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第貳章 文獻回顧
第一節 Regime Switching GARCH 模型
在探討GARCH 相關與其衍生模型之前，先來回顧一下過去學者們是如何運 用GARCH 相關模型來對於此議題做研究，以及其研究結果。
最初由Engle (1982) 提出的自我迴歸條件變異數 (Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity，簡稱 ARCH) 模型，是假設資產的報酬率的變異 數服從一已知的行徑，而本期條件變異數決定於前期誤差項的平方，因此條件變 異數並非固定而是會隨著時間的經過而改變，此模型解決了當時ARMA
(Autoregressive Moving Average) 模型中條件變異數為固定的不合理假設，並且 實證結果也顯示ARCH 模型比 ARMA 模型更能適切地描寫出市場報酬率波動的 狀態，以及更成功的掌握到時間序列的趨勢，進而提昇估計效率。
Bollerslev (1986) 考量到若 ARCH 的落後期很長，則可能會因為估計參數過 多，而使得模型過於繁複，因此提出了一般化自我迴歸條件變異數 (General Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，簡稱 GARCH) 模型。此模型是根 據傳統的ARMA 模型使條件變異數符合 ARMA 過程，即受自我迴歸影響亦受移 動平均影響；也就是說使條件變異數不僅受前期預測誤差平方項的影響，也受其 條件變異數的影響，因而形成了較一般化之GARCH 模型，該模型彌補了在有限 樣本下模型階數過大所帶來的計算效率及精確度上的不足，並且具有較好的處理 厚尾能力。其一般化的模型可表示為：
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高持續性和差的預測能力之間的內在矛盾，Hamilton 提出了狀態轉移的 ARCH (Regime Switching ARCH，即 SWARCH) 模型，得了較 ARCH 模型為佳的結果。SWARCH 模型的特色是將馬可夫狀態轉換模型 (Markov Regime Switching model) 與 ARCH 模型相結合，透過馬可夫狀態轉換模型中，狀態變數 (State Variables) 的設定，濾清估計期間的結構變化，能有效的降低 ARCH 模型的高持 續性問題。此外，由於馬可夫狀態轉換模型中的狀態轉換機率 (Transition Probabilities) 是由內生決定，可讓資料自行劃分高、低波動狀態 (Regime)，客 觀區分相異波動期間，亦可避免過去研究所涉及的主觀時點與虛擬變數的選擇問 題。
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Pagan 與 Schwert (1990) 用 GARCH 模型、EGARCH 模型、馬可夫狀態轉換 模型 (Markov Regime Switching Model) 及三種非參數模型對美國股票收益率波 動進行了預測，得出EGARCH 模型要稍優於 GARCH 模型的結論，而其他模型 的預測性能則較差。
而Hamilton 與 Susmel (1994)曾以美國股價指數報酬的週資料為研究對象，
比較ARCH 模型及考量狀態轉換的 Markov Regime Switching Model，發現考量 狀態轉換後，會提高模型對於觀察值的配適度，同時，也提高模型的預測能力；
此外，也發現在高波動期間中，股票市場的下跌引發較大的波動率。
Gray (1996) 延伸了 Hamilton (1989) 提出的模型，假設狀態中的變異數遵循 GARCH，而提出了狀態轉換異質變異數 (Regime Switching GARCH，簡稱 RS-GARCH) 模型。
Dueker (1997) 預測股價指數的隱含波動率時，其估計結果發現 Markov 狀態 轉換模型的參數對於波動率有顯著的影響。同時，也提及考量狀態轉換的Markov 模型對於波動率較能夠切合實際的行徑，並且也經驗證得出，加入Student-t 的 狀態轉換模型能有更好的配適結果。
Klaassen (2001) 認為，以往許多研究皆是採用傳統的 GARCH 模型來預測波 動度，其研究發現，當採用三個主要的美元匯率作為研究標的時，使用傳統 GARCH 模型所得出的預測結果會顯得太高，他認為這是由於傳統的 GARCH 模 型中存在震盪。在考慮不同狀態的轉換，並改用Markov Regime Switching GARCH 模型作為波動度的預測後，發現其結果適應性較傳統的 GARCH 模型來 得好。
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Fong 與 See (2001)也提到了以往在衡量波動度變化時，研究標的多半是著重 於個別的商品期貨，並且使用傳統的GARCH 模型。但事實上，傳統的 GARCH 模型並沒有將許多會影響波動度的因素考量進去，例如平均值與變異數的突然改 變(即所謂 choppy market 的存在)、GARCH 的動態、隨時間不同而造成的機率轉 變、以及條件下的高狹峰左偏分配等，因此傳統的GARCH 模型在呈現波動度變 化時其實是不夠強的。
因此，Fong 與 See (2001) 的研究便考慮採用高盛商品指數期貨(GSCI)作為 標的，並且大膽採用Regime Switching GARCH 模型來衡量波動度的狀態轉變情 形。其研究中發現，波動度狀態的改變確實影響了GARCH 的結果，透過此模型 的檢定，能夠估計波動度從一個狀態轉換至另一個狀態的機率。並且與倉儲理論 (The Theory of Storage) 的假設一致，當期負的 basis 會使波動度在下一期轉變為 變異數較大的狀態的機率增加；若為正的basis，則結果相反。由於 Regime Switching GARCH 模型比傳統的 GARCH 模型考慮了更多的參數，因此研究中也 發現，在波動度的預測上，採用Regime Switching GARCH 模型確實比採用傳統 的GARCH 模型能得到更精確的預測結果。
而後，Fong 與 See (2002)又將此理論針對西德州原油期貨的價格做印證，其 研究中發現，無論在報酬波動度的狀態轉換以及對下一期波動度的預測，皆發現 有同樣的結果。
另外，Li 與 Lin (2003)對台灣股價指數報酬的研究，以及 Canarella 與 Pollard (2007)對拉丁美洲股票市場波動度的研究中皆發現，相較於傳統的 ARCH 或 GARCH 模型，採用 Markov Regime Switching ARCH (SWARCH) model 皆能得到 較好的估計。