第二章 文獻探討
2.1 MOEA/D 與 DE
2.1.1 MOEA/D（A Multiobjective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition）
[3]
MOEA/D 的重點在於分解與鄰居，分解 (Decomposition) 指的是將多目標問 題拆成許多單目標問題來解決，子問題通常會偏重某些目標的演化，藉此讓各個 子問題朝不同方向發展來獲得均勻分布的解集合。將問題分解成子問題的方法有 許 多 種 ， 此 論 文 提 到 了 權 值 整 合 （ Weighted Sum Approach ）、 柴 比 雪 夫
（Tchebycheff Approach）、邊界交叉 （Boundary Intersection Approach）三種方法，
其中最重要的是柴比雪夫法，可以下式表示（假設多目標問題為最小化問題）：
m n m m (2)
Subject to x∈ Ω
z
* = (z1* … zm*)T 是參考點，由目前各目標上所找到的最佳值所產生，zi* = min{fi(x)|x∈ Ω}，i = 1,..,m， 為一組權重值， ， ≧ 0，並且一組權
重值之和為 1。此式子的意義為，讓每個個體能以不同的方向去靠近參考點。除 了分解之外，MOEA/D 還使用了鄰居 (neighborhood) 的觀念來進行交配。每個個 體會以互相之間的權重距離來判斷是否為鄰居，距離越遠越不容易被選為鄰居，
並且在交配時會從鄰居之中選擇親代，若產生之子代優於親代則可以直接取代。
2.1.2 Differential Evolution（DE） [4]
DE 在突變時會隨機選擇三個不同的個體 xr1、xr2、xr3，並且 ≠ ≠ ， 利用這三個個體與一個突變參數 F 可以產生一個新的突變個體 ( )，由下列 式子表示:
(3)
新的個體的每個基因位置，會受到交配機率（CR）的影響隨機選擇突變基因 或是親代基因，可由下列式子表示:
o
(4)
rand∈U(0,1)
i 為個體在族群中之編號，j 為個體內基因之位置，
表示第 i 個子代的 第 j 個基因，I 是隨機選出的一個基因位置，I 的設定可以讓新的子代至少有一 個基因來自突變個體，目的是確保最後產生的子代跟親代不會完全相同。由式子（3）與（4）可知，影響子代品質之關鍵為 F 與 CR 參數，其意義會在本節末進 行說明。除此之外，產生突變個體的突變策略也是變因之一，藉由選擇不同的親
代可造成各種不同的效果，式子（3）即為 DE 的其中一種突變策略，稱為
DE/rand/1/bin，接下來將解說突變策略的格式並介紹其他幾種具有不同特性的策 略。
n o
(5)上列式子表示 DE 的突變基因由基底 (base) 和差異向量 (difference vector) 所組成，基底和差異向量有各種不同的選擇方式，一般 DE 策略可以用這樣的格 式表示：DE/x/y/z，x 代表基底選擇方式，y 代表差異向量的個數，而 z 為交配 的方法，藉由這種表示法可以快速看出一個 DE 策略的特性。以下將就 x、y、z 這 三部份的種類進行介紹。
基底選擇方式
較常見的基底選擇方式有 rand、rand to best、current to best 三種，rand 代 表會隨機從族群中挑一個體作為基底，rand to best 則是利用隨機個體與目前最佳 個體中的值作為基底，而此值靠近最佳解的多寡是依照 F 值來決定。current to
best 和 rand to best 相似，但是並非使用隨機個體，而是用將與突變生成子代進 行交配的個體。除了這些種類，有些演算法也會另外設計一些變體，如 JADE 的
current to pbest。下面三個例子分別代表基底是以 rand、rand to best、current to best 來選擇時的情形。
rand： + 差異向量， 為隨機挑選
rand to best：
+ 差異向量， 為隨機挑選
current to best： =
+ 差異向量， 為目前個體
差異向量的個數
有些突變策略著重於提升突變後的差異量，以增加演化的多樣性，有些則希 望子代能出現在最佳解附近，這些都可以靠差異向量來調整。每個差異向量需要 兩個不同的個體之差乘以 F 值來計算，並且每個差異向量所挑選的個體也都必頇 不同。下面兩個例子分別是差異向量個數為 1 和 2 的情形。
DE/rand/1 ：
DE/rand/2 ：
交配方法
交配方法決定了個體內進行交配的基因位置，分為二項式 (binomial) 與冪次
(exponential) 兩種，在突變策略中用 bin 或 exp 表示。二項式代表所有基因都 有機會進行交配，而冪次則僅限於其中一段位置。
除突變策略外，F 和 CR 也是兩個對 DE 而言很重要的參數，F 值可以控 制差異向量的比重，也就是突變後和親代的差異程度，值越大則差異越大，而 CR 值負責控制交配機率，其大小影響選擇突變基因的多寡。許多 DE 演算法的變型 皆是對此兩個控制參數進行修改，這些參數調整機制分為許多種類，見 2.2 節。