

定理 7.3-6 割線與切線交角定理(2):(圓外角定理 2) ... 146

定理 7.3-7 割線與切線交角定理(3):(圓外角定理 3) ... 150

定理 7.3-8 平行線截取等弧定理………154

習題 7.3...156

7.4 節 圓的內接及外切多邊形 ... 166

定義 7.4-1 內接與外切 ... 166

定理 7.4-1 內接四邊形對角定理 ... 168

定理 7.4-2 圓內接四邊形的判別定理 ... 171

定理 7.4-3 圓外切四邊形之邊長定理 ... 173

定理 7.4-4 圓外切四邊形判別定理 ... 177

習題 7.4...180

本章重點 ... 182

歷年基測試題………184

(3)

第七章 圓形

7.1 節 圓的基本性質

我們在第一章已經敘述過圓的定義了,本章我們要討論圓的一些性質,我們 先複習一下圓的定義,再討論圓的基本性質。

定義 7.1-1 圓,圓周,圓心,半徑,直徑

圓周為一封閉曲線,線上各點都與其內一點等距離,此點稱為圓心;圓周 內的部份為圓; 圓周上任一點與圓心的距離就是此圓的半徑;通過圓心 而兩端點在圓周上的線段為此圓的直徑,如圖 7.1-1 所示。

(a) 圓周 (b) 圓 (c) 直徑 ,半徑 圖 7.1-1

(4)

例題 7.1-1:

有一圓的直徑是 10 公分。請在空格中填入外、內或上:

(1)有一點 P 與圓心相距 7 公分,則 P 點必在圓______。

(2)有一點 Q 與圓心相距 5 公分,則 Q 點必在圓______。

(3)有一點 R 與圓心相距 3 公分,則 R 點必在圓______。

想法:(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑 (2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

圖 7.1-2 解:

敘述 理由

(1) 依題意作圖,如圖 7.1-2。

(2) 圓半徑為 5 公分 (3) P 點必在圓外 (4) Q 點必在圓周上 (5) R 點必在圓內

作圖

圓的直徑是 10 公分

P 與圓心相距 7 公分,7 公分>5 公分 Q 與圓心相距 5 公分,5 公分=5 公分 R 與圓心相距 3 公分,3 公分<5 公分

(5)

已知圓 O 的直徑為 12 公分,且 A、B、C 三點與此圓心 O 的距離分別 為 9 公分、6 公分、5 公分,試判斷 A、B、C 三點與圓 O 的位置關係:

(填入 A、B、C)

(1) 在圓內的是 點。

(2) 在圓上的是 點。

(3) 在圓外的是 點。

想法:(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑 (2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

圖 7.1-3 解:

敘述 理由

(1) 依題意作圖,如圖 7.1-3。

(2) 圓 O 半徑為 6 公分 (3) A 點必在圓外 (4) B 點必在圓周上 (5) C 點必在圓內

作圖

已知圓 O 直徑為 12 公分

已知 =9 公分>6 公分=圓 O 半徑 已知 =6 公分=圓 O 半徑

已知 =4 公分<6 公分=圓 O 半徑

(6)

例題 7.1-3:

有一圓的圓心 O 與 A、B、C 三點的距離分別為 =5 公分, =7 公分,

=9 公分。已知 A、B、C 三點中,有兩點在圓內,有一點在圓外,則此 圓的半徑 r 可能的範圍為______________。

想法:(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑 (2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

圖 7.1-4 解:

敘述 理由

(1) 依題意作圖,如圖 7.1-4。

(2) < <

(3) A、B 兩點在圓內,C 點在圓外

(4) 7 公分<r<9 公分

作圖

已知 =5 公分、 =7 公分、 =9 公分 已知 A、B、C 三點中,有兩點在圓內,

有一點在圓外

A、B 兩點在圓內,半徑必大於 7 公分= & C 點在圓外,半徑必小於 =9 公分

(7)

已知圓 O 的半徑為 6 公分,且圓心 O 到三條直線 L1、L2、L3的距離分別為 4 公分、6 公分、8 公分,則:

(1) 直線________和圓 O 相交於兩點。

(2) 直線_______和圓 O 相交於一點。

(3) 直線_______和圓 O 不相交。

想法:(1) 直線外一點到直線的最短距離為垂直線段(詳見例題 4.1-1) (2) 直線到圓心的距離大於圓半徑,則直線與圓不相交

(3) 直線到圓心的距離等於圓半徑,則直線與圓相交於一點 (4) 直線到圓心的距離小於圓半徑,則直線與圓相交兩點

圖 7.1-5 解:

敘述 理由

(1) 如圖 7.1-5,直線 L1和圓 O 相交於 P、Q 兩點

(2) 如圖 7.1-5,直線 L2和圓 O 相交於 一點 R 點

(3) 如圖 7.1-5,直線 L3和圓 O 不相交

圓心 O 到直線 L1的距離為 4 公分<6 公分=半徑

圓心 O 到直線 L2的距離為 6 公分=半徑

圓心 O 到直線 L3的距離為 8 公分>6 公分=半徑

(8)

例題 7.1-5:

如圖 7.1-6,A 在圓 O 外, 通過圓心 O 且交圓 O 於 B、C 兩點。已知

=6 公分,圓 O 的半徑為 3 公分,則:

(1) A 到圓 O 的最短距離為______公分。

(2) A 到圓 O 的最長距離為______公分。

圖 7.1-6 想法:圓外一點與圓的距離為點到圓周的線段長 解:

敘述 理由

(1) A 到圓 O 的最短距離為 (2) = -

=6 公分-3 公分 =3 公分 (3) A 到圓 O 的最長距離為

(4) = +

=6 公分+3 公分 =9 公分

如圖 7.1-6 所示

已知 =6 公分 & 半徑 =3 公分

如圖 7.1-6 所示

已知 =6 公分 & 半徑 =3 公分

(9)

兩半徑所夾的角,叫圓心角。

定義 7.1-3 圓周角

過圓周上同一點的兩弦所夾的角,叫圓周角。

O A

B

F

H G

C

D

E

圖 7.1-7

圖 7.1-7 中,∠AOB 為圓心角,∠CDE 及∠FGH 都是圓周角。

(10)

例題 7.1-6:

當時鐘在六點五十分時,時針和分針的夾角為幾度?

圖 7.1-8 想法:兩半徑所夾的角,叫圓心角

解:

敘述 理由

(1) 分針一分鐘走 6 度

(2) 分針從 6 點 30 分走到 6 點 50 分共 走了 120 度,如圖 7.1-8(a)

(3) 時針一分鐘走 0.5 度

(4) 時針從 6 點走到 6 點 50 分共走了 25 度,如圖 7.1-8(a)

(5) 所以六點五十分時,時針分針夾角 =120 度-25 度

=95 度

分針 60 分鐘走 360 度一分鐘 6 度 分針 20 分鐘走 6 度×20 分=120 度

時針 60 分鐘走 30 度一分鐘 0.5 度 時針 50 分鐘走 0.5 度×50 分=25 度

圖 7.1-8(a)

(11)

半徑不同,圓心相同的諸圓,叫同心圓。

定義 7.1-5 扇形

兩半徑與所夾的弧圍成的圖形,叫做扇形。

同心圓 扇形

I

G

H

圖 7.1-9

定理 7.1-1 等半徑定理: 同圓或等圓的半徑相等。

A

O

B

圖 7.1-10 已知:如圖 7.1-10, 與 都是圓 O 的半徑。

求證: =

想法:固定 O 點,旋轉 ,使 與 重合。

證明:

敘述 理由

(1) 固定 O 點,旋轉 ,使 與 重合。

(2) A 點與 B 點重合。

(3) =

不改變圖形的大小、形狀,可自一 位置移至另一位置。

圓周上每一點與圓心等距離。

等線段相等。

Q. E. D.

(12)

定理 7.1-2 全等圓定理: 兩圓的半徑相等,則兩圓相等。

O

A A'

O'

圖 7.1-11

已知:如圖 7.1-11,圓 O 及圓 O`兩圓, = 。 求證: 圓 O 及圓 O`相等。

想法:應用移形公理,證明兩圓重合。

證明:

敘述 理由

(1) 將圓 O`放在圓 O 上,使圓心 O`與 圓心 O 重合, 落在 上。

(2) 點 A`與點 A 重合。

(3) 圓 O`與圓 O 相等。

移形公理。

已知 = 同圓相等。

Q. E. D.

(13)

習題 7.1-1

圓與圓周如何區別?

習題 7.1-2

一個圓有多少條半徑?多少條直徑?

習題 7.1-3

若圓 O 的半徑為 8 公分,根據下列判斷 P 點、Q 點、R 點與圓 O 的位置 關係:

(1) =10 公分 (2) =8 公分 (3) =4 公分

習題 7.1-4

若圓 O 的半徑為 6 公分,P 為圓 O 內部一點, =t,則 t 的範圍為________。

習題 7.1-5

已知圓 O 的半徑為 12 公分,且圓心 O 到三條直線 L1、L2、L3的距離分別 為 8 公分、12 公分、16 公分,則:

(1) 直線________和圓 O 相交於兩點。

(2) 直線_______和圓 O 相交於一點。

(3) 直線_______和圓 O 不相交。

習題 7.1-6

若圓 O 的半徑為 6 公分,圓外一點 A 到圓心 O 的距離為 10 公分,則 A 點 到圓 O 的最短距離是______,A 點到圓 O 的最長距離是______。

(14)

習題 7.1-7

當時鐘在五點五十五分時,時針和分針的夾角為幾度?

習題 7.1-8

作一圓心角為 90的扇形。

習題 7.1-9

作一圓周角其角度為 90。

習題 7.1-10

試作兩同心圓,其直徑分別為 3 公分與 5 公分。

習題 7.1-11

試證矩形的四頂點在同一圓周上。

(15)

定義 7.2-1 弧

圓周的一部份稱為弧,大於半圓周的為優弧,小於半圓周的為劣弧,通常 劣弧簡稱弧。

定義 7.2-2 弦

圓周上任意兩點的連線叫做弦。

優弧 劣弧

O A B

C D

圖 7.2-1 圖 7.2-1 中, 是此圓的一弦; CD︵

大於半圓周為優弧, AB︵

小於半圓 周為劣弧。

定義 7.2-3 弧的度數

將圓周分成 360 等分,每一等分的弧叫做 1 度;而圓心角等於所對弧的度 數。

(16)

例題 7.2-1:

如圖 7.2-2, AB

的度數是 45°,試求其所對應的圓心角∠AOB。

圖 7.2-2 想法:圓心角等於所對弧的度數

解:

敘述 理由

(1) AB︵

=45°

(2) ∠AOB= AB︵

=45°

已知 AB︵

的度數是 45°

由(1) AB︵

=45° & 圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵ 的度數

(17)

如圖 7.2-3,有一正十二邊形的所有頂點均在圓 O 上,A、B 為其中 兩個相鄰的頂點,試求 AB︵

的度數。

圖 7.2-3 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AB︵

=12

1 ×圓周

(2) AB︵

=12

1 ×360°=30°

已知正十二邊形將圓周 12 等分, AB︵

占 1 等分

將圓周 360°代入(1)

(18)

例題 7.2-3:

如圖 7.2-4,已知圓心角∠AOB=56,則AB

= 度,ACB︵

= 度。

圖 7.2-4 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AB︵

=∠AOB=56

(2) ACB︵

=360°- AB︵ =360°-56°=304°

圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵

的度數 & ∠AOB=56

︵AB

+ACB︵

為圓周=360° & 由(1) AB︵

=56已證

(19)

如圖 7.2-5,若 AB

=70°,BC︵

=155°,則∠AOC 的度數=?

圖 7.2-5 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AB︵

+BC︵

+CA︵

=360°

(2) 70°+155°+CA︵

=360°

(3) CA︵

=360°-70°-155°=135°

(4) ∠AOC=CA︵

=135°

AB︵

+BC︵

+CA︵

為圓周=360°

將AB︵

=70°,BC︵

=155° 代入 (1)

由(2) 等量減法公理

圓心角∠AOC 等於所對弧CA︵

的度數 & (3) CA︵

=135°

(20)

例題 7.2-5:

如圖 7.2-6,已知 A、B、C 是圓 O 上相異三點,若ACB

的度數比AB︵ 度數 的 3 倍多 60°,則∠AOB=_______度。

圖 7.2-6 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AB︵

+ACB︵

=360°

(2) ACB︵

=3AB︵

+60°

(3) AB︵

+(3AB︵

+60°)=360°

(4) AB︵

=75°

(5) ∠AOB=AB︵

=75°

︵AB

+ACB︵

為圓周=360°

已知ACB︵

的度數比 AB︵

度數的 3 倍多 60°

將(2) ACB︵

=3AB︵

+60° 代入(1)

由(3) 解一元一次方程式

由(4) AB︵

=75° & 圓心角∠AOB 等於所對 弧AB︵

的度數

(21)

如圖 7.2-7, 是半圓的直徑,C 為AB︵

上一點,M 為AC︵

的中點,N 為BC︵ 的 中點。則MCN︵

的弧度為________度。

圖 7.2-7 想法:半圓周為 180°

解:

敘述 理由

(1) ACB︵

=180°

(2) MC︵

=2 1︵AC

(3) CN︵

=2 1︵BC

(4) MCN︵

=MC︵

+CN︵

(5) MCN︵

=2 1︵AC

+2 1︵BC

= 2 1(AC︵

+BC︵ )

= 2 1ACB︵

=2

1×180°

=90°

ACB︵

為圓周的一半

M 為 AC︵

的中點

N 為 BC︵

的中點

如圖 7.2-7 所示

將(2) MC︵

=2 1︵AC

& (3) CN︵

=2 1︵BC

代入(4) & 由(1) ACB︵

=180°

(22)

例題 7.2-7:

如圖 7.2-8, 、 、 皆為直徑,AC︵

=2x°,CE︵

=4x°,EB︵

=3x°,則:

(1) x=_______。

(2) ∠4=______度。

(3) ∠6=______度。

圖 7.2-8 想法:(1) 半圓周為 180°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AC︵

+ CE︵

+ EB︵

=180°

(2) 2x°+4x°+3x°=180°

(3) x=20

(4) ∠1=AC︵

=2x°=2×20°=40°

(5) ∠4=∠1=40°

(6) ∠3= EB︵

=3x°=3×20°=60°

(7) ∠6=∠3=60°

為直徑 & AC︵

+ CE︵

+ EB︵

為半圓弧

將AC︵

=2x°, CE︵

=4x°, EB︵

=3x°代入(1) 由(2) & 解一元一次方程式

圓心角∠1 等於所對弧AC︵

的度數 & AC︵

=2x°

對頂角相等 & (4) ∠1=40°

圓心角∠3 等於所對弧 EB︵

的度數 &

︵EB

=3x°

對頂角相等 & (6) ∠3=60°

(23)

如圖 7.2-9,若 是圓 O 的直徑,C 在圓 O 上,且 AC︵

=2BC︵

則∠BOC=______度。

圖 7.2-9 想法:(1) 半圓周為 180°

(2) 圓心角為所對弧度數 解:

敘述 理由

(1) ACB︵

=180°

(2) AC︵

+BC︵

=ACB︵

=180°

(3) 2BC︵

+BC︵

=180°

(4) BC︵

=180°÷3=60°

(5) ∠BOC=BC︵

=60°

ACB︵

為圓周的一半

全量等於分量之和 & 由(1) ACB︵

=180°

將已知AC︵

=2BC︵

代入(2)

由(3) 解一元一次方程式

圓心角∠BOC 為所對弧BC︵

的度數 & (4)BC︵

=60°

(24)

例題 7.2-9:

如圖 7.2-10,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=25°。以 C 為圓心, 為 半徑的圓交 於 D,交 於 E,則 DE︵

的度數是多少?

圖 7.2-10 想法:(1) 三角形內角合 180°

(2) 圓心角等於所對弧的度數

圖 7.2-10(a) 解:

敘述 理由

(1) 作 ,如圖 7.2-10(a)所示 (2) △ABC 中,

∠A+∠B+∠ACB=180°

作圖

如圖 7.2-10(a)所示 & 三角形內角和 180°

(25)

(4) ∠A=180°-25°-90°=65°

(5) = 為圓 C 半徑 (6) △ACD 為等腰三角形 (7) ∠ADC=∠A=65°

(8) △ACD 中,

∠ADC+∠A+∠ACD=180°

(9) 65°+65°+∠ACD=180°

(10) ∠ACD=180°-65°-65°=50°

(11) ∠BCD=∠BCA-∠ACD =90°-50°=40°

(12) DE︵

=∠BCD=40°

由(3) 等量減法公理

同圓半徑皆相等 & 已知 為圓 C 半徑 由(5) = & 等腰三角形定義 等腰三角形兩底角相等 & (4) ∠A=65°

如圖 7.2-10(a)所示 & 三角形內角和 180°

將(7) ∠ADC=∠A=65° 代入(8) 由(9) 等量減法公理

如圖 7.2-10(a)所示

& 已知∠ACB=90° & (10)∠ACD=50°

圓心角∠BCD 等於所對弧DE︵

的度數

& (11) ∠BCD=40°

(26)

例題 7.2-10:

如圖 7.2-11,圓 P 的半徑 為 15 公分,圓 Q 的半徑 為 9 公分,

∠APB=∠CQD。已知CD︵

=50°,則:

(1) ∠APB= 度。 (2) AB︵

= 度。

圖 7.2-11 想法:圓心角等於所對弧的度數

解:

敘述 理由

(1) 圓 Q 中,∠CQD=CD︵

=50°

(2) ∠APB=∠CQD=50°

(3) 圓 P 中,AB︵

=∠APB=50°

圓心角∠CQD 等於所對弧CD︵

的度數 & 已知CD︵

=50°

已知∠APB=∠CQD & (1) ∠CQD=50°

圓心角∠APB 等於所對弧AB︵

的度數

& (2) ∠APB=50°

(27)

如圖 7.2-12,兩同心圓的圓心為 O, 、 為小圓的半徑, 、 為 大圓的半徑。已知∠AOB=120,則:

(1) ∠COD= 度。 (2) AB︵

= 度,CD︵

= 度。

圖 7.2-12 想法:(1) 同心圓圓心角相等

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) ∠COD=∠AOB=120

(2) AB︵

=∠AOB=120

(3) CD︵

=∠COD=120

同心圓圓心角∠COD 與∠AOB 相等

圓心角∠AOB 等於所對弧AB︵

的度數 & 已知∠AOB=120°

圓心角∠COD 等於所對弧CD︵

的度數 & (1) ∠COD=120°

(28)

定理 7.2-1 等圓心角對等弧定理

在同圓或等圓中,若兩圓心角相等,則所對的兩弧相等。

O

A A'

O'

B B'

圖 7.2-13

已知:如圖 7.2-13,圓 O 及圓 O`為等圓,∠AOB=∠A`O`B`。

求證:AB︵

=A'B'︵

想法:應用移形公理,證明兩弧重合。

證明:

敘述 理由

(1) 將圓 O`放在圓 O 上,使∠A`O`B`與

∠AOB 重合。

(2) 點 A`與點 A 重合,點 B`與點 B 重合。

(3) A'B'︵ 與AB︵

重合。

(4) A'B'︵

=AB︵

移形公理及己知∠AOB=∠A`O`B`。

等圓半徑相等。

等圓周上重合兩點之兩弧也重合。

兩弧重合。

Q. E. D.

(29)

在同圓或等圓中,若兩弧相等,則所對的兩圓心角也相等。

O

A A'

O'

B B'

圖 7.2-14 已知:如圖 7.2-14,圓 O 及圓 O`為兩等圓,AB︵

=A'B'︵

。 求證:∠AOB=∠A`O`B`

想法:應用移形公理。

證明:

敘述 理由

(1) 將圓 O`放在圓 O 上,使A'B'︵ 與AB︵

重合。

(2) 點 A`與點 A 重合,點 B`與點 B 重合。

(3) 與 重合, 與 重合。

(4) ∠A`O`B`=∠AOB

移形公理。

己知AB︵

=A'B'︵

過兩點可畫一直線且只有一直線。

重合兩直線的夾角相等。

Q. E. D.

(30)

定理 7.2-3 等弧對等弦定理

在同圓或等圓中,若兩弧相等,則所對的弦也相等。

D A

O

B

C

圖 7.2-15 已知:如圖 7.2-15,圓 O 中,AB︵

=CD︵

求證: =

想法:利用等弧對等圓心角定理及全等三角形的對應邊相等的性質。

證明:

敘述 理由

(1) ∠AOB=∠COD。

(2) 在△AOB 與△COD 中

=

∠AOB=∠COD

=

(3) △AOB △COD (4) =

己知AB︵

=CD︵

,由等弧對等圓心角定理。

如圖 7.2-15 所示 同圓半徑等長 由(1)

同圓半徑等長

由(2) & 根據 S.A.S. 三角形全等定理。

由(3) 兩全等三角形的對應邊相等。

Q. E. D.

(31)

如圖 7.2-16,已知在圓 O 中,AB

=CD︵

,求證:(1) = (2) =

圖 7.2-16 想法:等弧對等弦定理

證明:

敘述 理由

(1) 圓 O 中, = (2) AB︵

+BC︵

=CD︵

+BC︵ (3) AC︵

=BD︵ (4) =

已知AB︵

=CD︵

& 等弧對等弦定理 已知AB︵

=CD︵

& 等量加法原理、同加BC︵ 由(2) & AC︵

=AB︵

+BC︵

、 BD︵

=CD︵

+BC︵ 由(3) AC︵

=BD︵

& 等弧對等弦定理

(32)

例題 7.2-13:

如圖 7.2-17,已知 ABCDEF 為正六邊形的六個頂點,且這六個頂點都落在 圓 O 上,則:

(1) ∠AOE= 度,∠DOB= 度。

(2) = 嗎?為什麼?

圖 7.2-17 想法:(1) 正六邊形的六個頂點將圓周 6 等分

(2) 圓心角等於所對的弧度 (3) 等弧對等弦定理

圖 7.2-17(a) 解:

敘述 理由

(1) ABCDEF 將圓周平分成 6 等分 (2) AF︵

= FE︵

=CD︵

=BC︵

=360°÷6=60°

已知 ABCDEF 為正六邊形的六個頂點 由(1) & 圓周為 360°

(33)

(4) AE︵

= AF︵

+ FE︵

=60°+60°=120°

(5) ∠AOE=AE︵

=120°

(6) BD︵

=CD︵

+BC︵

=60°+60°=120°

(7) ∠DOB=BD︵

=120°

(8) AE︵

=BD︵

=120°

(9) =

全量等於分量之和

& (2) AF︵

= FE︵

=60°

由(4) AE︵

=120° & 圓心角∠AOE 等於所對弧AE︵

的度數 全量等於分量之和 & (2) CD︵

=BC︵

=60°

由(6) BD︵

=120° & 圓心角∠DOB 等於所對弧BD︵

的度數

由(4)AE︵

=120°&(6)BD︵

=120° 遞移律 由(8) & 等弧對等弦定理

(34)

定理 7.2-4 等弦對等弧定理:

在同圓或等圓中,若兩弦相等,則所對的弧也相等。

圖 7.2-18

已知:如圖 7.2-18,圓 O 中, = 求證:AB︵

=CD︵

想法:利用全等三角形的對應角相等的性質及等圓心角對等弧定理。

證明:

敘述 理由

(1) 在△AOB 與△COD 中

(2) △AOB △COD (3) ∠AOB=∠COD

(4) AB︵

=CD︵

如圖 7.2-18 所示 己知 =

同圓的半徑相等 同圓的半徑相等

由(1) & 根據 S.S.S. 三角形全等定理 由(2) & 全等三角形的對應角相等

由(3) & 等圓心角對等弧定理

Q. E. D.

(35)

如圖 7.2-19, 、 為圓 O 的兩弦,且 = 。若AB︵

=45,則CD︵

= 度。

圖 7.2-19 想法:等弦對等弧定理

解:

敘述 理由

(1) CD︵

=AB︵

(2) CD︵

=AB︵

=45

已知 = & 等弦對等弧定理

由(1) & 已知AB︵

=45

(36)

定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理

垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧。

E D

A

O

B C

圖 7.2-20

已知:圖 7.2-20 圓 O 中, 為圓上之一弦, 為過圓心 O 且垂直 的直徑。

求證:(1) = (2) DB︵

= BE︵

想法:利用全等三角形的對應邊及對應角相等性質及等圓心角對等弧定理。

E D

A

B O

C

圖 7.2-20(a) 證明:

敘述 理由

(1) 作 及 ,如圖 7.2-20(a) (2) 在△OCD 與△OCE 中

∠OCD=∠OCE = 90

= =

(3) △OCD △OCE (4) =

(5) ∠COD = ∠COE

(6) DB︵

= BE︵

兩點可作一直線 如圖 7.2-20(a)所示 己知 ⊥

同圓的半徑相等 同線段相等

由(2) & 根據 R.H.S. 三角形全等定理 由(3) & 全等三角形的對應邊相等 由(3) & 全等三角形的對應角相等

由(5) & 等圓心角對等弧定理

Q. E. D.

(37)

( )作垂直線( ),則此線段( )必平分此弦( )。此一性質在本章及第八 章會常用到,請同學牢記。

例題 7.2-15:

如圖 7.2-21, 為圓 O 直徑, 為圓 O 之一弦,若 ⊥ ,且 =20 公分、DE︵

=106,試求:(1) =? (2) AE︵

=?

圖 7.2-21

想法:垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧 解:

敘述 理由

(1) = & AD︵

=AE︵

(2) = =1

2 =1

2×20 公分 =10 公分 (3) AE︵

=AD︵

=1 2︵DE

=1

2×106=53

已知 為圓 O 直徑, 為圓 O 之一弦,

且 ⊥ & 垂直於弦的直徑必平分 這弦與這弦所對的弧

由(1) & 已知 =20 公分

由(1) & 已知DE︵

=106

(38)

例題 7.2-16:

如圖 7.2-22,已知 A、B、C 三點為同一圓上的三點,試找出這個圓的圓心 並完成此圓。

圖 7.2-22

想法:(1) 若 A、B、C 三點為同一圓上的三點,則 與 為圓上之弦;

(2) 根據垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧,則圓心必在 的 中垂線上;

(3) 根據垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧,則圓心必在 的 中垂線上;

(4) 根據上述條件,此圓的圓心為 與 的中垂線交點。

作法: 如圖 7.2-22 (a)

(1) 連接 A、B 兩點,B、C 兩點。

(2) 分別作 與 的中垂線,兩中垂線相交於 O 點。

(3) 連接 A、O 兩點,B、O 兩點,C、O 兩點。

(4) 以 O 點為圓心, 為半徑畫圓,圓 O 即為所求。

圖 7.2-22(a)

(39)

證明:

敘述 理由

(1) 為 的中垂線 (2) =

(3) 為 的中垂線 (4) =

(5) = =

(6) 所以圓 O 通過 A、B、C 三點

作圖(如作法(1)~(2))

由(1) & 中垂線上任一點到線段兩端等距離 作圖(如作法(1)~(2))

由(3) & 中垂線上任一點到線段兩端等距離 由(2) & (4) 遞移律

由(5) = = & 同圓半徑皆相等

(40)

定理 7.2-6 弦與圓心距離定理

在同圓或等圓中,若兩弦相等,則與圓心的距離也相等。

C D

E

F O

A

B

圖 7.2-23

已知:如圖 7.2-23, 及 為圓 O 中的二弦,且 = , ⊥ , ⊥ 求證: =

想法:利用全等三角形的對應邊相等的性質。

C D

E

F A

O

B

圖 7.2-23(a) 證明:

敘述 理由

(1) 作 及 ,如圖 7.2-23(a) (2) =1

2 & =1 2 (3) =1

2 =1

2 = (4) 在△OAD 與△OBF 中

∠OAD = ∠OBF (5) △OAD △OBF (6) =

兩點可作一直線

己知 ⊥ , ⊥ & 垂直於弦的直徑定理

由(2) & 已知 = 如圖 7.2-23(a)所示 同圓的半徑相等 由(3) 已證

已知 ⊥ , ⊥

由(4) & 根據 R.H.S. 三角形全等定理 由(5) & 全等三角形的對應邊相等

Q. E. D.

(41)

如圖 7.2-24, 與 為圓 O 之兩弦,已知 = 、 ⊥ 、 ⊥ 且

=4 公分,則 =?

C D

E

F O

A

B

圖 7.2-24

想法:在同圓中,若兩弦相等,則與圓心的距離也相等 解:

敘述 理由

(1) =

(2) =

=4 公分

已知 與 為圓 O 之兩弦,且 = 、 ⊥ 、 ⊥

& 在同圓中,若兩弦相等,則與圓心的距離也相等 由(1) & 已知 =4 公分

(42)

定理 7.2-7 圓周角定理

在同圓或等圓中,圓周角等於同弧或等弧的圓心角的一半。

同弧的圓心角與圓周角的情形有如圖 7-2.25 三種:

(a)圓心在圓周角的一邊上 (b)圓心在圓周角內 (c)圓心在圓周角外。

(b) (c) (a)

B

A

B O A B O O

C C A

C

圖 7.2-25 已知:如圖 7.2-25,圓 O 中,AC︵

所對的圓心角為∠AOC,圓周角為∠ABC。

求證:∠ABC=1

2∠AOC=1 2︵AC

想法:利用等腰三角形及三角形的外角等於兩內對角和定理。

(a) 圓心 O 在∠ABC 的一邊上,如圖 7.2-25(a)。

B O A

C

圖 7.2-25(a) 證明:

敘述 理由

(1) =

(2) △OBC 為等腰三角形 & ∠B=∠C (3) △OBC 中,∠AOC=∠B +∠C

同圓的半徑相等

由(1) & 等腰三角形兩底角相等 三角形的外角等於不相鄰兩內角和

(43)

=2∠ABC (5) ∠ABC=1

2∠AOC=1 2︵AC

由(4) 等式兩邊同除以 2 & 圓心角等於所對弧的度數

Q. E. D.

(b) 圓心 O 在∠ABC 內,如圖 7.2-25(b)。

A

B O D

C

圖 7.2-25(b) 證明:

敘述 理由

(1) 作直徑 (連接 O、B 兩點,延長 與圓周交於 D 點),如圖 7.2-25(b) (2) ∠ABD =1

2∠AOD,∠DBC=1

2∠DOC (3) ∠ABC =∠ABD +∠DBC

=1

2(∠AOD+∠DOC) =1

2∠AOC (4) ∠ABC=1

2∠AOC=1 2︵AC

過兩點可作一直線

由(a)己證

全量等於分量的總和 將(2)式代入(3)式得 全量等於分量的總合

由(3) & 圓心角等於所對弧的度數 Q. E. D.

(44)

(c) 圓心 O 不在∠ABC 內,如圖 7.2-25(c)。

B O D

A C

圖 7.2-25(c) 證明:

敘述 理由

(1) 作直徑 ,如圖 7.2-25(c) (2) ∠DBC=1

2∠DOC,∠DBA=1

2∠DOA (3) ∠ABC=∠DBC-∠DBA

=1

2(∠DOC-∠DOA) =1

2∠AOC (4) ∠ABC=1

2∠AOC=1 2︵AC

過兩點可作一直線 由(a)己證

全量等於分量的總和 將(2)式代入(3)式得 全量等於分量的總和

由(3) & 圓心角等於所對弧的度數

Q. E. D.

透過以上三種情形的證明,我們都可以得知∠ABC=1

2∠AOC=1 2︵AC

,所 以可以確定圓周角定理:在同圓或等圓中,圓周角等於同弧或等弧的圓心角的一 半。若將等號兩邊同乘以 2,我們可以得到 2∠ABC=∠AOC=AC︵

,所以本定理 也可改成:弧的度數為所對圓周角的 2 倍;或是:同弧所對之圓心角為圓周角的 2 倍。

(45)

如圖 7.2-26 所示,△ABC 三頂點皆在圓周上。若∠A=30°,∠B=45°,則

∠C 所對的 AB︵

弧度為多少?

圖 7.2-26 想法:1. 三角形內角和 180°

2. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 解:

敘述 理由

(1) △ABC 中,∠A+∠B+∠C=180°

(2) 30°+45°+∠C=180°

(3) ∠C=180°-30°-45°=105°

(4) ∠C=

2 1︵AB

(5) 105°=

2 1AB︵

(6) AB︵

=2×105°=210°

如圖 7.2-26 & 三角形內角和 180°

將已知∠A=30°,∠B=45°代入(1)式 由(2) 等量減法公理

圓周角∠C 等於所對弧AB︵

度數的一半

將(3) ∠C=105°代入(4)

由(5) 等式兩邊同乘以 2

(46)

例題 7.2-19:

如圖 7.2-27 所示,D 為扇形 ABC 的BDC

上的一點。若∠BAC=70°,則

∠BDC=?

圖 7.2-27 想法:1. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 2. 圓心角等於所對弧度

3. 圓周為 360°

圖 7.2-27(a) 解:

敘述 理由

(1) 將圓 A 完成,如圖 7.2-27(a)

(2) 劣弧BDC︵

=∠BAC=70°

作圖

圓心角∠BAC 等於所對的弧度BDC︵ & 已知∠BAC=70°

(47)

(4) 70°+優弧 BC︵

=360°

(5) 優弧BC︵

=360°-70°

=290°

(6) ∠BDC=

2

1×優弧BC︵

= 2

1×290°=145°

將(2) 劣弧BDC︵

=70°代入(3)式得

由(5) 等量減法公理

圓周角∠BDC 等於所對弧度BC︵

的一半

& (5) 優弧BC︵

=290°

(48)

例題 7.2-20:

如圖 7.2-28,A、B、C、D 四點都在圓 O 上,∠AOC=150°,則ABC

= 度,

ADC︵

= 度,∠B= 度。

圖 7.2-28 想法:1. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 2. 圓周 360°

解:

敘述 理由

(1) ∠AOC 為ABC︵

所對的圓心角 (2) ABC︵

=∠AOC=150°

(3) ABC︵

+ADC︵

=360°

(4) 150°+ADC︵

=360°

(5) ADC︵

=360°-150°=210°

(6) ∠B 為ADC︵

所對的圓周角 (7) ∠B=

2 1ADC︵

=2

1×210°=105°

如圖 7.2-28 所示,∠AOC 對ABC︵ 由(1)圓心角∠AOC 等於所對弧ABC︵

的度數

& 已知∠AOC=150°

如圖 7.2-28 所示,ABC︵

+ADC︵

為圓周 360°

將(2) ABC︵

=150° 代入(3) 由(4) 等量減法公理

如圖 7.2-28 所示,∠B 對ADC︵ 由(6) 圓周角∠B 為所對弧ADC︵

度數的一半

& (5) ADC︵

=210°

(49)

如圖 7.2-29,△ABC 三頂點皆在圓周上,且 = 。已知∠A=50°,則 AC︵ 的度數=?

圖 7.2-29 想法:1. 三角形內角和 180°

2. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 解:

敘述 理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠C=∠B

(3) △ABC 中,∠A+∠B+∠C=180°

(4) 50°+∠B+∠B=180°

(5) ∠B=(180°-50°)÷2=65°

(6) ∠B=

2 1︵AC

=65°

(7) AC

=2×65°=130°

(8) 所 以 弧 AC

的 度 數 為 所 對 圓 周 角

∠B 的 2 倍

已知 =

等腰三角形兩底角相等 三角形內角和 180°

將已知∠A=50° & (2) ∠C=∠B 代入(3)式得

由(4) 解一元一次方程式

圓周角∠B 等於所對弧AC︵

度數的一半

由(6) 等式兩邊同乘以 2

由(7) AC︵

=130° & (6) ∠B=65°

(50)

例題 7.2-22:

如圖 7.2-30,A、B、C、D 四點在圓周上,∠A=90°,∠B=65°, = , 求 AB︵

的度數。

圖 7.2-30 想法:1. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 2. 同圓中等弦對等弧

解:

敘述 理由

(1) BCD︵

=2∠A=2×90°=180

(2) BC︵

=DC︵ (3) BC︵

=DC︵

=1 2BCD︵

=90

(4) ADC︵

=2∠B=2×65°=130

(5) ADC︵

+BC︵

+AB︵

=360

(6) AB︵

=360-ADC︵

-BC︵ =360-130-90

=140

弧度為所對圓周角的 2 倍 & 已知∠A=90°

已知 = & 同圓中等弦對等弧 由(1) & (2)

弧度為所對圓周角的 2 倍 & 已知∠B=65°

全量等於分量之和 & 圓周為 360

由(5) 等量減法公理 由(4) ADC︵

=130 & (3) BC︵

=90 已證

(51)

如圖 7.2-31,△ABC 三頂點皆在圓周上。若∠C=65°,則∠AOB=____度。

圖 7.2-31 想法:1. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧為所對圓周角的 2 倍 2. 圓心角等於所對弧度

解:

敘述 理由

(1) ∠C=

2 1︵AB

=65°

(2) AB︵

=2×65°=130°

(3) ∠AOB=AB︵

=130°

(4) 所以同弧AB

之圓心角∠AOB 為 圓周角∠C 的 2 倍

(也可以說,同弧AB

之圓周角∠C 為圓心角∠AOB 的一半)

圓周角∠C 等於所對弧AB︵

度數的一半

由(1) 等號兩邊同乘以 2

圓心角∠AOB 等於所對弧AB︵

的度數

由(3) ∠AOB=130° & (1) ∠C=65°

(52)

例題 7.2-24:

如圖 7.2-32,圓 O 中,若 是直徑,且∠ACD=30°,則∠AOD=?

圖 7.2-32 想法:1. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠AOD 為AD︵

所對的圓心角 (2) ∠ACD 為AD︵

所對的圓周角 (3) ∠AOD=2∠ACD

=2×30°=60°

如圖 7.2-32 所示

如圖 7.2-32 所示 由(1) & (2) 同弧AD︵

之圓心角∠AOD 為 圓周角∠ACD 的 2 倍 & 已知∠ACD=30°

(53)

如圖 7.2-33,A、B、C 三點都在圓周上,∠BOC=120,且 為∠ACB 的 角平分線,則∠A= 度,∠ABC= 度。

圖 7.2-33 想法:1. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍

(4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 2. 圓的半徑等長

3. 三角形內角和 180°

解:

敘述 理由

(1) ∠A 為BC︵

所對的圓周角 (2) ∠BOC 為BC︵

所對的圓心角

(3) ∠A=

2

1

∠BOC=

2

1

×120°=60°

(4) △OBC 為等腰三角形 (5) ∠OBC=∠OCB (6) △OBC 中,

∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°

(7) 120°+∠OCB+∠OCB=180°

如圖 7.2-33 所示,∠A 對BC︵ 如圖 7.2-33 所示,∠BOC 對BC︵

由(1)(2)同弧 BC︵

之圓周角∠A 等於圓心 角∠BOC 的一半 & 已知∠BOC=120°

已知 = 為半徑

由(4) 等腰三角形兩底角相等 如圖 7.2-33 所示,

三角形內角和 180°

將已知∠BOC=120° & (5) ∠OBC=∠OCB 代入(6)

(54)

(8) ∠OCB=(180°-120°)÷2=30°

(9) ∠ACB=2∠OCB=2×30°=60°

(10) △ABC 中,

∠ABC+∠ACB+∠A=180°

(11) ∠ABC=180°-(∠ACB+∠A) =180°-(60°+60°) =60°

由(7) 解一元一次方程式

已知 為∠ACB 的角平分線 & (8) ∠OCB=30°

如圖 7.2-33 所示 三角形內角和 180°

由(10) 等量減法公理 &

(9) ∠ACB=60° & (3)∠A=60° 已證

(55)

如圖 7.2-34, 和 是圓的兩弦,且相交於 E 點。若∠B=60°,∠A=50°,

則:(1) ∠1=_______度。(2) ∠2=_______度。

圖 7.2-34 想法:目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠B=

2 1︵AD

=60°

(2) ∠1=

2 1︵AD

=∠B=60°

(3) ∠A=

2 1︵BC

=50°

(4) ∠2=

2 1︵BC

=∠A=50°

(5) 所以同弧AD

之圓周角∠B 與∠1 相等

(6) 所以同弧BC

之圓周角∠A 與∠2 相等

圓周角∠B 等於所對弧AD︵

度數的一半

圓周角∠1 等於所對弧AD︵

度數的一半 & (1)

圓周角∠A 等於所對弧BC︵

度數的一半

圓周角∠2 等於所對弧BC︵

度數的一半 & (3)

由(2) ∠B=∠1=60°

由(4) ∠A=∠2=50°

(56)

例題 7.2-27:

如圖 7.2-35,∠ACB=47,則∠ADB= 度。

圖 7.2-35 想法:目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

解:

敘述 理由

(1) ∠ACB 為AB︵

所對之圓周角

(2) ∠ADB 為AB︵

所對之圓周角

(3) ∠ADB=∠ACB=47

如圖 7.2-35 所示,∠ACB 對AB︵

如圖 7.2-35 所示,∠ADB 對AB︵

同弧AB︵

所對之圓周角∠ADB 與∠ACB 相等

& 已知∠ACB=47

(57)

△ABC 三頂點皆在圓周上,且 為圓的直徑,則∠BAC=90°

圖 7.2-36

已知:如圖 7.2-36,△ABC 三頂點皆在圓周上,且 為圓 O 的直徑 求證:∠A=90°

想法:1. 目前已知圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

2. 直徑將圓周分為一半 3. 圓周 360°

證明:

敘述 理由

(1) BAC︵

=BDC︵ (2) BAC︵

+BDC︵

=360°

(3) BDC︵

+BDC︵

=360°

(4) BDC︵

=360°÷2=180°

(5) ∠A 為BDC︵

之圓周角 (6) ∠A=

2 1BDC︵

=2

1×180°=90°

(7) 所 以 直 徑 所 對 的 圓 周 角

∠A=90°

已知 為圓 O 的直徑,直徑將圓周分為一半

如圖 7.2-36 所示,BAC︵

+BDC︵

為圓周 360°

將(1) BAC︵

=BDC︵

代入(2)式得 由(3) 解一元一次方程式

如圖 7.2-36 所示,∠A 對BDC︵ 由(5) 圓周角∠A 為所對弧BDC︵

度數的一半

& (4) BDC︵

=180°

由(6) ∠A=90°

Q.E.D.

(58)

例題 7.2-28:

如圖 7.2-37, 為直徑,求∠C+∠D+∠E=?

圖 7.2-37 想法:圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:

敘述 理由

(1) ∠C 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠C=90°

(3) ∠D 為直徑 所對的圓周角 (4) ∠D=90°

(5) ∠E 為直徑 所對的圓周角 (6) ∠E=90°

(7) 所以∠C+∠D+∠E =90°+90°+90°=270°

如圖 7.2-37 & 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-37 & 已知 為圓 O 的直徑 由(3) 直徑 所對的圓周角∠D 為直角 如圖 7.2-37 & 已知 為圓 O 的直徑 由(5) 直徑 所對的圓周角∠E 為直角 由(2)式+(4)式+(6)式

(59)

如圖 7.2-38,△ABC 三頂點皆在圓周上,且 為圓 O 的直徑。已知

∠B=30°,則∠C= 度。

圖 7.2-38 想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 三角形內角和 180°

解:

敘述 理由

(1) ∠A 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠A=90°

(3) 三角形 ABC 中,

∠A+∠B+∠C=180°

(4) 90°+30°+∠C=180°

(5) ∠C=180°-90°-30°=60°

如圖 7.2-38 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(1) & 直徑所對的圓周角為直角

如圖 7.2-38 所示 三角形內角和 180°

將(2) ∠A=90° & 已知 ∠B=30°代入(3) 由(4) 等量減法公理

(60)

例題 7.2-30:

圖 7.2-39 是一個半圓,A 點在半圓上, 為直徑。已知∠B=55,

則AB︵

= 度。

圖 7.2-39 想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 三角形內角和 180°

解:

敘述 理由

(1) ∠A 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠A=90°

(3) 三角形 ABC 中,

∠A+∠B+∠C=180°

(4) 90°+55°+∠C=180°

(5) ∠C=180°-90°-55°=35°

(6) ∠C 為AB︵

所對的圓周角

(7) AB︵

=2∠C=2×35°=70°

如圖 7.2-39 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(1) & 直徑所對的圓周角為直角

如圖 7.2-39 所示 三角形內角和 180°

將(2) ∠A=90° & 已知 ∠B=55°代入(3) 由(4) 等量減法公理

如圖 7.2-39 所示,∠C 對AB︵

由(6) 弧AB︵

為所對圓周角∠C 的 2 倍

& (5) ∠C=35°

(61)

如圖 7.2-40, 是圓 O 的直徑,且 = ,∠BAC=50°,則AE︵

= 度,

︵DE

= 度,BD︵

=______度。

圖 7.2-40 想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 等腰三角形的性質:

(1) 兩腰等長 (2) 兩底角相等 解:

敘述 理由

(1) ∠AEB 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠AEB=90°

(3) 三角形 AEB 中,

∠BAC+∠AEB+∠ABE=180°

(4) 50°+90°+∠ABE=180°

(5) ∠ABE=180°-50°-90°=40°

(6) AE︵

為∠ABE 所對的弧 (7) AE︵

=2∠ABE=2×40°=80°

如圖 7.2-40 & 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-40 所示

三角形內角和 180°

將已知∠BAC=50° & (2) ∠AEB=90°

代入(3)

由(4) 等量減法公理

如圖 7.2-40 所示,AE︵

對∠ABE 由(6) 弧AE︵

的度數為所對圓周角∠ABE 的 2 倍 & (5) ∠ABE=40°

(62)

--- 以下求 DE︵ ---

(8) 三角形 ABC 為等腰三角形 (9) ∠C=∠ABC

(10) ∠ABC+∠C+∠BAC=180°

(11) ∠ABC+∠ABC+50°=180°

(12) ∠ABC=(180°-50°)÷2=65°

(13) ∠EBC=∠ABC-∠ABE (14) ∠EBC=65°-40°=25°

(15) DE︵

為∠EBC 所對的弧度

(16) DE︵

=2∠EBC=2×25°=50°

--- 以下求BD︵ ---

(17) BDE︵

為∠BAC 所對的弧

(18) BDE︵

=2∠BAC=2×50°=100°

(19) BDE︵

=BD︵

+DE︵

(20) 100°=BD︵

+50°

(21) BD︵

=100°-50°=50°

已知 = ,兩腰等長為等腰三角形 由(8) 等腰三角形兩底角相等

由(8) 三角形內角和 180°

將(9) ∠ABC=∠C & 已知∠BAC=50°代入(10) 由(11) 解一元一次方程式

如圖 7.2-40,∠EBC+∠ABE=∠ABC 將(12) ∠ABC=65° & (5) ∠ABE=40°

代入(13)

如圖 7.2-40 所示,DE︵

對∠EBC

由(15) 弧DE︵

的度數為所對圓周角∠EBC 的 2 倍 & (14) ∠EBC=25°

如圖 7.2-40 所示,BDE︵

對∠BAC

由(17) 弧BDE︵

的度數為所對圓周角

∠BAC 的 2 倍 & 已知∠BAC=50°

如圖 7.2-40 所示,BDE︵

=BD︵

+DE︵

將(18) BDE︵

=100° & (16) DE︵

=50°

代入(19)

由(20) 等量減法公理

(63)

如圖 7.2-41, 為圓 O 的直徑,且∠C=60°,求:

(1) ∠EBC= 度。 (2) DE︵

= 度。

圖 7.2-41 想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角

2. 三角形外角定理:外角等於內對角的和 解:

敘述 理由

(1) ∠AEB 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠AEB=90°

(3) 三角形 CEB 中,

∠AEB 為∠BEC 的外角 (4) ∠AEB=∠C+∠EBC (5) 90°=60°+∠EBC

(6) ∠EBC=90°-60°=30°

(7) DE︵

為∠EBC 所對的弧 (8) DE︵

=2∠EBC=2×30°=60°

如圖 7.2-41 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-41 所示

外角∠AEB 等於內對角∠C 與∠EBC 的和 將(2) ∠AEB=90° & 已知∠C=60°

代入(4)

由(5) 等量減法公理

如圖 7.2-41 所示,DE︵

對∠EBC 由(7) 弧DE︵

的度數為所對圓周角∠EBC 的 2 倍 & (6) ∠EBC=30°

(64)

接著,我們將第七章中所提到圓的弧、圓心角與圓周角之間的關係,應用到 第四章中所提到的三角形的外心,來作以下的例題 7.2-33~例題 7.2-36。

例題 7.2-33:

圖 7.2-42

已知:如圖 7.2-42,O 點為△ABC 的外心,且 O 點在△ABC 的外部。

求證:BOC=360-2A

想法:(1) 弧的度數為所對圓周角的 2 倍 (2) 圓心角的度數等於所對弧的度數 (3) 圓周為 360

證明:

敘述 理由

(1) BC︵

=2∠A (2) BAC︵

+BC︵

=360

(3) BAC︵

=360-BC︵ =360-2A (4) BOC=BAC︵

(5) 所以BOC=360-2A

如圖 7.2-42,弧的度數為所對圓周角的 2 倍

如圖 7.2-42,BAC︵

+BC︵

=圓周=360

由(2) 等量減法公理 & (1) BC︵

=2∠A 已證

如圖 7.2-42,圓心角的度數等於所對弧的度數 由(3) & (4) 遞移律

(65)

圖 7.2-43 中,已知 O 點為△ABC 的外心,且A=100,則BOC=?

圖 7.2-43

想法:若 O 點為△ABC 的外心,且 O 點在△ABC 的外部,則BOC=360-2A 解:

敘述 理由

(1) BOC=360-2A =360-2×100

=160

已知 O 點為△ABC 的外心,且 O 點在

△ABC 的外部,則BOC=360-2A & 已知A=100

(66)

例題 7.2-35:

圖 7.2-44

已知:如圖 7.2-44,O 點為△ABC 的外心,且 O 點在△ABC 的內部,

求證:BOC=2A

想法:同弧所對之圓心角為圓周角的 2 倍 證明:

敘述 理由

(1) BOC=2A 同弧(BC︵

)所對之圓心角(BOC)為圓周角(A)的 2 倍

例題 7.2-36:

圖 7.2-45 中,已知 O 點為△ABC 的外心,且A=45,則BOC=?

圖 7.2-45

想法:若 O 點為△ABC 的外心,且 O 點在△ABC 的內部,則BOC=2A 解:

敘述 理由

(1) BOC=2A

=2×45=90

若 O 點為△ABC 的外心,且 O 點在△ABC 的內部,

則BOC=2A & 已知A=45

(67)

例題 7.2-37:

如圖 7.2-46,若∠A=45°,∠D=60°,求∠AEC 的度數。

圖 7.2-46 想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角

2. 三角形外角定理:外角等於內對角的和 解:

敘述 理由

(1) ∠A 與∠C 皆為 BD︵

所對之圓周角

(2) BD︵

=2∠A=2×45°=90°

(3) ∠C=

2 1︵BD

(4) AC︵

為∠D 所對之弧

(5) AC︵

=2∠D=2×60°=120°

如圖 7.2-46 所示,∠A 與∠C 皆對 BD︵ 由(1) 弧BD︵

的度數為所對圓周角∠A 的 2 倍 & 已知∠A=45°

由(1) 圓周角∠C 為所對弧BD︵ 度數 的一半

如圖 7.2-46 所示,AC︵

對∠D 由(4) 弧AC︵

的度數為所對圓周角∠D 的 2 倍 & 已知∠D=60°

(68)

(6) ∠D=

2 1︵AC

(7) △ECD 中,∠AEC=∠C+∠D

(8) ∠AEC=

2 1 BD︵

+2 1 AC︵

= 2 1(BD︵

+AC︵ )

(9) ∠AEC=

2

1(90°+120°)=105°

由(4) 圓周角∠D 為所對弧AC︵ 度數 的一半

如圖 7.2-46 所示 & 外角∠AEC 等於 內對角∠C 與∠D 的和

將(3) ∠C=

2 1︵BD

& (6) ∠D=

2 1︵AC 代入(7)式得

將(2) BD︵

=90° & (5) AC︵

=120°

代入(8)式得

(69)

圓內相交二弦所成交角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的 一半。

E

D O

C B

A

圖 7.2-47

已知:如圖 7.2-47, 與 為圓 O 的兩弦,此兩弦相交於 E 點。

求證:∠AEC = 2 1( AC︵

+BD︵ )。

想法:利用圓周角的度數等於所對弧的一半。

證明:

敘述 理由

(1) 連接 A 點與 D 點,如圖 7.2-47 (2) △EAD 中,

∠AEC=∠EAD+∠EDA (3) ∠EAD=

2 1︵BD

∠EDA=

2 1︵AC

(4) ∠AEC=

2 1︵BD

+2 1︵AC

= 2 1( AC

+BD︵ )

(5) ∠AEC = 2 1( AC︵

+BD︵ )

過兩點可作一直線 如圖 7.2-47 所示

三角形的外角等於內對角的和 如圖 7.2-47 所示

圓周角的度數等於所對弧的一半

將(3)式代入(2)式得

由(4) 已證

Q. E. D.

(70)

接著,我們將定理 7.2-9:兩弦相交定理(圓內角定理),應用在例題 7.2-38~

例題 7.2-40 之中。

例題 7.2-38:

如圖 7.2-48,兩弦 與 相交於圓內一點 P。已知AC︵

=124,BD︵

=48,

則∠BPD= 度。

圖 7.2-48

想法:圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠BPD 為圓內角 (2) ∠BPD=

2 1( BD︵

+AC︵ )

(3) ∠BPD=

2

1( 48°+124° ) =86°

已知 P 點為兩弦 與 在圓內的交點

由(1) 圓內角∠BPD 的度數,等於這角∠BPD 與 它的對頂角∠CPA 所對兩弧BD︵

與AC︵

度數和的 一半

將已知BD︵

=48 & AC︵

=124代入(2)式得

(71)

如圖 7.2-49,兩弦 、 相交於圓內一點 P。已知 AD︵

=92°,∠APD=80°,

則BC︵

= 度。

圖 7.2-49

想法:圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠APD 為圓內角 (2) ∠APD=

2 1( BC︵

+AD︵ )

(3) 80°=

2 1(BC︵

+92°) (4) BC︵

=2×80°-92°=68°

已知 P 點為兩弦 與 在圓內的交點

由(1) 圓內角∠APD 的度數,等於這角∠APD 與 它的對頂角∠CPB 所對兩弧AD︵

與BC︵

度數和的 一半

將已知∠APD=80° & AD︵

=92°代入(2)式得 由(3) 解一元一次方程式

(72)

例題 7.2-40:

如圖 7.2-50,若∠DEC=76°,且CD

-AB︵

=20°,則∠DAC=_______度。

想法:1. 圓周角的性質有: 圖 7.2-50 (1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角

2. 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠DEC 為圓內角 (2) ∠DEC=

2 1( CD︵

+AB︵ )

(3) 76°=

2 1( CD︵

+AB︵ ) (4) CD︵

+AB︵

=152°

(5) CD︵

-AB︵

=20°

(6) CD︵

=( 152°+20° )÷2=86°

(7) ∠DAC 為CD︵

所對的圓周角 (8) ∠DAC=

2 1︵CD

= 2

1×86°=43°

已知 E 點為兩弦 與 在圓內的交點

由(1) 圓內角∠DEC 的度數,等於這角∠DEC 與它的對頂角∠AEB 所對兩弧CD︵

與AB︵

度數和 的一半

將已知∠DEC=76°代入(2)式得 由(3) 等號兩邊同乘以 2

已知

由(4) & (5) 解二元一次聯立方程式 如圖 7.2-50 所示,∠DAC 對CD︵ 由(7) 圓周角∠DAC 為所對弧CD︵

度數的一半

& (6) CD︵

=86°

(73)

若兩圓相交於相異兩點,則連接相交兩圓交點的線段就叫此兩圓的公弦。

如圖 7.2-51 所示, 為圓 A 與圓 B 的公弦。

圖 7.2-51

(74)

定理 7.2-10 兩圓相交定理:

相交兩圓的兩圓心連線( 連心線 ),必垂直平分這兩圓的公弦。

E C

D

A B

圖 7.2-52

已知:如圖 7.2-52,圓 A 及圓 B 兩圓相交於 C、D 兩點。

求證:(1) ⊥ (2) =

想法:利用垂直平分線定理:到線段兩端點等距離的兩點連線必垂直平分此 一線段。

E C

D

B A

圖 7.2-52(a) 證明:

敘述 理由

(1) 作 、 、 、 ,如圖 7.2-52(a) (2) =

(3) ⊥ 且 =

過兩點可作一直線 同圓半徑相等

由(2) 到線段兩端點等距離的兩點連線 必垂直平分此一線段(定理 3.1-1)

Q. E. D.

(75)

如圖 7.2-53,圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點,若 =10 公分,則:

(1) =? (2) ∠CEB=?

圖 7.2-53

想法:相交兩圓的兩圓心連線(連心線),必垂直平分這兩圓的公弦 解:

敘述 理由

(1) 為連心線 & 為公弦 (2) ⊥ & =

(3) ∠CEB=90° & =5 公分

已知圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點 由(1) 連心線必垂直平分這兩圓的公弦 由(2) ⊥ & = & 已知 =10 公分

(76)

習題 7.2

習題 7.2-1:

如圖 7.2-54, AB︵

的度數是 60°,試求其所對應的圓心角∠AOB。

圖 7.2-54 習題 7.2-2:

如圖 7.2-55,圓 P 的半徑 為 8 公分,圓 Q 的半徑 為 4 公分,

∠APB=∠CQD,AB︵

=60°。則:

(1) ∠CQD= 度。 (2) CD︵

= 度。

圖 7.2-55 習題 7.2-3:

如圖 7.2-56,將一圓平分成八等分,試求優弧 ACB

所對應的圓心角。

圖 7.2-56

(77)

如圖 7.2-57,已知圓心角∠AOB=60,則AB

= 度,ACB︵

= 度。

圖 7.2-57 習題 7.2-5:

如圖 7.2-58,若 AB

=60°,BC︵

=140°,則∠AOC 的度數=?

圖 7.2-58 習題 7.2-6:

如圖 7.2-59,已知 A、B、C 是圓 O 上相異三點,若ACB

的度數比AB︵ 度數 的 3 倍少 60°,則∠AOB=_______度。

圖 7.2-59

參考文獻

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