DLV 損傷探測理論之回顧

第三章 DLV 結構損傷探測理論

3.2 DLV 損傷探測理論之回顧

考慮一

n

維線彈性結構系統，其健康狀態之柔度矩陣為

44 F

h，受損狀態之柔度矩陣為

F

d。假設存在某荷載向量，將其分別作用於健康與受損之結構系統時，會使結構系統產生相同的變位。將滿足上述條件的荷載向量記為

L

，則可建立下列關係式：

F

L  F

L (3.1)

式

(3.1)

可進一步改寫成：

(F

 F

)L  D

L  0 (3.2)

式

(3.2)

中的

D

 F

 F

_h為健康結構與受損結構之柔度矩陣的變化量。在數學上，滿足式

(3.2)

者有三種情況：

(1) D

 0

，表示結構系統柔度矩陣未產生任何變化，即結構系統無破壞發生，因此不具討論意義；

(2)

L ，表示結構系統無荷載向0 量的存在，因此結構系統也無變位產生，亦無須討論；

(3) rank (D

)  r  n

，表示

D

F 秩缺

(rank deficient)

，矩陣

L

為對應於零空間

(null space)

之基底

(basis)

的情況。凡滿足情況

(3)

的荷載向量

L

，即稱為破壞定位向量

(DLV)

。

DLV

可由柔度矩陣之變化量

D

F 做奇異值分解而得，即：

_F ^T

  

₁ ₀



0 1 0

1 V V

S 0

0 U S

U USV

D 



 



 



(3.3)

其中，

U

1 為D_FD_F^T之非零特徵值所對應的單位特徵向量；

U

為D_FD_F^T之零特徵值所對應的單位特徵向量；

S

1為D_F^TD_F之非零奇異值所組成的對角矩陣；

S

0 為 D_F^TD_F之理想零奇異值所

45

組成的對角矩陣；

V

1 為 D_F^TD_F之非零特徵值所對應的單位特徵向量；

V

0為D_F^TD_F之零特徵值所對應的單位特徵向量。

於式

(3.3)

後乘上

( V

)

^¹可改寫成：

 

_



 



 





0 1 0 1 1

S 0

0 U S

U US )

D_F ^T

(3.4)

由於矩陣

V

為正交矩陣，因此

V

 V

^¹，所以式

(3.4)

亦可表示成：

^D

^V   ^D

^V

^D

^V

   ^U

^S

^U

^S

   ^U

^S

⁰  (3.5)

比較式

(3.5)

與式

(3.2)

可知，破壞定位向量

L

可由柔度變化矩陣

D

F 之奇異值分解得到。

在現實中，數值計算所造成之誤差或訊號量測受雜訊影響而產生的誤差，皆會使得

S

0無法完全為零。為了由奇異值分解後的矩陣

S

有效的區分出零空間

(null space)

大小，以及辨識出結構系統可能受損的桿件，

Bernal

【

14

】提出一指標係數

svn

(singular value normalize)

作為零空間選擇之門檻依據。

svn

i 之定義如下：

₂



 

q q

i i

s

svn s

i

1,,

n (3.6)

其中，s_i為柔度變化矩陣 D_F 之第 i 個奇異值； V_i _²為 s_i 所對 應特徵向量 Vi之

infinity norm

，即向量 Vi分量之絕對值最大

46

者； V ² max( V _²)

  _i _i

s

為所有

s

_i V_i _²(

i

1,...,

n

)中最大者。

Bernal

建議，凡滿足

svn

_i 

0.20

者，其特徵向量 Vi即是為零空 間，據以挑選出結構系統之破壞定位向量 Li。

此外，

Bernal

並定義結構系統於第 i 個破壞定位向量 Li

荷載作用下之正規化應力指標 nsii j

(normalized stress index)

如下：

ij max ij

σ

nsi



σ j  1,  , n

， i

(3.7)

其中，

σ

_ij為對應於第 i 個

DLV

荷載向量作用下第 j 根桿件的 應力或內力。當結構為桁架系統時，

σ

_ij可為桿件之軸力；若結構為抗彎構架系統時，

σ

_ij可以是柱剪力。

透過 i 組

DLV

的加載於健康結構並求得 nsii j 指標後，即可經由

Bernal

定義的加權應力指標 WSIj

(weighted stress index)

作為結構損傷探測之依據如下：

nDLV svn nsi WSI

nDLV 1

i i



 ^

(3.8)

其中，

svn

 max ( svn

,0.015 )

； nDLV 代表結構系統進行

DLV

分析之總桿件元素數目。根據計算出對應於各桿件之加權應力 指標 WSIj，由各桿件之指標中相對數值尺度

(order)

較小者，即判斷為結構系統可能受損的樓層或桿件。

47

在文檔中狀態空間DLV法在扭轉耦合結構之地震損傷探測試驗研究 (頁 71-75)

第三章 DLV 結構損傷探測理論

3.2 DLV 損傷探測理論之回顧

n

44

F

F

L

F

L  F

L (3.1)

(3.1)

(F

 F

)L  D

L  0 (3.2)

(3.2)

D

 F

 F

(3.2)

(1) D

 0

(2)

(3) rank (D

)  r  n

D

(rank deficient)

L

(null space)

(basis)

(3)

L

(DLV)

DLV

D

  



(3.3)

U

U

S

S

45

V

V

(3.3)

( V

)

 

(3.4)

V

V

 V

(3.4)

D

V   D

V

D

V

   U

S

U

S

   U

S

0  (3.5)

(3.5)

(3.2)

L

D

S

S

(null space)

Bernal

14

svn

(singular value normalize)

svn

s

^D

^V   ^D

^V

^D

^V

   ^U

^S

^U

^S

   ^U

^S

⁰  (3.5)