第二章 設計風載重理論與驗證
第二節 C OOK AND M AYNE 法
1979 年由 Cook and Mayne ([4])提出基於年破壞超越機率，利用極值風速及極值 風壓係數的聯合機率密度分布函數來求取設計風壓係數的方法。根據圖2-1 所示，假 設風洞實驗中符合雷諾數穩定時，極值風速分布與極值風壓係數分布互相獨立，可以 假設兩者的聯合機率密度分布為個別的機率密度分布相乘，如式(2-3)所示：
圖2-1 極值風速與極值風壓係數的聯合機率密度分布圖 資料來源：【擷取自Cook and Mayne, 1980 [5] 】
𝑓(𝑐, 𝑣) = 𝑓 (𝑐)𝑓 (𝑣) (2-3)
式(2-3)中的機率密度分布函數𝑓 (𝑐)和𝑓 (𝑣)可採取一般常見的甘保分布或者廣義 極值分布。而通常極值分布函數多以累積機率密度分布函數來表示。如式(2-4)、(2-5) 分別為甘保分布及廣義極值分布。此兩式以極值的平均值及標準差來表示，有益於之 後計算時考量極值風速及極值風壓係數的變異係數(Coefficient of Variation)。
𝐹(𝑥) = exp −𝑒𝑥𝑝 − 𝛾 +
√ (2-4)
𝐹(𝑥) = exp − 𝑓 − 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜏) ∙ 𝑓 ∙ (2-5a)
𝑓 = Γ(1 + 𝜏) (2-5b) 𝑓 = Γ(1 + 2𝜏) − 𝑓 (2-5c)
兩式中𝛾為 Gamma 函數，其值為 0.57726；𝑥為極值變數；𝑚 為極值變數的平均 值；𝜎 為目標極值變數的標準差；𝜏為廣義極值分布的形狀參數，同樣具備有決定極 值分布曲線尾端性狀的功能。若𝜏為 0 時，式(2-5)會收斂至式(2-4)而成為甘保分布。
若𝜏不為 0 且大於 0 時，則為弗雷歇分布(Frechet distribution)；若𝜏不為 0 且小於 0 時，
則為韋伯分布(Weibull distribution)。由於廣義極值分布基本上由三個參數所決定，因 此可以預想式(2-2)及式(2-3)中所涉及的關係必須同時考量此三個參數變化。其中，可 以進一步定義極值變數的變異數為式(2-6)：
cov(x) = (2-6)
由圖2-1 中所示，假設可以找到一組風載重等同於式(2-2)，亦即：
𝜌𝑣 𝑐 = 𝜌 𝑣 𝑐 = 𝑤 (2-7)
則必定有無限多(𝜌, 𝑣, 𝑐)組合可以滿足式(2-7)。倘若我們進一步簡化空氣密度為 常數而非變數，則式(2-8)成立：
𝑣 𝑐 = 𝑣 𝑐 (2-8)
在式(2-8)中仍然可以發現要得到式子成立的組合仍有無數多種。然而我們可以引 進年破壞超越機率的概念來達到求取正確的設計風壓係數方法。設計風載重的非超越 機率可以式(2-1)中的年超越破壞機率來表示。以採取使用年限 50 年的第三類建築物 為例，其年破壞超越機率則為 1/975，大約為 1/1000 即 0.001。轉換為非超越機率則 為1 - 0.001 = 0.999。換言之，對照至圖 2-1 中，則可以理解，當𝑐 − 𝑣平面的 𝜌𝑣 𝑐常 數曲線移動至 𝜌 𝑣 𝑐 時，其曲線下所包含之曲面體積應達0.999 機率。
假設空氣密度為1.25 kg/m3；極值風速屬於甘保分布，其平均值為16 m/s、標準 差為2.4 m/s；極值風壓係數屬於甘保分布，其平均值為 1、標準差為 0.125 時，可以 將圖2-1 以 MATLAB 程式繪製成𝑐 − 𝑣平面等高線分布圖，如圖 2-2 所示。若將每一 組(𝑣, 𝑐)代入計算其風載重估算值，則可以獲得圖 2-3 的結果。當圖 2-3 中的曲線下 方所佔的曲面體積積分等同於非超越機率值0.999 時，則該曲線滿足式(2-7)。將此時 的𝑤 、符合0.999 非超越機率的已知𝑣 、以及空氣密度𝜌代入式(2-2)反算則可以獲 得𝑐 。再進一步將𝑐 以及𝑚 、𝜎 代入式(2-4)，則最終可以獲得𝐹, ，極值風壓係 數的最佳非超越機率值。此即為Cook and Mayne 法的流程。
圖2-2 𝑐 − 𝑣平面聯合機率密度等高線分布圖(𝜏 = 0、𝜏 = 0)
根據Cook ([3])利用英國實場監測風速資料的特性、以及低矮建築物風洞實驗模 型的風壓係數於各風向角下的特性，歸納訂出極值風壓係數的非超越機率百分比可假 設為78%，稱為 Cook and Mayne 係數([5])，為目前探討風洞實驗極值數據時，最常 用來探討設計風載重的作法。後來 ISO 規範([8])亦納入此概念，並更加保守地採用 80%非超越機率值。
本研究團隊採用MATLAB 數值方法將甘保分布延伸至廣義極值分布。例如，同 樣採用圖2-2 的數值，但將極值風速改為形狀參數 0.1 的廣義極值分布、極值風壓係 數改為形狀參數-0.1 的廣義極值分布，再次繪製成圖 2-4 如下。當聯合機率密度分布 形狀改變後，採用圖2-3 的風載重估算分布圖將獲得不同的極值風壓係數的最佳非超 越機率值𝐹, 。同樣地，若改變極值風速或者極值風壓係數的變異數，將改變等高 線分布圖的所佔體積，而再次獲得不同的最佳非超越機率值𝐹, 。
圖2-4 𝑐 − 𝑣平面聯合機率密度等高線分布圖(𝜏 = 0.1、𝜏 = −0.1) 資料來源：【本研究整理】
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