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第五章 Diffy 邊形彼此間的相關性
我們已經知道，對所有的 ， ，Diffy 邊形都具有「必定收斂至 0」
這個性質。那麼，所有的 Diffy 邊形還有沒有其他共同擁有的性質呢？所有的 Diffy 邊形彼此間有沒有存在何種關聯性呢？
我們從探討最簡單的狀況開始，也就是討論 Diffy 四邊形與 Diffy 八邊形之 間的關聯性。首先，我們先假設 Diffy 四邊形與 Diffy 八邊形都已化簡成僅由 0 和 1 組成的狀況，然後展示出他們的收斂圖，如下圖 5.1 及 5.2。
（圖 5.1：Diffy 四邊形的收斂路徑圖）
（圖 5.2：Diffy 八邊形的收斂路徑圖）
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我們將這兩種收斂圖放在一起，如下圖 5.3，其中藍色框框的部分就是 Diffy 四邊形的收斂路徑圖，而紅色和綠色框框的部分則是 Diffy 八邊形的收斂路徑圖。
若比較藍色框框處與紅色框框處的部分，我們可以發現，Diffy 八邊形的收斂圖 中，紅色框框部分的所有八元數列，可以對應到藍色框框處中所有四元數列，而 其中的關係就是，藍色框框處中某一個四元數列重複寫兩次，就會成為紅色框框 中相對應位置的八元數列。
例如，藍色框框處最上方的數列 ，將它重複寫兩次後，就會對應 到紅色框框處相同位置（也就是最上方）的數列 。
而剩下來的兩個綠色框框部分，我們發現，如果把每一個數列當作是一個節 點，則每一個綠色框框內都各自形成了一個高度為 3，節點數為 15 的完滿二元 樹（full binary tree）。
（圖 5.3：Diffy 四邊形與 Diffy 八邊形的收斂圖比較與關聯）
既然我們發現，Diffy 八邊形的收斂圖是由兩個完滿二元樹（圖 5.3 的綠色 框框部分）與一個 Diffy 四邊形的路徑圖（圖 5.3 的紅色框框部分）所構成的，
那麼，Diffy 十六邊形的收斂圖是否由數個完滿二元樹與一個 Diffy 八邊形的路徑
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根據上面的例子，我們可以試著做一點猜測：Diffy 十六邊形的收斂圖可能 與 Diffy 八邊形很相似，收斂圖的前面是很多個完滿二元樹，之後每一個完滿二 元樹的樹頂都會連接到 Diffy 八邊形的收斂圖之中最前面的其中一個數列，之後 再連接到 Diffy 四邊形的收斂圖，最後收斂至 0。可以參考下圖 5.4。
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（圖 5.4：Diffy 十六邊形的收斂路徑圖之猜測）
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現在，我們試著驗證這個 Diffy 十六邊形收斂路徑圖的猜想是否正確。
首先，根據引理 3.1，在旋轉視為同一個，翻轉視為不同個的狀況下，把所 有可能的 Diffy 十六邊形的個數算出來，其可能個數為 4116 種。另外註記，Diffy 四邊形的可能個數為 6 種，Diffy 八邊形的可能個數為 36 種。
觀察 Diffy 八邊形的收斂圖，它是由兩個高度為 3，節點數為 15 的完滿二元 樹，加上一個有 6 個節點的 Diffy 四邊形的收斂圖所構成，所以整個 Diffy 八邊 形共計有 個節點，與直接用引理 3.1 算出來的個數相符合。
接著考慮 Diffy 十六邊形的收斂圖，如果它的構造一樣是由數個完滿二元樹 加上一個有 36 個節點的 Diffy 八邊形的收斂圖所構成的話，那麼它應該要符合
「完滿二元樹的個數 每個完滿二元樹的節點數 」這個式子。
因為我們猜測，Diffy 十六邊形收斂圖前面那些完滿二元樹，之後都會分別 接到 Diffy 八邊形收斂圖之中最前面的其中一個數列，而排在 Diffy 八邊形收斂 圖中最前面的數列共有 16 個，所以可以得出，Diffy 十六邊形收斂圖前面的完滿 二元樹個數也等於 16 個，於是我們有了「 每個完滿二元樹的節點數
」這個式子，進而得到每個完滿二元樹的節點數為 255 個。
因為每一個完滿二元樹的節點數為 255 個，所以每一個完滿二元樹的高度為 ，這是一個合理的結果。
那麼，在這裡我們先把 Diffy 四邊形、Diffy 八邊形、Diffy 十六邊形的收斂 圖與其相關性做一個整理。
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【定理 5.2】
i. Diffy 四邊形共有 6 種可能的數列。
ii. Diffy 八邊形的收斂路徑圖，是由 2 個高度為 3，節點數為 15 的完滿二元樹，
加上一個 Diffy 四邊形的路徑圖所構成的，故 Diffy 八邊形可能的數列個數 有 個。
iii. Diffy 十六邊形的收斂路徑圖，是由 16 個高度為 7，節點數為 255 的完滿二 元樹，加上一個 Diffy 八邊形的路徑圖所構成的，故 Diffy 十六邊形可能的 數列個數有 個。
由定理 5.2，可以發現到其實 Diffy 四邊形、Diffy 八邊形、Diffy 十六邊形彼 此的收斂圖都有存在密切的關聯，而且如果根據收斂圖的關係來算 Diffy 邊形 的數列個數的話，亦會與由引理 3.1 的 cycle index 的方法所算出來的個數相等。
接下來我們開始討論更一般的狀況，也就是討論一般的 Diffy 邊形，其中 ， 。那麼，我們根據定理 5.2 的結果，稍微做以下的猜測：
「Diffy 邊形的收斂路徑圖，是由 個高度為 ，節點數為 的完滿 二元樹，加上一個 Diffy 邊形的路徑圖所構成的，故 Diffy 邊形可能的數 列個數有『 Diffy 邊形可能的數列個數』這麼多個。」
如果上述的猜測正確，那麼除了我們在本章前面所猜測的 Diffy 邊形收斂 路徑圖的構造是正確的之外，也可以把 Diffy 邊形的數列個數寫成一個遞迴關 係式。所以我們接下來要試著驗證上述這個推測是否正確。
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這樣看起來，似乎我們的猜測對於 Diffy 四邊形、Diffy 八邊形、Diffy 十六 邊形是正確的。那麼接著，我們繪製下圖 5.5 來表示我們對 Diffy 邊形收斂路 徑圖的構造之猜想。
（圖 5.5：Diffy 邊形的收斂路徑圖之猜測）
假設這樣的收斂路徑圖構造是正確的，那麼從 Diffy 邊形可能數列之個數 的角度來看的話，應該也會符合前面所提過的一個遞迴關係式，所以現在我們要 把這個遞迴關係式找出來。
令 是 Diffy 邊形的數列個數，所以我們現在已經找到了以下關係：
1.
2.
3.
那麼，我們現在要試著找出一般項 的遞迴關係式，也就是前面提過的 ，然後要找出 和 要如何用 來表示。
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個。再來我們已經知道 Diffy 邊形的收斂路徑圖之中
完滿二元樹的個數為 個，所以每一個完滿二元樹之中，各自會包含 個由奇數個 1 和奇數個 0 構成的 Diffy 邊形。既然一個完滿二元樹的最底部有 個節
點，那麼這一個完滿二元樹的高度就會等於 ，亦即 。
至此，我們把一般項 的遞迴關係式找出來了，我們將其寫成一個定理。
【定理 5.5】令 是 Diffy 邊形的可能的數列個數，其中 ， ，而初 始項為 。則 具有一個一階線性遞迴關係式，其遞迴關係式為
。
上述定理 5.5 中的遞迴關係式，除了表達每個 Diffy 邊形的「數列個數」
有遞迴關係之外，連每個 Diffy 邊形的「運算構造與路徑」也有很密切的關係。
現在，我們有了 的一階遞迴關係式，那麼最後一步，就是試著把 的解 找出來，也就是把 寫成一個僅與 有關的式子。理論上，對於一個一階遞迴關 係式，及給定一個初始值，我們是可以找出 的唯一解的，但是對於我們現在討 論的狀況來說，要直接使用一般解線性遞迴式的方法是非常難以計算的。不過實 際上，因為 是 Diffy 邊形的可能的數列個數，所以 的解其實可以直接用引 理 3.1 提到的 cycle index 的方法去處理。以下我們將其寫成一個定理。
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