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第三章 Diffy 八邊形
在前面一章，我們介紹了一些基本性質，這些性質無論是在幾邊形下都是成 立的。現在我們開始著重於 Diffy 八邊形的探討。
首先，根據第二章的內容，我們可以知道，任意一個 Diffy 八邊形，在經過 多次的運算之後，會變成僅由 0 和一個正整數 所組成的數列，再經由縮放相似 性質，變成一個僅由 0 和 1 所組成的數列。
現在，我們令 ， ， 。所以我們已經知 道，任意一個 Diffy 八邊形 經過多次運算後，都會變成如上述 的形式。
為了後續推導某些理論與某些很好的結果，我們預先假設 Diffy 八邊形「可 以旋轉」但「不能翻轉」（下方的圖 3.1 和圖 3.2 即為例子），那麼我們可以利用 cycle index 的方式算出 可能的個數。
（圖 3.1：右邊的 是由左邊的 順時鐘轉 45 得到的，因此左右兩個 Diffy 八邊形我們會視為同一個。）
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（圖 3.2：右邊的 是由左邊的 以虛線做對 稱軸翻轉得到的，但是左右兩個 Diffy 八邊形我們會視為不同的兩個。）
【引理 3.1】假設我們要以 種顏色在正 n 邊形上的所有頂點進行著色，旋轉視為 同一種，但翻轉視為不同種，那麼著色的方法數總共有 種，其中 d 為所有 n 的正因數， 為歐拉函數（Euler’s function），即 不大於 d 且與 d 互質的正整數個數。
由「引理 3.1」，令 ，則我們可以得到正八邊形的 cycle index 為
，再來把所有的 以 2 代入，得到所求 ，也就是說，
一個 Diffy 八邊形，所有頂點填入 0 或 1，旋轉視為同一種，翻轉視為不同種，
則填入的總方法數為 36 種。
接下來，我們用窮舉的方式，把可能的 36 種 Diffy 八邊形 都列出來，再 來把彼此間的運算關係繪製成圖 3.3。於是我們發現，無論一開始任意給定的 Diffy 八邊形 是什麼，也無論這個 會運算到哪一種 ，最後都會有一條路徑 可以收斂至 0，因此我們先以「窮舉」的方式，說明了任意一種 Diffy 八邊形 ， 會先跑到 36 個可能的 的其中一個，然後最終都會收斂至 0。
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（圖 3.3：Diffy 八邊形的收斂路徑圖）
如果是用窮舉畫圖的方式，不難看出所有的 Diffy 八邊形必定收斂至 0，但 是如果 Diffy n 邊形的邊數很大的時候，那麼窮舉畫圖顯然就不是好方法了。因 此接下來我們將會給出一個比較適合的證明方法，來證明所有的 Diffy 八邊形必 定收斂至 0。而之後，我們會說明，利用這個證明方法，可以推得所有 Diffy 邊 形必定收斂至 0。
【引理 3.2】令 、 ，則恆有 。
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所以，當在八邊形上所有數字皆為 0 或 1 時，在做相減取絕對值的運算時，
可以視為在做相加後同餘 2 的運算，也可以視為奇偶數之間的加減運算，亦可視 為在整數加法群 內的運算。
【定理 3.3】令 為一個 Diffy 八邊形，其中所有字母皆為 0 或 1。則該八邊形必定會在 8 步內收斂至 0，即 。
[ 證明 ]
因為引理 3.2，我們可以把所有相減取絕對值的運算，換成相加後同餘 2 的運算，
其結果不變。於是我們可以畫成如下圖 3.4 的樣子，其中兩個箭頭所指向的數字，
代表它的上兩個數字相加後同餘 2 的結果。例如，在第一步到第二步中的 與 ，因為兩者相加後變成 ，經過同餘 2 的運算後，無論 一開始是 0 或 1 都會被化簡掉，最後剩下 ，其他的狀況也是同理。因此，如下圖所示，
無論 是怎麼組成的，其必定會經過至多 8 次運算後收斂 至 0。
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（圖 3.4：證明 Diffy 八邊形必會在 8 步內收斂至 0）
在定理 3.3 的證明中，除了使用到在整數加法群 內一個特別的運算性質之 外，其實也用到了一點二項式定理與巴斯卡三角形的概念。而這些概念我們將會 在探討 Diffy 邊形時詳細說明。
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至此，我們已經證明了，給定任意一個 Diffy 八邊形，它的運算過程必定會 呈現如下的狀況：
1. 經過多次運算之後，會變成頂點上的數字僅由 0 和一個正整數 組成的 八邊形，等同於形成了一個僅由 0 和正整數 組成的 8 個元素的數列。
2. 因為縮放相似性質，我們可以化簡成一個頂點上的數字僅由 0 和 1 所組 成的八邊形，等同於化簡成一個僅由 0 和 1 所組成的八個元素的數列，
進而成為 36 個可能的 Diffy 八邊形中的其中一個。
3. 因為定理 3.3，這個八邊形必定會在至多 8 步內收斂至 0。
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