PDPTW 求解方法探討

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e_i  _i^k  _i    (13)

2.3 PDPTW 求解方法探討

在PDPTW相關文獻方面，Berbeglia et al.[3]、Sophie et al.[16][17]針對PDP問題進行 數學模式、問題分類、求解演算法等有完整回顧。以下將分為啟發式解法、巨集式啟發 式解法、最佳解解法與變數產生法做回顧。

2.3.1 啟發式解法 (Heuristic Solution Methods )

在面臨大型問題或具有時效性問題時，採用啟發式解法雖無法確保必能找到全域最 佳解，但若設計得宜，通常可求得品質不錯之近似最佳解。以下針對使用啟發式解法來 解決PDPTW問題的文獻作一討論說明：

Mitrović-Minić and Laporte[14]使用兩階段啟發式解法解決轉運的PDPTW問題。轉 運的PDPTW問題除了包含標準PDPTW的聯結限制與優先限制外，其允許一訂單需求被 兩台車服務：一輛車服務收貨點，將收到之貨物運至轉運站，另一輛車至轉運站載貨運 至各需求點卸貨。兩階段啟發式解法（two-phase heuristic）包含建構階段和改善階段。

於建構階段使用隨機選擇多個起始點的最省插入法，改善階段使用重新插入法。

Lu and Dessouky[12]提出以插入法為基礎的建構啟發式解法解決多車輛的PDPTW 問題。其所提出之解法不僅考慮插入時導致的距離增加，尚考慮到因將點插入後導致的 時間窗限制。除此之外，作者亦提出一個在插入時的非標準量測方式(Crossing length percentage,CLP)來評估在單一路線中路徑間的交叉程度。CLP定義為所有交叉路徑的總 長度除以總路線長度，藉由CLP值評估解的吸引力。最後比較提出之解法與傳統 sequential 和parallel插入法，發現提出的解法不論是標準或非標準的量測皆有較佳表 現。

表 2 PDPTW 之啟發式解法相關文獻整理

年份 作者 目標式 求解方法

2006 Mitrović-Minić and Laporte[14]

最小化巡迴路徑成本 最省插入法，區域搜尋改 善法

2006 Lu and Dessouky[12] 最小化巡迴路徑成本 以插入法為基礎的建構式 啟發式解法

2.3.2 巨集式啟發式解法 (Meta-Heuristic )

巨集式啟發式解法能夠跳脫啟發式解法求解過程中陷入局部最佳解的窘境，並改善 傳統啟發式解法的求解績效。為了克服傳統啟發式解法在執行上易掉入局部最佳解的缺 點，後續研究大部分採用依問題特性設計之合適的巨集式啟發式解法求解問題，針對問 題特性設計跳脫局部最佳解的機制，並增加搜尋之廣度與深度。

Nanry and Barnes[15]提出反應式禁忌搜尋法(reactive tabu search)解決PDPTW問題。

其目標式為旅行距離、超時與超載之加總，起始解使用貪心插入法(Greedy insertion method)，再使用反應式禁忌搜尋法和三種用來解決優先限制與聯結限制之移步(move) 方式，改善起始解。並設計了一套選擇鄰近解的層級(hierarchical search)策略，使其能夠 動態地在三種鄰近解中選擇並修正搜尋的方向。作者亦提出一套檢測是否掉入區域最佳 解的陷阱，並提供跳脫區域最佳解的方式。最後以Slomon[23]VRPTW之標竿例題為基礎，

於目前已知最佳解之相同路徑內將兩點配對，產生適用於PDPTW的標竿例題做驗證測 詴，並首開先例測詴9個100個密集的客戶點，其測詴結果不論在求解品質或是求解效率 上都有不錯的結果。

Li and Lim[10]提出以禁忌嵌入式模擬退火法(tabu-embedded simulated annealing algorithm)求解多目標的PDPTW問題。目標的優先順序為最小化使用車輛數(M)、總旅行 距離(Dist)、總工作時間(ST) (等待時間+服務時間+旅行時間)與司機人員總等待時間(WT) 之總和。為了符合目標的優先順序，作者在各項目標前分別加上懲罰值，𝛼、𝛽、𝛾、𝜆並 訂定𝛼 ≫ 𝛽 ≫ 𝛾 ≫ 𝜆，使得就算使用建構式所得到之起始解有很多的車輛數，在尋找更 好的解時車輛數即會降低。

𝐶𝑜𝑠𝑡 𝑆 = 𝛼𝑀 + 𝛽𝐷𝑖𝑠𝑡 𝑆 + 𝛾𝑆𝑇 𝑆 + 𝜆𝑊𝑇 𝑆 (14) 演算法首先使用三種交換法尋找鄰近解：PD-Shift，PD-Exchange與PD-Rearrange，

Descent Local Search 找尋區域最佳解。首先用三個定義好的鄰近點為基礎找到區域最佳 解，作者將四個目標值建構成禁忌列表以避免產生迴圈，與過去文獻將所存放的 edge-move當作禁忌列表不相同。接著以類似多重開始的模擬退火法策略跳脫區域最佳 解，並於搜尋時將以求得之且放入禁忌列表以避免產生迴圈。由於過去文獻中，模擬退 火法是若無法改善則停止，此篇使用之多重開始的模擬退火法則為若無法改善則從目前 為止最好的解再重新開始求解，若重新求解了K次後皆無法再改善才停止。最後以

Slomon[23]VRPTW之標竿例題為基礎，不侷限於在目前已知最佳解之相同路徑內，而是 隨機將客戶點配對，使產生之例題更具多樣化分配，產生適用於PDPTW的標竿例題做 驗證測詴，可求出較少之車輛數。並首開先例測詴了56個100個客戶點為多樣化分配的 例題，測詴結果不論在求解品質或是求解效率上都有不錯的結果。

Lau and Liang [9]提出兩階段法(Two Phase Method)求解最小化使用車輛數與總旅行 距離的PDPTW。第一階段結合了傳統插入法與掃瞄法優點之創新的建構啟發式解法產 生起始解。第二階段使用禁忌搜尋法改善目標值，並透過三種不同鄰近區域移動方式尋 找最佳解。此篇亦提出一將Slomon[23]的VRPTW之標竿例題轉為有好的解的PDPTW標 竿例題。由於PDPTW比VRPTW多了優先順序與配對限制，在轉換時必頇注意是否仍是 可行解與轉換後仍保持好的解。

最後Lau and Liang [9]提出一轉換方法產生包含四種類型的27個例題作測詴。測詴分 為兩部分，第一部分比較插入法、分割插入法、掃描法與目前已知最好的解，測詴結果 發現分割插入法在27個例題中有18個例題為最好的解，插入法和分割插入法都可得到最 好的車輛數，分割插入法尚可得到較好的旅行距離。第二部份比較作者提出之禁忌搜尋 法和目前已知最好的解，測詴結果發現使用作者提出之禁忌搜尋法對大多數的例題可產 生與目前已知最好的解之相近解。

Bent and Hentenreyck[2]點出降低使用車輛數是降低總旅行成本的關鍵之一，使用兩 階段啟發式演算法求解PDPTW，第一階段使用簡易的模擬退火法(simulated annealing, SA)降低車輛數，第二階段使用大型鄰近搜尋法(Large Neighborhood Search, LNS)降低總 旅行成本。最後使用Li and Lim[10]產生之PDPTW之標竿例題測詴其績效，於100個客戶 點突破兩題、200個客戶點突破28題，600個客戶點亦突破46題的解。

出一轉換方式，其轉換

變數產生法由Dantzig and Wolfe[4]所提出，又稱Dantzig-Wolfe Decomposition，主要 概念是利用線性規劃中的對偶理論(Dual Theory)產生可改善目標值的變數(column)，以 避免浪費時間於窮舉對問題求解沒有貢獻的變數。因此，變數產生法常用於解決具有龐 大變數的線性規劃問題，例如集合分割問題(Set Partitioning Problem)與集合涵蓋問題(Set Covering Problem)。假設有一集合分割問題如下：



rR 含變數的最佳解。並依據對偶理論(Dual Theory)，定義線性規劃問題(16)限制式之對偶 變數為𝜋_𝑖，主問題之對偶問題(Dual Problem)如(17)所示：

建構子問題產生能對主問題目標值有改善的變數(columns)。子問題通常構建為最短 路徑問題 (Shortest Path Problem) 或有限制的最短路徑問題 (constrained shortest path problem)。將主問題得到的對偶變數值傳入子問題中，求解子問題，若求解得知的變數 可改善目標值，則加入主問題中重新求解。重複以上的步驟，逐步改善主問題的解，直 到無法再產生可改善目標值的變數為止，即得到最佳解。判斷子問題求得的變數是否可 以改善目標值，主要是依據對偶可行性(Dual feasibility)的觀念。

根據對偶可行性可知：若可證明對尚未考慮的變數(columns)均滿足(18)則可知剩餘 尚未考慮之變數無法再改善目標值的品質，即找到最佳解；否則可從尚未考慮的變數中 找到一個新的變數，使路徑r的減少成本𝐶_𝑟^′ = 𝐶_𝑟− _𝑖𝜖𝑁𝑎_𝑖𝑟𝜋_𝑖 < 0，加入主問題中重新求 解。

𝐶_𝑟^′ = 𝐶_𝑟 − _𝑖𝜖𝑁𝑎_𝑖𝑟𝜋_𝑖 ≥ 0 ∀𝑟 ∈ 𝑅 (18) 若最後求得之最佳解為整數解，此解即為原集合涵蓋問題之最佳解；若不為整數解，

多數文獻採用分支定限法以求得整數解。

變數產生法之優點在於求解過程中每次僅考慮部分變數，透過子問題產生一些對主 問題可改善目標值的變數，以增進求解效率。過去研究已將變數產生法應用於PDPTW 問題。

Dumas et al.[7]利用變數產生法求解多台車的PDPTW問題，並考慮異種車隊與多場 站等限制，其將子問題建構成一有限制式最短路徑問題，並使用forward動態規劃演算法 求解子問題，並提出label domination 和label elimination 規則，此篇提出之演算法可解 決至少50個需求任務。

Xu et al.[26]使用以變數產生法為基礎的啟發式演算法解決多車輛的PDPTW問題。

此研究考量了每個起迄點有多時間窗限制、載重限制、司機工時限制等額外限制式。變 數產生法的主問題建構為IP數學模式，子問題使用兩個啟發式解法：合併(merge) 和兩 階段(two-phase)啟發式解法，兩階段包含合併路線和需求點的插入與刪除。此篇提出之 演算法可求解隨機產生的200個需求任務。

Sigurd et al.[22]探討運輸豬的問題，每個需求任務代表運輸動物從一個地點運送到 另一特定地點，為了避免擴散(健康的豬必定不能被曾經載運過有病豬的車所運送)此問 題有額外的優先限制。Sigurd 將子問題設計成一非環狀的層級圖，可快速的解決較大的 例子。此篇提出之演算法可求解580個需求任務。

Ropke and Cordeau[18]用Branch and Price演算法加上有效不等式求解PDPTW問題。

其子問題構建為有限制式的最短路徑問題，使用label setting 最短路徑演算法求解。有 效不等式加入後使子問題產生的影響亦於此篇中討論。最後研究以Slomon所提出之產生 PDPTW標竿例題方法，產生適合此篇問題特性之PDPTW例題做測詴。

表 4PDPTW 之最佳解解法相關文獻整理

年份 作者 目標式 求解方法

1991 Dumas et al.[7] 最小化巡迴路徑成本 變數產生法

有限制式的最短路徑演算法 2003 Xu et al.[26] 最小化巡迴路徑成本 變數產生法

啟發式解法 動態規劃 2004 Sigurd et al[22] 最小化巡迴路徑成本 變數產生法

非環狀的層級圖 2007 Ropke and

Cordeau[18]

最小化巡迴路徑成本 分支裁切價格法

在文檔中 應用變數產生法求解有時間窗限制的收送貨問題 (頁 17-22)