Jarrow-Turnbull(1995)離散模型

第二章文獻回顧

第二節 Jarrow-Turnbull(1995)離散模型

模型，且利用匯率的觀念將 XYZ 零息債券的價格分解為兩部份：以 XYZs 貨幣為單位的零息債券價格，及一單位 XYZs 貨幣的價值。

首先令

( ) ( )

1 1 ,

e t =V t t (2.12)

( )

e t1 代表在時間 t 時承諾會支付一元計價單位為 XYZ，可以想像為即期匯率。如果 XYZ 零息債券未發生違約則一單位的 XYZs 貨幣仍為一元；如果 XYZ 零息債券發生違約，則一單位的 XYZs 貨幣必定小於一元。

接下來考慮一個到期日支付一元，以 XYZ 為計價單位的零息債券。令

( ) ( )

1 , 1 ,

P t T =V t T e t₁( )

)

(2.13)

(

1 ,

P t T 代表在時間 t 時，V t T1

( )

, 轉化為以 XYZs 為計價單位的價值，且根據 (2.12)之定義，在時間 t=T 時，P T T1

(

)

=1，即P t T1

( )

, 為無風險零息債券。

我們可將(2.13)式表示為

( )

1 ,

V t T =P t T1

( )

, e t1

( )

(2.14) 接下來討論無風險零息債券價格變動過程，在本文中影響無風險零息債券價格的唯一變數是即期利率，並假設即期利率只有上升與下降兩種變動情況，以兩期變動過程來說明(如圖 2-3)。

定義在 t=0 期時，即期利率r(0)=1/P₀(0,1)。

在 t=1 期時，當即期利率為上升情況時r(1)_u =1/P₀(1, 2)_u，機率為π ；當即期利率為下降情況時r(1)_d =1/P₀(1, 2)_d，機率為1−π 。

圖 2-3 兩期無風險零息債券價格變動過程

債券為有險性債券，所以將違約風險也考慮進去，即在 t=1 期時，有以下 4 種情況可能發生，(1)利率上升且違約；(2) 利率上升且不違約；(3)利率下降且違約：

(4)利率下降且不違約。定義π 為利率上升機率，λμ₀為 0~1 期違約發生機率，λμ₁ 為 1~2 期違約發生機率，如圖 2-4。此處假設利率過程與違約過程為獨立。

圖 2-4 兩期信用等級 XYZ 零息債券價格變動過程

( )

[ ]

以實際數值做演算，相關數值列於下表 2-1，利率過程如圖 2-5 所示。

表 2-1 無風險零息債券價格及有險性零息債券價格到期

期間

無風險零息債券價格

有險性零息債券價格 T P0

( )

0,T V1

( )

0,T

1 94.8627 94.2176

2 89.5343 87.1168

將上述相關數值代入下式(2.19)中

( )

1 0,1

V =P0

( )

0,1 ⎡⎣λμ δ0 + −

(

1 λμ0

)

⎤⎦

( )

1 0, 2

V =P0

( )

0, 2 λμ δ0 + −

(

1 λμ0

)

⎡⎣λμ δ1 + −

(

1 λμ₁

)

⎤⎦ (2.19) 可得

0.01 0.03 λμ

λμ

圖 2-5 利率過程

第三章研究模型

從前一章的各種信用模型中，我們選擇信用計量法作為本論文的研究重點之一，

接著再討論從 Jarrow-Turnbull 離散模型延伸出的馬可夫鏈(Markov Chain)模型，並找出其中不合理的數值來做修正，最後將此方法應用於評價信用衍生性商品。

第一節信用計量法(J.P. Morgan CreditMetrics 1997)

信用計量法是由 J.P. Morgan 於 1997 年開發出的工具，主要利用分析債權等級變動及信用風險值來檢視投資組合中，因債權資產信用等級改變所產生之信用風險。此信用風險模型能夠衡量債券資產的價值變化，也可用於銀行放款以及金融衍生性商品。

信用計畫法主要依據以下步驟，計算各別金融工具及投資組合的信用風險值。首先，必須了解投資組合中每一債券資產的曝險概況，並利用所有債券資產的信用風險等級變動狀況，構成轉移矩陣(transition matrix)，以求算債權資產在某特定時間，信用評等由某等級轉移至另一等級，導致資產價值產生的變化。接著，求出債券資產在未來期間移轉至不同等級之價值，建立出債權資產的機率分配。最後，在考慮債權資產間的相關係數下，結合所有個別資產的價值分配，以產生投資組合的新價值。我們將依序討論持有單一債權的情形及多個債權的情形。

(一)單一債權之評價

依下列三步驟(其架構如下圖 3-1 所示)，可評價單一債權之信用風險。

圖 3-1 單一債權評價架構

評等轉移可能性

債券重估現值違約回復率

信用評等

考慮信用等級改變情形之價值標準差信用價差求償順位

信用構成之風險值

下面步驟以 CreditMetrics技術文件中的例子說明 CreditMetrics法如何計算信用風險值(Credit-VaR)。假設持有一個 BBB 評等的第二求償順位債券，到期期限為 5 年且票面利率為 6％，依下列步驟可求其信用風險值。

步驟一：確定信用評等轉移矩陣

在這個模型中，風險產生不只關係著違約情形，在信用等級改變時也會使風險產生變化。因此我們不但應該關心下一期是否發生違約，也必須注意信用等級在下一期變化到各種狀態的可能性。在此例中我們

評等轉移可信用評等

舉目前信用評等為 BBB 的債權來做說明，觀察在一年後可能發生的情形。

圖 3-2 表示 BBB 評等債券在一年後升級為 AAA 評等債券的機率為 0.02%，

升級為 AA 評等債券的機率為 0.33%，以此類推。考慮其他各個評等的情形下，

我們可以整理成一個矩陣如表 3-1。

圖 3-2 BBB 評等債券轉移機率資料來源：Standard & Poor’s CreditWeek (15 April 96)

上述矩陣即稱為信用評等轉移矩陣，一般可由各評等機構所公佈之資料所取得，本例為史坦普爾(Standard & Poor’s)公司所作之評等，表中第一欄表示債券在期初時之信用等級，後面機率代表一年後信用等級轉移到其他等級之機率(包括違約)，所以每一列機率加總均為 100%。

步驟二：評價

在步驟一，我們決定了債券在下一期所有可能情形的發生機率，因此可以觀察因為評等改變使得債券價值產生的變化。我們可以依照下一期發生違約與下一期不違約兩種狀況討論債券價值的變化。

情況一：發生違約時之評價

如果債券發生違約，一般會依據債券的回收率

(recovery rate)來計算債券的剩餘價值。回收率因因債券的求償順位而有所不同，表 3-2 為利用歷史資料統計出來各個不同求償順位回覆率的平均值與標準差。

違約回復率求償順位

表 3-2 不同求償順位回覆率的平均值與標準差單位：%

求償順位平均數標準差

先順位 53.80 26.86

第二求償順位 51.13 25.45

第三求償順位 38.52 23.81

次低求償順位 32.74 20.18

最低求償順位 17.09 10.90

資料來源：Carty & Liberman (96a) –Moody’s Investors Service

我們所舉的例子 BBB 債券為第二求償順位債券，對照上表可以知道此債券的平均回收率為 51.13%且回收率的標準差為 25.45%。

情況二：當債券評等調升或調降後之評價(不發生違約時)

當債券評等在期末改變時，我們必須重新計算債券價格，進行此評價需要每一不同信用等級債券的遠期零息殖利率曲線資料(如表 3-3)，並利用每期現金流量與折現的觀念推得債券價格。

債券重新評信用利差

表 3-3 不同信用等級債券的遠期零息殖利率曲線資料來源：J.P Morgan CreditMetrics(1997)

根據我們的假設 BBB 評等債券，面額＄100，到期期間為五年，票面利率

步驟三：估計信用風險值

Total i i Total

更進一步，信用計量法考慮到發生違約時，回收率的標準差會影響到信用風

(二)多個債權之評價

計算多個債權的投資組合之信用風險值，必須考慮到債權之間的相關性，但是本文中討論台灣資料實證研究的部份，對債權相關性方面的資料並不充足，所以在這裡只簡要說明如何處理多個債權之信用評等聯合轉移矩陣，信用風險值詳細計算公式予以省略，期待往後相關資訊更為透明時，再做深入討論。圖 3-3 為考慮相關性的步驟架構圖。

圖 3-3 多債權評價架構

評等轉移可能性

債券重估現值違約回復率

信用評等

考慮信用等級改變情形之價值標準差信用價差求償順位

信用構成之風險值 相關性

評等序列

模型

聯合信用評等

同樣以 CreditMetrics技術文件中的例子做說明，假設持有到期期限為 5 年，票面利率為 6％的 BBB 評等債券及到期期限為 3 年，票面利率為 5％的 A 評等債券，依下列步驟可計算此投資組合的信用風險值。

步驟一：信用評等聯合轉移矩陣

比較多個債權與單一債權評價，有一個很大的差別在於債權間的相關性，下面我們分兩種情況考慮相關性造成的影響。

情況一：債權間相關性為零

若債券與債券之間，它們的評等變動完全無關，所以它們的聯合轉移機率為個別的轉移機率相乘，舉例說明，如果 BBB 評等債券與 A 評等債券再下一期都維持相同評等，則聯合轉移機率為：

79.15% = 86.93% * 91.05%

A 評等債券聯合轉移機率 BBB 評等債券

維持不變機率維持不變機率將所有可能情形整理如下表 3-6

表 3-6 信用評等聯合轉移矩陣(相關係數=0) A 評等債券

AAA AA A BBB BB B CCC Default BBB

評等債券

0.09 2.27 91.05 5.52 0.74 0.26 0.01 0.06 AAA 0.02 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 AA 0.33 0.00 0.01 0.30 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 A 5.95 0.01 0.14 5.42 0.33 0.04 0.02 0.00 0.00 BBB 86.93 0.08 1.98 79.15 4.80 0.64 0.23 0.01 0.05 BB 5.30 0.00 0.12 4.83 0.29 0.04 0.01 0.00 0.00 B 1.17 0.00 0.03 1.06 0.06 0.01 0.00 0.00 0.00 CCC 0.12 0.00 0.00 0.11 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 Default 0.18 0.00 0.00 0.16 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 資料來源：J.P Morgan CreditMetrics(1997)

情況二：債權間相關性不為零

考慮債權間相關性不為零的信用風險值計算較相關性為零時複雜很多，

CreditMetrics利用 Merton(1974)的公司價值理論與信用評等資訊，並加上債權間的相關性找出信用評等聯合轉移矩陣，最後可計算出此投資組合的平均值與標準差，說明如下。

Merton 的理論為當公司資產價值低於流通在外的負債總額時，即為發生違約。因此資產價值會有一個門檻值，此門檻值即為發生違約的臨界值，如圖 3-4 所示：

圖 3-4 資產價值分配及違約門檻值

違約門檻

違約發生情形

低資產價值高

同理，將此觀念應用於信用評等上，可利用某評等公司維持原等級或變為其他等級的機率，求出某評等公司價值低於其他信用評等價值的相對應門檻值，進而計算出聯合轉移機率與相對應的投資組合價值。下圖 3-5 為公司信用評等為 BBB 的例子。表 3-7 及表 3-8 為假設相關係數等於 0.3 時，計算出來的信用評等聯合轉移矩陣，以及相對應的投資組合價值。

圖 3-5 BBB 公司資產價值分配及其他等級門檻值

利用以上資訊，最後可得到 BBB 債券與 A 債券構成的投資組合價值平均值

total i i total 3.55

表 3-10 說明，當僅持有 BBB 評等債券時，1%百分位值為＄98.1，較平均數

＄107.09 小＄8.99。增加 A 評等債券後，投資組合的 1%百分位值為＄204.40，

較此時平均數 213.63 小＄9.23。可得邊際風險為＄0.24(＄9.23-＄8.99)，而 A 評等債券 1%百分位值為＄103.15，較平均數＄106.55 小＄3.39。比較邊際風險＄0.24 與 A 評等債券的＄3.39 之差異，同樣的這也可以說明風險分散的效果。

表 3-10 以百分位值看邊際風險

投資組合 (平均數)-(1%百分位值) 邊際風險

僅 BBB 評等債券＄8.99 BBB 評等債券與 A 評等債

券

＄9.23

僅 A 評等債券＄3.39

＄0.24

第二節 Jarrow-Lando-Turnbull (1997)模型(JLT Model)

JLT(1997)提出債券信用等級的變動過程，可以馬可夫鏈(Markov Chain)模型表示如下。假設x=

{

x tt^, =^{0,1, 2,}

}

為時間同質(Time-Homogeneous)的馬可夫鏈。

而其狀態空間為^N ⁼

{

^{1, 2,} ^,^{K K}^, ⁺¹

}

。其中 N=1 代表最高信用等級(Aaa)，N=2 代表第二高信用等級(Aa)，以此類推。N=K 代表最低信用等級(Caa)，N=K+1 代

而其狀態空間為^N ⁼

{

^{1, 2,} ^,^{K K}^, ⁺¹

}

。其中 N=1 代表最高信用等級(Aaa)，N=2 代表第二高信用等級(Aa)，以此類推。N=K 代表最低信用等級(Caa)，N=K+1 代

在文檔中信用評等轉移矩陣相關模型研究--台灣資料實証 (頁 15-0)

第二章 文獻回顧

第二節 Jarrow-Turnbull(1995)離散模型

( ) ( )

( )

( ) ( )

)

(

( )

(

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( )

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(

)

( )

( )

(

)

(

)

{

}

{

}

{

}

第二章文獻回顧