CrossLight 提供一項屢獲殊榮的半導體器件建模/程序模擬軟體，
利用先進的技術計算機輔助設計（TCAD）情境下。通過三大器件模擬 軟件包（APSYS，LASTIP 和 PICS3D），我們的設備型號涵蓋了全方位 的設備，從基本的矽 MOSFET 延伸到更複雜的設備，如垂直腔面發射
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解（interposition approximation）。只要連續體之場變數（位移、速度、
應變、應力、溫度、電磁場、聲場、族群分布、化學濃度、…）與各條 件（幾何條件、起始條件、邊界條件、材料性質、成本要求、…）假設 正確，則在誤差容忍度之內，近似解可視為取代精確解之可信賴結果。
表 5
假設有 n+1 個相異的點為 x0,x1,x2,…,xn，對應的 y 値為 y0,y1,y2,…,yn(如表 5)，我們想要找一個通過這 n+1 個點的多項式曲 線。所以，我們想要算出定義在 x 軸的多項式且對於在表 5 中的 n+1 個 相異的點 xi代入此多項式的函數值會滿足對應於 xi的 yi値。一個多項 式 p 滿足 p(xi)= yi，0 ≤ i ≤ n，被稱為插値表 5。
通過(x0，y0 )與(x1，y1 ) 相異兩點的一次多項式問題等同於利用內插 法找出一次多項式來逼近函數 f ，且此多項式滿足 f(x0)= y0 及 f(x1)=
y1。
首先，我們定義下列函數：
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所以函數 p(xi)是唯一通過(x0，y0 )與(x1，y1 )的線性函數，如圖 12。
圖 12
建造一個通過 n+1 個點的 n 次多項式(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),…,(xn,f(xn))，
如圖 13。
圖 13
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這個多項式稱為 n 次的 Lagrange 插値多項式。
4-2 Self-consistent 載子濃度模型
4-2-1 局部化的侷限狀態
我們模擬軟體解決量子侷限狀態的指令是預設在能帶平坦的條
件下(假設並無電場)，假如位能有局部變化，但我們認為變化足夠小到 可以忽略，能帶平坦解決方案仍然是有效的，只作了局部能帶的校正
（參見圖 14）。
圖 14 量子井載子濃度預設計算模型
29 quantum wells, MQW)的能帶行為，如果能帶趨於平坦的條件下，我們 此時不會考慮量子井內的載子濃度細節。
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(4.2) gnj (y)為假設量子井平行於 x 軸的電子波函數，Ej不再是位置的函數。
計算上述濃度分佈需要更多的工作量，因為在一個點上的密度取決於 一個全局函數 gnj (y)。我們也必須更新波函數和侷限能階在不同偏壓 下時。
圖 15 Self-consistent 量子井載子濃度計算模型 4-2-3 波函數邊界條件
當我們要使用 Self-consistent 方法下運算薛丁格方程式，最重要 的參數就是 QW 或 MQW 區域左側右側的邊界條件。我們將使用單一 量子井的例子詳細解釋如圖 16。
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圖 16 Self-consistent 波函數邊界條件示意圖
分析薛丁格方程式時波函數在無窮遠時會衰減到零，而在數值 模擬上我們必須利用有限值取代:一是假設在距離 QW 特定的距離是 無限的位能井，為了不干擾的能帶的位置或波函數的形狀，程式指 令”wave_range”是需要給予一個足夠大的值，通常為量子井寬度的 三倍大。二是我們會劃分出限制位能的形狀，我們要選擇一個合理 的”wave_range”距離去截斷位能剖面圖(在點 b 和點 d)，在人工地去 延 伸 位 能 剖 面 圖 ( 原 始 點 a 和 點 f 被 點 c 和 點 e 取 代 ) 。 波 函 數”wave_range”以外的區域忽略不計，這種模型可以防止影響模擬 結果人工邊界附近的擾動也可以在[b,d]區域之間歸一化。
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4-2-4 MOS 和 HEMT 的量子井概念
當 MOS 結構的閘極在偏壓下，矽和二氧化矽的界面
形成一個三角形量子井對於電子或電洞，這取決於偏壓的極性。類似的 情況也出現 HEMT 中，其內部電場導致異質接面形成一個三角形量子 井來侷限二維電子氣機制。這特殊的三角形量子井可以視為以上所討 論的情況。為了得到這樣的結構，從一個簡單的對稱量子井來推導，我 們採取以下步驟：1、左邊的位障被降低到零位障高度。2、外部和內部 的電場允許在一個傾斜的電位方式，一個三角形量子井在井的底部和 右 邊 位 障 之 間 形 成 。 因 此 ， 量 子 井 MOS 和 HEMT 模 型 可 以 應 用”complex-MQW”和”self-consistent”模型來實現非對稱量子井。
4-3 應變型纖鋅礦結構 MQW
4-3-1 纖鋅礦偶極矩
由於纖鋅礦晶體的對稱性不同於閃鋅礦，我們需要使用更精確 的模型（例如 k.p 理論）來計算偶極矩的光學躍遷。然而，研究結果 k.p 理論運算複雜導致我們提出以下簡化的偶極矩的增強參數：
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(4.3~4.5)
注意我們制訂以上參數有下列關係:
(4.6)
偶極矩表達成：
(4.7) 是重複積分的波函數而 是塊材偶極矩表示為:
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4-3-2 極化和界面電荷
纖鋅礦材料系統最麻煩的性能之一是常見的化合物有自發和應
變誘導出極化條款。這本身的表現意味著在異質接面存在固定界面電 荷。在量子井中，這些電荷創建一個局部電場來分離載子（即Quantum-Confined Stark Effect）。這會影響波函數和增益的計算。
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36
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F1/2為費米能階的一半。
而在電子電洞濃度極低的情況下，(4.14)式可以轉寫為波茲曼分 佈：
(4.13) 4-4-3 載子遷移率
載子遷移率μn、μp的傳輸是根據散射機制[37]做運算，主要影 響遷移率的效果之一是局部電場。此軟體提供了一些分析公式，由於氮 化鋁鎵/氮化鎵中具有高電場效應，我們使用此模型:
(4.14) μ0n為電子低電場時的遷移率，F為電場強度，υsn為電子飽和速度 (saturation velocity)，飽和速度跟溫度有相依的關係，模擬軟體氮化鎵我 們設 β=1。
38 continuity equations、drift-diffusion equation。 一開始先畫出元件的結構 與材料參數，再切割許多區域，也就是所謂的網格點(mesh)，程式內部
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圖 17 APSYS 模擬軟體整個文件檔案和流程圖
表 6 AlGaN 相關的二元半導體化合物模擬參數設定
3.548
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P_sp(AlxGa1-xN)=-0.090*x-0.034*(1-x)+0.019*x*(1-x) (5.2) P_pz(AlxGa1-xN)=x*P_pz(AlN)+(1-x)*P_pz(GaN) (5.3)
單位為 C/m2
3.42 0.64
Eg (AlxGa1-xN)
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其中，P_pz(GaN)= -0.918*ε+9.541*ε2 ;
P_pz(AlN)= -1.808*ε+5.642*ε2 forε＜0，
P_pz(AlN)= -1.808*ε-7.888*ε2 forε＞0
ε表示薄膜結構與基板之間的應變，可以用以下公式計算之:
ε=(substrate_latt - a_latt)/a_latt (5.4) substrate_latt 與 a_latt 分別表示基板與氮化物薄膜層的晶格常數。
而晶格常數採用表 5 中所列的值。在本模擬中，將 GaN 視為基板，因 此 substrate_latt 即為 GaN 的晶格常數，而應變則為氮化物薄膜與 GaN 間 的 晶格不匹 配度 。這將 使得上 式之 中 P_pz(GaN)為零 ， 且 P_pz(AlN)只需考慮應變大於零的情況。
總極化為自發與壓電極化的相加，而在氮化鋁鎵和氮化鎵接面 處極化電荷密度再搭配高斯定律式計算:
(5.5)
單位為 1/m2。
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5-2 分析方法
本論文中所要探討之量子井結構與傳統結構崩潰電壓的比較，
我們總共提出四種不同結構針對在 10nm 厚度上的電子阻擋層，分析電 性例如抑制漏電流的多寡。四種不同的結構如圖 18 所示。
圖 18 四種結構的示意圖
注意 Structure A、B、C 在 10 nm 的電子阻擋層中有摻雜 P-type: 1×1018 cm-3，目的在於確定沒有第二寄生通道的產生以防止電子更容易溢出。
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Interface Build-in charge density (55%) Al0.2Ga0.8N/GaN 0.4634211391E17 (1/m2) Caughey and Thomas model[39]:
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Parameter GaN
Bandgap(eV) 3.42
Electron mobility (cm
2/Vs) 1100 Electron saturation velocity
(cm/s)
2.1×10
7Dielectric constant 9.5 1
(cm
-1) 2.9×10
8(V/cm) 3.4×10
7表 9 氮化鎵在模型中參數
電子或電洞解離速率求出後就可代入產生速率(generation rate)式子:
各別為電子電洞電流通量密度，整個式子中的係數都跟電場和晶 格溫度息息相關。
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