若將上述離散元素質量矩陣、勁度矩陣組合成全域矩陣(global matrix)，可 獲得整個系統的運動方程式，表示如下：
(2.27)式為一特徵值問題，方程組非零解(non-trivial solution)成立的充分條 件為
2.3 ANSYS軟體的數值模擬
本文依據上述的雙維有限元素法，建立一套數值程式，可以有效率、
精確的計算圓管脊緣撓性波的頻散曲線及共振模態，不論是行進波(n 為正 實數)或是駐波(n 為整數)都適用。本文並未進一步發展時諧響應(harmonic
response)分析程式，相關的數值計算採用 ANSYS 套裝軟體，模擬馬達定子 結構受到交流電壓激振的時諧響應。ANSYS 有限元素套裝軟體的結構動態 分析程序分為前處理、分析、後處理三個部份。
在前處理部份，先建立馬達定子的幾何模型，幾何尺寸如圖 2.6 所示，
上半部為 PZT-4 壓電圓管，材料參數詳列於表 1 (參考吳朗[15])，下半部為 基座，材料為不鏽鋼(SUS)金屬(材料參數列於表 2)，馬達定子的基座高度 H 是由模態隔離(modal separation)分析所決定。元素型態(element type)採用 SOLID5 元素，此為 8 節點之三維塊狀耦合元素(3-D coupled-field solid)，每 個節點有 x、y、z 三個方向的位移及電位差，以適當元素數量將模型網格 化(mesh)，如圖 2.7 所示，元素數目為 67200，節點數為 83040。
在邊界條件的設定上，將模型底部各節點的自由度設為零，圓管的脊 緣設為自由邊界，此外，壓電圓管的內外側圓周的電位差設為零，分別以 模態分析(modal analysis)及時諧分析(harmonic analysis)分析結構的共振模 態及振動響應。後處理則是將分析所獲得的數據進行後續處理。
2.3.1 共振模態與頻散曲線
超音波馬達定子結構的共振模態包含縱向模態、扭轉模態、撓曲模態。
縱向模態的運動方式為沿著軸向與徑向方向運動。扭轉模態運動方式則只 是沿著圓周方向轉動，兩者的場變數都與周向角度無關，圖 2.10 所示分 別代表縱向模態與扭轉模態的變形圖。本研究主要是以撓曲模態的共振響 應為超音波馬達的驅動力，以兩個整數(m, n)代表共振模態的編號及特徵，
其中，n 代表周向模態(circumference mode)數，m 則為軸向模態(axial mode) 數。如圖 2.8 所示，當 m = 1 時，馬達定子脊緣自由端分別產生 2、3、4、
5 個波形，波形的個數則代表周向模態數 n，當 n = 0 時，則此種模態變形 就如懸臂梁一般，圓管的 z 截面保持圓形，沒有波形產生，因此稱此模態
為梁模態(beam mode)。如圖 2.9 所示，由馬達定子的截面變形與懸臂梁振 動模態的圖形作比較，當 n = 3，m = 1、2、3 時，與懸臂梁一樣，定子結 構的軸方向上分別有 1、2、3 個零位移的節點，故軸向模態數 m 也可表示 為軸向變形時的零位移節點個數。因為本文探討的馬達定子底部固定，故 m 必大於 1。將撓曲模態的共振頻率代入下列公式，可計算導波的相速度
n f f R
C 2
(2.29) 其中，C 為波速、為波長、 f 為共振頻率、 n 為圓周上導波的數目即為周 向模態數。由(2.29)式可建立波數與相速度相依之頻散曲線。
2.3.2 模態隔離
超音波馬達是以彈性振動的方式驅動馬達轉子旋轉，故共振頻率的確 認變得非常重要。雖然馬達的激振方式可以使特定模態比較容易被激發，
但是若其他模態的共振頻率與馬達的共振頻率相近時，可能也會被一併激 發，使得激振出的波形發生畸形，影響馬達的性能與可控制性。
模態隔離的概念就是藉著改變結構尺寸，使設計的馬達定子之驅動頻 率與相鄰前後兩個共振頻率隔離的較遠，確保其他共振模態不會產生，干 擾設計的行進波波形。本研究採用的馬達定子結構由壓電陶瓷圓管與不鏽 鋼基座所組成，壓電圓管是以粉末冶金的方式製作，不適合做後續的加工 改變外形，製造廠商也不可能提供符合模態隔離設計尺寸的壓電圓管，所 以本研究藉改變不鏽鋼基座的高度達成模態隔離的效果。
以馬達定子撓曲共振模態(1, 4)為例驅動超音波馬達，若單純考慮撓曲 模態的影響，當 H=0 時，(1, 4)模態與前後相鄰的共振模態分離最佳，與前 後的共振頻率相隔 11.7 kHz 與 17 kHz。若同時考慮扭轉模態或縱向模態的 影響，模態隔離程度就降低為僅 11.5 kHz。表 3 所列為(1, 4)共振模態在不 同高度 H 時，與前後兩個共振頻率的差值，當 H 等於 7.5 mm 與 12.5 mm
時，與鄰近的共振頻率相隔間距均約為 3 kHz 左右。圖 2.11 所示為雙維有 限元素法與 ANSYS 分析馬達定子基座高度 H = 0、12.5mm 的撓性波頻散 曲線圖，基座高度增加會降低周向撓性波的共振頻率。若考慮基座高度越 矮時，脊緣端受到定子底部的拘束條件限制，變形量降低，故以下設計都 將馬達定子的基座高度採為 12.5 mm。
在結構的設計階段，設計者通常會根據結構的頻率響應函數(frequency response function)，判斷模態隔離的好壞。結構尺寸的調整有時造成特定模 態的共振頻率變化太大，以致超出觀察的頻率範圍，甚至無法辨別相鄰的 共振頻率是屬於何種共振模態，面臨左支右絀的窘況。上述的頻散曲線提 供兩個維度觀察各個共振頻率之間的模態隔離程度，改善頻率響應函數的 單一維度觀察，很容易找出相鄰共振頻率所屬的模態，適當地朝向正確的 方向調整結構尺寸。這是本研究期間的一項重要發現，有效提昇超音波馬 達的工作頻率與結構尺寸設計的效率。
2.3.2 雙相致動的合成響應
為了模擬行進波在馬達定子每個周向位置的振幅大小與相速度，本文 將相位差 90o的正弦函數sin( t 與餘弦函數) cos( t ，分別施予 A 與 B 兩組) 致動器，以 ANSYS 套裝軟體的時諧分析進行數值模擬。假設馬達定子的 阻尼係數為0.2%，以振幅 200 Vp-p的交流電壓輸入至兩組電極，模擬軸 對稱分佈電極與兩側配置電極生成的行進波位移響應。圖 2.12 所示為以(1, 4)模態的共振頻率驅動馬達定子，脊緣內側的行進波位移振幅與對應的相 位分佈，實線與虛線分別為軸對稱分佈電極與兩側配置電極的馬達響應，
兩者的相位幾乎呈線性分佈，代表行進波在圓管各周角的相速度為一定 值。由振幅的分佈可以明顯發現，軸對稱分佈電極的周向位移比兩側配置 電極者大，軸對稱分佈電極的撓性波振幅也幾乎為一個定值，表示以軸對
稱分佈電極驅動的馬達定子能夠生成位移振幅、相速度均勻的行進波。超 音波馬達定子脊緣內側質點因行進波而作橢圓形運動，藉摩擦力推動轉子 轉動，橢圓形運動軌跡的周向位移越大，可以代表馬達的性能越好，波形 均勻則代表行進波在任意位置的轉速都很平穩。數值模擬結果顯示軸對稱 分佈電極比兩側配置電極的運轉效果好，本文下一章將以試驗予以驗證。
圖 2.13 所示為以 n = 2、3、4 之軸對稱分佈電極激振(1, 2)、(1, 3)與(1, 4) 模態的行進波周向位移振幅分佈，數值結果說明圓管撓性波的周向模態數 愈大，脊緣端質點產生的位移量愈小。圖 2.13 亦顯示周向模態數越小，所 產生的行進波位移振幅越不均勻，此乃電極分佈較不均勻所致，超音波馬 達的設計尚需考慮所生成行進波的振幅大小與均勻度，才能提昇馬達運轉 的品質。