S&P500 股價指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率 - 敘述性統計

第四章實證結果與分析

4.2 敘述性統計

4.2.2 S&P500 股價指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率

用連續複利報酬(continuously compounded return)表示，也稱為對數報酬(logarithmic return)，令

r 表示在時間 t 時的對數月報酬，則 S&P500 的月報酬率計算方式為取連續兩

_t Mandelbrot(1963)與 Fama(1965)指出股價報酬具有價格波動群聚(volatility clustering)的現象，也就是說價格波動並非如古典計量模型假設的恆常不變(constant)，而是會隨著時間而改變，稱為波動時變性(time-varying volatility)。

標準普爾指數(S&P 500 Index) 10 年期公債殖利率(T-bond Yield) %

200

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 S&P500 Index

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 10 YEAR BOND YIELD

圖 1：S&P500 指數與 10 年期公債殖利率走勢圖

‧

圖3 為 S&P500 指數月變動幅度(monthly range)與 10 年期公債月變動幅度(monthly range)，變幅主要衡量當月最高價與最低價的幅度，其定義為

^R

^{S P t}^{& ,} ⁼^log^e

( ^P

^{S P t}^high^{& ,}

^P

^{S P t}^low^{& ,}

)

與

^R

^{Tbond t}^, ⁼^log^e

( ^P

^{Tbond t}^high ^,

^P

^{Tbond t}^low ^,

)

，從下圖可以發現，在幾個期間股市與債市的變幅是異常

高，也就是該時期股市與債市的波動較為劇烈。

在1997 年爆發的亞洲金融風暴(East Asian Financial Crisis)與 1998 年發生的俄羅斯金融危機(Russian Financial Crisis)，雖然金融危機並非發生在美國，但在金融逐漸自由化的時代，使得該風暴也對美國股市與債市產生影響。2000 年發生的網路泡沫化 (Dot-Com Bubble Crisis or Internet Bubble Crisis)，科技類股全面重挫，主要原因在於人們對於科技類股的幻想破滅，一味的追求本夢比(

Price Dream

)，使得科技類股不斷攀升，卻沒有相對應的基本面支撐，投資者面對股市時，展現的貪婪與恐懼(greed and fear) 從網路泡沫化當中可以一覽無遺。2001 年股市波動再起，原因是美國爆發本土第一次遭受重大恐怖攻擊—911 恐怖攻擊(Terrorist Attacks in September 11)，使得美國許多主要的交易所停止交易，包含紐約證券交易所(New York Stock Exchange, NYSE)、美國證券交易所(American Stock Exchange, AMEX) 與那斯達克交易所(NASDAQ)都紛紛休市，從 9 月11 日恐怖攻擊當天起停止交易四日，直到 9 月 17 日才恢復股票市場交易。2002 年多頭氣勢不復，美國股市大幅修正，結束長達10 多年的多頭，加上幾件重大的會計醜聞，

標準普爾指數(S&P 500 Index)月報酬(%) 10 年期公債(T-bond Yield)月報酬(%)

-16

Monthly Return of SP500

-30

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Monthly Return of 10 Year T-Bond

圖 2：S&P500 指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率

‧

緊接著在2007 年底，美國爆發次級房貸風暴(Subprime Mortgage Financial Crisis)，使得美股再度重挫，次貸風暴不僅對於美國股市造成影響，對於其他國家的金融市場也造成從月報酬率的絕對值來觀察，10 年期公債單月報酬率最大漲幅為 14.171%，高於 S&P500 指數的單月漲幅10.579%，而跌幅方面，10 年期公債單月報酬率最大跌幅為 23.609%，

也是高於S&P500 指數的單月最大跌幅 15.759%。綜上所述，我們得出 10 年期公債月報酬的波動大於S&P500 指數月報酬，與我們一般直覺想法認為公債報酬波動率較小不太一致。

若我們將變異係數(coefficient of variation, CV)列入考量，可以得到 S&P500 指數月報酬的變異係數為1.74 (

CV

_{S P}_& =σ_{S P}_& μ_{S P}_& =13.7 7.872)，也就是說投資 S&P500 指數獲取 1%的報酬需要承擔 1.74%的風險。而 10 年期公債月報酬的變異係數為 4.01

標準普爾指數(S&P 500 Index)月變幅(%) 10 年期公債(T-bond Yield)月變幅(%)

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Monthly Range of SP500

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Monthly Range of 10 Year T-bond

圖 3：S&P500 指數與 10 年期公債月變動幅度

‧ 國

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(

CV

_{S P}_& =σ_{S P}_& μ_{S P}_& =17.736 4.428)，因此投資在 10 年期公債的風險遠遠大於投資於

S&P500 指數。

S&P500 指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率都呈現左偏分配 (negative skewness)，它們的偏態係數值分別為-0.611 與-0.472，也就是說月報酬率在下方風險呈現長尾分配，資產報酬率分配為不對稱分配，偏態係數的定義為：

^S

⁼^{E x-}

(

^μ

)

³ ^σ³^。至

於峰態係數則定義為：

^K

⁼^{E x-}

(

^μ

)

⁴ ^σ⁴ ，在峰態係數(kurtosis)方面，S&P500 指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率都呈現高狹峰(excess kurtosis)，它們的峰態係數分別為 4.215 與 4.905，也就是說月報酬率有厚尾(fat-tail)的現象，隱含股市與債市價格波動時，

大跌的機率高於大漲的機率，從財務時間序列資料發現，當空頭市場來臨時，價格跌勢通常非常劇烈，但當多頭市場降臨時，價格卻呈現溫和的上漲。

Jarque-Bera(JB)常態性檢定(normality test)主要針對某一變數檢定其是否符合常態分佈，JB 定義如右所示：

^{JB n} ⁼ ⁶ ^× ( ^S

⁺ ^{1 4} ^× ( ^K ⁻ ³ )

) ^~

^χ²

^{( )} ²

，JB 常態性檢定的虛無假設(H )為：該檢定變數為常態分配。從表 1 我們可以得知，S&P500 指數月報酬與 10₀ 年期公債月報酬皆拒絕符合常態假設。

表 1：S&P500 指數與 10 年期公債月報酬

變數 S&P500 指數月報酬(%) 10 年期公債月報酬(%) 平均數 (Mean) 0.656 (7.872) 0.369 (4.428)

中位數 (Median) 1.010 0.431

最大值 (Maximum) 10.579 14.171

最小值 (Minimum) -15.759 -23.609

標準差 (Std. Dev.) 3.955 (13.700) 5.120 (17.736)

偏態係數 (Skewness) -0.611 -0.472

峰態係數 (Kurtosis) 4.215 4.905

Jarque-Bera (JB) 27.114 41.273

機率(P-Value) 0.000 0.000

註 1：資料期間 1990/2/1~2008/4/1 2：括號()內為年化後的數值

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表2 為 S&P500 指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率的共變異數與相關係數，從表中可知股市與債市的相關性是呈現負相關的(ρ_{S P}& , Tbond =-0.096)，我們使用整個樣本期間(1990/1~2008/4)來計算股市與債市的共變異數與相關係數，雖然它們看起來並不是相關性非常高，但是並不代表它們無關。

表2：S&P500 指數與 10 年期公債月報酬共變異數與相關係數

共變異數 (covariance) 相關係數 (correlation) S&P500 10 年期公債 S&P500 10 年期公債

S&P500 15.571 -1.970 1 -0.096

10 年期公債 -1.970 26.913 -0.096 1

註 1：資料期間 1990/2/1~2008/4/1 4.2.3 總體經濟變數

聯邦資金利率之(Federal Funds Rate, FFR)走勢

從圖4(圖左)我們可以發現，美國聯邦資金利率走勢在 1990 年 3 月達到高峰 7.87%

之後，便一路向下探底，寬鬆的貨幣政策，使得美國股市多頭行情持續至2000 年 8 月，

之後美股受到網際網路泡沫化影響，使得股價反轉直下，而調降利率一向被視為拯救股市的萬靈丹，從下圖可知，美國聯準會從 2000 年之後不斷調降利息，使得聯邦資金利率在2003 年 12 月達到歷史低點 0.89%，至此美國股市也不斷攀升，聯準會拯救股市的藥方顯然有效，2007 年底爆發的次級房貸風暴，造成美股重挫，從下圖也可以發現聯準會不斷降息拯救股市的措施。

10 年期公債殖利率與聯邦資金利率之利差(Spread between T-bond Yield and FFR)

圖4 右為 10 年期公債殖利率與聯邦資金利率之利差(

Spread Yield

= _Tbond −

FFR

)，投資在長期債券的到期收益率應當高於投資在貨幣市場的收益率，但在 1998 年中、2000 年底與 2006 年中，投資在貨幣市場的報酬竟高於投資在長期債券上，究其原因，1998 年8 月俄羅斯金融危機，與 2000 年網路泡沫化，造成美股大幅重挫，資金因此大量流

‧

利率(Federal Funds Target Rate)，進而影響聯邦資金利率的調降，在利差(spread)為負的情況之下時，代表公債殖利率下滑的幅度大於聯邦資金利率。

消費者物價指數月增率 (Monthly Percentage Change of CPI)

從圖5(圖左)可以知道，美國消費者物價指數(CPI)在 1999 年之前，其月增率都控制

聯邦資金利率月增率 (Monthly Percentage Change of FFR)

從圖 5(圖右)可以發現，美國聯邦資金利率受到物價指數與股市的影響，聯邦資金

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Federal Funds Rate

-1

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Spread between T-bond Yield and FFR

圖 4：聯邦資金利率走勢與利差

‧

相關係數 (correlation)

S&P500 10 年期公債消費者物價指數聯邦資金利率

Monthly Percentage Change of CPI

-30

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Monthly Percentage Change of FFR

圖 5：消費者物價指數與聯邦資金利率月增率

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4.3 實證分析

在實證分析方面，我們先使用單根檢定(Unit Root Test)來檢驗時間序列資料是否為穩態，接著利用向量自我迴歸模型(Vector Autoregressive, VAR)來探討 S&P500 指數月報酬率、10 年期公債月報酬率、消費者物價指數月增率與聯邦資金利率月增率的互動關係。

4.3.1 單根檢定 (Unit Root Test)

進行Dickey-Fuller 單根檢定時，完整的單根檢定有三種形式：

1. 含截距項 (intercept)

2. 含截距項與時間趨勢項 (intercept and trend) 3. 不含截距項與時間趨勢項 (none)

進行單根檢定時，究竟使用哪一種形式比較合適，在文獻上並無一致結論。因此我們使用 Enders(2004)所建議的單根檢定程序，先選取含截距項與時間趨勢項 (intercept and trend)，若其結果無法拒絕虛無假設(H :₀

Variable has a unit root )，也就是該變數具

有單根，再選取含截距項 (intercept)，若其變數依然具有單根特性，最後再選取不含截距項與時間趨勢項 (none) ，假設在上面三種檢定之下變數依然無法達到定態 (stationary)，則必須進行一階差分(1^st difference)，再重複檢定直到變數達到定態為止，

本篇論文檢定單根分別採用「含截距項」、「含截距項與時間趨勢」與「不含截距項與時間趨勢」等三種模式。

本研究採用Augmented Dickey-Fuller(ADF)檢定與 Phillips-Perron(PP)檢定來檢驗四個時間序列是否具有單根現象。如表 4 所示，為 Augmented Dickey-Fuller(ADF)檢定與 Phillips-Perron(PP)檢定的統計值，除了消費者物價指數月增率在「不含截距項與時間趨勢項」不顯著，無法拒絕存在單根之虛無假設外，在1%、5%與 10%的顯著水準之 ADF 與 PP 模型下，不論在「含截距項」、「含截距項與時間趨勢」與「不含截距項與時間趨勢」模式，S&P500 指數月報酬率、10 年期公債月報酬率、消費者物價指數月增率與聯邦資金利率月增率都呈現統計顯著，也就是都顯著拒絕單根之虛無假設，表示四個變數

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數列都符合定態，不存在單根。

表4：單根檢定結果

變數 S&P500 10 年期公債消費者物價指數聯邦資金利率 Augmented Dickey-Fuller(ADF)檢定

1.含截距項 -14.942*** -13.944*** -11.065*** -4.381***

2.含截距項與

時間趨勢 -14.997*** -13.910*** -11.056*** -4.356***

3.不含截距項

與時間趨勢 -14.573*** -13.908*** -1.610 -4.342***

Phillips-Perron(PP)檢定

1.含截距項 -14.945*** -13.914*** -11.102*** -9.116***

2.含截距項與

時間趨勢 -15.005*** -13.877*** -11.090*** -9.104***

3.不含截距項

與時間趨勢 -14.572*** -13.878*** -7.172*** -9.079***

註：***、**與*分別表示在 1%、5%與 10%的顯著水準下拒絕虛無假設。

4.3.2 向量自我迴歸(Vector Autoregression, VAR)模型

向量自我迴歸的估計與檢定：最適落後期數

在向量自我迴歸(Vector Autoregression, VAR)模型的參數選取當中，若變數的落後期數選取過多，估計結果會缺乏效率(efficiency)，若變數的落後期數選取過少，則估計結果會因為參數過於精簡，殘差項可能會有自我相關的情形，使得估計結果產生誤差。使用自我向量迴歸模型進行實證分析之前，我們必須選取最適的落後期數，以提高實證的精確性與效率性，在本研究進行落後期數的選取當中，我們使用AIC(Akaike Information Criterion)與 BIC(Schwarz Bayesian Information Criterion)來當作模型配適度(fitness)的指標。AIC 與 BIC 分別為 Akaike(1973)與 Schwarz(1978)所提出，AIC 與 BIC 所估計出來的數值越小，代表模型的配適度越好。

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AIC 與 BIC 的定義分別如下所示：

AIC=nlog (SSE)+2k e

( )

e e

BIC=nlog (SSE)+klog n

其中n 為樣本總數，SSE 是殘差平方和(sum of square error)，k 為待估計的參數總數。

本研究不論使用 AIC 與 BIC 來選取最適落後期數，得到最適落後期數都是一致的，所估計出來的向量自我迴歸模型之AIC 與 BIC 彙整於表 5 所示，最適的 AIC 與 BIC 落後期數都為落後2 期，其值分別為

AIC -2 =17.515 ( )

與

BIC -2 =18.075 ( )

。

表5：AIC 與 BIC

落後期數 Akaike Information Criterion (AIC)

Bayesian Infromation Creterion (BIC)

1 17.556 17.867

2 17.515(*) 18.075(**)

3 17.525 18.337

4 17.610 18.677

5 17.663 18.984

6 17.745 19.323

7 17.762 19.599

8 17.866 19.963

9 17.957 20.316

10 17.885 20.508

註：*與**分別表示根據 AIC 與 BIC 所選取之最適落後期數。

向量自我迴歸的估計與檢定：參數估計

本研究使用S&P500 指數月報酬率、10 年期公債月報酬率、消費者物價指數月增率與聯邦資金利率月增率，結合向量自我迴歸(VAR)模型來探討上述任一變數變動時，對於其他變數的影響。向量自我迴歸模型是由一組多條迴歸式與多變量所組成，每一條迴歸式當中，因變數除了包含本身的落後期數項之外，也引入其它變數的落後期數項，落

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4.3.3 衝擊反應 (Impulse Responses)

我們藉由衝擊反應(Impulse Response)來分析當某一變數發生自發性衝擊時，對於其它預測變數所造成的影響，我們使用S&P500 指數月報酬率、10 年期公債月報酬率、消

在文檔中美國物價指數與利率變動對於股市與債市的影響 - 政大學術集成 (頁 17-0)

S&P500 股價指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率

第四章 實證結果與分析

4.2 敘述性統計

4.2.2 S&amp;P500 股價指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率

r 表示在時間 t 時的對數月報酬，則 S&P500 的月報酬率計算方式為取連續兩

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R

( P

P

)

R

( P

P

)

Price Dream

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CV

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CV

S

(

)

K

(

)

JB n = 6 × ( S

+ 1 4 × ( K − 3 )

) ~

( ) 2

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Spread Yield

FFR

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Variable has a unit root )，也就是該變數具

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( )

BIC=nlog (SSE)+klog n

AIC -2 =17.515 ( )

BIC -2 =18.075 ( )

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第四章實證結果與分析

4.2.2 S&P500 股價指數月報酬率與 10 年期公債月報酬率

^R

( ^P

^P

^R

( ^P

^P

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^S

^K

^{JB n} ⁼ ⁶ ^× ( ^S

⁺ ^{1 4} ^× ( ^K ⁻ ³ )

) ^~

^{( )} ²

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