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第六章 Diffy 邊形的分解與其延伸
在第五章，我們探討了 Diffy 邊形之間的相關性，也就是前章所提及的構 造上與數量上之關係，而接下來我們要再針對構造這部分多做研究。在開始之前，
我們先提出一個例子做為引導。
【例子 6.1】令 為一個 Diffy 八邊形。則它的運算過程為：
→ → →
→ → →
→ → → 這裡要特別注意到，我們在這個例子中，運算過程預先多寫了一個 這個數列。
現在，我們將其構造排成如下圖 6.1 所示，其中我們將每個數列的奇數位置的元 素下方畫紅底線，而偶數位置的元素下方畫藍底線，再分別將紅色與藍色獨立出 來寫成兩個新的四元數列。上述這一步驟我們稱它為「分解」。
（圖 6.1：將一個八元數列分解成兩個四元數列）
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接下來，我們針對以下兩部分進行觀察。
1. 觀察由 、 、 、 、 分解出來的那些數列，也就是觀察那些經過奇 數次運算的 Diffy 八邊形的數列，可以觀察到這些數列，無論是紅色部分還 是藍色部分，恰好都是 Diffy 四邊形的收斂路徑，而且當原本的 Diffy 八邊 形收斂為 0 時（也就是 ），紅色部分與藍色部分也都恰好同時收斂至 0。
2. 觀察由 、 、 、 、 分解出來的那些數列，也就是觀察那些經過偶 數次運算的 Diffy 八邊形的數列，可以觀察到這些數列，無論是紅色部分還 是藍色部分，恰好都是 Diffy 四邊形的收斂路徑，而且當原本的 Diffy 八邊 形收斂為 0 時（也就是 ），紅色部分與藍色部分也都恰好同時收斂至 0。
我們將上述說明畫製成如下圖 6.2。
（圖 6.2：分別對經過奇數次運算與經過偶數次運算的數列做討論）
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【例子 6.5】令 為一個 Diffy 十二邊形。則它的前 12 步的運算過程為：
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
我們觀察發現， ，也就是說它在第 4 步時進入循環，其循環長度 為 4。這時，可參考下圖 6.3。如果我們使用與之前相同的分解方式，以及使用 同樣定義的符號 與 ，去分解出四個 Diffy 六邊形的話，那麼我們發現，
→ → → → → → 、 → → → → → → 、
→ → → → → 、 → → → → →
這四條路徑都是 Diffy 六邊形的運算過程，其中 、 、 、 。
也就是說在這 4 條 Diffy 六邊形的運算過程中，出現了與 Diffy 十二邊形相似的 循環狀況，當原本的 Diffy 十二邊形進入長度為 4 的循環之後，這 4 個 Diffy 六 邊形也開始進入循環，而他們的循環長度皆為 2。
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（圖 6.3：Diffy 十二邊形分解成 4 個 Diffy 六邊形的狀況）
現在我們使用與以前相似的分解方式，嘗試將這個 Diffy 十二邊形分解出數個 Diffy 四邊形。我們令每個數列最左邊的數字所在的位置為第一個序位，而最右 邊的數字則為第十二個序位。現在我們將每個數列之中，所有第 1、4、7、10 序位的元素下方畫紅底線（也就是那些序位是除 3 餘 1 的位置），所有第 2、5、
8、11 序位的元素下方畫藍底線（也就是那些序位是除 3 餘 2 的位置），所有第 3、
6、9、12 序位的元素下方畫綠底線（也就是那些序位是除 3 餘 0 的位置），再分 別將三種顏色獨立出來寫成三個新的四元數列。接著，我們觀察以下三個部分：
1. 觀察那些從「經過 次運算的 Diffy 十二邊形的數列」中分解出來的 Diffy 四 邊形的數列，其中的 ，也就是觀察 、 、 、 、 。 2. 同 1.，但其中的 ，也就是觀察 、 、 、 。
3. 同 1.，但其中的 ，也就是觀察 、 、 、 。
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經過分解之後，我們可以找出 9 條路徑，可參考下圖 6.4。但是，這 9 條路徑全 部都不是 Diffy 四邊形的收斂路徑，也就是說，我們給的這個 Diffy 十二邊形的 例子，無法分解成數個 Diffy 四邊形。
（圖 6.4：Diffy 十二邊形分解成 9 個 Diffy 四邊形的狀況）
在例子 6.5 中，探討了一個 Diffy 十二邊形的分解可行性，發現了它可以分 解出 4 個 Diffy 六邊形，但不能分解出 9 個 Diffy 四邊形。實際上，Diffy 十二邊 形還可以做另一種例子 6.5 中未提及的分解方式，就是把它分解成 16 個 Diffy 三 角形，只要使用類似的方法就可以做到。
那麼，給定一個任意的 Diffy 邊形， ，要如何去判斷這個 Diffy 邊形 可以怎麼分解呢？以下我們將這個答案與證明寫成定理。
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【定理 6.7】給定一個 Diffy 邊形，其中所有元素皆為 0 或 1。令 ，則這個 Diffy 邊形可以分解成 個 Diffy 邊形，若且唯若 是 2 的冪次方。
定理 6.6 完整敘述了任意一個 Diffy 邊形的分解流程，而定理 6.7 則根據定 理 6.6 簡單地敘述一個 Diffy 邊形的分解條件及結果，只要邊數有 2 的冪次方的 因數存在，那麼這個 Diffy 邊形就可以做到分解的動作。而這兩個定理也說明 了，為何在例子 6.5 中，Diffy 十二邊形可分解出 4 個 Diffy 六邊形，但是不能分 解出 9 個 Diffy 四邊形，因為前者的 ，為 2 的冪次方，而後者的 ，並 不是 2 的冪次方。
另外一提，定理 6.4 也可以用定理 6.7 做解釋。定理 6.4 提到 Diffy 邊形可 以分解成 個 Diffy 邊形，只要引用定理 6.7，令 即可。
我們再舉個簡短的例子，Diffy 二十四邊形，可以分解成 個 Diffy 十二邊形、
個 Diffy 六邊形、 個 Diffy 三角形，但是不能分解成 個 Diffy 八邊形、 個 Diffy 四邊形。至於那些可以分解的狀況，要如何做分解，只須引用定理 6.6 的 流程就可以做到分解的動作。