Chapter 1
Systems of Linear Equations
這一章要探討的是多元一次的聯立方程組. 我們依然利用大家熟悉的加減消去法 (或高斯消 去法) 來處理這類方程組. 不過我們不再只關心如何解特定的聯立方程組, 而會更著重於有 系統地探討一般聯立方程組解的情況的理論. 我們會用矩陣來表示一個聯立方程組, 不過這 裡的矩陣僅是為了方便起見而使用, 不會涉及矩陣的性質. 至於真正矩陣的運算及性質, 我 們留待下一章再詳述.
1.1. 一次聯立方程組及基本列運算
所謂 n 元一次的方程式就是有 n 個未知數 (variable) 的一次方程式 (linear equation). 例如 2x1+ 5x2− x3+ x4= 1 就是一個 4 元一次的聯立方程組 (當然也可看成是 5 元或更高元). n 元一次的方程式抽象的表示法就是
a1x2+··· + anxn= b,
其中這些 a1, . . . , an 和 b 都是實數, 而這些 xi 表未知數. 當我們有多個 n 元一次的方程式要 討論它們的共同解時, 就稱為解一次聯立方程組 (system of linear equations). 一般抽象的 表示法
a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 ...
am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm
表示有 m 個 n 元一次方程式所成的方程組. 這裡 a11x1+ a12x2+··· + a1nxn = b1 表示 第一個方程式, a21x1+ a22x2+··· + a2nxn= b2 表示第二個方程式, 而當 1≤ i ≤ m 時, 第 i 個 方 程 式 就 是 ai1x1+ ai2x2+··· + ainxn= bi, 所 以 最 後 一 個 (即 第 m 個) 方 程 式 就 是 am1x1+ am2x2+··· + amnxn= bm. 這裡 ai j, bi 皆為實數, 這些實數才是真正影響到聯立方程組 1
的因素, 所以我們也可特別把它們標明出來, 令
A =
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
... ... ... ... am1 am2 ··· amn
, x =
x1 x2 ... xn
, b =
b1 b2 ... bm
,
然後將上面的聯立方程組用 Ax = b 來表示. 矩陣 A 中的每一個 ai j 稱為 A 的一個 entry.
因為 A 的每一個 entry 對應到聯立方程組中某個未知數的係數, 通常我們會稱矩陣 A 為 此聯立方程式的係數矩陣. 一個矩陣的一個橫排稱為一個 row (列), 而一個豎排稱為一個 column (行). 我們算 row 時是從上而下來數的, 也就是說最上面的一個 row 稱為第一個 row, 下一個 row 稱為第二個 row, 依此類推. 而算 column 是由左而右來數的, 也就是說最 左邊的一個 column 稱為第一個 column, 再往右一個 column 稱為第二個 column, 依此類 推. 大家可以看出矩陣 A 的 row 對應的就是此聯立方程組的方程式, 第一個 row 對應到第 一個方程式, 第二個 row 對應到第二個方程式, 依此類推. 而 column 對應到的是方程組的 未知數, 第一個 column 對應到的是未知數 x1 的係數, 第二個 column 對應到的是未知數 x2 的係數, 依此類推. 因為這裡是由 m 個方程式而且每個方程式有 n 個未知數所組成的聯立 方程組, 所以 A 共有 m 個 row 以及 n 個 column, 我們稱這樣的矩陣為 m× n matrix. 注意 這裡 x 表示是一個未知的向量而且我們將向量 x, b 都寫成 column vector (行向量) 是為了 配合將來矩陣乘法的寫法. 目前大家只要記住這也是聯立方程式的一種表示法即可.
例如解聯立方程組
3x1− 2x2+ 9x4 = 4
2x1+ 2x2− 4x4 = 6 (1.1) 我們就可以表成
[ 3 −2 0 9 2 2 0 −4
]
x1
x2 x3 x4
= [ 4
6 ]
注意這裡係數矩陣多出 [ 0
0 ]
這個 column 因為 x3 的係數為 0.
過去學習解一次聯立方程組的方法不外加減消去法或高斯消去法, 它們的原理都是一樣 的, 即利用以下三種基本方法:
(1) 變換式子的順序
(2) 將某一式乘上一非零實數
(3) 將某一式乘上一實數後加到另一式上
利用這三種基本方法將方程式的某些變數消去, 最後求出解來. 我們將介紹一個有系統的方 法來解聯立方程組, 把這三種基本方法看成是對矩陣的運算.
1.1. 一次聯立方程組及基本列運算 3
當我們要解
a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm
這一個聯立方程組時, 先寫出如下的 augmented matrix (增廣矩陣)
a11 a12 ··· a1n b1
a21 a22 ··· a2n b2 ... ... . .. ... ... am1 am2 ··· amn bm
例如式子 (1.1) 中的聯立方程組所對應的 augmented matrix 為 [ 3 −2 0 9 4
2 2 0 −4 6 ]
換言之, 若我們要解 Ax = b 這一個聯立方程組, 就要寫下 [A| b] 這一個 matrix. 反之一個 augmented matrix [A| b] 就對應到一個聯立方程組 Ax = b.
接下來我們將如加減消去法的三種步驟, 利用所謂的 elementary row operation (基本列 運算) 處理這個 augmented matrix. 所謂 elementary row operation 即表示對矩陣進行如下 三種的列運算:
(1) 將矩陣的某兩個 row 對調
(2) 將矩陣的某一個 row 乘上一非零實數
(3) 將矩陣的某一個 row 乘上一實數後加到另一個 row.
為了方便起見, 我們將上面 (1), (2), (3) 三種 elementary row operation 分別稱為 type 1, type 2 以及 type 3 的 elementary row operation.
Example 1.1.1. 考慮矩陣
A =
1 2 3 4 2 1 −1 3 4 0 1 2
.
將 A 的第一、第二兩個 row 互換 (即做一個 type 1 的 elementary row operation), 可得
B =
2 1 −1 3 1 2 3 4 4 0 1 2
.
而將 B 的第二個 row 乘上 2 (即做一個 type 2 的 elementary row operation), 可得
C =
2 1 −1 3 2 4 6 8 4 0 1 2
.
而 將 C 的 第 三 個 row 乘 上 −3 加到第一個 row (即做一個 type 3 的 elementary row operation), 可得
D =
−10 1 −4 −3 2 4 6 8 4 0 1 2
.
注意, 若一個矩陣 P 經由一個 elementary row operation 轉換成矩陣 Q, 我們也可以對 Q 藉由同樣 type 的 elementary row operation 將之轉換回 P. 例如前面 Example 1.1.1 中, 我們可以將 B 的第一、第二兩個 row 互換而得到 A. 我們也可將 C 的第二個 row 乘上 1/2 而得到 B. 另外我們也可將 D 的第三個 row 乘上 3 加到第一個 row 而轉換回 C.
前面提過, 我們將聯立方乘式用矩陣 Ax = b 來表示, 是想利用矩陣的乘法來處理聯立方 程式. 事實上 elementary row operation 已可以看成是矩陣的乘法運算. 首先考慮 n× n 的 單位矩陣 In (即 In 的對角線位置皆為 1, 其他位置為 0). 若用 i-th row 和 j-th row 交換的 type 1 elementary row operation 將 In 轉換成矩陣 E1, 可得
E1=
1
. ..
0 1
. ..
1 0
. ..
1
.
同樣的若使用 type 2 elementary row operation 將 In 的 i-th row 乘上非零實數 r 轉換成矩 陣 E2, 可得
E2=
1
. ..
1 r
1 . ..
1
.
最後若使用 type 3 elementary row operation 將 In 的 i-th row 乘上實數 r 加到 Im 的 j-th row 所得的矩陣為 E3, 可得
E3=
1
. ..
1 . ..
r 1
. ..
1
.
這樣的矩陣我們稱之為 elementary matrix. 而我們分別稱 E1, E2, E3 為 type 1, type 2 以及 type 3 的 elementary matrix.
1.1. 一次聯立方程組及基本列運算 5
當 A 是一個 m× n matrix. 要對 A 做一個 type 1 的 elementary row operation 得到矩 陣 B, 我們可以先可慮 type 1 elementary matrix E1, 其中 E1 是將 m× m 的 identity matrix Im 做同樣的 type 1 elementary row operation 所得的 elementary matrix. 將來當我們更深 入介紹矩陣乘法後可以驗證 B 就會是 E1A. 同理對 A 做 type 2, type 3 的 elementary row operation 就是將 A 左邊乘上其所對應的 elementary matrix.
Example 1.1.2. 考慮 Example 1.1.1 的情形. A 是 3×4 matrix 且 B 是將 A 的第一個 row 和第二個 row 交換所得. 考慮將 I3 的第一個 row 和第二個 row 交換所得的 elementary matrix
E1=
0 1 0 1 0 0 0 0 1
.
可得
E1A =
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 2 3 4 2 1 −1 3 4 0 1 2
=
2 1 −1 3 1 2 3 4 4 0 1 2
= B.
同樣的 C 是由 B 的第二個 row 乘上 2 所得, 所以我們考慮將 I3 的第二個 row 乘上 2 所得 的 elementary matrix
E2=
1 0 0 0 2 0 0 0 1
.
可得
E2B =
1 0 0 0 2 0 0 0 1
2 1 −1 3 1 2 3 4 4 0 1 2
=
2 1 −1 3 2 4 6 8 4 0 1 2
= C.
最後 D 是將 C 的第三個 row 乘上 −3 加到第一個 row, 所以我們考慮將 I3 的第三個 row 乘上−3 加到第一個 row 所得的 elementary matrix
E3=
1 0 −3 0 1 0 0 0 1
.
可得
E3C =
1 0 −3 0 1 0 0 0 1
2 1 −1 3 2 4 6 8 4 0 1 2
=
−10 1 −4 −3 2 4 6 8 4 0 1 2
= D.
上面所提這種將一個矩陣做 elementary row operation 可視為將此矩陣左邊乘上其對應 的 elementary matrix 的看法, 將來對我們探討矩陣的性質是很有幫助的. 這種看法的互換, 也時能讓我們得到有趣的結果. 例如前面提過一個矩陣經由一個 elementary row operation 轉變成另一個矩陣後, 我們可以再用相同 type 的 elementary row operation 將其轉換回原 來的矩陣. 這個事實用 elementary matrices 的角度來看, 可以有以下的看法:
(1) 設 E1 是將 Im 的 i-th row 和 j-th row 互換的 type 1 elementary matrix. 我們 將 E1 的 i-th row 和 j-th row 再互換就可轉換回 identity matrix Im. 所以我們有 E1E1= Im.
(2) 設 E2 是將 Im的 i-th row 乘上非零實數 r 的 type 2 elementary matrix. 我們將 E2 的 i-th row 乘上 r−1 就可轉換回 Im. 所以若令 E2′ 為將 Im 的 i-th row 乘上 r−1 的 type 2 elementary matrix, 我們有 E2′E2= Im. 同理可得 E2E2′ = Im.
(3) 設 E3是將 Im的 i-th row 乘上實數 r 加到 j-th row 所得的矩陣的 type 3 elementary matrix. 我們將 E3 的 i-th row 乘上 −r 再加到 j-th row 就可轉換回 Im. 所以若令 E3′ 為將 Im的 i-th row 乘上−r 的 type 3 elementary matrix, 我們有 E3′E3= Im. 同 理可得 E3E3′ = Im.
我們知道當一個 m× m 的矩陣 A 若可找到矩陣 B 使得 BA = AB = Im, 則稱 A 為一個 invertible matrix (可逆矩陣), 且 B 為 A 的 inverse (反矩陣). 從上面的探討我們有以下之結 論.
Proposition 1.1.3. 假設 E 是一個 elementary matrix, 則 E 為 invertible 且 E 的 inverse 是和 E 相同 type 的 elementary matrix.
在這一節的最後我們要說明一下, 既然有所謂的 elementary row operations 當然也會 有 elementary column operations. 它的概念只是將 row operation 對 row 的動作改為對 column 的動作. 我們將一個矩陣的 i-th column 和 j-th column 對調, 這一個動作及稱為 type 1 的 elementary column operation. 若將矩陣的 i-th column 上的數皆乘上非零實數 r, 則稱 type 2 的 elementary column operation. 至於 type 3 的 elementary column operation 就是把矩陣的 i-th column 乘上 r 後加到其 j-th column. 由於 column operations 並未用在 解聯立方乘組的問題, 所以這裡我們僅約略介紹其相關的概念, 不再像前面依樣詳述. 事實 上 column operations 的概念和 row operations 是相呼應的, 大家可以用前面探討的方式檢 驗.
將 identity matrix Im做 elementary column operation 後會得到甚麼樣的矩陣呢? 結果 也會是前面提到的 elementary matrix (這也是 elementary matrix 沒有區分 row 和 column 的原因). 例如將 Im 的 i-th column 和 j-th column 互換所得的矩陣就是將 Im 的 i-th row 和 j-th row 互換的 type 1 elementary matrix. 而將 Im 的 i-th column 乘上非零實數 r 的矩 陣, 就是將 Im 的 i-th row 乘上 r 的 type 2 elementary matrix. 不過要注意, 將 Im 的 i-th column 乘上實數 r 加到 j-column 所得的矩陣不是將 Im 的 i-th row 乘上實數 r 加到 j-th row 所得的 elementary matrix, 而是將 Im 的 j-th row 乘上實數 r 加到 i-th row 所得的矩 陣的 type 3 elementary matrix. 這一部分請務必檢驗, 就能了解其中原因.
既 然 一 個 elementary matrix 同 時 可 對 應 到 elementary row operation 也 可 對 應 到 elementary column operation, 那要如何區分呢? 別忘了, 矩陣的乘法是沒有交換性的. 前面 我們知道, 當一個 elementary matrix E 乘在一個矩陣 A 的左邊時, 所得的矩陣 EA 會是對 A 做 E 所對應的 elementary row operation. 而若將 E 乘在矩陣 B 的右邊, 則所得的矩陣 BE 會是對 B 做 E 所對應的 elementary column operation. 這個部分, 等到以後介紹矩陣乘 法時, 我們會有更進一步的說明. 目前也請自行找例子驗證. 為了方便起見, 我們綜合成以 下的結論.
1.2. 解聯立方程組 7
Theorem 1.1.4. 假設 A 是一個 m× n matrix. 若 E 是對 Im 做 elementary row operation 所得的 elementary matrix, 則 EA 就會是對 A 作相對應的 elementary row operation 所得 的矩陣. 若 E′ 是對 In 做 elementary column operation 所得的 elementary matrix, 則 AE′ 就會是對 A 作相對應的 elementary column operation 所得的矩陣.
這裡我們再說明一下, 當 A 是一個 m× n matrix, 因為 A 有 m 個 row, 所以乘在左邊 的 elementary matrix (對應到 elementary row operation) 必須是一個 m 階方陣. 同樣的, 因為 A 有 n 個 column, 所以乘在右邊的 elementary matrix (對應到 elementary column operation) 必須是一個 n 階方陣.
1.2. 解聯立方程組
大家應很容易看出一個 augmented matrix 經過上節所提的 elementary row operation 後所 得的 augmented matrix 所對應的聯立方程組就是大家熟悉的加減消去法的三種步驟所得 的方程組. 利用加減消去法最常遇到的問題就是 (尤其在處理未知數很多的方程組時), 常常 做了幾次後, 混亂到不知道那些式子是消過了以及那些式子還可以再進一步消減. 還有就是, 到底要將方程組的式子消到哪種地步時, 才可以解出方程組. 關於第一個問題, 我們可以理 解用矩陣的表示法就可以把這消去的過程記錄下來. 而接下來我們要探討的就是第二個問 題, 也就是將矩陣化成某種特定的形式就可以解出方程式來.
我們的目的就是要將 augmented matrix [A| b] 中的係數矩陣 A 利用這三種 elementary row operation 化成所謂的 echelon form.
我們先解釋一下何謂 echelon form. 首先我們將矩陣每一個 row 從左到右來看第一個不 為 0 的項稱為這個 row 的 leading entry. 因為係數矩陣中的每一個 entry 對應到聯立方程 組中某個 variable (未知數) 的係數, 所以 leading entry 若是 variable xi 的係數, 我們就說 這個 leading entry 發生在 xi 的位置. 要注意, 這也等同於這個 leading entry 是位於從左到 右算來第 i 個 column. 例如矩陣
1 2 1 1 4 0 0 5 0 2 0 0 1 −1 1
第一個 row 的 leading entry 為 1 不過因為第一個 row 還有其他位置也是 1, 所以我們特 別要說明第一個 row 的 leading entry 發生在 x1 的位置, 而第二個 row 和第三個 row 的 leading entry 分別為 5 和 1 且發生的位置皆在 x3.
所謂一個矩陣是 echelon form 表示這個矩陣沒有 leading entry 的 row (即該 row 每一 項皆為 0) 必需在最下方, 而有 leading entry 的 row 其 leading entry 所在位置從上到下來 看是往右移的. 換言之, 若上一個 row 的 leading entry 所在的位置是 xi, 而下一個 row 的 lading entry 是 xj, 則必需 i < j. 例如上一個矩陣並非 echelon form, 因為第 3 個 row 和第 2 個 row 的 leading entry 的位置皆為 x3, 並未右移. 另外矩陣
1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 3 0
,
0 1 1 2 0 0 2 −1 3 0 0 0
都不是 echelon form, 因為前一個矩陣全為 0 的 row 並未置於最下方, 而後一個矩陣第 3 個 row 的 leading entry 在第 2 個 row 的 leading entry 的左方. 至於矩陣
0 2 1 1 4 0 0 3 0 2 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0
就是 echelon form. 當一個矩陣是 echelon form 時, 我們稱每一個 row 的 leading entry 為 pivot, 而 pivot 所在的位置我們稱為 pivot variable.
當我們將 augmented matrix [A| b] 利用 elementary row operation 將之化成 [A′| b′]且 A′ 為 echelon form 後. A′ 有兩種情形. 一種情形為 A′ 每一個 row 皆不全為 0; 另一種為 A′ 有些 row 全為 0. 我們分別依這兩種情形來討論聯立方程組的解.
(1) A′ 每一個 row 皆不全為 0: 此時聯立方程組為 consistent, 即一定有解. 我們又可 細分成兩種情況.
(a) 第一種情況是每一個變數 (variable) xi 皆為 pivot variable. 亦即 pivot 的個數 等於方程組未知數的個數 (即係數矩陣 A 的 column 個數). 例如
2 1 1 4 0 3 1 2 0 0 −1 1
此時 echelon form 的 pivot variable 分別為 x1, x2, x3 恰就是聯立方程組的未知 數 x1, x2, x3. 在這種情況之下此聯立方程組會有唯一解, 而且我們可利用從下 往上 “代回” 的方式求得解. 例如前面的 augmented matrix 所對應的聯立方 程組為
2x1 +x2 +x3 = 4 3x2 +x3 = 2
−x3 = 1
所以我們從最下面的 −x3= 1 可得 x3=−1. 再將 x3=−1 代入其上一式 3x2+x3= 2, 得 3x2−1 = 2, 即 x2= 1. 最後將 x3=−1,x2= 1 代入 2x1+x2+x3= 4, 得 x1= 2. 故得其解為 x1= 2, x2= 1, x3=−1.
(b) 第二種情況是有些 variable xi 不是 pivot variable. 也就是方程組未知數的個 數多於 pivot 的個數. 例如
2 1 3 1 4 0 3 3 1 2 0 0 0 −1 1
此時 echelon form 的 pivot variable 分別為 x1, x2, x4 少於立方程組的未知數 x1, x2, x3, x4. 在此情形之下此聯立方程組會有無窮多解. 要得到這種方程組所 有的解, 首先我們要找到 free variables. 所謂 free variable 指的是方程組不 是 pivot variable 的 variable. 例如前面這個例子, x3 就是 free variable. Free variable 意指它可以任意取值, 所以找到 free variables 後你可以給它們任意 的參數, 然後再利用如上一情況中由下往上代回的方式找到聯立方程組所有的
1.2. 解聯立方程組 9
解. 例如上一個 augmented matrix 所對應的聯立方程組為 2x1 +x2 +3x3 +x4 = 4
3x2 +3x3 +x4 = 2
−x4 = 1
首先令 free variable x3 為一參數 t (表示它可以是任意實數 t ∈ R). 接著 我們從最下面的 −x4= 1 可得 x4=−1. 再將 x3= t, x4=−1 代入其上一式 3x2+ 3x3+ x4= 2, 得 3x2+ 3t− 1 = 2, 即 x2= 1− t. 最後將 x2= 1− t,x3= t, x4=−1 代入 2x1+ x2+ 3x3+ x4= 4, 得 x1= 2−t. 故得其解為 x1= 2−t,x2= 1−t,x3= t, x4=−1, 其中 t 為任意實數. 因為 t 可以是任意實數, 由此我們也 知此方程組有無窮多解.
(2) A′ 有些 row 全為 0: 此時聯立方程組可能無解, 我們分成兩種情況:
(a) A′ 有一個 row 全為 0 但 b′ 在該 row 不為 0. 例如
[A′| b′] =
2 1 1 4 0 3 1 2 0 0 0 1
A′ 最後一個 row 皆為 0, 但 b′ 在該 row 的位置為 1. 在此情形之下聯立方程 組為 inconsistent, 即無解. 例如上一個 augmented matrix 其最後一個 row 所 對應的方程式為
0x1+ 0x2+ 0x3= 1
但不管 x1, x2, x3 代任何的實數都無法滿足 0x1+ 0x2+ 0x3= 1, 所以此方程組無 解.
(b) A′ 全為 0 的 row, b′ 在該 row 亦為 0. 例如
2 1 4 0 3 2 0 0 0
,
2 1 3 1 4 0 3 3 1 2 0 0 0 0 0
這兩個 augmented matrices 皆為這種情形. 在此情形之下聯立方程組一定 是 consistent. 事實上在此情形我們可以忽略全為 0 的 row, 例如前兩個 augmented matrices 所對應的方程組和
[ 2 1 4 0 3 2
] ,
[ 2 1 3 1 4 0 3 3 1 2
]
所對應的方程組一樣. 所以我們可依前面 (1) A′ 每一個 row 皆不全為 0 的情 況找出聯立方程組所有的解.
我們總結一下, 當 A 是 echelon form 時, 如何找出 Ax = b 所有的解的方法. 很容易看出 當 A 有一個 row 全為 0 但 b 在該 row 不為 0 時該方程組無解, 我們僅討論其他有解的情 況. 此時我們先挑出 free variable (即非 pivot variable). 由於 free variable 可以任意取值, 一般來說我們會用一些參數表示之 (注意不同的 free variable 要用不同的參數代號). 接著, 我們由下而上, 從最大編號的 pivot variable 開始, 利用 free variables 的那些參數將它的值 寫下來, 再依序直到寫出所有 pivot variables 的值.
另外, 我們要強調, 絕不會有 pivot 的個數多於方程組 variables (未知數) 的個數的情 形發生. 這是因為當係數矩陣 A 是 echelon form 時, 每一個 column 最多僅能有一個 pivot (因為不能有兩個 leading term 在同一個位置), 所以 pivot 的個數不能多於 column 的個數.
而 A 的 column 個數表示的就是此聯立方程組 variables 的個數, 因此 pivot 的個數不會多 於 variables 的個數. 另一方面依定義每一個 row 最多僅能有一個 pivot, 所以 pivot 的個數 也不會多於該方程組的方程式個數 (即係數矩陣 row 的個數).
Question 1.1. 考慮一個由 n 個 variables 的 m 個方程式所組成的聯立方程組. 試說明前 面討論 (1)(a) 的情形只有在 m = n 的時候才有可能發生; 而 (1)(b) 的情形只有在 m < n 的 情形才有可能發生;
我們看以下幾個解聯立方程組的例子.
Example 1.2.1. Solve the linear system
x2 −3x3 = −5 2x1 +3x2 −1x3 = 7 4x1 +5x2 −2x3 = 10.
此聯立方程組的 augmented matrix 為
0 1 −3 −5 2 3 −1 7 4 5 −2 10
.
由於第二, 三 row 的 leading entry 在最左端. 但第二 row 的 leading entry 的值較小, 為了 計算方便, 我們將之置於第一個 row, 即將一, 二 row 交換得
2 3 −1 7 0 1 −3 −5 4 5 −2 10
.
接下來由於第三 row 的 leading entry 也在 x1 的位置需要消去, 所以將第一 row 乘上 −2
加到第三 row 得
2 3 −1 7
0 1 −3 −5
0 −1 0 −4
.
此時係數矩陣仍不是 echelon form, 需將第三 row 的 x2 位置的 entry 消去. 故將第二 row
加至第三 row 得
2 3 −1 7 0 1 −3 −5 0 0 −3 −9
.
這是 echelon form. 由於係數矩陣沒有全為 0 的 row, 我們知此 linear system 為 consistent.
而又 pivot 的個數等於 variable 的個數, 故知此 linear system 的解唯一. 事實上, 最下 面第三 row 表示 −3x3=−9, 得 x3= 3. 代入第二 row 表示的 x2− 3x3=−5, 得 x2= 4.
最後代入第一 row 表示的 2x1+ 3x2− x3 = 7, 得 x1 =−1. 故知此 linear system 的解為 (x1, x2, x3) = (−1,4,3).
1.2. 解聯立方程組 11
Example 1.2.2. Solve the linear system
x1 −1x2 +2x3 +3x4 = 2 2x1 +1x2 +1x3 = 1 x1 +2x2 −1x3 −3x4 = 7.
此聯立方程組的 augmented matrix 為
1 −1 2 3 2 2 1 1 0 1
1 2 −1 −3 7
.
第二, 三 row 的 leading entry 需被消去. 故將第一 row 分別乘上−2,−1 加到第二, 三 row
得
1 −1 2 3 2 0 3 −3 −6 −3
0 3 −3 −6 5
.
接下來由於第三 row 的 leading entry 需要消去, 所以將第二 row 乘上−1 加到第三 row 得
1 −1 2 3 2 0 3 −3 −6 −3
0 0 0 0 8
.
這是 echelon form. 由於第三 row 表示 0x1+ 0x2+0x3= 8, 知此 linear system 為 inconsistent.
Example 1.2.3. Solve the linear system
x1 −2x2 +1x3 −1x4 = 4 2x1 −3x2 +4x3 −3x4 = −1 3x1 −5x2 +5x3 −4x4 = 3
−x1 +1x2 −3x3 +2x4 = 5.
此聯立方程組的 augmented matrix 為
1 −2 1 −1 4 2 −3 4 −3 −1 3 −5 5 −4 3
−1 1 −3 2 5
.
第二, 三, 四 row 的 leading entry 需被消去. 故將第一 row 分別乘上 −2,−3,1 加到第二,
三, 四 row 得
1 −2 1 −1 4
0 1 2 −1 −9
0 1 2 −1 −9
0 −1 −2 1 9
.
接下來第三, 四 row 的 leading entry 需要消去, 所以將第二 row 分別乘上−1,1 加到第三,
四 row 得
1 −2 1 −1 4
0 1 2 −1 −9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
這是 echelon form. 由於係數矩陣全為 0 的第三, 四 row 全為 0, 知此 linear system 為 consistent.
事實上此 linear system 的 pivot variables 為 x1, x2, 而 free variables 為 x3, x4. 我們可以 令 x4= r, x3= s, 代入第二 row 表示的 x2+ 2x3− x4=−9, 得 x2=−9 + r − 2s. 再代入第一 row 表示的 x1− 2x2+ x3− x4= 4, 得 x1=−14 + 3r − 5s. 故知此 linear system 的解為
(x1, x2, x3, x4) = (−14 + 3r − 5s,−9 + r − 2s,s,r),r,s ∈ R.
通常我們習慣寫成 column vector 且將 r, s 提出. 故將解寫成
x1
x2
x3 x4
=
−14
−9 0 0
+ r
3 1 0 1
+ s
−5
−2 1 0
,r,s ∈ R.
了解到解聯立方程組的方法及步驟後, 有幾件事必須要說明: (1) 為何經由 elementary row operations 我們可以將一個矩陣化為 echelon form? (2) 為何利用這個 echelon form, 便 可得到與原方程組相同的解集合? (3) 為什麼用前面介紹 (pivot variables, free variables) 的 方法就可以把係數矩陣是 echelon form 的聯立方程組所有的解找出來? 在下一節, 我們將 詳細介紹有關 echelon form 的特性, 然後一一回答這些問題. 不過再次提醒大家務必先熟悉 這節介紹解聯立方程組的方法及步驟.
1.3. Echelon Form
這一節中我們將說明前面提到有關 echelon form 的三個問題. 首先我們利用數學歸納法 來說明為何一定可以將一個矩陣化為 echelon form. 我們是對矩陣的 row 的個數作數學 歸納法. 先說明所有只有一個 row 的矩陣一定是 echelon form, 然後利用這件事實證明所 有有兩個 row 的矩陣皆可利用 elementary row operations 化為 echelon form. 再利用兩個 row 的矩陣會成立的事實證明有 3 個 row 的矩陣也可利用 elementary row operations 化為 echelon form, 如此一直下去我們可證有 4, 5, 6, . . . 個 row 的矩陣會成立. 不過這樣的方法我 們可以證得有特定個數的 row 的矩陣會成立 (例如 10 個 row), 但無法證得一般的情形 (即 任意個數的 row). 此時數學歸納法是最好的論證工具了. 若我們能知道有 k 個 row 的矩陣 一定能利用 elementary row operations 化為 echelon form 這個事實且利用這個事實證得有 k + 1 個 row 的矩陣一定能利用 elementary row operations 化為 echelon form, 這就表示當 我們知道有一個 row 的矩陣能利用 elementary row operations 化為 echelon form 就能推得 有兩個 row 的矩陣能利用 elementary row operations 化為 echelon form, 也進而推得有 3 個 row 的矩陣亦成立, 再進而推得有 4 個 row 的矩陣亦成立, 如此一直下去當然可知任意 的矩陣皆能利用 elementary row operations 化為 echelon form.
我們先看只有一個 row 的矩陣. 此時由於沒有任何的 row 在其下方所以依定義自然是 echelon form. 接著看有兩個 row 的矩陣. 首先注意依定義一個 echelon form 的第一個 row 其 leading entry (若有的話) 必在所有其他 row 的 leading entry 所在位置的左方. 所以我 們在此有兩個 row 的矩陣挑出 leading entry 在最左方的一個 row (若兩個 row 的 leading entry 所在位置相同就任取一個 row) 利用 row 交換的 row operation 將之置於第一個 row.
接下來注意依定義下一個 row 的 leading entry 所在位置需在第一個 row 的 leading entry 的右方. 現若第二個 row 的 leading entry 所在位置和第一個 row 不同, 則因已知第一個
1.3. Echelon Form 13
row 的 leading entry 所在位置在最左方, 第二個 row 的 leading entry 所在位置一定在第 一個 row 的 leading entry 的右方, 故依定義此時已為 echelon form. 而若第二個 row 的 leading entry b 所在位置和第一個 row 的 leading entry a 相同, 我們可將第一個 row 乘 以 −b/a, 再加到第二個 row 上. 如此一來第二個 row 原本的 leading entry 變為 0, 故其 leading entry 所在位置往右移了, 依定義此時為 echelon form.
接著我們使用數學歸納法的假設, 亦即任何有 k 個 row 的矩陣皆可利用 elementary row operation 化為 echelon form. 現在我們要處理有 k + 1 個 row 的矩陣. 如前面的方法, 首先 我們將 leading entry 的位置在最左邊的那個 row 利用兩 row 互換的 row operation 將之置 於第一個 row. 現假設此時第一個 row 的 leading entry 為 a. 接下來我們挑出其他 row 中 leading entry 的位置與第一個 row 的 leading entry 位置一樣的 row. 若該 row 的 leading entry 為 b, 我們便將第一個 row 乘上 −b/a 後加到該 row 上. 如此一來該 row 的 leading entry 所在位置便往右移了. 一直重複此步驟, 直到第一個 row 以外的 row 其 leading entry 所在位置皆與第一個 row 的 leading entry 所在位置相異. 注意, 此時第一個 row 以下的 各 row 其 leading entry 所在位置皆在第一個 row 的 leading entry 所在位置的右方. 若 我們不看第一個 row, 所剩下的是一個有 k 個 row 的矩陣, 所以利用前面已知有 k 個 row 的矩陣皆可利用 elementary row operations 化為 echelon form, 我們可以利用 elementary row operations 將此矩陣第一個 row 以下的部份化為 echelon form. 但此時因各個 row 的 leading entry 所在位置皆在第一個 row 的 leading entry 所在位置的右方, 所以整個矩陣亦 為 echelon form. 故得證所有矩陣皆可利用 elementary row operations 化為 echelon form.
大家或許注意到我們在化成 echelon form 的過程皆沒有用到將某個 row 乘上一非 0 實數這 一個 type 2 的 elementary row operation. 事實上在化成 echelon form 的過程確實只需要 用到 type 1,3 這兩種 elementary row operations, 至於 type 2 的 elementary row operation 會在以後我們會介紹化為 “reduced” echelon form 的過程是需要的, 留待以後再談.
接下來我們說明為何將 augmented matrix [A| b] 利用 elementary row operations 化成 echelon form [A′| b′], 則其對應的聯立方程組 A′x = b′ 會和原方程組 Ax = b 有相同的解集 合. 首先觀察若將一聯立方程組 Ax = b 的 augmented matrix [A| b] 利用三種 elementary row operation 的任一種變換成 [A′| b′] 表示將原方程組利用加減消去法的三個基本方法將 之變成方程組 A′x = b′. 然而方程組 Ax = b 若利用加減消去法的三種方法 (即將兩式子對 調順序或將某一式乘上某個非 0 實數或將一個式子乘上某個實數加到另一個式子) 變換成 方程組 A′x = b′, 原來滿足 Ax = b 的一組解仍會滿足 A′x = b′. 也就是說 Ax = b 的解就會 是 A′x = b′ 的解. 不過這不表示它們會有相同的解集合, 我們還要說明 A′x = b′ 的解也會是 Ax = b 的解才行. 然而我們前面提及 elementary row operations 是可以還原的. 換句話說 [A′| b′]也可經由 elementary row operations 變換成 [A| b]. 所以套用剛才的理由, 我們也知 A′x = b′ 的解就會是 Ax = b 的解. 因此得證 Ax = b 和 A′x = b′ 會有相同的解集合.
當連立方程組 Ax = b 和 A′x = b′ 它們的解集合相同, 這表示兩組方程組是有很特別的 關係的. 我們有以下的定義.
Definition 1.3.1. 假設 linear systems Ax = b 和 A′x = b′ 的解集合相同, 則稱 Ax = b 和 A′x = b′ 為 equivalent linear systems
從上面的探討我們知道 augmented matrix [A| b] 若利用 elementary row operations 化 成 [A′| b′], 則 Ax = b 和 A′x = b′ 為 equivalent linear systems.
我們已知要探討聯立方程組 Ax = b 的解, 僅要考慮 A 為 echelon form 的情形. 接下來 我們就是要討論當 A 為 echelon form 時, 聯立方程組 Ax = b 解的特性. 事實上我們很容 易理解利用 1.2 節中所提求解的方法所得的結果皆為方程組的一組解. 這裡要探討的是為 何利用 1.2 節中所提求解的方法, 就可得所有的解. 接著我們將說明, 雖然一個矩陣利用 elementary row operations 化為 echelon form 的結果不唯一, 但是它們的 pivot variables 是 唯一的.
如果我們得到 1.2 節 (2)(a) 的情形 (即 A 有一個 row 全為 0 但 b 在該 row 不為 0), 在該節已說明此時方程組無解. 所以我們只要探討有解的情形. 首先回顧一下在 1.2 節所 提求解的方法: 首先我們要找到 free variables, 也就是是方程組除了 pivot variable 以外的 variable. 接著給這些 free variable 任意的參數值, 然後再利用由下往上代回的方式找到聯 立方程組所有的解. 若無 free variable, 就直接由下往上一步一步求值即可.
由於可以忽略 augmented matrix 全為 0 的 row, 所以我們可假設係數矩陣 A 沒有一 個 row 全為 0. 因為 A 為 echelon form, 這也表示 A 每一個 row 皆有 leading entry 且為 pivot. 現在我們回答當 A 是 echelon form 時, 1.2 節中所述解聯立方程組 Ax = b 的方法所 求得的解就是所有的解. 也就是說給定 x1= c1, . . . , xn= cn 為 Ax = b 的一組解, 我們要說明 這組解確實可由 1.2 節所提的方法得到. 為了方便起見我們令 1.2 節所提的方法所得的解 所成的集合為 S. 我們要說明 (x1, . . . , xn) = (c1, . . . , cn) 確實為 S 中的元素. 現若 xn 為 pivot variable, 則 xn 的值是被唯一確定的. 所以 S 的所有解中 xn 的取值一定也為 cn. 若 xn 為 free variable, 則因 S 的解中 xn 可為任意值, 故 S 中一定有一組解其 xn 的取值為 cn. 也就 是說不管 xn 是否為 pivot variable, S 中必有一組解其 xn 的取值為 cn. 現若 xn−1 為 pivot variable, 則由此 pivot 所在的 row 所對應的方程式可知 xn−1 的取值會被 xn 的取值所決定.
今已知 S 中必有一組解其 xn 的取值為 cn, 故此組解必滿足 xn−1= cn−1, xn= cn; 而若 xn−1 為 free variable, 則因 S 的解中 xn−1 可為任意值且其取值不影響到 xn 的取值, 故知 S 中必 有一組解其 xn−1, xn 的取值為 xn−1= cn−1, xn= cn. 如此一直下去我們知道 S 中必有一組解 其 x1, . . . , xn 的取值為 x1= c1, . . . , xn= cn.
我們可以利用上面的概念, 推導出當 A 為 echelon form 時, pivot variables 和 free variables 對聯立方程組 Ax = b 解的影響. 首先看 pivot variable 對聯立方程組的解之影響.
Lemma 1.3.2. 假設 A 為一有 n 個 column 的 echelon form 且 x1= c1, . . . , xn= cn 和 x1= d1, . . . , xn= dn 皆為方程組 Ax = b 的一組解.
(1) 假設 xn 為 A 的一個 pivot variable. 則 cn= dn.
(2) 假設 xk 為 A 的一個 pivot variable, 其中 1≤ k ≤ n − 1. 若 ck+1= dk+1, . . . , cn= dn, 則 ck= dk.
1.3. Echelon Form 15
Proof. 假設聯立方程組為
a11x1 + ··· + a1nxn = b1
a21x1 + ··· + a2nxn = b2
...
am1x1 + ··· + amnxn = bm
其中
A =
a11 ··· a1n
a21 ··· a2n
... . .. ... am1 ··· amn
為 echelon form, 且不失一般性我們假設 A 的每一個 row, ai 1, . . . , ai n 皆不全為 0.
(1) 若 xn 為 A 的一個 pivot variable, 表示 A 的最後一個 row 的 leading entry 所在位 置為 xn. 也就是說 am 1= am 2=··· = am n−1= 0 且 am n̸= 0. 這表示此聯立方程組中 最後一個式子為 amnxn= bm. 故由 x1= c1, . . . , xn= cn 及 x1= d1, . . . , xn= dn 皆為此 聯立方程組的一組解知 xn= cn和 xn= dn皆需滿足 amnxn= bm, 亦即 amncn= bm且 amndn= bm. 故由 amn̸= 0 得知 cn= dn.
(2) 若 xk 為 A 的一個 pivot variable, 表示 A 有一個 row 的 leading entry 所在位置 為 xk. 也就是說若此 row 為 A 的第 i 個 row, 則 ai1 = ai2 =··· = ai k−1 = 0 且 aik̸= 0. 此 row 所對應的式子為 aikxk+··· + ainxn= bi.故由 x1= c1, . . . , xn= cn 及 x1= d1, . . . , xn= dn 皆為此聯立方程組的一組解知 xk = ck, xk+1= ck+1, . . . , xn= cn 和 xk = dk, xk+1= dk+1, . . . , xn= dn 皆需滿足 aikxk+··· + ainxn= bi. 因此由 ck+1= dk+1, . . . , cn= dn 的假設知
aikck= bi− (ai k+1ck+1+··· + aincn) = bi− (ai k+1dk+1+··· + aindn) = aikdk. 再由 aik̸= 0 得知 ck= dk.
相對於 pivot variable 我們知道對於 free variable 我們可以隨意取任何的實數而得到一 組解, 所以我們有以下 free variable 對解的影響.
Lemma 1.3.3. 假設 A 為一有 n 個 column 的 echelon form 且沒有一個 row 全為 0.
(1) 假設 xn 為 A 的一個 free variable. 則對任意的實數 r, 方程組 Ax = b 皆可找到一 組解其 xn= r.
(2) 假設 xk 為 A 的一個 free variable, 其中 1≤ k ≤ n − 1. 若 x1= c1, . . . , xn= cn 為方 程組 Ax = b 的一組解, 則對任意實數 r 方程組 Ax = b 皆可找到一組解其 xk= r 且 xk+1= ck+1, . . . , xn= cn.
Proof. 在前面所提的求解過程中我們知道可將 free variable 定為任意的實數, 再一步一步 由下往上代回得到一組解. 在這個過程中我們了解到若 xi 是 free variable, 則它的取值可能 會影響到的僅有 xj, 其中 j < i 這樣的變數, 而不會影響到其他變數 xl, 其中 i < l 的取值.
現若 xn 是 free variable, 這表示我們可以設定 xn 為任意實數, 再一步一步往上代求得聯 立方程組的一組解, 所以對任意的實數 r, 方程組 Ax = b 皆可找到一組解其 xn 為 r.
若 xk 為 A 的一個 free variable, 其中 1≤ k ≤ n − 1 且已知 x1= c1, . . . , xn= cn 為方程組 Ax = b 的一組解. 換言之, xk+1= ck+1, . . . , xn= cn 皆滿足方程組 pivot 的位置在 xk 右方的 那些 row 所對應的那些方程式. 由於 xk 可取任意的實數且不會影響 xk+1, . . . , xn 的取值, 所 以我們可令 xk= r 且 xk+1= ck+1, . . . , xn= cn 一步一步代回求得聯立方程組的一組解. Lemma 1.3.2 和 Lemma 1.3.3 有許多應用. 例如當 A 是 echelon form 時若聯立方程 組 Ax = b 已知有一個解 x1= c1, . . . , xn= cn 且 x1, . . . , xn 每一個都是 pivot variable, 則由 Lemma 1.3.2 知聯立方程組 Ax = b 的解僅能是 x1= c1, . . . , xn= cn. 換句話說此方程組的解 唯一. 另一方面, 若聯立方程組 Ax = b 已知有解且 x1, . . . , xn中有 free variable, 則由 Lemma 1.3.3 知聯立方程組 Ax = b 會有無窮多解 (除非我們討論的數系僅有有限多個元素).
當我們給一個矩陣時, 有許多種方法將之化為 echelon form, 而且化成的 echelon form 很可能不一樣. 不過利用 Lemma 1.3.2 和 Lemma 1.3.3 我們可以得到這些 echelon form 雖然可能不一樣, 但他們 pivot 的所在位置都會一致. 由於我們只關心係數矩陣 A 化為 echelon form 後的情形, 所以我們可以考慮 Ax = 0 這一種特殊形式的聯立方程組. 要注意這 樣的聯立方程組都會有解, 因為 x1= 0, . . . , xn= 0 就是一組解. 我們特別稱這樣的聯立方程 組為 homogeneous system.
Proposition 1.3.4. 給定一矩陣 A, 若 A1, A2 均為 A 利用 elementary row operations 化成 的 echelon forms. 則 A1 和 A2 的 pivot 個數相同, 事實上他們的 pivot variables 是一致的.
Proof. 我們考慮 Ax = 0 這一組聯立方程組, 其中 A 有 n 個 column (即此方程組有 n 個 變數). 因為 A 可利用 elementary row operation 化為 A1 及 A2, 這表示 augmented matrix [A| 0] 可以利用 elementary row operation 化為 [A1| 0] 及 [A2| 0]. 換句話說聯立方程組 A1x = 0 和 A2x = 0 皆與聯立方程組 Ax = 0 有同樣的解. 再次強調這些聯立方程組都會有 x1= 0, . . . , xn= 0 這樣的一組解.
我們要用反證法處理. 假設 A1 和 A2 有 pivot variable 不一致, 不失一般性我們就假設 對 A1 來說 xi 是 pivot variable 但對 A2 來說 xi 不是 pivot variable (即 free variable). 假 設 i = n, 這表示方程組 A1x = 0 的解中 xn 的取值是唯一的 (Lemma 1.3.2), 事實上 xn 一定 為 0; 但 A2x = 0 的解中 xn 的取值卻可以是任意的實數 (Lemma 1.3.3). 這和此二方程組 有相同的解相矛盾. 現若 1≤ i ≤ n − 1. 利用 x1= 0, . . . , xn= 0 已是這兩聯立方程組的解, 我們知道方程組 A1x = 0 的解中一定找不到一組解其 xi+1, . . . , xn 的取值皆為 0 但 xi 的取 值不是 0 (Lemma 1.3.2); 另一方面 Lemma 1.3.3 告訴我們 A2x = 0 的解中一定可找到一 組解其 xi+1, . . . , xn 的取值皆為 0 但 xi 的取值不是 0 (事實上 xi 可以是任意實數). 這又和 A1x = 0, A2x = 0 此二方程組有相同的解相矛盾. 故由反證法知 A1 和 A2 的 pivot variables
是一致的.
由於一個矩陣化為 echelon form 其 pivot 的個數是固定的, 我們特別有以下的定義.
1.3. Echelon Form 17
Definition 1.3.5. 假設 A 為一矩陣. 若 A 利用 elementary row operations 化為 echelon form 後其 pivot 的個數為 r, 我們稱 r 為 A 的 rank. 用 rank(A) = r 來表示.
Question 1.2. 假 設 矩 陣 A 有 m 個 row 以 及 n 個 column. 若 rank(A) = r, 試 說 明 r≤ min{m,n}.
在解聯立方程組的過程中還可以進一步將 echelon form 化為所謂的 reduced echelon form. Reduced echelon form 事實上仍為 echelon form, 不過再加上兩個限制. 第一個限 制是每一個 pivot entry 需為 1. 另一個限制為 pivot 的位置上方全為 0. 要注意, 依定義 echelon form 的 pivot 位置下方已全為 0 所以 reduced echelon form 每一個 pivot 所在的 column, 除了自己需為 1 外其他部分皆為 0. 例如
A =
1 2 0 0 0 0 3 6 0 0 0 0
, B =
1 1 3 0 0 1 1 2 0 0 1 −1
都不是 reduced echelon form 但是 A′=
1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0
, B′=
1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 1 −1
就是 reduced echelon form. 每一個 echelon form 皆可利用 elementary row operations 換 為 reduced echelon form. 這是因為, 若有一個 row 的 pivot entry 為 a (注意依定義 a̸= 0), 我們只要將該 row 乘上 1/a, 則該 row 的 pivot entry 便是 1 了 (這就是需要 type 2 的 elementary row operation 的地方). 例如上面 A 這一個 echelon form 若將第二個 row 乘上 1/3, 就可得 A′ 這一個 reduced echelon form. 當我們將每個 pivot 都變為 1 後, 就可利用 將該 row 乘上某一實數加到另一個 row 的方法將 pivot 所在的 column 的其他部分化為 0.
例如上面 B 這一個 echelon form 若將第三個 row 分別乘上 −3, −1 加到第一個 row 和第 二個 row, 得
1 1 0 3 0 1 0 3 0 0 1 −1
. 再將第二個 row 乘上 −1 加到第一個 row, 就可得 B′ 這一 個 reduced echelon form. 注意一般我們都是從上而下將矩陣換成 echelon form, 不過得到 echelon form 後是從下而上將 echelon form 換成 reduced echelon form 較為方便.
化為 reduced echelon form 後, 我們就可以利用前面由 echelon form 求解的方法求出聯 立方程組的解. 由於 reduced echelon form 每一個 row 除了該 row 的 pivot 外, 只剩 free variables (其他的 pivot variable 所在的 entry 皆為 0), 所以可以很快地看出解的形式. 例如 方程組 B′x = 0 為
x1 = 0
x2 +3x4 = 0 x3 −x4 = 0
因僅 x4 為 free variable, 令 x4= t, 代入第三 row 得 x3= t. 代入第二 row 得 x2=−3t. 最後 由第一 row 得 x1= 0. 故知解為 (x1, x2, x3, x4) = (0,−3t,t,t) = t(0,−3,1,1),t ∈ R.
我們知道每個矩陣皆可經由 elementary row operations 化為 echelon form. 而我們又知 每個 echelon form 也可利用 elementary row operations 化為 reduced echelon form. 因此每
個矩陣皆可利用 elementary row operations 化為 reduced echelon form. 另外我們也知道將 聯立方程組的 augmented matrix 做 elementary row operations 後所對應的聯立方程組會 是 equivalent, 所以化為 reduced echelon form 所得的解集合也會和原方程組的解集合相同.
化成 reduced echelon form 雖然在最後可以很快地看出解的形式, 但一般來說化為 reduced echelon form 比僅化為 echelon form 所需的步驟多了許多, 所以利用 echelon form 來求解還是會比較快. 利用 echelon form 求解的方法一般稱為 Gauss method 或 Gaussian elimination, 而用 reduced echelon form 求解一般稱為 Gauss-Jordan method.
Example 1.3.6. Example 1.2.1 的 linear system, 化成 echelon form 後為
2 3 −1 7 0 1 −3 −5 0 0 −3 −9
.
將第三 row 乘以−1/3 得
2 3 −1 7 0 1 −3 −5 0 0 1 3
.
再將第三 row 分別乘以 3, 1 加到第二, 第一 row 得
2 3 0 10 0 1 0 4 0 0 1 3
.
接著將第二 row 乘以 −3 加到第一 row 得
2 0 0 −2 0 1 0 4 0 0 1 3
.
最後將第一 row 乘以 1/2 得 reduced echelon form
1 0 0 −1 0 1 0 4 0 0 1 3
,
且馬上看出解為 (x1, x2, x3) = (−1,4,3).
Example 1.2.3 的 linear system, 化成 echelon form 後為
1 −2 1 −1 4
0 1 2 −1 −9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
將第二 row 乘以 2 加到第一 row 得 reduced echelon form
1 0 5 −3 −14 0 1 2 −1 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
因 x4, x3 為 free variables, 令 x4= r, x3= s, 代入第二 row 得 x2=−9 + r − 2s. 再代入第一 row 得 x1=−14 + 3r − 5s.
