第四章 模型介紹
第一節 Resource Misallocation 模型介紹
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第四章 模型介紹
第一節 Resource Misallocation 模型介紹
本研究試著建構一個能夠衡量球隊效率性的模型，一般來說，若投入的時間 越短或要素越少所換取的產出越高的話，直覺上就是高效率的表現。如果出現低 效率的狀況，表示產出的過程中可能是有些資源配置失當所造成的。本研究以美 國職棒大聯盟各隊的球員為研究主體，建立在 Hsieh and Klenow(2009)的 Resource Misallocation Model(資源錯置)方法的基礎上，透過此理論基礎將投手與打者的投 入及產出放入此模型以求得投手產業和打者產業的效率值，而投手產業和打者產 業的結合就代表一個球隊，這裡的球隊等同於 Hsieh and Klenow(2009)的研究中 的國家。
本 研 究 將 初 步 建 構 一 理 論 模 型 架 構 以 實 際 進 行 後 續 的 模 型 校 正 (Calibration)，並藉由實際資料計算出美國職棒大聯盟各球隊間生產性資源錯置 以及過度投資的情況。
在一個完全競爭的最終產出市場存在一個生產最終財 Y 的代表性球隊，此 球隊的技術給定如下:
𝑌𝑒𝑓= ∏2𝑠=1𝑌𝑠𝜃𝑠, where ∑2𝑠=1𝜃𝑠 = 1
球隊皆有兩種產業，透過集合 s 產業的產出𝑌𝑠來得到最終產出Y，在此 s 產 業分別是投手和打者產業，因此 s＝1,2。其中，𝜃𝑠表示各產業 s 對總產出的貢獻
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本模型假設美國職棒大聯盟各球隊使用多種生產資源，並以柯布─道格拉斯 (Cobb-Douglas)生產技術達成來促進各球隊的經濟發展，而選手也以此一技術達 成選手的經濟成長，因此各球隊的產出可寫成下式：
Y𝑠 = ∑ 𝑌𝑠𝑖
𝑀𝑠
𝑖=1
其中，𝑌𝑠𝑖表 s 產業各選手的產出，Y𝑠表 s 該產業的產出，𝑀𝑠表 s 產業所擁有 的選手數量。我們可進一步將各選手的產出以柯布─道格拉斯(Cobb-Douglas)生 產函數來表示：
𝑌𝑠𝑖 = 𝐴𝑠𝑖(𝐿𝛼𝑠𝑖𝑠𝐾𝑠𝑖1−𝛼𝑠)𝛾𝑠，𝛾𝑠 ∈ (0,1)
其中，𝐴𝑠𝑖表 s 產業各選手的生產技術，𝐿𝑠𝑖表 s 產業各選手的勞動投入，𝐾𝑠𝑖 表 s 產業各選手的資本投入，γ ∈ (0,1)3表規模報酬遞減因子。然而，各選手的 生 產 技 術 、 勞動 投 入及 資 本 投 入 均存 在 異質 性 ， 故 本 研究 採用 Hsieh and Klenow(2009)所提出之衡量方法，以𝜏𝑌𝑠𝑖及𝜏𝐾𝑠𝑖分別表示第𝑖個選手的產出及資本 投入扭曲因子。故各選手的收入函數可表示如下：
𝜋𝑠𝑖 = (1 − 𝜏𝑌𝑠𝑖)𝑃𝑠𝑖𝑌𝑠𝑖− 𝑤𝐿𝑠𝑖− (1 + 𝜏𝐾𝑠𝑖)𝑅𝐾𝑠𝑖
由各選手的收入函數可得下方兩條勞動與資本的一階條件，並從此兩式得知 若各選手面對愈大的產出扭曲因子，則勞動的邊際生產力愈高；另方面，若資本 扭曲因子愈高，則資本的邊際生產力也愈高。
3 這裡 returns-to-scale 的參數屬於 0 到 1 之間的常數，是根據 Lucas (1978)的“span-of-control”
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則其中的 TFP 項即衡量各球隊的總合生產效率因子。Hsieh and Klenow(2009) 將生產力區分為「實體生產力(TFPQ)」及「收入生產力(TFPR)」，前者是衡量無
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有兩種產業，投手和打者的產出都是平均每年能替該球隊貢獻的勝場數，而投手 與打者的投入有兩種，分別是該球員的薪資以及出賽的多寡。S 產業各選手的產 出以柯布─道格拉斯(Cobb-Douglas)生產函數來表示：
𝑌𝑠𝑖 = 𝐴𝑠𝑖(𝐿𝛼𝑠𝑖𝑠𝐾𝑠𝑖1−𝛼𝑠)𝛾，𝛾𝑠 ∈ (0,1)
𝑌𝑠𝑖：s 產業的 i 球員在該球季平均貢獻球隊的勝場數 其中 𝑌𝑠𝑖 = 𝑤𝑎𝑎𝑊𝐿%𝑠𝑖× 𝐺𝑠𝑖
𝐺𝑠𝑖：s 產業 i 球員在該球季的出場數
𝑤𝑎𝑎𝑊𝐿%𝑠𝑖：是 Baseball Reference 網站估計 s 產業 i 球員的出場讓所屬球隊 獲勝的機率。
𝛼𝑠：在本研究令為 0.64
(1) 打者群效率值：
𝐾𝑠𝑖：打者產業 i 球員的薪資 𝐿𝑠𝑖：打者產業 i 球員的打數
(2) 投手群效率值：
𝐾𝑠𝑖：投手產業 i 球員的薪資 𝐿𝑠𝑖：投手產業 i 球員的投球局數
4 這裡α =0.6 是根據 Hsieh and Klenow (2009)的設定
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(3) 球隊效率值(𝑌𝑒𝑓)：
球隊效率值(𝑌𝑒𝑓)= [打者群效率值]0.3× [投手群效率值]0.7
根據「Baseball Between the Numbers: Why Everything You Know About the Game Is Wrong」一書中提到：Pitching is 70% of baseball.。所以在這裡給打者群 效率值的權數是 0.3，而投手群效率值的權數是 0.7。這也和自古以來在棒球場上 流傳「投手掌握了比賽七成的勝率」的話不謀而合。
透過圖 1 簡單地介紹一個球隊效率值運算的流程：
圖 1：球隊效率值運算流程
打者投入：薪資 (K)、打席數 (L) 打者產出：平均貢獻勝場數 (Y)
投手投入：薪資 (K)、投球局數 (L) 投手產出：平均貢獻勝場數 (Y)
第 i 隊的打者效率值 第 i 隊的投手效率值
［第i 隊投手產業效率值］0.7× ［第 i 隊打者產業效率值］0.3
= 第 i 隊團隊的效率值
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