第三章 馬氏-田口系統
3.1 MTS 之構成要素
3.1 MTS 之構成要素
馬氏-田口系統（MTS）為針對多變量資料所發展的診斷及預測技術，它以考 量變數間相關性的馬氏距離作為多變量系統的量測尺度，並以穩健工程之原理，
執行系統最佳化的過程。
3.1.1 多變量診斷系統
一個典型的多變量診斷系統如圖 3.1 所示，圖中 、 … 代表 個特徵 變數，可提供資訊給決策者以制定決策；輸入信號（
X
1X
2X
kk
M）為系統狀態的真值，
通常信號因子與系統輸出間具有互動關係，例如：汽車方向盤的轉向角度為一信 號因子，它可以改變汽車的回轉半徑；雜音因子隨使用環境而異，是無法控制的 參數，並會影響系統而造成偏差。在多變量診斷系統中，決策者並無法獨立地觀 察每個特徵變數來制定正確的決策，因為變數間總潛在著未知的相關性，因此，
在建構系統時，決策者必須將特徵變數間所存在的關係結構納入考量。
圖 3.1 多變量診斷系統 [2]
3.1.2 馬氏距離
馬氏距離是在 1936 年由印度統計學家 P. C. Mahalanobis 所提出，為考慮特 徵變數關係結構的一種統計距離，它整合多變量系統中之不同變數資訊，使成為 一體的、綜合性的評價指標。馬氏距離對於參照群體（reference group）的特性 變數關係結構非常敏感，在典型的方法中，馬氏距離被用來量測一未知樣本點相 較於每個群體中心點的遠近程度，並將未知樣本點歸類為距離較近的群體。相較 於歐氏距離（Euclidean distance）而言，雖然皆是衡量未知樣本點與群體的距離，
但馬氏距離更將變數間的關係性納入考量。圖 3.2 比較馬氏距離和歐氏距離的差 別，假設參照群體的樣本點包含 和 兩個變數，橢圓虛線表示馬氏邊界，而 圓形虛線代表歐氏邊界，
X
1X
2X 為參照群體的中心點，稱為基準點或參照點，A、B 為兩個樣本點，並且 A 點的表現較接近於參照群體的分布趨向。當以歐氏距離 來衡量 A、B 兩點的情況時，由圖中可明顯發現 B 點距離歐氏邊界較近，因此我 們會判定 B 較 A 相似於參照群體；但若改以馬氏距離來觀察，則 A 點比 B 點更 靠近馬氏邊界，即 A 點較相似於參照群體。由此可知，在多變量分析上，變數 間的相關性是不容忽視的，因此利用考量關係結構的馬氏距離作為衡量指標，將 會獲得較正確的結果。
圖 3.2 馬氏距離與歐氏距離 [2]
在 MTS 中，馬氏距離被以適當的尺度作修改，並作為未知樣本點是否相似 於參照群體的量測尺度。參照群體裡所有樣本點的馬氏距離構成馬氏空間
（Mahalanobis space, MS），馬氏空間可說是包含參照群體裡所有變數的平均值、
變異數及關係結構的一個資料庫。圖 3.3 顯示一個修改後的多變量診斷系統。
圖 3.3 修改後的多變量診斷系統
3.1.3 田口之穩健工程
田口玄一博士在 1950 年代提出的穩健工程概念，其目的在於提供具成本效 率的改善方法，以提升產業在全球化市場中的競爭力。田口所提的穩健工程是以 工程的角度事先了解品質問題，並利用社會損失成本作為衡量產品品質得依據。
田口專注於工程品質的改善，包含：缺陷（defects）、故障（failures）、噪音（noise）、 震動（vibrations）、污染（pollution）等，可用距離理想狀態的偏差來衡量之。
改善工程品質的主要工具為直交表和 SN 比，其所強調的重點是在產品或製程設 計時就考慮品質問題，亦即如何降低品質績效的變異。直交表用在實驗設計的配 置，可以最小化所需的實驗次數，並且減少雜音因子所帶來的影響。SN 比則是 用來衡量系統的功能性，SN 比愈大者愈佳。田口的穩健工程依成本效益的概念，
應用直交表與 SN 比找出最佳的參數水準組合，這觀念和傳統的實驗設計完全依 循統計原理，強調模式的確立，有很大的不同。
在 MTS 中，基於田口的穩健工程之觀點，馬氏距離可被視為一工程品質，
因 為 它 可 以 用 來 衡 量 一 個 未 知 樣 本 距 離 參 照 群 體 （ 馬 氏 空 間 ） 的 異 常
（abnormality）程度。
3.2 MTS 方法論
在很多情況下，一系統的產品或品質是由許多不同的特徵（characteristics）
所表現出來，這些不同特徵間可能是彼此獨立或互有影響的。但，這些關係往往 不易釐清的，因此，整合系統中之不同特性資訊，使成為一綜合性的整體評價指 標，對系統分析而言是比較有幫助的。田口博士採用馬氏距離為多元特性資料的 評價指標，利用馬氏距離來判斷多元資料間是否為同質（homogeneous）或異質
（heterogeneous），並利用 MTS 進行特徵變數的篩選。
3.2.1 馬氏距離分類法
MTS 的主要目的之一是導入一個以考量特徵變數之相互關係為基礎的尺度
（scale）來量測樣本的異常（abnormality）程度，並作為分類診斷上的依據。以 醫學診斷為例，其目標是基於這樣的尺度來量測出某人體是否患有疾病，及患病 的嚴重度。馬氏距離為考慮多元變數之共變數矩陣（covariance matrix）的一種 統計距離，被利用來建構 MTS 的量測尺度。在 MTS 中所用的馬氏距離是由馬 氏原先所定義的馬氏距離除以特徵變數的數量。假設一多變量樣本集有 個特徵 變數，包含 個樣本，其馬氏距離計算式如下：
k n
ij T
ij j
j Z C Z
D k
MD = 2 = 1)⋅ ⋅ −1⋅
( i=1...k, j=1...n （1）
其中，Zij =(z1j,z2j,...,zkj)，表示xij(i=1...k)的標準化值之標準向量；