第二章 相關研究
2.3 Weighted Cascade Model
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們的鄰居，再由它們的鄰居將影響力擴散至它們的鄰居的鄰居…一直擴散下去，直到無 法傳遞下去無止，而我們要如何選擇種子節點？此即是 Influence maximization 問題 [1,9]。
2.3 Weighted Cascade Model
Weighted cascade model 與 Independent cascade model 的模擬過程一樣，唯一差別在 於給定邊上影響機率值的方式，在 Independent cascade model 中，邊上的影響機率值是 一開始就給定的值，可以為 0.1、0.01 或是隨機一個機率值。而在 Weighted cascade model 中，每條邊 可視為 和 兩條有向的邊。而 上的影響力機率值為 ， 為 v 的 Degree，若點 u 在第 i 回合被影響，則點 u 在第 回合有 的機率影響節點 v，相 反地， 的影響力機率值則為 。
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第三章 研究方法
3.1 問題定義
給定(1)標籤社會網絡 ，(2) 預算 B 和(3) 目標標籤集合 ， 。其中，
，V 是所有節點的集合，E 是所有邊的集合， 為所有標籤 之集合。針對每個節點 ， ；節點 u 的權重值為 。B 是一個整 數，代表種子節點的數量。而目標標籤則是我們的目標消費群的標籤。
目的是在 G 中選出種子節點集合 ， ， ，使得 最大，其 中 且 。
此問題與先前 Influence maximization 的不同之處在於，目前的問題考慮到節點屬於 不同的標籤，且不同標籤具有不同的權重，使得問題更貼近現實情況。現實社會中，廣 告商打廣告時，都有目標消費群，而目標消費群很可能共同擁有某種特徵，例如：年齡 層在四十歲左右或者是熱愛騎腳踏車…等等，在之前的研究，雖然找得到影響最多節點 的種子節點，但這些種子節點卻不一定影響到最多某種標籤的節點。
以圖 3.1 為例，圓裡面的 A 和 B 是節點的標籤，而 a, b, c…,k 則是節點的編號，邊 上的權重是影響機率值(0.2)，若我們的目標標籤為 B 且預算為 1。則在先前的研究 (Influence maximization problem)是不考慮節點的標籤，單純考慮節點影響的個數，不管 用 Degree centrality 或是 Greedy algorithm，我們都會選擇點 a 作為起始點。
若是在 Labeled influence maximization problem 問題定義之下，我們不單單考慮節點 的數量，也會考慮節點的標籤。一般解決此問題的想法，是去掉標籤為 A 的節點，只留
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標籤為 B 的節點，再從中選出一個種子節點。但此方法有兩個缺點：第一，標籤社會網 絡可能會不連通，導致節點與節點之間不能互相影響。第二可能去掉最佳的種子節點(種 子節點可能是類別為 A 的節點)。事實上，選擇節點 g 作為種子節點，最有可能影響最 多標籤為 B 的節點。
圖 3.1 Labeled influence maximization problem 之範例。
3.2 LabeledGreedy Algorithm
最佳化 Influence maximization 是一個 NP-hard 的問題[12]，現有的研究[3][12][16][22]
皆提出了 Approximation algorithm，找出趨近解，目前多數的解法為 Greedy algorithm，
[12]是最早以 Greedy algorithm 來解決 Influence maximization problem 的研究，因此我們 以作者的名字縮寫當作方法的名稱，稱作 KKT’s greedy algorithm 每回合選出能使影響 力增加最多的節點作為種子節點。
KKT’s greedy algorithm 進行回合制的挑選，每一回合選出那一回合影響力最大的節 點 v。一開始， ，接著每一回合選一個種子節點加入，在第 t 回合時，選擇 ， 可以使 marginal gain 最大化[7]。
(1) (1)裡， 是利用 Independent cascade model 去模擬 的影響力，計算社會
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algorithm 的 Pseudo code。圖 3.2 KKT’s greedy algorithm 的 pseduo code。
其中 是將 Set 當作 Independent cascade model 中的種子節點，
計算其所能影響的數量。而影響的擴散與機率有關，因此模擬時，讓程式跑 10000 遍後 再取平均值作為加入節點 後能多影響的數量。
然而，KKT’s Greedy algorithm 所選出的 k 個點是否能夠有好的效果？KKT’s greedy algorithm 所得的效果跟最佳化的結果差多少？然而，要探討此問題時，必須先了解 這個函數，此函數具有 Submodular[5]特性：邊際效益遞減的特性。
定義 3.1：具有 Submodular 特性的函數會符合下列式子
(2) 其中集合 。而對於社會網絡上每一個節點 v，(2)都成立。
KKT’s Greedy Algorithm (G, k)
1: initialize and
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上述的 Greedy algorithm 並不適用於 Labeled influence maximization problem，因此 我們修改了 Greedy algorithm，稱作 LabeledGreedy，而 LabeledGreedy 能解決 Labeled influence maximization problem。
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influence maximization problem，至少可以達到 63%的 approximation。
3.2 LabeledCELFGreedy Algorithm
圖 3.3 CELFGreedy algorithm
在[16]中，作者利用了 KKT’s greedy algorithm 中 的 Submodularity 特性來減
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除了 Lazy forward selection，[3]的作者提出了 NewGreedy，以改進 KKT’s Greedy algorithm 模擬時的效率。改進的方法起因於 Independent cascade model 的假設：每一條 邊 在模擬時，u 只有一次影響 v 的機會，在第 i 回合，若 u 變成 Active node，則在第 i+1 回合，u 會試圖影響 v，不管 u 在此回合有沒有成功影響 v，u 不會再試圖影響 v。
既然每條邊在每次模擬的時候只會使用一次，我們便可以在一開始就選擇邊是否會 使用到(根據邊上的機率而定)，若邊 有選到，則代表 會傳遞影響力，若 沒有選到，
則代表在此模擬中 不會傳遞影響力(v 不會被 u 影響，且 u 不會被 v 影響)，則把它從
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同樣地，NewGreedy 並不適用於 Labeled influence maximization problem，因為在計 算 時沒有考慮到 Label 的因素，所以我們將原來的 NewGreedy 改成
針對 Labeled influence maximization problem，因此我們修改 DegreeDiscount，使其
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適用於 Labeled influence maximization problem，稱作 LabeledDegreeDiscount。
圖 3.5 LabeledDegreeDiscount algorithm
我們稍加修改(4)，使其加入 Label 條件設定，可以得到(5)和(6)，即可以算出節點 v 的 Degree(與 DegreeDiscount 計算 Degree 的方式不同)，p 為影響的機率。(5)可視為 v 不
LabeledDegreeDiscountIC(G, k)
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籤的權重值並不是固定的值，因此 Labeled influence maiximization 的結果隨著標籤的不 同 而 有 所 改 變 ， 因 此 ， 我 們 無 法 事 先 所 有 的 答 案 都 算 好 。 所 以 我 們 提 出 了 proximityDiscount 來解決 Labeled influence maximization problem。由於行銷人員在擬定行銷策略時，會測試不同的目標標籤的組合，以企圖找出最符 合效益的目標標籤之集合。而我們不大可能將這些組合事先運算好，待行銷人員查詢時 回傳。因此 ProximityDiscount 分成 Offline 和 Online 處理兩個部分。Offline 時，事先算 出標籤社會網絡中任兩點之間的 Proximity(鄰近性)，當 Online 有查詢時，再透過 Proximity 算出 k 個種子節點。
有 許 多 方 法 [8][9][14][23] 都 可 以 拿 來 計 算 節 點 之 間 的 Proximity 。 但 我 們 計 算 Proximity 的方法概念上與[14]的 Cycle Free Effective Conductance(CFEC)相似。
CFEC 透過在社會網絡上 Random walk，得出從節點 v 走到節點 u 之間的機率值，
此即 Proximity，而 Proximity 可以視為影響力擴散的機率值。
而 CFEC 與其他方法[8][9][23]最大的不同在於，CFEC 在 Random walk 時，不會重
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Independent cascade model 中模擬時，並沒有考慮節點被成功影響兩次以上的情況。3.5.1 Proximity for Independent Cascade Model
在 Independent cascade model 中，Random walk 每走一步的機率就是邊上的權重值，
點 s 走到點 t 的機率 ， 是節點 s 與節點 t 的邊之權重值，而且節點與節點之
在 Undirected graph 中，Random walks 具有可逆性(Reversibility property)[14]，因此 。
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第 100 條最短路徑的機率值可能是最短路徑的百萬分之 1[2]，如此小的機率值並不會對 整體有顯著影響。因此，我們利用 Approximation 的方式來算
。
我們只用機率值較高的前 k 條 s-t 簡單路徑， ，來計算 。當第 k 條路 徑的機率值小於第 1 條路徑的機率值的 時，我們停止繼續找第 k+1 條路徑。
而我們將找前 k 條機率值高的簡單路徑轉換成找前 k 條最短簡單路徑(Find k shortest simple paths problem)。圖 3.6 在說明前 k 條簡單路徑與前 k 條路徑的不同，若 要在圖中找出前 3 條簡單路徑，則長度分別為 6、20 和 21。而若是前 3 條路徑則路徑長 度分別為 6、8 和 10。。
圖 3. 6 前 k 條最短簡單路徑和前 k 條最短路徑之範例。
Katho et al.[13]提出了有效率的方法找出前 k 條簡單路徑，我們實作部分，主要參考 [19]。
由於 Independent cascade model 中邊的權重值是固定的獨立機率，影響力擴散的機 率由路徑上的邊之權重值相乘而得。然而，影響力的機率每乘上一個權重值，其實相當 於在標籤社會網絡上多走一步，因此我們只需算路徑的長度即可知道路徑的機率值，因 此我們先將標籤社會網絡的邊的權重值轉成長度，再透過找 s-t 前 k 條最短簡單路徑，
即可得出 s-t proximity。
首先我們將標籤社會網絡上邊的權重(我們假定 )利用(8)轉成長度。
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influence maximization problem，ProximityDiscount 的概念跟 LabeledDegreeDiscount 相似，但 ProximityDiscount 考慮的較 LabeledDegreeDiscount 精確。
LabeledDegreeDiscount 利用 來計算節
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圖 3.7 ProximityDiscount 的資料結構
圖 3.8 ProximityDiscount algorithm
圖 3.7 是實作時用的資料結構，假設有 ， ， ， ，n 個節點，我們建立一個 ProximityDiscount (G, k)
initialize for do
if do
for every vertex v do v’s total profit;
end for else
s = new added seed node in the i-1 loop
for every vertex , do ;
end for
for every vertex , 且 do
end for end if else
choose the highest , add v to S end for
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集後利潤增加最多的明星。圖 3.10 即是 MaximumCoverage 的演算法，在實作部分，每 個明星都有一個長度為社會網絡中的節點數的位元，用來表示擁有的粉絲為誰，若明星 有粉絲 ，則第 i 個位元為 1，反之則為 0。因此，我們要比對聯集後的粉絲數量，我們‧
圖 3.9Maximum k coverage problem 之 Greedy algorithm。
圖 3.10 MaximumCoverage algorithm
3.7 Proximity Threshold and Maximum Coverage Threshold
透過前處理，我們事先計算點與點之間的 Proximity。但有些 Proximity 值相當低，
因為可能兩個節點 u 和 v 距離太遠，當在算明星有哪些粉絲時，我們可以忽略掉 Proximity 值小的粉絲，因此可以定義出 Proximity threshold ，當 Proximity(u,v)值大於 時，我們 視粉絲 v 為明星 u 的粉絲。
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對於 ProximityDiscount 而言，只要是 Proximity 不為 0，ProximityDiscount 都納入考 量，但實際在影響的時候，過小的機率是可以被忽略的，忽略掉一些過小的 Proximity，
maximum coverage threshold。因為我們是用 Greedy 的方式去解 Maximum k coverage problem，每回合增加的粉絲數也會具有 Submodularity，因此當 maximum coverage threshold，代表再增加新的明星也無法增加 Maximum coverage threshold 數量的 粉絲，倒不如重新再選，選擇粉絲群較大的明星。
另外，也要考慮到 Proximity threshold 和 Maximum coverage threshold 之間的關係。
若 Proximity threshold 值很高的時候，則 Maximum coverage threshold 就不能太大，因為 Proximity threshold 高代表對於粉絲的認定較為嚴格，粉絲的數量自然就會少，當每位明 星擁有的粉絲數較少，種子節點之集合增加一個明星能增加的粉絲數理所當然地會少於 Proximity threshold 低的時候，而此時若 Maximum coverage threshold 太大，則在選擇種 子節點時，會一直重複挑粉絲群最大的明星，而這些明星存在同一 Component 中，如此 影響力就會只侷限在某一個 Component 中。
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第四章 實驗
4.1 實驗設計
我們用 IMDb(Internet Movie Database)裡 1994 到 1995 年的電影做為實驗的 Dataset，電 影裡的演員代表社會網絡上的節點，而社會網絡上的邊則代表演員與演員有共同演出一 部戲。每部電影都有標籤，舉例而言，玩具總動員這齣戲有 5 種標籤，分別為 Animation、
Adventure、Comedy、Family 和 Fantasy。而每位演員的標籤則看他演出的戲最多屬於哪 種標籤，舉金凱瑞而言，他演出的電影的標籤大都為 Comedy，則金凱瑞的標籤為 Comedy。
Dataset 裡共有 6079 個節點，120610 個邊。表 4.1 是每個標籤的演員數，共有 12 種標籤，而標籤為 Sport 的演員數最少，只有 13 個演員，反觀標籤為 Drama 的演員數 有 3927 個。。
表 4.1 IMDb Dataset 各種 Label 之演員數量
標籤 數量 標籤 數量
標籤 數量 標籤 數量