第 三 章 巢狀分割法
3.3 NP 法應用於 TSP 之設計
TSP 是典型組合最佳化問題代表，且應用範圍廣，常常是許多學 者 相 互 切 磋 的 領 域 。 上 一 小 節 旨 在 介 紹 NP 法在面對多點搜尋情形的 處 理 方 式，與 TSP 問題定義有所差異，然而基礎架構是相同的。進一 步 說 明 ， 為 設 計 符 合 TSP 需求的 NP 執行架構，在原始架構不變下，
內 部 仍 有 許 多 細 節 需 加 以 改 變 、 衡 量 ， 考 慮 的 項 目 諸 如 ： 解 空 間 的 分 割 策 略 、 採 樣 方 式 的 擬 定 、 候 選 指 標 計 算 方 式 以 及 回 溯 機 制 的 訂 定 等 等 。 以 下 茲 針 對 不 同 組 成 架 構 細 節 內 容 加 以 說 明 。
一 、 分 割(Partitioning)
應 用 NP 法於 TSP 上首先所要注意的就是如何將解空間分割
成 數 個 子 區 域 ， 此 部 分 需 要 注 意 的 是 分 割 的 方 式 如 何 同 時 兼 顧 收 斂 的 效 益 。 雖 然 NP 法在使用上並未限制分割的策略是如何，但 是 好 的 分 割 策 略 確 有 助 於 將 好 的 解 集 中 在 同 一 子 區 域 內 ， 進 而 達 快 速 收 斂 的 目 標 。 以 下 說 明 NP 應用於 TSP 上的分割策略。
給 定 n+1 個城市節點，假設將城市 0 當作路徑起始點，其餘 節 點 從 1,2,…,n 給予編號，因此解空間即為{1, 2, 3,…, n}的任一 可 能 組 合 。 第 一 步 ， 將 解 空 間 在 固 定 第 一 個 節 點 情 形 下 等 量 分 割 成 n 個子區域，此固定的節點可能是 1, 2, …, n 其中之一；下一 步 ， 從 n 個子區域選擇其中一個，由剩餘的 n-1 個點再固定第二 個 節 點 ， 向 下 分 割 成 n-1 個子區域。整個程序繼續持續下去，直 到 當 所 有 的 節 點 均 被 固 定 住 時 ， 演 算 法 即 宣 告 結 束 ， 如 圖 3.2 顯 示 分 割 的 作 業 方 式 。 理 所 當 然 ， 仍 存 在 眾 多 不 同 的 分 割 策 略 ， 端 視 使 用 者 求 解 問 題 的 不 同 而 有 不 同 的 設 計 方 式 。
上 述 分 割 方 式 的 優 點 為 每 次 分 割 的 內 容 與 多 寡 都 是 可 以 預 先 知 道 ， 而 且 分 割 的 方 式 是 具 備 規 律 性 的 分 枝 結 構 ， 同 時 由 此 處 可 以 發 現 ， 此 種 分 割 策 略 是 有 助 於 平 行 運 算 結 構 的 使 用 。
圖 3.2 NP 法應用於 TSP 分割方式 二 、 隨 機 採 樣(Random Sampling)
此 步 驟 主 要 目 的 在 於 每 次 迭 代 從 每 個 子 區 域 產 生 尚 未 被 固 定 住 的 節 點 樣 本 ， 然 而 隨 機 採 樣 步 驟 設 計 的 良 窳 將 會 重 大 的 影 響 到 NP 法解題績效。以下說明 NP 法應用於 TSP 上的採樣步驟設計方
式 。
目 前 NP 應用於 TSP 上的採樣步驟設計方式，較常見者係以
「 兩 階 段 採 樣 方 法(Two-step Sampling Scheme)」作為設計基礎，
該 法 同 時 融 合 了 最 近 鄰 點 搜 尋 法(Nearest-neighbor Search)、均勻 採 樣 法(Uniform Sampling Scheme)以及節線交換法等鄰域搜尋法 作 為 演 算 法 搜 尋 節 點 的 根 據 。 兩 階 段 採 樣 法 執 行 架 構 分 成 兩 個 部 分 進 行 ：(假設現欲產生 N 個子區域路徑樣本)
(一)藉由最近鄰點搜尋法或均勻採樣法產生獲得第一條路徑樣本 此 一 步 驟 同 時 融 合 最 近 鄰 點 搜 尋 法 與 均 勻 採 樣 法 兩 種 方 式 產 生 第 一 個 路 徑 樣 本 。 假 設 目 前 已 有 k 個 城 市 已 經 被 選 擇 且 已 固 定 在 確 定 位 置 上 ， 對 於 剩 餘 的 n-k 個城市如何確定，
首 先，必 須 給 定 一 固 定 介 於 0 至 1 間的常數 p，爾後從第 k + 1 個位置開始，每次均隨機產生一介於 0 至 1 間的變數 u，如 果 u < p 則 利 用 最 近 鄰 點 搜 尋 法 決 定 第 k + 1 個 位 置 所 需 安 插 進 入 的 節 點 ； 反 之 ， 則 利 用 均 勻採 樣 法 隨 機 選 取 一 尚 未 被 選 入 的 節 點 安 插 至 第 k + 1 個 位 置 上 。 如 此 持 續 進 行 下 去 即 可 完 成 第 一 個 子 區 域 完 整 路 徑 ， 如 表 3.1 所示，顯示兩階段採 樣 法 第 一 步 驟 虛 擬 碼 。
事 實 從 上 可 知 ， p 參 數 值 的 設 計 將 會 重 大 影 響 到 此 步驟 的 執 行 程 序 以 及 產 出 結 果，若 p = 1，則 整 個 搜 尋 方 式 均 以 最 近 鄰 點 搜 尋 法 來 執 行；若 p = 0，則 全 以 均 勻 採 樣 法 來 進 行 ， 然 而 此 兩 種 極 端 值 的 求 解 方 式 卻不 是 最 佳 的 做 法 ， 因 如 果 全 採 用 最 近 鄰 點 搜 尋 法 來 執 行 ， 則易 發 現 產 出 路 徑 於 後 半 末 端 效 果 不 佳 ， 但 若 又 全 採 均 勻 採 樣法 來 進 行 ， 則 可 能 發 生 搜 尋 時 間 冗 長 ， 不 易 收 斂 的 情 形 。 因 此 ， 對 於 p 參 數 值 的 設 計 將 是 未 來 本 研 究 重 要 的 探 討 對 象 之 一 。
表 3.1 兩階段採樣法第一階段執行步驟
假 設 有 一 區 域 前 k 個 節 點 已 經 固 定 ， 且 事 先 給 定 一 常 數
p
∈(0, 1)迴 圈 i： 由 k+1 到 n
產 生 一 隨 機 變 數 u 服從均一分配且 u∈(0, 1)；
若 u < p
則尋找距離最近之節點當作下一安插節點；
若 u > p
則從尚未被選擇之節點隨機選取當作下一安插節點；
結 束 迴 圈 i；
(二)由第一步驟產生結果，透過交換機制，進而獲得剩餘的 N-1 條 路 徑 樣 本
第 二 步 驟 主 要 目 的 是 在 透 過 小 幅 的 擾 動 策 略 產 生 剩 餘 的 N-1 條路徑樣本。其做法是就第一步驟產生的路徑先隨機選 取 兩 條 節 線 ， 將 第 一 條 節 線 的 第一 個 點 與 第 二 條 節 線 的 第 一 個 點 相 連 結 ； 然 後 將 第 一 條 節 線的 第 二 個 點 與 第 二 條 節 線 的 第 二 個 點 相 連 結 ， 如 此 便 產 生 一條 新 的 路 徑 ， 視 為 第 二 條 路 徑 樣 本 ， 如 此 重 複 執 行 直 到 產 生 N-1 條路徑樣本即完成第二 步 驟 演 算 流 程 。 實 際 上 此 種 節 線 交 換 方 式 是 與 2-opt 交換法 觀 念 相 類 似 ， 不 同 的 地 方 在 於 2-opt 必須考慮總成本有改善 才 予 以 交 換 ， 但 是 NP 法卻無需考慮成本改善因素，僅做節 線 交 換 即 可 。
如 下 圖 3.3 簡例所示，假設第一步驟產生的路徑為 A、B、
C、E、D 至 A，即圖面上實心線與點虛線的組合，透過步驟 二 的 執 行 ， 假 設 現 在 隨 機 選 取 到 的 節 線 分 別 是(C, E)與 (D, A)，透過類似 2-opt 的交換機制產生(C, D)與(E, A)兩條新節 線 ， 如 圖 的 線 段 虛 線 部 份 。 從 上面 交 換 結 果 可 知 ， 如 此 便 可 以 產 生 一 條 新 的 路 徑 樣 本 A、B、C、D、E 至 A。
C
D B
A
E
：舊路徑部分
：新路徑部分
圖 3.3 兩階段採樣法第二步驟示意圖 三 、 計 算 候 選 指 標(Calculation of Promising Index)
計 算 候 選 指 標 此 一 步 驟 的 主 要 目 的 是 在 計 算 每 個 子 區 域 所 求 得 之 路 徑 相 對 應 的 指 標 值 ， 以 決 定 哪 一 子 區 域 是 下 一 次 迭 代 所 要 向 下 分 割 的 對 象 。 最 典 型 的 計 算 方 式 即 計 算 每 個 子 區 域 所 產 出 的 路 徑 總 成 本 ， 再 找 出 最 小 者 當 成 最 具 候 選 資 格 的 對 象(The Most Promising Region)。
假 設 目 前 最 具 候 選 資 格 的 區 域 為 σ(k)，同時已由該區域分割 成 M 個子區域，其表示為 σj(k)，j = 1, 2,…, Mσ (k)。 接 下 來 必 須 定 義 指 標 的 計 算 方 式，以 I(‧)來表示，式(3.2)顯 示 針 對 每 個 分 割 下 來 以 及 由 周 圍 區 域 結 集 而 成 的 M + 1 個 子 區 域 ， 計 算 總 路 徑 成 本 值 f(‧)，並 選 擇 最 小 者 當 成 最 具 候 選 資 格 的 對 象，亦 即 視 為 下 一 次 迭 代 所 要 向 下 分 割 的 對 象 ， 如 此 便 完 成 計 算 候 選 指 標 步 驟 的 演 算 流 程 。
I(σ
j(k)) = ( )j k σ
θmin f(∈ θ ), j = 1, 2,…, M + 1 (3.2)
四 、 回 溯(Backtracking)
回 溯 機 制 的 應 用 目 的 是 在 避 免 搜 尋 的 過 程 中 落 入 局 部 最 佳 解
狀 態 。NP 法 在 此 部 分 的 使 用 彈 性 上 具 有 很大 的 改 變 空 間 ， 目 前 文 獻 中 使 用 的 做 法 是 將 當 前 迭 代 所 找 出 最 佳 區 域 回 溯 至 其 上 一 母 層 區 域 重 新 再 執 行 演 算 法 。 此 種 做 法 的 觀 念 相 當 於 當 被 繁 衍 下 來 的 子 代 表 現 比 前 一 代 或 更 上 代 來 的 差 時 ， 則 捨 棄 由 該 子 代 繼 續 向 下 繁 衍 的 機 會 ， 反 而 尋 找 上 一 層 代 表 現 較 佳 者 再 重 新 繁 衍 。
以 簡 單 圖 形 來 說 明，如 下 圖 3.4 顯示，假設目前已知(η0, η2, η6)是 每 次 迭 代 演 算 過 程 決 定 出 最 具 候 選 資 格 的 子 區 域 ， 當 前 欲 決 定 下 一 步 驟 何 者 是 欲 被 分 割 的 對 象 ， 則 需 分 別 考 慮(η8, η9)與 (η1, η3, η4, η5, η7)兩部分，假若透過候選指標步驟計算結果 發 現 ， 最 具 候 選 資 格 者 是 落 在(η1, η3, η4, η5, η7)當 中 之 一 時，則 回 溯 步 驟 執 行 條 件 成 立，因 此，如 果 最 具 候 選 資 格 者 是 η7
時 ， 則 必 須 回 溯 至 其 上 一 層 η2 並 視 其 為 下 一 次 迭 代 所 要 分 割 的 對 象 。
圖 3.4 NP 法應用於 TSP 回溯步驟示意圖