HLM 階層線性模式

第三節 第三節

第三節 HLM 階層線性模式 階層線性模式 階層線性模式 階層線性模式

一、階層線性模式的發展

階層線性模式的應用在國內外日益受到重視，主要是傳統統計方法只能 估計單一個體層次或單一組織層級，而忽略了資料本身具有階層的特性，此 方法大都用來分析商業組織與教育領域等方面的資料。如本研究之例：依變 項屬於學生階層(student-level)的學生數學素養，而自變項包含學生階層的家 庭資源與線上閱讀頻率、學校階層(school-level)的教師素養與教學資源、國 家階層(country-level)的 GCI 與 NRI。這種巢狀結構(nested structure)的資料，

是下層的單位隸屬於上層單位(Raudenbush & Bryk, 2002)。當資料具有階層 的屬性，若採用傳統的迴歸分析方法，以低階層作為分析單位，而忽略了隸 屬於同一階層的同性質的關係，將使估計標準誤(estimated standard errors)變 得過小，型 I 誤差(Type I Error)過於膨脹，同時也違反了獨立性，造成分析 結果及解釋的誤差(林原宏，1997；溫福星，2006)；其次，以高階層作為分 析單位，將較低階層的變項合併，成為高階層的變項之一，但卻會忽略的較 低階層單位的異質性(林原宏，1997)。由於電腦科技發展迅速和統計分析技 術進步，愈來愈多研究者應用階層線性模式來解決上述兩難問題，進而分析 據此特性的資料，並化解傳統迴歸分析所會遭遇到的困處，也能夠避免產生 標準誤的誤估、加總誤差和忽略迴歸的異質性等問題(Bryk & Raudenbush, 2002)。

二、階層線性模式的理論基礎

20

理論上，階層線性模式可達無限多層，但以目前分析技術、結果的可解 釋性與實用性來說，一般仍以二階層與三階層的模式應用居多。在本研究中，

以三階層的階層線性模式進行 PISA2009 資料庫分析，利用五個次模式及完 整模式進行探究，以了解學生變項、學校變項對學生數學素養之影響與國家 變項對「學校變項影響學生變項」的差異程度，以數學方程式描述完整階層 線性模式，其公式如下：

階層一

_Υijk

=

_πojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

(2-1) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

β_01k(Χ_jk)

+

r_0jk

(2-2)

_π1jk

=

β_10k

+

β_11k(Χ_jk)

+

r_1jk

(2-3) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

γ₀₀₁(W_k)

+

µ_00k

(2-4)

k

β01

=

γ₀₁₀

+

γ₀₁₁(W_k)

+

µ_01k

(2-5)

β_10k

=

γ₁₀₀

+

γ₁₀₁(W_k)

+

µ_10k

(2-6)

β_11k

=

γ₁₁₀

+

γ₁₁₁(W_k)

+

µ_11k

(2-7) 其中，

_Υijk

為階層一的依變項，

a_ijk

為階層一的自變項，

_πojk

、

_π1jk

分別 為階層一的截距項和斜率項，

e_ijk

為階層一的隨機誤差項，且

^eijk

服從常態分 配，

_Χjk

為階層二的自變項，

β_00k

、

β_01k

、

β_10k

和

β_11k

分別為階層二的截距項 和斜率項，

r_0jk

和

r_1jk

為階層二的隨機誤差項，且

r_0jk

和

r_1jk

服從常態分配，

W_k

為階層三的自變項，

γ₀₀₀

、

γ₀₀₁

、

γ₀₁₀

、

γ₁₀₀

、

γ₁₁₀

和

γ₁₁₁

分別為階層三的係數，

也稱做固定效果，

µ_00k

、

µ_01k

、

µ_10k

和

µ_11k

為階層三的隨機誤差項。將公式 2-1 至公式 2-7 合併後，可得出混合模式如下：

Υijk

=

γ₀₀₀

+

γ₀₀₁(W_k)

+

γ₀₁₀ ⁽Χjk⁾

+

γ₀₁₁(W_k) ⁽Χjk⁾

+

(a_ijk)

+

γ₁₀₁(W_k) ⁽aijk⁾

+

γ₁₁₀ )

(a_ijk (Χ_jk)

+

γ₁₁₁(W_k) ⁽aijk⁾ (Χ_jk)

+

µ_00k

+

µ_01k ⁽Χjk⁾

+

µ_10k ⁽aijk⁾

+

µ_11k ⁽Χjk⁾ (a_ijk)

+

r₀jk

+

r_1jk (a_ijk)

+

e_ijk

(2-8) 在公式 2-8 中，

Υ_ijk

為階層一的依變項，

a_ijk

為階層一的自變項，

Χ_jk

為 階層二的自變項，

W_k

為階層三的自變項，在等號右邊之前八項稱為固定效

γ100

21

果，後七項稱為隨機效果。

三、階層線性模式次模式與完整模式

根據研究目的，在本研究中利用 HLM 進行五個次模式及完整模式的相 關分析，各模式分述如下：

(一) 具有隨機效果的單因子變異數分析模式(one-way ANOVA with random effects)

此模型又稱為零模式(null model)，階層一、階層二與階層三方程式皆沒 有任何自變項。

(二) 隨機效果單因子共變數分析模式(one-way ANCOVA with random effects)

共變數分析的目的在於比較各組間平均數的差異，而隨機效果的單因子 共變數分析，須假設各組間的迴歸直線斜率相同，則此隨機效果就是模式中 的截距項。

(三) 隨機係數迴歸分析模式(random-coefficients regression model) 此模式分析須考慮各組別間的差異，包含不同的截距項和斜率。

(四) 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模 式(means-as-outcomes regression)

此模式中，階層一與階層三皆沒有任何的自變項，而以階層二的自變項 來解釋階層一截距項的差異。

(五) 帶有非隨機變化之斜率的模式(a model with non-randomly varying slopes)

此模式中是將階層二有關階層一斜率的方程式最後的隨機誤差去除，使 其能被階層二與階層三自變項完全解釋。

(六) 完整模式(full model)

此模型以階層一的截距項和斜率作為階層二方程式的依變項；階層二的

截距和斜率作為階層三方程式的依變項，再對階層二與階層三的自變項進行

22

迴歸分析。

綜合上述結果，PISA2009 資料庫是適合用 HLM 來做分析的，且透過 HLM 各種次模式，可詳細解讀資料庫內容，並從不同角度分析其特性，並 進行交叉比對瞭解資料庫內容。因此，本研究將利用 HLM 探討學生變項、

學校變項和國家變項之間的關係。

第四節 第四節 第四節

第四節 學生個人變項 學生個人變項 學生個人變項 學生個人變項、 、 、 、學校 學校 學校 學校變項及國家變項之探討 變項及國家變項之探討 變項及國家變項之探討 變項及國家變項之探討

本節根據本研究中影響學生數學素養的階層變項分三層次，學生變項、

學校變項與國家變項。以下就本研究所挑選的變項，進行各個變項之相關研 究加以說明。

一、學生個人變項 (一) 家庭資源

決定個人教育機會與教育成就的重要因素之一，即為家庭資源(黃朗文，

2000)。家庭資源包含有形與無形，家庭社經地位屬於無形的家庭資源，包 括家長教育程度、職業、經濟收入等，其會影響父母對子女的學習能力(陳 麗如，2003)；根據 Coleman 報告書也指出，家庭社經地位對學生學習成就 有其影響力。有形的家庭資源包含家庭的實質設備與教育的物質設備兩部分，

如書桌、字典、電腦…等，本研究中所指的家庭資源是屬於有形的部份。根 據馬信行(1985)的研究可知，家庭社經地位教高的家庭能夠透過豐富的課外 書籍提供與閱讀，可明顯提升子女學業表現；而相關研究也指出，有形的家 庭資源對於教育成就具有正向影響(孫清山、黃毅志，1996；Teachman, 1987)。

不管有形或是無形的資源，與學生學習表現皆有明顯關連存在，例如：家庭

經濟情況較佳者能提供的資源亦較多，對子女學習各種課外活動或學業成就

23

有正向的影響。因此，家庭所能提供的資源，對子女學習具有一定的影響力，

這也是本研究選擇此變項，並探討其對學生數學素養之影響。

(二) 線上閱讀頻率

閱讀是學習之鑰，透過閱讀，不僅可以吸取各種知識，還能培養獨立思 考及解決問題的能力。而現今，很多傳統的行為活動逐漸被網路科技所取代，

線 上 閱 讀 成 為 現 在 忙 碌 人 的 生 活 活 動 之 一 。 根 據 Anderson-Inman 和 Horney(1999)針對電 子書所做的研究 ， 將線上閱讀的特 性 分為可搜尋性 (searchable)、可修改性(modifiable)與可提升能力(enhanceable)，此外，線上 閱讀的便利性也足以影響人們的學習，如關鍵字搜尋與提供學習資源。線上 閱讀可以提升國小學童之閱讀理解能力，且可使老師教學討論的內容更有深 度，使學童更有信心(陳佳音，2004)。閱讀行為最普遍的是閱讀頻率與閱讀 廣度，閱讀頻率即是指在一段時間內閱讀書籍的次數，閱讀廣度則是指閱讀 的主題與內容的類別，或稱為閱讀興趣，即對某一個(些)特定主題的偏好。

所以本研究選擇此變項，探討其對學生數學素養之影響。

二、學校變項

(一) 具有合格證照之全職教師

教師位居教學的第一線，對於學生的學習具有巨大的影響力，因此，教 師素質高低，攸關學生學習成效。Goldhaber 和 Anthony(2004)將教師素質概 念的指標界定為學歷、教師証、年資與學術知識專精程度等。教育學者瞿立 鶴(1992)指出，教師證書是國家為保障學生權益發給教師，以為傳道、授業、

解惑之憑證。總之，「教師證書」對學生或對教師來說，均是教育品質的一 種保證，又同時賦予教師具有專業知能與態度以提升學生學習成就之專業責 任。所以本研究選擇此變項，探討其對學生數學素養之影響。

(二) 具有大學學歷以上之全職教師

24

管理大師彼得杜拉克(Drucker P. E.)在 1993 年的《後資本主義社會》

(Post-Capitalist Society)中，提出知識已經取代勞力、自然資源、以及資金，

成為現今企業的主要資源，也就是知識經濟時代已經來臨。教師是一個專業 的知識工作者，提升教師知識的內涵，並採取有效教學(effective teaching)，

則可提昇學生的學習成效(陳木金，1997)。歐洲國家為建立歐洲知識區，特 別強調教師需具有碩士學歷；亞太等其他國家則以大學學士學歷為基礎條件，

但中國則有試驗碩士學位的師資培育模式，反之臺灣現行仍規定教師仍須具 有學士學歷。由此可見，學士學歷以是教師基本學歷與條件，且未來將以碩 士學位為合格教師資格取得條件為趨勢。所以本研究選擇此變項，探討其對 學生數學素養之影響。

(三) 教學資源

學校的教學資源多寡，除了受到政府經費輔助之外，有一部分是來自於 對社區及家長人士等募款。余民寧(2006)指出，教育經費或教學資源較多，

對於學習成就有正向影響；但根據 O’Dwyer(2005)研究 23 個參與 TIMSS 1995 及 TIMSS 1999 的國家分析發現，對於澳洲、泰國等，雖然教學資源多，但 學生的學習成就反而較低；而香港、紐西蘭等則是教學資源與學習成就之關 係有正向影響。由此可知，教學資源是否會對學生學習有所影響尚無定論，

故本研究選擇此變項，探討其對學生數學素養之影響。

三、國家變項

(一) 全球競爭力指標(GCI)

WEF 自 1979 年起每年發表年度全球競爭力報告，主要依據國家現有的

經濟數據與企業經營者的調查結果做評比。報告分兩部分，分別為成長競爭

力指標(GCI)及企業競爭力指標(BCI)，前者用來衡量一國中長期經濟成長的

情形，後者是用來衡量當前的經濟狀況情形。從 2006 年開始，WEF 將上述

25

兩個指標合併形成全球競爭力指標，由 3 大類、12 個中項、110 個係項指標 組成，其中約 7 成是問卷調查指標(調查對象為國內外企業高階經理人)，約 3 成為統計指標。張瓊元(2003)針對 PISA2000 分析閱讀能力和國家競爭力，

發現兩者呈現正向關係，表示閱讀能力愈高，該國競爭力也愈高。目前關於 GCI 和學習成效的研究甚少，故本研究選擇此變項，探討其對學生數學素養 之影響。

(二) 網路整備度(NRI)

WEF 每年在全球資訊科技報告(Global Information Technology Report)中 所公佈的 NRI 指標，可作為推動經濟和社會轉型的動力依據。網 路 整 備 度 是 由 「 整 備 」、「 使 用 」 及 「 環 境 」 三 大 指 標 構 成 ， 其 中 包 括 「 市 場 環 境 」、「 政 治 法 規 環 境 」、「 基 礎 建 設 環 境 」、「 個 人 整 備 」、「 企 業 整 備 」、「 政 府 整 備 」、「 個 人 使 用 」、「 企 業 使 用 」 及 「 政 府 使 用 」 九 大 分 項 指 標 ， 68 個 細 項 指 標 。 林宜樺、陳沅和洪碧霞(2003)研究指出，國 小學生數學能力的發展，會因網路的使用而有實質幫助；研究高一學生在教 學現場中若有搭配網路輔助教學，其數學學習成效將優於傳統教學模式(孫 培真、黃建晃，2005)；黃乃沂(2003)也指出，網際網路的應用已成為趨勢，

未來可能是影響國家競爭力的關鍵因素之一；而在針對 TIMSS-95 的研究中，

卻發現一個有趣的結果，研究發現，常使用 ICT 的學生比幾乎不用或根本不 用的學生之數學學習成效低(Pelgrum & Plomp,2002)，故本研究選擇此變項，

探討其對學生數學素養之影響。

26

27

28

第二節 第二節

第二節 第二節 資料來源與變項 資料來源與變項 資料來源與變項 資料來源與變項

一、研究對象

以參與 PISA2009 的 65 個國家(或地區)為主，如表 3-1，其中 OECD 會

員國佔 32 個，非 OECD 會員國佔 33 個，施測對象為 15 歲的青少年(相當於 多數國家學制中，以完成基礎教育之年齡限制)，約 47 萬名學生參與 2 個小 時的紙筆式評量。本研究重點主要是以學生的數學素養為主，結合學生與學 校問卷資料中，挑選出與數學相關的問題做為學生個人背景變項與學校背景 變項，形成階層一與階層二變項，接著，在結合所蒐集到的國家指標形成階 層三的變項，最後，又以文化背景、地理位置和教育條件相似之日本、韓國、

上海、臺灣、新加坡、香港作為研究對象。研究對象分別為臺灣學生共 5831 人，香港學生共 4837 人，日本學生共 6088 人，韓國學生共 4989 人，上海 學生共 5118 人，新加坡學生共 5283 人。

表 3-1 PISA2009 參與國家

OECD 會員國

澳洲(Australia)、奧地利(Austria)、比利時(Belgium)、加拿大(Canada)、智利(Chile)、

捷克(Czech)、丹麥(Denmark)、芬蘭(Finland)、法國(France)、德國(Germany)、希 臘(Greece)、匈牙利(Hungary)、冰島(Iceland)、愛爾蘭(Ireland)、義大利(Italy)、以 色列(Israel)、日本(Japan)、韓國(Korea)、盧森堡(Luxembourg)、墨西哥(Mexico)、

荷蘭(Netherlands)、紐西蘭(New Zealand)、挪威(Norway)、波蘭(Poland)、葡萄牙 (Portugal)、斯洛伐克(Slovak)、西班牙(Spain)、瑞典(Sweden)、瑞士(Switzerland)、

土耳其(Turkey)、英國(United Kingdom)、美國(United State)

非 OECD 會員國

臺灣(Taiwan)、上海(Shanghai)、香港(Hong Kong-China)、澳門(Macao-China)、新 加坡(Singapore)、泰國(Thailand)、印尼(Indonesia)、阿爾巴尼亞(Albania)、亞塞拜 (續下頁)

29

然(Azerbaijan)、保加利亞(Bulgaria)、克羅埃西亞(Croatia)、哈薩克(Kazakhstan)、

吉爾吉斯(Kyrgyzstan)、拉脫維亞(Latvia)、列支敦斯登(Liechtenstein)、立陶宛 (Lithuania)、羅馬尼亞(Romania)、俄羅斯聯邦(Russian Federation)、塞爾維亞(Serbia)、

約旦(Jordan)、卡達(Qatar)、阿根廷(Argentina)、巴西(Brazil)、哥倫比亞(Colombia)、

巴拿馬(Panama)、祕魯(Peru)、突尼西亞(Tunisia)、烏拉圭(Uruguay)、愛沙尼亞 (Estonia)、杜拜(Dubai)、千里達及托巴哥(Trinidad and Tobago)、斯洛維尼亞(Slovenia)、

蒙特內哥羅(Montenegro)

資料來源資料來源

資料來源資料來源：：：：PISA 官方網站 http://www.pisa.oecd.org/

二、研究資料

下列為本研究的階層三資料來源，分別來自於國際官方組織網站中所統 計的指標數據：

( 一 ) 世 界 經 濟 論 壇 (WEF, World Economic Forum) 中 所 公 佈 的 2009 年 GCI(Global Competitiveness Index)；

(二)WEF 中所公佈的 2009 年 NRI(Networked Readiness Index)；

上述國家變項所採用的指標和年度，都以國際上極具參考價值的統計資 料為研究數據，如表 3-2 所示：

表 3-2 國家變項資料

國家 GCI(分) NRI(分)

臺灣 5.20 5.30

上海 4.74 4.32

日本 5.37 5.19

韓國 5.00 5.37

新加坡 5.55 5.67

香港 5.22 5.30

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第三節 第三節

第三節 第三節 研究工具 研究工具 研究工具 研究工具

本研究利用 HLM6.03 軟體，將 PISA2009 資料庫進行三階層的階層線性

模式分析，根據研究目的為探討國家與學習資源投入對數學素養影響之關係，

進行由簡至繁的次模式分析，並將分析的結果歸納及整理，最後提出此研究 的結果與建議。

第四節 第四節 第四節

第四節 研究流程 研究流程 研究流程 研究流程

本研究流程如圖 3-2，可分為五大部分：確定研究主題、瞭解資料特性

並提出分析方法、蒐集相關評閱文獻、蒐集變項資料並分析和結論與建議的 提出。

圖 3-2 研究流程

蒐集文獻資料並探討

國際性評量內涵之探討 HLM 的理論基礎 個人、學校資源變項與國家變

項之探討 確定研究主題

資料庫整理

自變項選擇

進行 HLM 分析

結論與建議

31

以下就圖 3-2 流程，採列點方式說明研究的程序：

一、研究者先確立研究主題，以探討影響 PISA2009 學生數學素養之因素。

二、蒐集與整理國內外相關主題資料，例如學位論文、期刊論文等書面及網 路資料。文獻資料的主要來源為 OECD 的 PISA 官方網站

(http://www.pisa.oecd.org)、WEF 的 GCI 及 NRI、出版品(publication)、

資料庫(database)等。

三、詳閱影響數學素養的相關變項，並決定三階層變項，分別為階層一的兩 個個人變項(家庭資源、線上閱讀頻率)、階層二的兩個學校背景變項(教 職人員素質、教學資源)和階層三的兩個國家變項(GCI 和 NRI)。

四、進行以 PISA2009 學生數學素養的 HLM 分析，並藉由分析結果瞭解各 個變項影響其數學素養的關係。

五、依據文獻資料的整理與分析結果，歸納出具有意義和價值的結論，並提 出建議以提供教育政策和後續研究參考。

第五節 第五節

第五節 第五節 資料分析 資料分析 資料分析 資料分析

本研究利用三階層的階層線性模式探討學生數學素養之差異情形，分析

個人背景變項、學校背景變項與國家變項對學生數學素養的影響力，並期望 透過基本分析、五個次模式及完整模式之分析回應研究目的。

本研究所使用的五個次模式和完整模式分述如下，各模式關係如圖 3-3

所示。

32

33

一、具有隨機效果的單因子變異數分析模式

本模式目的是瞭解各國學生數學素養是否有差異，其階層線性模式如 下：

階層一

Υ_ijk

=

π_ojk

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (3-1) 階層二

_πojk

=

β_00k

+

r_0jk

(3-2) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(3-3) 二、隨機效果單因子共變數分析模式

本模式目的是瞭解家庭資源、線上閱讀頻率之學生變項，是否能夠解釋 各國學生數學素養之差異情形，其階層線性模式如下：

階層一

Υ_ijk

=

π_ojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (3-4) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

r_0jk

(3-5)

π_1jk

=

β_10k

(3-6) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(3-7)

β_10k

=

γ₁₀₀

(3-8) 三、隨機係數迴歸模式

本模式目的是瞭解家庭資源、線上閱讀頻率之學生變項，是否能夠解釋

各國學生數學素養之差異情形，以及各國之間個人變項對學生數學素養的影 響是否有差異，其階層線性模式如下：

階層一

_Υijk

=

_πojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (3-8)

階層二

_πojk

=

β_00k

+

r_0jk

(3-9)

_π1jk

=

β_10k

+

r_1jk

(3-10)

階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(3-11)

β_10k

=

γ₁₀₀

(3-12)

34

四、以階層一方程式的各組平均數做為階層二方程式之結果變項的迴歸模式 本模式目的是分析教職人員素質、教學資源等學校變項，是否能夠各國 學生數學素養之差異情形，其階層線性模式如下：

階層一

_Υijk

=

_πojk

+

e_ijk

(3-13) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

β_01k(Χ_jk)

+

r_0jk

(3-14) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(3-15)

β_01k

=

γ₁₀₀

(3-16) 五、帶有非隨機變化之斜率的模式

本模式目的為分析 GCI 和 NRI 等國家變項，是否能夠解釋「各國學生 的學校變項對學生變項影響該國學生數學素養」之差異情形；本研究中，學 校變項包括教職人員素質、教學資源，而數學學習學生變項包括家庭資源、

線上閱讀頻率，本模式之階層線性模式如下：

階層一

Υ_ijk

=

π_ojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

(3-17) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

β_01k(Χ_jk)

+

r_0jk

(3-18)

_π1jk

=

β_10k

+

β_11k(Χ_jk)

+

r_1jk

(3-19) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

γ₀₀₁(W_k)

+

µ_00k

(3-20)

β_01k

=

γ₀₁₀

+

γ₀₁₁(W_k)

(3-21)

β_10k

=

γ₁₀₀

+

γ₁₀₁(W_k)

(3-22)

β_11k

=

γ₁₁₀

+

γ₁₁₁(W_k)

(3-23) 六、完整模式

本模式目的為分析 GCI 和 NRII 等國家變項，是否能夠解釋「各國學生 的學校變項對學生變項影響該國學生數學素養」之差異情形，以及是否有其 他國家變項會造成影響；本研究中，學校變項包括教職人員素質、教學資源，

數學學習學生變項包括家庭資源、線上閱讀頻率，本模式之階層線性模式如

下：

35

階層一

_Υijk

=

_πojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

(3-24) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

β_01k(Χ_jk)

+

r_0jk

(3-25)

_π1jk

=

β_10k

+

β_11k(Χ_jk)

+

r_1jk

(3-26) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

γ₀₀₁(W_k)

+

µ_00k

(3-27)

β_01k

=

γ₀₁₀

+

γ₀₁₁(W_k)

+

µ_01k

(3-28)

β_10k

=

γ₁₀₀

+

γ₁₀₁(W_k)

+

µ_10k

(3-29)

β_11k

=

γ₁₁₀

+

γ₁₁₁(W_k)

+

µ_11k

(3-30) 以下就圖 3-3，條列方式說明：

一、分析 PISA2009 資料庫中學生數學素養的基本描述性統計，並對於整體 資料有初步了解。

二、進行階層線性模式分析，利用次模式與完整模式分析 PISA2009 資料庫，

分析順序如下：

(一)首先以零模式探討各國學生數學素養是否有差異存在。

(二)為探討各國學生數學背景變項對於該國學生數學素養是否有差異，分別 加入學生變項(家庭的學習資源和線上閱讀頻率)於「隨機效果單因子共 數分析」和「隨機係數迴歸模式」中進行分析。

(三)為探討各國學校資源變項對於該國學生平均數學素養是否有影響力，分 別加入學校背景變項(教職人員素質、教學資源)於「以階層一方程式的 各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式」之中進行分析。

(四)為探討「各國學生的學校變項對學生變項影響該國學生數學素養」之差 異情形，是否能以國家變項解釋，分別以「斜率非隨機變化的模式」與

「完整模式」進行分析。

36

37

第四章 第四章 第四章

第四章 研究結果與討論 研究結果與討論 研究結果與討論 研究結果與討論

本章首先以描述性統計分析資料，再進行階層線性模式分析。本研究分

為三階層，以參與 PISA2009 的學生作為階層一單位；而階層二以參與學生 所屬之學校為單位，而階層三則以參與學生所屬之國家為單位，採由簡至繁 的五個次模式和完整模式進行分析。首先從隨機效果單因子 ANOVA 模式開 始分析，接著，陸續在階層一、階層二或階層三加入自變項形成各種次模式，

並根據 ANOVA 模式所提供的資訊作為新次模式相比的基礎，最後進行完整 模式分析，以期許得出一個適配模式。

第一節 第一節 第一節

第一節 學生數學素養與學生 學生數學素養與學生 學生數學素養與學生變項之敘述分析 學生數學素養與學生 變項之敘述分析 變項之敘述分析 變項之敘述分析

本研究的階層一變項是學生數學素養與有關學生數學學習個人變項，其

中數學學習個人變項包含家庭資源和線上閱讀頻率兩個變項。以下分別以 PISA2009 資料庫中所蒐集的數據進行描述性統計分析。

一、PISA2009 各國學生數學素養能力

就學生的數學素養進行初步分析，本研究使用 PISA2009 資料庫所公佈 的似真值(PV 值)做為學生的數學素養能力值，如表 4-1-1 所示，6 個國家(或 地區)參與 PISA2009 測驗，學生共計 32143 人，全部國家的學生總平均數學 素養為 555.68，標準差為 100.46。其中，以新加坡的平均數學素養值最高，

而日本的平均數學素養最低。

38

表 4-1-1 PISA2009 各國學生數學素養

國家 學生樣本數

數學素養似真值

最小值 最大值 平均數 標準差

香港 4837 154.00 826.23 555.40 94.97

日本 6088 85.92 804.11 530.32 93.35

韓國 4989 67.62 807.61 548.61 86.62

新加坡 5115 201.21 1022.21 600.12 102.72

上海 5283 155.56 865.25 558.97 104.56

臺灣 5831 135.39 894.93 546.47 104.58

總和 32143 67.62 1022.21 555.68 100.46

二、PISA2009學生數學學習個人變項概述

以階層一的兩個學生背景變項，進行描述性統計分析，其中學生數學學 習背景變項(家庭資源和線上閱讀頻率)取自於PISA2009學生問卷中和數學 素養相關的第20題的第a~l小題(共計12小題)和第26題的第a~g小題(共計7小 題)。表4-1-2列出全部國家在兩個學生數學背景變項的概述，可知，家庭資 源最大值為12，最小值為0；線上閱讀頻率最大值為35，最小值為0。

表4-1-2 PISA2009全部國家在各個學生數學背景變項之統計表

學生數學背景變項 學生樣本數 最小值 最大值 平均數 標準差

家庭資源 32143 0.00 12.00 8.83 2.29

線上閱讀頻率 32143 0.00 35.00 22.67 4.97

(一)家庭資源

在家庭資源變項中，其數值愈高，即表家庭資源愈豐富。表4-1-3列出各

國在家庭資源變項的概述。其中，以韓國的平均數最高，表示平均家庭資源

最豐富；日本的平均數最低，表示平均家庭資源較缺乏。而香港和上海的平

均數均與總平均8.83差不多，表示在參與PISA2009的全部國家中，其家庭資

源位於普通水平；新加坡和臺灣的平均數均高於總平均8.83，表示在參與

39

PISA2009的全部國家中，其家庭資源位於水平之上。

表4-1-3 PISA2009 各國家庭資源變項概述

國家 學生樣本數

家庭資源

最小值 最大值 平均數 標準差

香港 4837 0.00 12.00 8.72 2.26

日本 6088 0.00 12.00 7.87 2.26

韓國 4989 0.00 12.00 9.45 2.11

新加坡 5115 0.00 12.00 9.41 2.15

上海 5283 0.00 12.00 8.57 2.21

臺灣 5831 0.00 12.00 9.11 2.33

(二) 線上閱讀頻率

在線上閱讀頻率變項中，其數值愈高，即表線上閱讀頻率愈高。表4-1-4 列出各國線上閱讀頻率變項的概述。其中，以香港的平均數最高，表示平均 線上閱讀頻率最高；日本的平均數最低，表示平均線上閱讀頻率較低。而韓 國和臺灣的平均數均與總平均22.67差不多，表示在參與PISA2009的全部國 家中，其線上閱讀頻率屬於中等水準；新加坡的平均數均低於總平均22.67，

表示在參與PISA2009的全部國家中，其線上閱讀頻率位於普通水平；上海的

平均數均高於總平均22.67，表示在參與PISA2009的全部國家中，其線上閱

讀頻率位於水平之上。

40

表4-1-4 PISA2009 各國線上閱讀頻率變項概述

第二節 第二節 第二節

第二節 學生數學素養之分析 學生數學素養之分析 學生數學素養之分析 學生數學素養之分析

本節以隨機效果單因子變異數分析模式分析 PISA2009 資料庫，其特點 為階層一、階層二與階層三方程式中都不具有自變項，在此模式下，檢驗各 國學生數學素養之間是否有差異存在，則此階層線性模式如下：

階層一

Υ_ijk

=

_πojk

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (4-1) 階層二

_πojk

=

β_00k

+

r_0jk

(4-2) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(4-3) 其中，

_Υijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的數學素養，

_πojk

代表第

k

國 的平均數學素養，

e_ijk

代表學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第

k

國第

j

個 學校第

i

個學生誤差分數，

σ²

是學生階層

e_ijk

的變異數(組內變異)，

β_00k

為各 校學生平均數學素養，即全校總平均數學素養，

r_0jk

代表學校之間的隨機誤 差項(階層二)，即第

j

校誤差分數，

γ₀₀₀

為各國學生數學素養的平均數，即全 體總平均數學素養，

µ_00k

代表國家之間的隨機誤差項(階層三)，即第

k

國誤 差分數。

國家 學生樣本數

線上閱讀頻率

最小值 最大值 平均數 標準差

香港 4837 0.00 35.00 25.41 4.51

日本 6088 0.00 35.00 20.80 4.84

韓國 4989 0.00 35.00 22.34 4.46

新加坡 5115 2.00 35.00 21.58 4.74

上海 5283 0.00 35.00 24.11 4.87

臺灣 5831 0.00 35.00 22.31 4.86

41

表4-2-1 隨機效果單因子變異數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p值 554.34 9.02 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

21.45 460.31 5 107.07 <.001 65.01 4225.80 969 24790.42 <.001 74.41 5536.19

從表 4-2-1 可知，國家間的變異

γ₀₀₀

達.001 顯著水準，表示全體總平均

數學素養為 554.34(略低於全部國家的平均分數 555.68)。接著，檢定隨機效

果，發現階層三隨機效果

µ_00k

的檢定結果達.001 顯著，表示在階層三的方程

式中，無法用全體總平均數學素養代表各國的平均數學素養，即各國之間的

平均數學素養有差異；而階層二隨機效果

r_0jk

的檢定結果也達.001 顯著，表

示在階層二的方程式中，也無法用全體總平均數學素養代表各校的平均數學

素 養 ， 即 各 校 之 間 的 平 均 數 學 素 養 有 差 異 。 數 學 素 養 的 總 變 異 量 為

460.31+4225.80+5536.19=10222.3 ， 藉 由 內 在 組 別 相 關 係 數

ρ

(interclass

correlation coefficient) 可算出階層一的總變異量佔整體變異量之百分比為

5536.19/10222.3=54.16%，亦即數學素養的總變異中，有 54.16%是由學生變

異 所 造 成 的 ； 階 層 二 的 變 異 量 佔 整 體 變 異 量 之 百 分 比 為

4225.80/10222.3=41.34%，所以數學素養的總變異中有 41.34%是由學校的變

異 所 造 成 的 ； 階 層 三 的 變 異 量 佔 整 體 變 異 量 之 百 分 比 為

460.31/10222.3=4.50%，代表數學素養的總變異量中有 4.50%是由國家的變

異所造成。由於國家階層變項會對學生的數學素養造成影響，但解釋量並不

高，可見還有其他相關變項足以解釋不同國家之間學生數學素養的差異，因

此，試著於三個階層的方程式中加入自變項，加以解釋各國之間的差異。接

著，以隨機效果單因子變異數分析模式所提供的資訊做為比較的基礎，進而

形成其他的次模式做進一步的階層線性模式分析探討。

42

第三節 第三節 第三節

第三節 學生數學素養 學生數學素養 學生數學素養 學生數學素養與學生變項 與學生變項 與學生變項之 與學生變項 之 之 之階層線性模式分析 階層線性模式分析 階層線性模式分析 階層線性模式分析

根據隨機效果單因子變異數分析結果，顯示參加 PISA2009 的各國平均 數學素養是有差異存在的，其中，國家變項所佔變異量為 4.50%，解釋量並 不高，可知還有其他相關變項足以解釋不同國家之間學生數學素養的差異情 形。因此，本節以探討利用隨機效果單因子共變數分析模式和隨機係數迴歸 模式，分析有關學生變項對數學素養的影響。

一、隨機效果單因子共變數分析模式

根據本模式分析 PISA2009 資料庫，首先在學生階層加入一個自變項進 行分析，以瞭解家庭資源和線上閱讀頻率之變項，是否足以解釋各國學生之 間數學素養的差異情形，其階層線性模式如下：

階層一

_Υijk

=

_πojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (4-4) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

r_0jk

(4-5)

_π1jk

=

β_10k

(4-6) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(4-7)

β_10k

=

γ₁₀₀

(4-8)

其中，

_Υijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的數學素養，

_πojk

代表第

k

國

的平均數學素養，

π_1jk

為第

k

國學生的學生變項對數學素養的影響，

β_00k

為

各校學生平均數學素養，即全校總平均數學素養，

β_10k

為各校學生的學生變

項對數學素養影響的平均數，

γ₀₀₀

為各國學生平均數學素養，即全體總平均

數學素養，

γ₁₀₀

為各國學生的學生變項對數學素養影響的平均數，

a_ijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的學生變項，分別為家庭資源和線上閱讀頻率，

e_ijk

代表學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第

k

國第

j

個學校第

i

個學生誤差分

數，

σ²

是學生階層

e_ijk

的變異數(組內變異)，

r_0jk

代表學校之間的隨機誤差項

(階層二)，即第

j

校誤差分數，

µ_00k

代表國家之間的隨機誤差項(階層三)，即

43

第

k

國誤差分數。

(一) 家庭資源對學生數學素養之影響

表4-3-1 家庭資源隨機效果單因子共變數的迴歸模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p值 502.78 12.24 <.001 5.84 1.11 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 19.75 390.25 5 102.92 <.001 60.63 3675.75 969 22163.40 <.001 73.60 5417.13

從表 4-3-1 可知，

γ₁₀₀

達.001 顯著水準，表示家庭資源變項對學生數學 素養具有影響力，即在各國學生的家庭資源變項對數學素養影響程度固定情 況下，學生的家庭資源變項能有效解釋學生之間數學素養的差異情形。由於

γ100

=5.84，其估計值大於零，表示家中擁有愈多的家庭資源，其數學素養愈 好。在隨機效果方面，發現

µ_00k

檢定結果達.001 顯著，表示在家庭資源對數 學素養的影響程度固定之下，各國之間數學素養上仍是有差異的；另外，

r_0jk

檢定結果也達.001 顯著，表示在家庭資源對數學素養的影響程度固定之下，

各校之間數學素養上仍是有所差異。

(二) 線上閱讀頻率對學生數學素養之影響

表4-3-2 線上閱讀頻率隨機效果單因子共變數的迴歸模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p值 527.07 13.38 <.001 1.20 0.23 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 21.40 457.70 5 107.59 <.001 (續下頁)

44

64.37 4143.81 969 24466.72 <.001 74.22 5508.93

從表 4-3-2 可知，

γ₁₀₀

達.001 顯著水準，表示線上閱讀頻率變項對學生 數學素養具有影響力，即在各國學生的線上閱讀頻率變項對該國學生數學素 養影響程度固定情況下，學生的線上閱讀頻率變項能有效解釋學生之間數學 素養的差異情形。由於

γ₁₀₀

=1.20，其估計值大於零，表示線上閱讀頻率愈高，

其數學素養愈好。在隨機效果方面，發現

µ_00k

檢定結果達.001 顯著，表示在 線上閱讀頻率對數學素養的影響程度固定之下，各國之間數學素養上仍是有 差異的；另外，

r_0jk

檢定結果也達.001 顯著，表示在線上閱讀頻率對數學素 養的影響程度固定之下，各校之間數學素養上仍是有所差異。

二、隨機係數迴歸分析模式

根據本模式分析 PISA2009 資料庫，以瞭解家庭資源和線上閱讀頻率之 學生變項，是否能夠解釋各國學生之間數學素養的差異情形，以及各國學生 的數學學習學生變項對該國學生數學素養的影響在各校之間是否有差異存 在。此模式的特點為在階層一方程式中加入自變項，而階層二和階層三方程 式中沒有自變項，此模式與隨機效果單因子共變數分析模式最大的不同，在 於階層二每個方程式皆具有誤差項。其階層線性模式如下：

階層一

Υ_ijk

=

_πojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (4-9)

階層二

_πojk

=

β_00k

+

r_0jk

(4-10)

π_1jk

=

β_10k

+

r_1jk

(4-11)

階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(4-12)

β_10k

=

γ₁₀₀

(4-13)

其中，

Υ_ijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的數學素養，

π_ojk

代表第

k

國

的平均數學素養，

_π1jk

為第

k

國學生的學生變項對數學素養的影響，

β_00k

為

各校學生平均數學素養，即全校總平均數學素養，

β_10k

為各校學生的學生變

45

項對數學素養影響的平均數，

γ₀₀₀

為各國學生平均數學素養，即全體總平均 數學素養，

γ₁₀₀

為各國學生數學學生變項對數學素養影響的平均數，

a_ijk

代表 第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的學生變項，分別為家庭資源和線上閱讀頻率，

eijk

代表學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第

k

國第

j

個學校第

i

個學生誤差 分數，

σ²

是學生階層

e_ijk

的變異數(組內變異)，

r_0jk

代表學校之間的隨機誤差 項(階層二)，即第

j

校誤差分數，

r_1jk

代表第

j

個學校之數學素養平均數與整 體數學素養之間的差異，

µ_00k

代表國家之間的隨機誤差項(階層三)，即第

k

國 誤差分數。

(一) 家庭資源對學生數學素養之影響

表4-3-3 家庭資源隨機係數的迴歸模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p值 505.98 12.28 <.001 5.55 1.09 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 20.62 425.03 5 114.15 <.001 80.63 6501.16 969 3008.06 <.001 4.50 20.28 974 1456.75 <.001 73.00 5329.36

從表 4-3-3 可知，

γ₁₀₀

達.001 顯著水準，表示各國學生的家庭資源變項

對該國學生數學素養影響程度之平均數不為零，表示家庭資源變項對學生數

學素養具有影響力，即各國學生的家庭資源變項能有效解釋數學素養的差異

情形。由於

γ₁₀₀

=5.03，其估計值為正，具有正向解釋力，代表家中擁有的家

庭資源愈多，其數學素養愈好。與表 4-3-1 比較，由於階層一有自變項，使

隨機效果

e_ijk

之變異數下降，學生變項「家庭資源」能夠解釋學生數學素養

變異程度佔 3.74%((5536.19-5329.36)/5536.19=0.0374)。在隨機效果方面，發

46

現

µ_00k

檢定結果都達.001 顯著，表示家庭資源對數學素養的影響程度固定下，

各國之間數學素養上是有差異的，且各國數學素養和整體數學素養也仍是有 差異存在；另外，

r_0jk

檢定結果達.001 顯著，表示在家庭資源對數學素養的 影響程度固定之下，各校之間數學素養上仍是有所差異，

r_1jk

也達.001 顯著，

顯示各校學生的家庭資源變項對學生數學素養的影響程度，在各校之間仍是 有所差異的。

(二)

線上閱讀頻率對學生數學素養之影響

表4-3-4 線上閱讀頻率隨機係數的迴歸模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p值 529.38 13.28 <.001 1.11 0.23 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 19.97 398.64 5 94.93 <.001 80.96 6554.51 969 2579.23 <.001 1.38 1.90 974 1207.57 <.001 73.95 5468.29

從表 4-3-4 可知，

γ₁₀₀

達.001 顯著水準，表示各國學生的線上閱讀頻率

變項對該國學生數學素養影響程度之平均數不為零情況下，線上閱讀頻率變

項對學生數學素養具有影響力，即各國學生的線上閱讀頻率變項可有效解釋

數學素養的差異情形。由於

γ₁₀₀

=1.11，其估計值為正，具有正向解釋力，代

表線上閱讀頻率愈高，其數學素養愈好。與表 4-3-2 比較，由於階層一有自

變項，使隨機效果

e_ijk

之變異數下降，學生變項「線上閱讀頻率」能夠解釋

學生數學素養變異程度佔 1.23%((5536.19-5468.29)/5536.19=0.0123)。在隨機

效果方面，發現

µ_00k

檢定結果達.001 顯著，表示線上閱讀頻率對數學素養的

影響程度固定下，各國之間數學素養上是有差異的，也表示各國數學素養和

47

整體數學素養之間有差異存在；另外，

r_0jk

檢定結果達.001 顯著，表示在線 上閱讀頻率對數學素養的影響程度固定之下，各校之間數學素養上仍是有所 差異，

r_1jk

也達.001 顯著，顯示各校學生的線上閱讀頻率變項對學生數學素 養的影響程度，在各校之間仍是有所差異的。

第四節 第四節 第四節

第四節 學校變項影響學生數學素養之階層線性模式分析 學校變項影響學生數學素養之階層線性模式分析 學校變項影響學生數學素養之階層線性模式分析 學校變項影響學生數學素養之階層線性模式分析

上一節所探討的次模式，其最大特點在於階層一中加入自變項，以解釋

學生數學素養的差異，由於分析結果顯示參加 PISA2009 的各國平均數學能 力差異達顯著水準，而其中由國家所造成的變異量佔 4.50%，解釋量不是很 高，可見仍有其他相關變項足以解釋不同國家之間數學素養的差異，因此，

本節所探討的是在階層二方程式中加入自變項，而在階層一方程式中先不加 入自變項，形成次模式進行探討，其模式特點為：以階層一方程式的各組平 均數，做為階層二方程式的結果變項，在此模式下，主要想瞭解各國學生數 學素養之差異情形，是否能夠用學校變項加以解釋。本研究挑選與數學素養 相關的學校變項作為加入階層二的自變項，包括：教職人員素質和電腦設備 兩個變項。此模式稱為「以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結 果變項的迴歸模式」，則此次模式方程式如下：

階層一

Υ_ijk

=

π_ojk

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (4-14) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

β_01k(Χ_jk)

+

r_0jk

(4-15) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

µ_00k

(4-16)

β_01k

=

γ₀₁₀

(4-17) 其中，

Υ_ijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的數學素養，

π_ojk

代表第

k

國 的平均數學素養，

β_00k

為各校學生平均數學素養，即全校總平均數學素養，

k

β01

為第

k

國的學校變項對該國的平均數學素養之影響程度，

γ₀₀₀

為各國學生

48

平均數學素養，即全體總平均數學素養，

γ₀₁₀

為各國學生學校變項對數學素 養影響的平均數，

_Χjk

為第

k

國第

j

個學校的學校變項(如：教職人員素質和 教學資源)，

e_ijk

代表學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第

k

國第

j

個學校第

i

個學生誤差分數，

σ²

是學生階層

e_ijk

的變異數(組內變異)，

r_0jk

代表學校之 間的隨機誤差項(階層二)，即第

j

校誤差分數，

µ_00k

代表國家之間的隨機誤 差項(階層三)，即第

k

國誤差分數。

(一)

具有合格證照之全職教師對學生數學素養之影響

表4-4-1 以階層一方程式之各組平均數做為階層二方程式結果變項之結果摘要 (具有合格證照之全職教師)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 525.36 22.62 <.001 30.96 24.78 .212 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 21.25 451.65 5 106.30 <.001 64.80 4199.47 968 24639.95 <.001 74.41 5536.21

從表 4-4-1 可知，

γ₀₁₀

未達.001 顯著水準，表示具有合格證照之全職教 師對該校數學平均素養沒有顯著的影響。在隨機效果方面，

µ_00k

和

r_0jk

檢定 結果達.001 顯著，表示具有合格證照之全職教師對數學素養影響程度固定之 下，各國學生在數學素養上是有差異的，且各校之間的學生在數學素養上也 仍是有所差異。

(二) 具有大學學歷以上之全職教師對學生數學素養之影響

49

表4-4-2 以階層一方程式之各組平均數做為階層二方程式結果變項之結果摘要表 (具有大學學歷以上之全職教師)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 515.93 8.69 <.001 42.37 12.82 .001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 21.99 483.64 5 115.02 <.001 64.43 4150.86 968 24349.10 <.001 74.41 5536.23

從表 4-4-2 可知，

γ₀₁₀

達.001 顯著水準，則具有大學學歷以上之全職教 師變項對該校學生數學素養影響程度之平均數不為零，表示具有大學學歷以 上之全職教師變項對學生數學素養具有影響力，即各校具有大學學歷以上之 全職教師能夠有效解釋數學素養之差異。

γ₀₁₀

=42.37，其估計值為正，具有 正向解釋力，代表教職人員學歷愈高，其學生數學素養愈好。在隨機效果方 面，

µ_00k

達顯著水準，表示具有大學學歷以上之全職教師對數學素養影響程 度固定之下，各國學生在數學素養上仍是有所差異的；

r_0jk

也達顯著水準，

表示在階層二的方程式中多加入具有大學學歷以上之全職教師這個變項，仍 無法完全解釋各國平均述學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間 平均數學素養的差異情形。

(二) 教學資源對學生數學素養之影響

表4-4-3 以階層一方程式之各組平均數做為階層二方程式結果變項之結果摘要表 (教學資源)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 518.24 9.78 <.001 1.58 0.21 <.001 (續下頁)

50

51

階層一

Υ_ijk

=

π_ojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (4-18) 階層二

π_ojk

=

β_00k

+

β_01k(Χ_jk)

+

r_0jk

(4-19)

π_1jk

=

β_10k

+

β_11k(Χ_jk)

+

r_1jk

(4-20) 階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

γ₀₀₁(W_k)

+

µ_00k

(4-21)

β_01k

=

γ₀₁₀

+

γ₀₁₁(W_k)

(4-22)

k

β10

=

γ₁₀₀

+

γ₁₀₁(W_k)

(4-23)

k

β11

=

γ₁₁₀

+

γ₁₁₁(W_k)

(4-24) 其中，

Υ_ijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的數學素養，

π_ojk

代表第

k

國 的平均數學素養，

_π1jk

為第

k

國學生的學生變項對數學素養的影響，

β_00k

為 各校學生平均數學素養，即全校總平均數學素養，

β_01k

為第

k

國的學校變項 對該國的平均數學素養之影響程度，

β_10k

為各校學生的學生變項對數學素養 影響的平均數，

β_11k

為學校變項對「各國學生的學生變項影響數學素養」的 影響程度，

γ₀₀₀

為各國學生平均數學素養，即全體總平均數學素養，

γ₀₀₁

為 第

k

國的國家變項對該國的平均數學素養之影響程度，

γ₀₁₀

為國家變項對各 國學生的學校變項對數學素養影響的平均數，

γ₀₁₁

為各國國家變項對學校變 項影響平均數學素養的程度，

γ₁₀₀

為國家變項對各國學生的學生變項對數學 素養影響的平均數，

γ₁₀₁

為各國國家變項對學生變項影響平均數學素養的程 度，

γ₁₁₀

為各國學生的學校變項對「學生變項對數學素養影響的平均數」的 影響，

γ₁₁₁

為各國國家變項對「學校變項對學生變項影響數學素養」之影響 平均數學素養的程度，

a_ijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的學生變項(如：

家庭資源和線上閱讀頻率)，

Χ_jk

為第

k

國第

j

個學校的學校變項(如：教職人 員素質和教學資源)，

W_k

為第

k

國的國家變項(如：GCI 和 NRI)，第

e_ijk

代表 學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第

k

國第

j

個學校第

i

個學生誤差分數，

σ2

是學生階層

e_ijk

的變異數(組內變異)，

r_0jk

代表學校之間的隨機誤差項(階層

52

二)，即第

j

校誤差分數，

r_1jk

代表第

j

個學校之數學素養平均數與整體數學 素養之間的差異，

µ_00k

代表國家之間的隨機誤差項(階層三)，即第

k

國誤差 分數。

(一

一 一 一) 國家變項在「具有合格證照之全職教師對學生變項影響數學素養」解釋 之差異情形

1. GCI 變項在「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養」解釋

之差異情形

表 4-5-1 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有合格證照之全職教師 對家庭資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 816.77 146.11 .001 -50.70 28.16 .144 685.20 313.62 .029 -124.23 59.81 .038 -3.84 5.35 .473 1.70 1.03 .097 -12.43 38.74 .748 1.77 7.39 .811 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

17.05 290.68 4 74.86 <.001 64.76 4195.81 968 25572.51 <.001 4.57 20.91 973 1446.29 <.001 72.98 5325.65

從表 4-5-1 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有合格

證照之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生數學

素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「各國

具有合格證照之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，即各

53

國具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養，不會隨著 GCI 不同 而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還有其他國家變項足 以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在階層二的方程式中 加入具有合格證照之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 GCI 影響 之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均數 學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭資源變項對學 生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍是有所差異的。

2. GCI 變項在「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」

解釋之差異情形

表 4-5-2 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有合格證照之全職教師 對線上閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 818.08 128.78 <.001 -50.99 24.82 .106 720.92 313.39 .022 -131.93 59.77 .027 -6.33 2.08 .003 1.42 0.40 .001 0.61 15.28 .968 -0.24 2.92 .936 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 14.82 219.53 4 56.88 <.001 64.71 4187.41 968 24835.54 <.001 1.33 1.76 973 1189.09 <.001 73.95 5467.95

從表 4-5-2 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有

合格證照之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生

54

數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「各 國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素養」之影響程度，

即各國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還有其他國 家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在階層二的 方程式中加入具有合格證照之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之 間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的線上閱讀 頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍 是有所差異的。

(二

二 二 二) 國家變項在「具有大學學歷以上之全職教師對學生變項影響數學素養」

解釋之差異情形

1. GCI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養」

解釋之差異情形

表 4-5-3 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有大學學歷以上之全職 教師對家庭資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 825.87 155.26 .002 -52.44 29.93 .153 488.04 257.45 .058 -84.70 49.21 .085 -3.79 5.28 .473 1.70 1.01 .094 -32.77 31.29 .296 5.34 5.98 .372 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 (續下頁)

55

18.24 332.54 4 85.20 <.001 64.42 4149.88 968 25265.89 <.001 4.47 19.98 973 1423.20 <.001 72.98 5325.95

從表 4-5-3 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有大學 學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生 數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「各 國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，

即各國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還有其他國 家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在階層二的 方程式中加入具有大學學歷以上之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各 國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各 校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭 資源變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍 是有所差異的。

2. GCI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素 養」解釋之差異情形

表 4-5-4 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有大學學歷以上之全職 教師對線上閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 827.89 138.09 <.001 -52.85 26.62 .115 543.81 257.28 .035 -96.27 49.18 .050 -6.34 2.06 .003 (續下頁)

56

1.42 0.40 .001 -3.52 12.17 .772 0.59 2.33 .800 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

16.04 257.23 4 66.15 <.001 64.36 4142.43 968 24551.71 <.001 1.33 1.76 973 1189.18 <.001 73.95 5468.08

從表 4-5-3 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有 大學學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國 學生數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解 釋「各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素養」

之影響程度，即各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學 素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，

可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，

表示在階層二的方程式中加入具有大學學歷以上之全職教師這個變項，仍無 法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自 變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示 各校學生的線上閱讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影 響之下，各校之間仍是有所差異的。

(三

三 三 三) 國家變項在「教學資源對學生變項影響數學素養」解釋之差異情形

1. GCI 變項在「教學資源對家庭資源影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-5 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(GCI 解釋「教學資源對家庭資源」) 固定效果 係數 估計標準誤 p值 (續下頁)

877.00 138.96 <.001

57

-62.32 26.79 .077 -3.84 8.93 .667 1.07 1.74 .536 -6.30 5.49 .252 2.17 1.06 .040 -0.69 1.08 .521 0.12 0.21 .564 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

16.09 258.99 4 67.38 <.001 64.66 4180.68 968 25462.40 <.001 4.60 21.13 973 1451.90 <.001 72.98 5325.61

從表 4-5-5 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和教學資源 為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異情形。

γ111

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「教學資源對家庭資源影 響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對家庭資源影響數學素養，

不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還 有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在 階層二的方程式中加入教學資源這個變項，仍無法完全解釋在各國 GCI 影 響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均 數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭資源變項對 學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍是有所差異 的。

2. GCI 變項在「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-6 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(GCI 解釋「教學資源對線上閱讀頻率」) 固定效果 係數 估計標準誤 p值 (續下頁)

58

878.50 123.07 <.001 -62.66 23.73 .056 -5.64 8.92 .527 1.43 1.74 .412 -7.47 2.12 .001 1.64 0.41 <.001 0.22 0.42 .600 -0.05 0.08 .534 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 14.03 196.78 4 51.58 <.001 64.59 4171.42 968 24726.99 <.001 1.32 1.73 973 1185.56 <.001 73.95 5467.98

從表 4-5-6 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和教學資

源為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異情 形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「教學資源對家庭資 源影響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對線上閱讀頻率影響數 學素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，

可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，

表示在階層二的方程式中加入教學資源這個變項，仍無法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之 間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的線上閱讀 頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍 是有所差異的。

(四

四 四 四) 國家變項在「具有合格證照之全職教師對學生變項影響數學素養」之解

釋差異情形

59

1. NRI 變項在「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養」之解

釋差異情形

表 4-5-7 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有合格證照之全職教師 對家庭資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 721.50 88.09 <.001 -32.42 16.91 .125 1018.04 277.93 <.001 -183.41 51.71 .001 -8.63 3.47 .013 2.63 0.66 <.001 -47.01 33.90 .166 8.27 6.33 .192 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

16.39 268.77 4 73.60 <.001 64.47 4155.76 968 25376.90 <.001 4.48 19.95 973 1420.67 <.001 72.97 5325.24

從表 4-5-7 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有合格

證照之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生數學

素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達.001 顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「各

國具有合格證照之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，即

各國具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養，不會隨著 NRI 不

同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還有其他國家變項

足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在階層二的方程式

中加入具有合格證照之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 NRI 影

響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均

數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭資源變項對

60

學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影響之下，各校之間仍是有所差異 的。

2. NRI 變項在「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」

之解釋差異情形

表 4-5-8 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有合格證照之全職教師 對線上閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 721.05 72.76 <.001 -32.37 13.96 .078 1016.29 277.83 <.001 -183.89 51.69 .001 -3.06 1.35 .024 0.79 0.26 .003 5.04 13.48 .708 -1.05 2.52 .678 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

13.18 173.65 4 49.15 <.001 64.44 4152.95 968 24658.18 <.001 1.34 1.81 973 1194.10 <.001 73.94 5467.81

從表 4-5-8 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有

合格證照之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生

數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達.001 顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解

釋「各國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素養」之影

響程度，即各國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養，不

會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還有

其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在階

層二的方程式中加入具有合格證照之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在

61

各國 NRI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋 各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的閱 讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影響之下，各校之間 仍是有所差異的。

(五

五 五 五) 國家變項在「具有大學學歷以上之全職教師對學生變項影響數學素養」

之解釋差異情形

1. NRI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養」之 解釋差異情形

表 4-5-9 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有大學學歷以上之全職 教師對家庭資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 747.51 71.27 <.001 -37.32 13.99 .054 783.38 184.81 <.001 -138.45 35.37 <.001 -9.94 7.83 .205 2.88 1.52 .057 -70.67 13.60 <.001 12.40 2.51 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 17.58 309.20 4 84.62 <.001 63.99 4094.62 968 24943.15 <.001 4.33 18.73 973 1389.53 <.001 72.98 5325.40

從表 4-5-9 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有大學

學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生

數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

達.001 顯著水準，代表各國 NRI 可有效解釋「各

62

國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，

即各國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養，會隨著 NRI 不同而有所差異，

γ₁₁₁

=12.40>0 具有正向解釋力，表 NRI 值愈高，各國具有 大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響該國數學素養之程度愈高。在隨機 效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養 之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在階層二的方程式中加入具有大學學歷以 上之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 NRI 影響之下，各國平均 數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情 形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭資源變項對學生數學素養的影 響程度，在各國 NRI 影響之下，各校之間仍是有所差異的。

2. NRI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」

解釋之差異情形

表 4-5-10 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有大學學歷以上之全職 教師對線上閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 747.04 78.85 <.001 -37.26 15.14 .066 770.54 189.87 <.001 -136.89 35.53 <.001 -2.87 1.31 .028 0.75 0.25 .003 9.35 9.12 .306 -1.83 1.71 .285 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

14.55 211.67 4 59.55 <.001 63.97 4092.71 968 24253.59 <.001 1.34 1.80 973 1193.18 <.001 (續下頁)

63

73.95 5467.89

從表 4-5-10 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有 大學學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國 學生數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達.001 顯著水準，代表各國 NRI 無法有 效解釋「各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素 養」之影響程度，即各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響 數學素養，不會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水 準，可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水 準，表示在階層二的方程式中加入具有大學學歷以上之全職教師這個變項，

仍無法完全解釋在各國 NRI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其 他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，

顯示各校學生的閱讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影 響之下，各校之間仍是有所差異的

。

(六

六 六 六) 國家變項在「教學資源對學生變項影響數學素養」解釋之差異情形 1. NRI 變項在「教學資源對家庭資源影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-11 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(NRI 解釋「教學資源對家庭資源」) 固定效果 係數 估計標準誤 p值

770.13 85.80 <.001 -41.55 16.47 .062 0.53 5.08 .917 0.22 0.99 .823 -11.33 3.43 .001 3.14 0.66 <.001 -0.21 0.62 .736 0.02 0.12 .843 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 (續下頁)

64

15.96 254.62 4 69.79 <.001 64.64 4177.92 968 25470.94 <.001 4.49 20.14 973 1425.01 <.001 72.97 5325.23

從表 4-5-11 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和教學資源 為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異情形。

γ111

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「教學資源對家庭資源影 響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對家庭資源影響數學素養，

不會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水準，可能還 有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水準，表示在 階層二的方程式中加入教學資源這個變項，仍無法完全解釋在各國 NRI 影 響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均 數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭資源變項對 學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影響之下，各校之間仍是有所差異 的。

2. NRI 變項在「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-12 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(NRI 解釋「教學資源對線上閱讀頻率」) 固定效果 係數 估計標準誤 p值

768.12 70.95 <.001 -41.21 13.62 .044 -0.40 5.07 .938 0.40 0.99 .689 -3.27 1.32 .014 0.83 0.25 .001 0.17 0.24 .488 -0.04 0.05 .408 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 (續下頁)

65

12.84 164.76 4 46.66 <.001 64.61 4174.15 968 24749.75 <.001 1.34 1.79 973 1191.83 <.001 73.94 5467.84

從表 4-5-12 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和教學

資源為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異 情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「教學資源對家庭 資源影響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對線上閱讀頻率影響 數學素養，不會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達顯著水 準，可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

r_0jk

也達顯著水 準，表示在階層二的方程式中加入教學資源這個變項，仍無法完全解釋在各 國 NRI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各 校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的線上 閱讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影響之下，各校之 間仍是有所差異的。

二、完整模式

此模式主要在探討「各國學生的學校變項對學生變項影響該國學生數學 素養」之差異情形，是否能夠以 GCI 和 NRI 等國家變項加以解釋，以及是 否還有其他國家變項會造成影響。其模式特點為：階層一、階層二與階層三 皆有自變項，且令階層三的斜率係數方程式有誤差項。其階層線性模式如 下：

階層一

Υ_ijk

=

_πojk

+

π_1jk(a_ijk)

+

e_ijk

，

e_ijk

~ N(0,

σ²

) (4-25)

階層二

π_ojk

=

β_00k

+

β_01k(Χ_jk)

+

r_0jk

(4-26)

_π1jk

=

β_10k

+

β_11k(Χ_jk)

+

r_1jk

(4-27)

階層三

β_00k

=

γ₀₀₀

+

γ₀₀₁(W_k)

+

µ_00k

(4-28)

66

β_01k

=

γ₀₁₀

+

γ₀₁₁(W_k)

+

µ_01k

(4-29)

k

β10

=

γ₁₀₀

+

γ₁₀₁(W_k)

+

µ_10k

(4-30)

k

β11

=

γ₁₁₀

+

γ₁₁₁(W_k)

+

µ_11k

(4-31) 其中，

_Υijk

代表第

k

國第

j

個學校第

i

個學生的數學素養，

_πojk

代表第

k

國 的平均數學素養，

π_1jk

為第

k

國學生的學生變項對數學素養的影響，

β_00k

為 各校學生平均數學素養，即全校總平均數學素養，

β_01k

為第

k

國的學校變項 對該國的平均數學素養之影響程度，

β_10k

為各校學生的學生變項對數學素養 影響的平均數，

β_11k

為學校變項對「各國學生的學生變項影響數學素養」的 影響程度，

γ₀₀₀

為各國學生平均數學素養，即全體總平均數學素養，

γ₀₀₁

為 第

k

國的國家變項對該國的平均數學素養之影響程度，

γ₀₁₀

為國家變項對各 國學生的學校變項對數學素養影響的平均數，

γ₁₀₀

為國家變項對各國學生的 學生變項對數學素養影響的平均數，

γ₁₁₀

為各國學生的學校變項對「學生變 項對數學素養影響的平均數」的影響，

γ₁₁₁

為各國國家變項對「學校變項對 學生變項影響數學素養」之影響平均數學素養的程度，

a_ijk

代表第

k

國第

j

個 學校第

i

個學生的學生變項(如：家庭資源和閱讀頻率)，

Χ_jk

為第

k

國第

j

個 學校的學校變項(如：教職人員素質和教學資源)，

W_k

為第

k

國的國家變項(如：

GCI 和 NRI)，第

e_ijk

代表學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第

k

國第

j

個學 校第

i

個學生誤差分數，

σ²

是學生階層

e_ijk

的變異數(組內變異)，

r_0jk

代表學 校之間的隨機誤差項(階層二)，即第

j

校誤差分數，

r_1jk

代表第

j

個學校之數 學素養平均數與整體數學素養之間的差異，

µ_00k

代表國家之間的隨機誤差項 (階層三)，即第

k

國的數學素養與整體平均數學素養的差異，

µ_01k

代表第

k

國 學生的學校變項對數學素養的影響，與全部國家之學生的學校變項對數學素 養影響的平均數之間的差異，

µ_10k

代表第

k

國學生的學生變項對數學素養的 影響，與全部國家之學生的學生變項對數學素養影響的平均數之間的差異，

k

µ11

代表第

k

國學生的學校變項對學生變項對數學素養的影響，與全部國家

67

之學生的學校變項對學生變項對數學素養影響的平均數之間的差異。

(一)國家變項在「具有合格證照之全職教師對學生變項影響數學素養」解釋 之差異情形

1. GCI 變項在「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養」解釋之 差異情形

表 4-5-13 完整模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有合格證照之全職教師對家庭資源」) 固定效果 係數 估計標準誤 p值

785.68 122.79 <.001 -44.67 23.67 .130 1544.72 599.27 .059 -288.90 115.02 .063 -4.35 20.11 .839 1.83 3.88 .661 -44.64 40.88 .337 8.20 7.82 .354 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 14.03 196.71 4 47.35 <.001 59.56 3546.88 4 24.66 <.001 2.38 5.64 4 97.27 <.001 2.09 4.38 4 4.58 .333 64.28 4131.88 963 25100.39 <.001 3.86 14.93 963 1279.03 <.001 72.97 5324.98

從表 4-5-13 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有合格

證照之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生數學

素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「各國

具有合格證照之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，即各

國具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養，不會隨著 GCI 不同

68

而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可能還有其他國家變 項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 GCI 足以解釋 各國「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養」之差異；

r_0jk

達 顯著水準，表示在階層二的方程式中加入具有合格證照之全職教師這個變項，

仍無法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其 他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，

顯示各校學生的家庭資源變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影 響之下，各校之間仍是有所差異的。

2. GCI 變項在「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」解 釋之差異情形

表 4-5-14 完整模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有合格證照之全職教師對線上閱讀 頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 789.54 123.28 <.001 -45.38 23.76 .126 1441.55 580.34 .065 -269.60 111.40 .069 -5.94 3.46 .160 1.35 0.67 .111 -2.52 16.12 .884 0.31 3.08 .926 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

14.11 198.96 4 47.45 <.001 57.46 3301.98 4 23.03 <.001 0.34 0.11 4 14.29 .007 0.54 0.30 4 2.37 >.500 64.21 4123.10 963 24446.77 <.001 (續下頁)

69

1.30 1.68 963 1169.07 <.001 73.94 5467.27

從表 4-5-14 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有 合格證照之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生 數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「各 國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素養」之影響程度，

即各國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可能還有其 他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 GCI 足以解釋各國「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」之 差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中加入具有合格證照之全職 教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養 的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也 達顯著水準，顯示各校學生的線上閱讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，

在各國 GCI 影響之下，各校之間仍是有所差異的。

(二)國家變項在「具有大學學歷以上之全職教師對學生變項影響數學素養」

解釋之差異情形

1. GCI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養」解 釋之差異情形

表 4-5-15 完整模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有大學學歷以上之全職教師對家庭 資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 822.20 144.14 <.001 -51.75 27.79 .134 978.64 440.47 .087 (續下頁)

70

-176.54 84.61 .102 -5.74 19.48 .783 2.10 3.76 .605 -84.96 36.11 .075 15.54 6.92 .084 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 16.82 282.95 4 65.46 <.001 43.47 1889.37 4 23.89 <.001 2.30 5.28 4 67.04 <.001 2.39 5.69 4 5.58 >.005 63.95 4089.58 963 24695.58 <.001 3.82 14.59 963 1268.58 <.001 72.97 5324.58

從表 4-5-15 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有大學 學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生 數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「各 國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，

即各國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可能還有其 他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 GCI 足以解釋各國「具有大學學歷以上之之全職教師對家庭資源影響數學素養」

之差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中加入具有大學學歷以上 之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數 學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r₁jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭資源變項對學生數學素養的影響程

度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍是有所差異的。

71

3. GCI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素

養」解釋之差異情形

表 4-5-16 完整模式之結果摘要表(GCI 解釋「具有大學學歷以上之全職教師對線上 閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 813.33 136.66 <.001 -49.82 26.34 .129 1106.68 474.51 .076 -204.49 91.21 .085 -6.29 3.77 .169 1.42 0.73 .120 5.84 15.53 .726 -1.33 2.98 .679 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

15.87 251.89 4 64.50 <.001 48.69 2370.83 4 24.81 <.001 0.39 0.15 4 15.11 .005 1.09 1.19 4 6.52 .162 63.93 4087.33 963 24049.71 <.001 1.28 1.65 963 1164.36 <.001 73.94 5467.51

從表 4-5-16 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有 大學學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國 學生數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解 釋「各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素養」

之影響程度，即各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學

素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水

準，可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯

72

著水準，表 GCI 足以解釋各國「具有大學學歷以上之之全職教師對線上閱 讀頻率影響數學素養」之差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中 加入具有大學學歷以上之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平 均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的線上閱讀頻率 變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍是有 所差異的。

(三)國家變項在「教學資源對學生變項影響數學素養」解釋之差異情形 1. GCI 變項在「教學資源對家庭資源影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-17 完整模式之結果摘要表(GCI 解釋「教學資源對家庭資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 888.31 127.19 <.001 -64.66 24.52 .056 -9.45 10.12 .404 2.16 1.96 .333 -4.99 19.81 .814 1.93 3.82 .640 0.03 1.27 .981 -0.01 0.25 .957 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 14.57 212.15 4 44.51 <.001 0.62 0.38 4 2.53 >.500 2.33 5.44 4 102.45 <.001 0.08 0.01 4 3.85 >.500 64.53 4164.66 963 25342.71 <.001 3.84 14.77 963 1277.27 <.001 72.98 5325.38

從表 4-5-17 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和教學資源

73

為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異情形。

γ111

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「教學資源對家庭資源影 響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對家庭資源影響數學素養，

不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可 能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，

表 GCI 足以解釋各國「教學資源對家庭資源影響數學素養」之差異；

r_0jk

達 顯著水準，表示在階層二的方程式中加入教學資源這個變項，仍無法完全解 釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以 解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生 的家庭資源變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校 之間仍是有所差異的。

2. GCI 變項在「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-18 完整模式之結果摘要表(GCI 解釋「教學資源對線上閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 888.57 128.27 <.001 -64.72 24.73 .057 -9.53 10.18 .402 2.18 1.98 .333 -6.40 3.13 .107 1.43 0.60 .073 -0.18 0.55 .753 0.03 0.11 .795 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 14.71 216.29 4 44.47 <.001 0.63 0.40 4 2.54 >.500 0.28 0.08 4 13.41 .010 0.04 0.00 4 5.01 .285 (續下頁)

74

64.48 4157.23 963 24688.47 <.001 1.31 1.72 963 1166.10 <.001 73.94 5466.41

從表 4-5-18 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和教學

資源為零之影響條件下，各國 GCI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異 情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 GCI 無法有效解釋「教學資源對家庭 資源影響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對線上閱讀頻率影響 數學素養，不會隨著 GCI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯 著水準，可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 GCI 足以解釋各國「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」

之差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中加入教學資源這個變項，

仍無法完全解釋在各國 GCI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其 他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，

顯示各校學生的線上閱讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 GCI 影響之下，各校之間仍是有所差異的。

(四)國家變項在「具有合格證照之全職教師對學生變項影響數學素養」解釋 之差異情形

1. NRI 變項在「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養」解釋之 差異情形

表 4-5-19 完整模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有合格證照之全職教師對家庭資源」) 固定效果 係數 估計標準誤 p值

712.53 70.85 <.001 -30.53 13.59 .084 1226.45 361.45 .039 -226.33 68.12 .040 (續下頁)

75

-7.40 11.63 .559 2.42 2.23 .340 -51.06 33.40 .201 9.31 6.24 .210 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 12.78 163.22 4 41.04 <.001 44.96 2021.59 4 11.99 .017 2.19 4.78 4 82.24 <.001 1.34 1.80 4 2.42 >.500 64.21 4123.23 963 25098.39 <.001 3.84 14.74 963 1278.92 <.001 72.98 5325.40

從表 4-5-19 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有合格 證照之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生數學 素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「各國 具有合格證照之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，即各 國具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養，不會隨著 NRI 不同 而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可能還有其他國家變 項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 NRI 足以解釋 各國「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素養」之差異；

r_0jk

達 顯著水準，表示在階層二的方程式中加入具有合格證照之全職教師這個變項，

仍無法完全解釋在各國 NRI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其 他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，

顯示各校學生的家庭資源變項對學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影 響之下，各校之間仍是有所差異的。

2. NRI 變項在「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」解

釋之差異情形

76

表 4-5-20 完整模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有合格證照之全職教師對線上閱讀 頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 715.25 71.71 <.001 -31.09 13.76 .083 1147.78 358.86 .041 -210.10 67.54 .042 -2.91 2.30 .275 0.76 0.44 .160 -0.45 13.94 .976 -0.08 2.61 .978 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

12.96 167.87 4 41.08 <.001 42.55 1810.83 4 9.94 .041 0.37 0.13 4 16.85 .002 0.60 0.36 4 2.28 >.500 64.17 4117.58 963 24449.09 <.001 1.31 1.71 963 1169.19 <.001 73.94 5466.75

從表 4-5-20 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有 合格證照之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生 數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「各 國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素養」之影響程度，

即各國具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養，不會隨著

NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可能還有其

他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 NRI

足以解釋各國「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」之

差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中加入具有合格證照之全職

77

教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 NRI 影響之下，各國平均數學素養 的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也 達顯著水準，顯示各校學生的線上閱讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，

在各國 NRI 影響之下，各校之間仍是有所差異的。

(五)國家變項在「具有大學學歷以上之全職教師對學生變項影響數學素養」

解釋之差異情形

1. NRI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養」解 釋之差異情形

表 4-5-21 完整模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有大學學歷以上之全職教師對家庭 資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 744.51 81.08 <.001 -36.65 15.56 .074 863.12 217.17 .026 -154.54 40.91 .031 -8.83 10.77 .458 2.70 2.07 .262 -65.47 22.89 .048 11.70 4.28 .052 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

15.02 225.54 4 49.21 <.001 21.06 443.72 4 8.16 .085 2.02 4.06 4 55.61 <.001 1.19 1.42 4 2.50 >.500 63.89 4082.50 963 24692.85 <.001 3.79 14.36 963 1268.42 <.001 72.97 5325.17

從表 4-5-21 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和具有大學

78

學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生 數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「各 國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響該國數學素養」之影響程度，

即各國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養，不會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可能還有其 他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 NRI 足以解釋各國「具有大學學歷以上之之全職教師對家庭資源影響數學素養」

之差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中加入具有大學學歷以上 之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 NRI 影響之下，各國平均數 學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r₁jk

也達顯著水準，顯示各校學生的家庭資源變項對學生數學素養的影響程 度，在各國 NRI 影響之下，各校之間仍是有所差異的。

2. NRI 變項在「具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」

解釋之差異情形

表 4-5-22 完整模式之結果摘要表(NRI 解釋「具有大學學歷以上之全職教師對線上 閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 744.10 80.49 <.001 -36.55 15.45 .074 869.22 221.43 .027 -155.95 41.73 .032 -2.97 2.52 .304 0.77 0.48 .183 7.77 10.51 .500 -1.69 1.98 .440 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 (續下頁)

79

14.90 221.92 4 49.04 <.001 22.65 513.21 4 8.32 .080 0.42 0.18 4 14.17 .007 0.97 0.94 4 6.03 .196 63.85 4076.68 963 24051.02 <.001 1.29 1.67 963 1164.43 <.001 73.94 5467.20

從表 4-5-22 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和具有 大學學歷以上之全職教師為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國 學生數學素養之差異情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解 釋「各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響該國數學素養」

之影響程度，即各國具有大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學 素養，不會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水 準，可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯 著水準，表 NRI 足以解釋各國「具有大學學歷以上之之全職教師對線上閱 讀頻率影響數學素養」之差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中 加入具有大學學歷以上之全職教師這個變項，仍無法完全解釋在各國 NRI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以解釋各校之間平 均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生的線上閱讀頻率 變項對學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影響之下，各校之間仍是有 所差異的。

(六)國家變項在「教學資源對學生變項影響數學素養」解釋之差異情形 1. NRI 變項在「教學資源對家庭資源影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-23 完整模式之結果摘要表(NRI 解釋「教學資源對家庭資源」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 (續下頁)

80

774.04 72.84 <.001

-42.41 13.98 .044

-1.45 5.53 .806

0.62 1.08 .593

-8.36 11.54 .509

2.58 2.22 .309

0.32 0.69 .664

-0.07 0.13 .627 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值

13.23 175.14 4 41.70 <.001 0.48 0.23 4 2.68 >.500 2.17 4.71 4 88.69 <.001 0.06 0.00 4 3.35 >.500 64.58 4170.41 963 25343.94 <.001 3.86 14.88 963 1277.33 <.001 72.97 5325.12

從表 4-5-23 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在家庭資源和教學資源 為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異情形。

γ111

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「教學資源對家庭資源影 響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對家庭資源影響數學素養，

不會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯著水準，可 能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，

表 NRI 足以解釋各國「教學資源對家庭資源影響數學素養」之差異；

r_0jk

達

顯著水準，表示在階層二的方程式中加入教學資源這個變項，仍無法完全解

釋在各國 NRI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其他自變項加以

解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，顯示各校學生

的家庭資源變項對學生數學素養的影響程度，在各國 NRI 影響之下，各校

之間仍是有所差異的。

81

2. NRI 變項在「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」解釋之差異情形

表 4-5-24 完整模式之結果摘要表(NRI 解釋「教學資源對線上閱讀頻率」)

固定效果 係數 估計標準誤 p值 774.24 73.10 <.001

-42.43 14.03 .044

-1.37 5.61 .819

0.59 1.09 .616

-2.90 2.23 .264

0.75 0.43 .152

0.02 0.31 .954

-0.01 0.06 .889

隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p值 13.29 176.64 4 41.75 <.001 0.49 0.24 4 2.59 >.500 0.35 0.12 4 18.58 .001

0.04 0.00 4 4.42 .352 64.53 4163.41 963 24690.10 <.001 1.32 1.75 963 1166.18 <.001 73.93 5466.05

從表 4-5-24 可知，

γ₀₀₁

未達.001 顯著水準，表示在線上閱讀頻率和教學

資源為零之影響條件下，各國 NRI 無法有效解釋該國學生數學素養之差異 情形。

γ₁₁₁

也未達顯著水準，代表各國 NRI 無法有效解釋「教學資源對家庭 資源影響該國數學素養」之影響程度，即各國教學資源對線上閱讀頻率影響 數學素養，不會隨著 NRI 不同而有所差異。在隨機效果方面，

µ_00k

達.001 顯 著水準，可能還有其他國家變項足以解釋各國數學素養之差異；

µ_11k

未達.001 顯著水準，表 NRI 足以解釋各國「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」

之差異；

r_0jk

達顯著水準，表示在階層二的方程式中加入教學資源這個變項，

仍無法完全解釋在各國 NRI 影響之下，各國平均數學素養的差異，仍需其

82

他自變項加以解釋各校之間平均數學素養的差異情形；

r_1jk

也達顯著水準，

顯示各校學生的線上閱讀頻率變項對學生數學素養的影響程度，在各國 NRI

影響之下，各校之間仍是有所差異的。

83

第五章 第五章 第五章

第五章 結論與建議 結論與建議 結論與建議 結論與建議

本章依據分析結果提出結論與建議，以提供相關研究之參考。

第一節 第一節 第一節

第一節 結論 結論 結論 結論

一、各國學生數學素養之差異情形

本研究應用具有隨機效果單因子變異數分析模式，探討各國學生之數學 素養是否有差異存在，結果如下：

(一) 數學素養的總變異中，由學生所造成的總變異佔 54.16%、學校所造成的 總變異佔 41.34%和國家所造成的總變異佔 4.50%；

二、學生背景變項影響各國學生數學素養之差異情形

本研究應用隨機效果單因子共變異數分析模式與隨機係數迴歸模式，探 討各國學生之學生背景變項影響各國學生數學素養之差異情形，結果如下：

(一) 隨機效果單因子共變數分析模式

分別以家庭資源與線上閱讀頻率兩個變項，觀察其對數學素養的影響，

結果發現：

1. 家庭資源與線上閱讀頻率均對學生數學素養有顯著影響。表示各國學生 的學生背景變項對學生數學素養影響程度固定之下，各國學生的學生背 景變項皆能有效解釋該國學生數學素養之差異情形；

2. 家庭資源與線上閱讀頻率之

γ₁₀₀

係數值皆為正，表示學生之學生背景變項 數值愈大，其數學素養愈好；

3. 家庭資源與線上閱讀頻率之階層二的隨機效果

r_0jk

、

r_1jk

與階層三的隨機效 果

µ_00k

皆達顯著，表示各國學生的學生背景變項對數學素養的影響程度固 定之下，各國學生的數學素養仍是有差異存在。

(二) 隨機係數迴歸模式

84

分別以家庭資源與線上閱讀頻率兩個變項，觀察其對數學素養的影響，

以及各國之間家庭資源與線上閱讀頻率對數學素養之影響是否有差異存在，

結果發現：

1. 家庭資源與線上閱讀頻率均對學生數學素養有顯著影響。表示各國學生 的學生背景變項皆能有效解釋該國學生數學素養之差異情形；

2. 家庭資源與線上閱讀頻率之

γ₁₀₀

係數值皆為正，表示學生之學生背景變項 數值愈大，其數學素養愈好；

3. 家庭資源與線上閱讀頻率之階層二的隨機效果

r_0jk

、

r_1jk

與階層三的隨機效 果

µ_00k

皆達顯著，

µ_00k

檢定果達顯著水準，表示各國學生的學生背景變項 對數學素養的影響程度固定之下，各國學生的數學素養仍是有差異存在。

r₀jk

、

r_1jk

達顯著水準，表示各國學生的學生背景變項對學生數學素養之影 響程度，在各校之間仍是有差異存在。

三、學校變項影響各國學生數學素養之差異情形

利用「以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸 模式」 ，探討學校背景變項(教職人員素質和教學資源)影響各國學生數學素養 之差異情形，結果如下：

(一)具有大學學歷以上之全職教師及教學資源皆能有效解釋各國學生數學之 差異情形，具有合格證照之全職教師則無法有效解釋各國學生數學素養 之差異情形；

(二)具有大學學歷以上之全職教師及教學資源之兩個變項之

γ₀₁₀

係數值皆為 正，表示教職人員學歷愈高級教學資源愈多，則學生數學素養愈好；

(三)在加入各個學校變項，並除去所能解釋的變異量後，仍無法完全解釋各 國學生數學素養的差異情形，表示仍有其他因素影響各國學生的數學素 養。

四、國家變項解釋「學校變項對學生變項影響數學素養」之差異情形

85

利用斜率非隨機變化的模式與完整模式，探討國家變項解釋「學校變項 對學生變項影響數學素養」之差異情形，結果如下：

(一) 帶有非隨機變化之斜率的模式

分別以 GCI 及 NRI 兩個國家變項、教職人員素質及教學資源三個學校 變項與家庭資源及線上閱讀頻率兩個學生變項，觀察其對數學素養的影 響，結果如下：

1. NRI 能夠有效解釋「具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學

素養」的程度，當 NRI 值愈高， 「各國具有大學學歷以上之全職教師對家 庭資源影響該國數學素養」之程度愈高；

2. GCI 均無法有效解釋「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素

養」、「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」、「具有 大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響數學素養」、「具有大學學歷以 上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」、「教學資源對家庭資源影 響數學素養」及「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」之差異情形；

3. NRI 均無法有效解釋「具有合格證照之全職教師對家庭資源影響數學素

養」、「具有合格證照之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」、「具有 大學學歷以上之全職教師對線上閱讀頻率影響數學素養」、「教學資源對 家庭資源影響數學素養」及「教學資源對線上閱讀頻率影響數學素養」

之差異情形；

4. 除去國家變項的解釋量後，隨機誤差項仍達顯著水準，表示尚待其他的 變項來解釋各國學生數學素養之差異。

(二)完整模式

此模式主要在探討「學校變項對學生變項影響數學素養」之差異情形，

是否能夠以 GCI 及 NRI 變項加以解釋，結果如下：

1. GCI 及 NRI 均無法有效解釋「學校變項對學生變項影響數學素養」之差

86

異情形，即各國學生的「學校變項對學生變項影響數學素養」之程度不 會隨著 GCI 及 NRI 不同而有所差異；

2. 排除國家變項的解釋量後，隨機誤差項均達顯著水準，表示 GCI 及 NRI 不足以解釋「各國數學素養」 、 「各國學生的學校背景變項影響數學素養」

之差異，尚待其他變項來解釋。

第二節 第二節 第二節

第二節 建議 建議 建議 建議 依據本研究分析結果，提出下列建議：

一、國家政策與教育方面

(一)日本在 PISA2009 調查中，其數學素養排名第九，成績不斐，但相較於 同為亞洲地區卻排名前五名的上海、新加坡、香港、韓國及臺灣，明顯 略差，此現象值得探究。

(二)家庭資源愈多及線上閱讀頻率愈高，均對該國學生數學素養愈好。利用 臺灣教育長期追蹤資料庫分析發現家庭資源，不管是有形(書桌、電腦、

字典等) 或是無形(父母社經地位)，與學童學習表現有明顯關聯性存在，

家庭經濟情況較佳者，家庭投入較多的資源以提供學童學習，皆對學業 表現有較為正向的影響。但有些家庭因家長工作繁重無暇照顧子女，導 致子女誤交損友或沉迷線上遊戲而衍生社會問題，現今的教育改革不僅 需注意學生的學業，而是更應注重學生的學習背景，切勿讓學生因家庭 因素而中斷求學之路。

(三)學校教職人員學歷愈高，對該國學生數學素養愈好，探究其原因，應是

各國普遍重視教師素質提升，其中包含教師學歷、經驗等，臺灣教育部

目前採鼓勵模式，建議師範院校多開設教育碩士班，除了讓在職教師進

一步進修，也讓應屆已考取教師資格的畢業生有更多機會繼續攻讀碩士

學位。

87

(四)學校教學資源愈多，該國學生數學素養愈好，其原因包含政府經費投入 多寡或私人教育投資等因素，因此，政府仍應持續推動相關教育計畫，

並適度授權由地方政府及學校自由支配教育經費，讓教學資源的運用更 彈性可行。

(五)當 NRI 值愈高， 「各國具有大學學歷以上之全職教師對家庭資源影響該

國數學素養」之程度愈高。此一研究結果顯示，資訊科技整備程度愈高 的國家，該國學生數學素養愈好，因此可對照數學素養相近的國家，其 國家政策有何異同，作為學習對象。

二、在數學素養教學實務方向

(一)本研究結果可提供欲研究學生數學學習與數學素養之參考方向，以及國 際性大型評量之資料庫研究分析的方向。

(二)可分析 PISA 試題，將其試題架構與精神轉化為教學目標，發展相關課 程，進而提升學生數學素養。

三、未來研究方向

(一)本研究僅以家庭資源及線上閱讀頻率等兩個學生背景變項、教師素質及 教學資源等兩個學校背景變項，以及 GCI、NRI 進行分析，未來可探討 其他有關的學生背景變項、學校背景變項與國家變項對學生數學素養之 影響。

(二)PISA 實施一系列評量，目前已完成 PISA2000、PISA2003、PISA2006、

PISA2009 及 PISA2012，可將資料庫進行縱向研究，以其了解相關教育 現象 (如：城鄉差距、補習等)是否有改善，以及教育改革政策是否有成 效。

(三)可透過與 TIMSS、PIRLS 等其他研究交叉比對，對目前學生變項、學校

變項及國家變項作橫向研究，並針對測驗結果優於我國的國家或地區進

行分析，以為借鏡，並做為我國教育改革之參考。

88

89

90

91

英文部分 英文部分 英文部分 英文部分

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附錄 附錄 附錄 附錄

附錄一 PISA2009 學生問卷 Q20

問題

20 你家中是否有下列物品或設施？

(每一項請勾選一個答案)

是 否 (a) 書桌

(b) 自己的房間 (c) 安靜的讀書空間

(d) 可供學校功課使用的電腦 (e) 教育類電腦軟體

(f) 網際網路

(g) 古典文學 (例如：李白、杜甫) (h) 詩、詞集

(i) 藝術作品 (例如：油畫)

(j) 可協助完成學校功課的參考書籍

(k) 技術性參考書籍 (例如：電腦操作說明書) (l) 字典 (辭典)

(m) 洗碗機

96

97

附錄三 PISA2009 學校問卷 Q9

問題

9 貴校在下列各校的教師人數為何？

包含全職教師與兼職教師

包含全職教師與兼職教師 包含全職教師與兼職教師 包含全職教師與兼職教師。 。 。 。「全職教師」是指全學年至少有 90%的 時間受雇於貴校從事教學的人員，不符合上述條件的其他教學人員 皆為「兼職教師」 。

(請再填答處填寫數字，如果沒有，請填「0」 。)

全職 兼職

(a)

教師總數 總數 總數 總數 _______ _______

(b)

教育部認可之合格教師 _______ _______

(c)

有學士學位的教師 _______ _______

98

附錄四 PISA2009 學校問卷 Q11

問題

11 貴校的教學校能是否受限於下列因素？

(每一項請勾選一個答案)

沒有 影響

影響 很小

有些 影響

影響 很大

(g) 科學實驗室設備不足或不適當 1 2 3 4

(h) 教材(如教科書)不足或不適當 1 2 3 4

(i) 教學用電腦不足或不適當 1 2 3 4

(j) 缺少或不適當的網際網路連線 1 2 3 4

(k) 電腦教學軟體不足或不適當 1 2 3 4

(l) 圖書館資料不足或不適當 1 2 3 4

(m) 視聽資源不足或不適當 1 2 3 4

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