Vector Spaces
2.4. Linear Combination and Span of Vectors 在這一節中, 我們將介紹線性組合的概念
當 V 是 vector space over F, 要如何得到 V 的 subspace 呢? 我們可以在 V 中先找 到一個 v∈ V 然後找包含 v 的集合使其為包含 v 最小的 subspace. 首先這個集合必須 包含所有 F 中的元素與 v 的係數積, 如此方可保證係數積的封閉性. 所以我們考慮集合 {rv | r ∈ F}. 這個集合不只對 F 的係數積有封閉性, 而且有加法的封閉性, 事實上它就是
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包含 v 最小的 subspace 了. 我們用 Span(v) 來表示它, 意即 v 所 span (展成) 的向量空 間. 我們來驗證 Span(v) 確為 V 的 subspace. 首先由於 0 = 0v, 所以的確有 0∈ Span(v).
接著, 若 u, w∈ Span(V), 表示存在 s,t ∈ F 滿足 u = sv 且 w = tv, 因此對任意 r ∈ F, 我 們有 u + rw = (sv) + r(tv) = (s + rt)v. 由於 s + rt ∈ F, 我們有 (s + rt)v ∈ Span(v), 亦即 u + rw∈ Span(v). 得證 Span(v) 為 V 的 subspace.
現若 u, v∈ V, 既然 Span(u),Span(v) 為 V 的 subspace, 由上一節 subspace 的 sum 的概 念, 我們知 Span(u) + Span(v) 亦為 V 的 subspace. 依定義
Span(u) + Span(v) ={ru + sv | r,s ∈ F}.
由於它是包含 u, v 最小的 subspace, 我們視之為由 u, v 所展成的 subspace, 故一般用 Span(u, v) 來表示. 而 Span(u, v) 中的元素, ru + sv 就稱之為 u, v 的 linear combination (線 性組合). 這個概念可以推廣到一般有限多個向量的情況, 我們有以下的定義.
Definition 2.4.1. 假設 V 為 vector space over F, 且 v1, . . . , vn∈ V. 對於任意 c1, . . . , cn∈ F, 我們稱 c1v1+··· + cnvn 為 v1, . . . , vn 的 linear combination. 所有 v1, . . . , vn 的 linear combination 所成的集合, 我們用 Span(v1, . . . , vn) 來表示, 亦即
Span(v1, . . . , vn) ={
∑
ni=1
civi| c1, . . . , cn∈ F}.
我們可以直接驗證 Span(v1, . . . , vn) 會是 V 的 subspace (或是利用 sum 的概念, 參見 Question 2.7). 事實上它是包含 v1, . . . , vn 最小的 subspace. 這是因為若 W 是 V 的 subspace 且 v1, . . . , vn∈ W, 則由 W 的加法與係數積的封閉性得 Span(v1, . . . , vn)⊆ W.
其實我們不只談論有限多個 V 中的向量所展成的 subspace, 我們也可談論 V 中任意的 非空子集合所展成的 subspace. 不過這裡要注意的是, 我們每次只能處理有限多個向量的加 法, 所以線性組合也僅能是有限多個向量的線性組合. 因此當 V 中的子集合 S 有無窮多個 元素時, S 的 span 是由 S 中有限多個向量的線性組合所組成的. 我們有以下的定義.
Definition 2.4.2. 假設 V 為 vector space over F 且 S 是 V 的非空子集. 則定義 Span(S) ={
∑
ni=1
civi| n ∈ N, v1, . . . , vn∈ S, c1, . . . , cn∈ F}.
要提醒大家注意, 在 Definition 2.4.1 中 Span(v1, . . . , vn) 的定義, 由於涉及 v1, . . . , vn 這 n 個給定的向量, 所以在此我們用集合表示法說明 Span(v1, . . . , vn) 的元素時不必提及 n 和 v1, . . . , vn是什麼. 然而在 Definition 2.4.2 中當我們用集合表示法說明 Span(S) 的元素時, 我 們是在 S 中任選 n 個元素 v1, . . . , vn, 這 n 和 v1, . . . , vn 是變動的, 所以必須寫下表示 n 是任 意可能的正整數, 而 v1, . . . , vn 是 S 中任意可能的向量.
事實上 Span(S) 也會是 V 的 subspace. 首先 S 不是空集合, 所以存在 v∈ S, 此時考慮 0v = 0, 由 Span(S) 的定義 (取 n = 1, v1= v, c1= 0), 知 0∈ Span(S). 現若 u,v ∈ Span(S) 且 r∈ F, 則由於 u = c1u1+··· + cnun, 其 中 n∈ N, u1, . . . , un ∈ S 且 c1, . . . , cn ∈ F 以及 v = c′1v1+··· + c′mvm, 其中 m∈ N, v1, . . . , vm∈ S 且 c′1, . . . , c′m∈ F, 我們有
u + rv = c1u1+··· + cnun+ rc′1v1+··· + rc′mvm,
仍符合 Span(S) 中元素之定義, 故知 u + rv∈ Span(S) 得證 Span(S) 為 V 的 subspace.
在我們寫下一些向量的線性組合時, 前面乘的係數若是 0, 通常我們的省略不寫. 例如 2v1+ 3v2+ 0v3 是 v1, v2, v3 的一個線性組合, 不過我們通常寫成 2v1+ 3v2. 基於這個原因再 加上我們希望任何集合的 span 皆為 vector space, 因此當 S 是空集合 (用 /0 表示), 我們定 義 Span(S) = Span( /0) ={0} 這一個 zero subspace.
給定一個 vector space V , 若能找到一個 subset S 使得 Span(S) = V , 這當然很好, 表示 我們可以用較小的集合 S 就能描述 V . 特別的, 若 S 是有限個元素的集合那就更好, 表示僅 需有限多個元素就能 “掌握” V 中所有的元素.
Definition 2.4.3. 假設 V 為 vector space overF 且 S ⊆ V. 若 Span(S) = V, 則稱 S 為 V 的 一組 spanning set. 此時我們說 S generates (或 spans V ). 特別的, 若能找到 finite set (即僅 有有限個元素的集合) S 滿足 Span(S) = V , 此時我們稱 V 為 finitely generated vector space.
為何特別稱之為 finitely generated vector space 呢? 這表示此 vector space 中所有的 元素都可表示成固定有限多個元素的線性組合. 一般的 vector space, 有可能不是 finitely generated, 所以要區分出來, 我們看以下的例子.
Example 2.4.4. 我們討論前面提的一些 vector space 哪些是 finitely generated vector space.
(A) Mm×n(F) 是 finitely generated. 因為考慮 Ei j∈ Mm×n(F), 表示 (i, j)-th entry 為 1, 其 他 entry 為 0 的 m×n matrix. 很容易看出所有的 m×n matrix 皆可寫成 Ei j 其中 1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n 的 linear combination. 所以 {Ei j| 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n} 是 Mm×n(F) 的 spanning set, 也因此 Mm×n(F) 是 finitely generated vector space.
(B) P(F) 不是 finitely generated vector space. 這是因為如果 { f1(x), . . . , fn(x)} 為 P(F) 的 spanning set, 假設 f1(x), . . . , fn(x) 的最高次為 m, 則任何 f1(x), . . . , fn(x) 的 linear combi-nation c1f1(x) +··· + cnfn(x) 的次數皆不可能大於 m. 也就是說 Span( f1(x), . . . , fn(x)) 不可 能包含次數大於 m 的多項式. 此與 { f1(x), . . . , fn(x)} 為 P(F) 的 spanning set 明顯不合, 故 知 P(R) 不可能是 finitely generated. 不過次數小於等於 n 的多項式所成的集合 Pn(F) 就是 finitely generated vector space. 很容易看出{xn, . . . , x, 1} 就是 Pn(F) 的 spanning set.
大家或許直覺會認為 finite generated vector space 的 subspace 一定也是 finitely gener-ated. 這是對的, 不過證明卻不是如直覺那麼簡單 (大家不妨現在試著證明看看). 它的證明 等到介紹完 linearly independence 的概念, 我們就可以處理.
談到 Span(S), 我們自然會需要探討那些元素會是 Span(S) 的元素. 我們看以下的例子.
Example 2.4.5. 在 P3(R) 中考慮 u = x3−2x2−5x −3 and v = 3x3−5x2−4x −9. 我們要檢 查 2x3− 2x2+ 12x− 6 和 3x3− 2x2+ 7x + 8 是否屬於 Span(u, v). 首先檢查是否存在 a, b∈ R 使得 2x3− 2x2+ 12x− 6 = au + bv = a(x3− 2x2− 5x − 3) + b(3x3− 5x2− 4x − 9) 比較係數後我
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們發現 a, b 需滿足聯立方程組
a + 3b = 2
−2a − 5b = −2
−5a − 4b = 12
−3a − 9b = −6
利用上一章解聯立方程組的方法, 我們解得 a =−4,b = 2, 因此得到 2x3− 2x2+ 12x− 6 ∈ Span(u, v). 同樣的我們要檢查是否存在 a, b∈ R 使得 3x3− 2x2+ 7x + 8 = au + bv = a(x3− 2x2− 5x − 3) + b(3x3− 5x2− 4x − 9) 比較係數後我們發現 a,b 需滿足聯立方程組
a + 3b = 3
−2a − 5b = −2
−5a − 4b = 7
−3a − 9b = 8
結果發現此聯立方程組無解, 因此知 3x3− 2x2+ 7x + 8̸∈ Span(u,v).
我們可以討論更一般的情形, 即探討何時 f (x) = c1x3+ c2x2+ c3x + c4 會屬於 Span(u, v).
依定義, 這表示存在 a, b∈ R 使得 c1x3+ c2x2+ c3x + c4= a(x3− 2x2− 5x − 3) + b(3x3− 5x2− 4x− 9) 比較係數後我們發現 a,b 需滿足聯立方程組
a + 3b = c1
−2a − 5b = c2
−5a − 4b = c3
−3a − 9b = c4
利用 elementary row operation 我們將 augmented matrix
1 3 c1
−2 −5 c2
−5 −4 c3
−3 −9 c4
.
轉換得 reduced echelon form
1 0 −5c1− 3c2
0 1 2c1+ c2 0 0 −17c1− 11c2+ c3 0 0 3c1+ c4
.
這告訴我們此聯立方程組有解若且唯若−17c1− 11c2+ c3= 0 且 3c1+ c4= 0 且有解時其解 為 a =−5c1− 3c2, b = 2c1+ c2. 也就是說當−17c1− 11c2+ c3= 0 且 3c1+ c4= 0 時, 多項式
f (x) = c1x3+ c2x2+ c3x + c4 會屬於 Span(u, v) 且此時 f (x) = (−5c1− 3c2)u + (2c1+ c2)v.
在這一節最後, 我們列下一些有關 Span(S) 的性質.
Lemma 2.4.6. 假設 V 為 vector space over F 且 S ⊆ V, 則 Span(S) 是 V 中包含 S 最小的 subspace. 換句話說, 若 W 是 V 的 subspace 且 S⊆ W, 則 Span(S) ⊆ W.
Proof. 依定義 S⊆ Span(S) 且我們已知 Span(S) 是 V 的 subspace. 現假設 W 是 V 的 subspace 且 S⊆ W, 我們要說明 Span(S) ⊆ W. 對任意 v ∈ Span(S), 我們知存在 v1, . . . , vn∈ S 以及 c1, . . . , cn∈ F 使得 v = ∑ni=1civi. 現因 S⊆ W, 我們有 v1, . . . , vn∈ W, 故由 W 是 subspace,
得證 v =∑ni=1civi∈ W.
利用 Lemma 2.4.6, 我們馬上可知若 S1⊆ S2, 則 Span(S1)⊆ Span(S2). 這當然可直接用 定義來證明, 不過利用 Lemma 2.4.6, 我們就可以直接套用, 而省去許多繁瑣的論證. 這是 因為 Span(S2) 是 V 的 subspace 又 S1⊆ S2⊆ Span(S2), 故套用 Lemma 2.4.6 (考慮 S = S1, W = Span(S2) 的情形) 得證 Span(S1)⊆ Span(S2). 利用這個概念我們也可以很快的處理 Span 對兩集合交集及聯集的影響.
當 S1, S2 是 V 的 subsets, 我們可以考慮 Span(S1∩ S2) 和 Span(S1)∩ Span(S2) 的關係.
由於 S1∩ S2⊆ S1, 我們有 Span(S1∩ S2)⊆ Span(S1). 同理 Span(S1∩ S2)⊆ Span(S2). 由於 Span(S1∩ S2) 同時包含於 Span(S1) 和 Span(S2) 可推得 Span(S1∩ S2)⊆ Span(S1)∩ Span(S2).
不過反向 Span(S1∩ S2)⊇ Span(S1)∩ Span(S2) 就不一定成立, 主要原因是取集合的交集 遠比 Span 後再取交集小的多. 例如在 R2 上考慮 S1 ={(1,1)}, S2={(2,2)}. 我們有 S1∩S2= /0 所以 Span(S1∩S2) = Span( /0) ={0}; 不過 Span(S1) ={(r,r) | r ∈ R} = Span(S2),所 以 Span(S1∩ S2) ={0} ( Span(S1)∩ Span(S2).
接下來我們看聯集的情況. 因為 S1⊆ S1∪S2 且 S2⊆ S1∪S2, 我們有 Span(S1)⊆ Span(S1∪ S2) 以 及 Span(S2)⊆ Span(S1∪ S2), 所 以 當 然 Span(S1)∪ Span(S2)⊆ Span(S1∪ S2). 不 過 Span(S1)∪Span(S2)比起 Span(S1∪S2)太小了, 事實上我們知道 Span(S1)∪Span(S2)在大多數 的情況甚至不是 subspace (Proposition 2.3.6). 不過 Proposition 2.3.8 告訴我們 Span(S1) + Span(S2)是包含 Span(S1)和 Span(S2)最小的 subspace, 因此由 Span(S1∪ S2) 包含 Span(S1) 和 Span(S2) 且是 subspace 得 Span(S1) + Span(S2)⊆ Span(S1∪ S2). 另一方面 Span(S1∪ S2) 是包含 S1∪ S2 最小的 subspace, 然而 S1⊆ Span(S1) + Span(S2) 且 S2⊆ Span(S1) + Span(S2), 再加上 Span(S1) + Span(S2)是 subspace, 所以我們也有 Span(S1∪ S2)⊆ Span(S1) + Span(S2).
因此證得 Span(S1∪ S2) = Span(S1) + Span(S2). 我們總結以上的結果如下.
Proposition 2.4.7. 假設 V 為 vector space over F 且 S1, S2 皆為 V 的 subsets.
(1) 若 S1⊆ S2, 則 Span(S1)⊆ Span(S2).
(2) Span(S1∩ S2)⊆ Span(S1)∩ Span(S2).
(3) Span(S1∪ S2) = Span(S1) + Span(S2).
