探討球型顆粒對奈米複合材料拉伸強度的影響－利用線彈性破壞力學理論

國 立 交 通 大 學

機械工程學系

碩 士 論 文

探討球型顆粒對奈米複合材料拉伸強度的影響

-利用線彈性破壞力學理論

Investigating Particle Effect on the Tensile Strength of

Nanocomposites – Using Linear Elastic Fracture Mechanics

研 究 生 ：林奕安

指導教授 ：蔡佳霖 博士

探討球型顆粒對奈米複合材料拉伸強度的影響

-利用線彈性破壞力學理論

Investigating Particle Effect on the Tensile Strength of

Nanocomposites - Using Linear Elastic Fracture Mechanics

研 究 生：林奕安 Student：Yi-An Lin 指導教授：蔡佳霖 Advisor：Jia-Lin Tsai

國 立 交 通 大 學

機 械 工 程 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master

in

Mechanical Engineering

June 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

探討球型顆粒對奈米複合材料拉伸強度的影響

-利用線彈性破壞力學理論

學生：林奕安

指導教授：蔡佳霖

國立交通大學機械工程學系碩士班

摘 要

本研究致力於探討球型補強材料之顆粒尺寸、體積分率及分散性對含 裂紋奈米複合材料拉伸強度的影響。透過有限元素法建立的一套微觀模 型，配合線彈性破壞力學理論，可用於探討添加的顆粒對材料中裂紋破壞 行為的影響，並從裂紋的應變能釋放率來預測補強材料顆粒對拉伸強度的 影響。分析結果顯示，承受拉伸外力的奈米複合材料，其補強材料顆粒軸 極區域是基材中裂紋較容易延伸破壞的地方，而在顆粒之側向則有一應力 抑制區域可延緩裂紋的成長。隨著顆粒尺寸愈小可提升奈米複合材料的拉 伸強度，局部群聚現象的出現則將導致拉伸強度明顯的下降。這些現象皆 可由實驗文獻獲得相同的趨勢。而在補強材料體積分率的探討上，分析結 果顯示隨著體積分率的增加將使拉伸強度降低，此部分實驗文獻中的現象 眾說紛紜，無法確切指出含量與強度間的關係，故有待進一步的實驗來驗 證。本研究中為了探討基材與補強材料介面裂紋的問題，整理了破壞力學

書籍中較少提及的介面裂紋破壞力學理論，及其在有限元素上的計算方 法。雖然文中僅有少部分的應用，然而基材與補強材料介面的剝離現象是 很常見的破壞模式，期望介面破壞理論的整理能對未來這方面的延伸探討 有所助益。

Investigating Particle Effect on the Tensile Strength of

Nanocomposites – Using Linear Elastic Fracture Mechanics

Student：

Yi-An Lin Advisor：Jia-Lin Tsai

Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University

ABSTRACT

This research aims to investigate the effect of particle size, volume fraction and dispersion on the tensile strength of particulate nanocomposites with an initial crack. The finite element micromechanical model in conjunction with linear elastic fracture mechanics was used to study the particle effect on the fracture behavior. Calculating the strain energy release rates of the crack could be applied to estimate the tensile strength of particulate nanocomposites. It was shown that the crack in the matrix is more likely to extend at the pole region of the particle in the direction of the applied tension, and there is a stress shielding zone at the equator which can reduce the possibility of crack growth. The tensile strength of particulate composites can be improved with decreasing of particle size, and the local aggregation of particles results in a decrease of tensile strength. These analytical results demonstrate a good agreement with the experimental literature. The result also showed that the tensile strength decreased with increasing of volume fraction. However, various trends of the volume fraction effect on the composite strength had been demonstrated. It seems that there is no consistent conclusion in literature to determine the relation between volume fraction and strength. Hence, to verify the above result, further experimental research is needed. In this study, for the sake of investigating the particle/matrix interface crack problem,

we summarized the fracture mechanics of the bimaterial interface crack and its calculating method by finite element analysis. Although there was less use of the calculating method in this research, we still expect that the summary can be helpful for the further investigation of the particle/matrix debonding.

誌 謝

承蒙恩師 蔡佳霖博士兩年來在學業上的諄諄教誨，使此論文得以順利 完成，並讓我從中學習到專業的知識、妥善的時間管理及待人處事應有的 態度，在此致上由衷的謝意。同時感謝清華大學動機系葉孟考教授、交通 大學機械系金大仁教授、蕭國模教授撥冗擔任學生之口試委員，對於學生 的論文研究及觀念給予許多寶貴意見，使本研究更加完整，僅此致謝。 此外，感謝學長曾世華、齊揚楷對於課業及研究上給予許多指導，也感 謝鄭伊烈、涂潔鳳、張乃仁，學弟謝孟哲、王泰元以及其他固力組的好夥 伴們在研究上的相互砥礪，支持我度過了許多研究瓶頸。每週的運動時間 是我最快樂的時光，有你們的陪伴讓我的研究所生涯充實了許多。 最後要感謝我的父母，林揚名先生與李秀玉女士，在我求學過程中一直 支持我、鼓勵我，讓我可以全心全意的投入在研究中，你們是我最堅強的 後盾、也是這篇論文最大的幕後推手。也謝謝天心長久以來的陪伴，總是 替我分擔壓力，帶給我信心。兩年的研究所生涯即將畫上句點，感謝一路 上所有幫助我的人，願把這份成果與喜悅與你們分享，也祝福你們一切順 利。 林奕安 2009.07.21 於交通大學

目 錄

中文摘要 ... i 英文摘要 ... iii 誌謝 ... v 目錄 ... vi 表目錄 ... viii 圖目錄 ... ix 第一章 緒論 ... 1 1.1 研究背景與文獻回顧 ... 1 1.2 研究目標 ... 6 1.3 研究方法 ... 6 第二章 理論分析 ... 8 2.1 均質材料之破壞力學理論 ... 8 2.2 雙材料介面裂紋之破壞力學理論 ... 13 第三章 以有限元素法模擬含裂紋之奈米複合材料 ... 31 3.1 奈米複合材料的有限元素模型 ... 31 3.2 顆粒尺寸對含裂紋複合材料的影響 ... 33 3.3 體積分率對含裂紋複合材料的影響 ... 37

3.4 鄰近補強材料顆粒之裂紋 ... 39 3.5 局部群聚現象對裂紋破壞行為的影響 ... 40 第四章 結論與未來展望 ... 42 4.1 結論 ... 42 4.2 未來展望 ... 43 參考文獻 ... 44

表 目 錄

表1 基材、補強材料之材料參數以及不同體積分率下複合材料之有

效材料性質 ... 48

表2 體積分率為 5 vol%、不同顆粒尺寸下之顆粒表面間距 d ……… 48

圖 目 錄

圖2.1 三種獨立的裂紋破壞變形模式(由左至右)：開裂模式(Open

mode)、剪裂模式(In-plane shear mode)、撕裂模式(Tearing

mode) ……….………... 49 圖2.2 均質材料含有一段長度為 2a 之裂紋承受拉伸外力σ0 ……... 49 圖2.3 均質材料含有一段長度為 2a 之裂紋承受剪外力 S ……... 50 圖2.4 裂紋關閉積分法示意圖(a)裂紋增長一微小量δa (b)關閉δa 長度裂紋所需之應力 ……… 50 圖2.5 均質材料中的裂紋，使用有限元素法之四節點元素(4-nodes element)進行分析 ……….. 51 圖2.6 均質材料中的裂紋，使用有限元素法之八節點元素(8-nodes element)進行分析 ……….………. 51 圖2.7 兩種等向性材料介面之半無限裂紋(semi-infinite crack) ... 52 圖2.8 雙材料介面裂紋應力場的震盪特徵(oscillating character)示 意圖 ………... 52 圖2.9 定義裂紋尖端一小段長度δ = a − x ………... 53 圖2.10 兩種材料介面裂紋尖端鄰近區域的位移震盪、重疊現象 ….. 53 圖2.11 承受拉伸與剪切外力之雙材料無限大平板，材料介面之有限 長度裂紋示意圖(裂紋長度為 2a) ……….. 54 圖3.1 顆粒型複合材料鑲埋模型 A (含長度為 2a 之裂紋) ……... 55 圖3.2 顆粒型複合材料鑲埋模型 B (含長度為 2a 之裂紋) ……... 55 圖3.3 顆粒型複合材料鑲埋模型 C (含長度為 2a 之裂紋) ……... 56

圖3.4 球 型 顆 粒 複 合 材 料 之 有 效 材 料 性 質 (Effective Properties) ... 56 圖3.5 鑲埋模型 A (四分之一模型) ……….………….. 57 圖3.6 鑲埋模型 A 之有限元素模型(Δa 為裂紋尖端之元素尺 寸) ……… 58 圖3.7 相同體積分率、不同顆粒尺寸之含裂紋複合材料示意圖…... 59 圖3.8 體積分率 5 vol%、半裂紋長度 a 為 0.1 μm 之裂紋，在不同 顆粒尺寸之複合材料鑲埋模型中承受 1 MPa 之外力下的應 變能釋放率 ... 59 圖3.9 體積分率 5 vol%、半裂紋長度 a 為 0.1 μm 之裂紋，在不同 顆粒尺寸之複合材料鑲埋模型中的標準化拉伸強度 ... 60 圖3.10 體積分率 5 vol%、半裂紋長度 a 為 0.5 μm 之裂紋，在不同 顆粒尺寸之複合材料鑲埋模型中承受 1 MPa 之外力下的應 變能釋放率 ... 60 圖3.11 體積分率 5 vol%、半裂紋長度 a 為 0.5 μm 之裂紋，在不同 顆粒尺寸之複合材料鑲埋模型中的標準化拉伸強度 ... 61 圖3.12 體積分率 5 vol%、半裂紋長度 a 為 0.7 μm 之裂紋，在不同 顆粒尺寸之複合材料鑲埋模型中承受 1 MPa 之外力下的應 變能釋放率 ... 61 圖3.13 體積分率 5 vol%、半裂紋長度 a 為 0.7 μm 之裂紋，在不同 顆粒尺寸之複合材料鑲埋模型中的標準化拉伸強度 ... 62 圖3.14 承受 1 MPa 拉伸應力之顆粒型複合材料 RVE 模型 ... 62 圖3.15 體積分率為 5 vol%之顆粒型複合材料 RVE 模型，承受 y 方 向1 MPa 拉伸應力下，沿 x1線上之

σ

y應力分佈曲線 ... 63 圖3.16 體積分率為 5 vol%之顆粒型複合材料 RVE 模型，承受 y 方 向 1 MPa 拉伸應力下，沿 x2線上之

σ

y應力分佈曲線 ... 63

圖3.17 體積分率為 5 vol%之顆粒型複合材料 RVE 模型，承受 y 方 向 1 MPa 拉伸應力下，沿 x3線上之

σ

y應力分佈曲線 ... 64 圖3.18 相同顆粒尺寸、不同體積分率之含裂紋複合材料示意圖 ….. 64 圖3.19 顆粒半徑為 5 μm、半裂紋長度 a 為 0.1 μm 之裂紋，在不同 體積分率之複合材料鑲埋模型中承受 1 MPa 之外力下的應 變能釋放率 ... 65 圖3.20 顆粒半徑為 5 μm、半裂紋長度 a 為 0.1 μm 之裂紋，在不同 體積分率之複合材料鑲埋模型中的標準化拉伸強度 ... 65 圖3.21 不同體積分率之顆粒型複合材料 RVE 模型，承受 y 方向 1 MPa 拉伸應力下，沿 x1線上之

σ

y應力分佈曲線 ... 66 圖3.22 不同體積分率之顆粒型複合材料 RVE 模型，承受 y 方向 1 MPa 拉伸應力下，沿 x2線上之

σ

y應力分佈曲線 ... 66 圖3.23 不同體積分率之顆粒型複合材料 RVE 模型，承受 y 方向 1 MPa 拉伸應力下，沿 x3線上之

σ

y應力分佈曲線 ... 67 圖3.24 顆粒半徑為 5 μm、半裂紋長度 a 為 0.5 μm 之裂紋，在不同 體積分率之複合材料鑲埋模型中承受 1 MPa 之外力下的應 變能釋放率 ... 67 圖3.25 顆粒半徑為 5 μm、半裂紋長度 a 為 0.5 μm 之裂紋，在不同 體積分率之複合材料鑲埋模型中的標準化拉伸強度... 68 圖3.26 顆粒半徑為 5 μm、半裂紋長度 a 為 0.7 μm 之裂紋，在不同 體積分率之複合材料鑲埋模型中承受 1 MPa 之外力下的應 變能釋放率 ... 68 圖3.27 顆粒半徑為 5 μm、半裂紋長度 a 為 0.7 μm 之裂紋，在不同 體積分率之複合材料鑲埋模型中的標準化拉伸強度 ... 69 圖3.28 鄰近補強材料顆粒之裂紋示意圖(a)基材中鄰近補強材料顆 粒之裂紋 (b)雙材料介面層之裂紋 ……….…... 69

圖3.29 補強材料與基材介面之裂紋有限元素模型 ……….………... 70 圖3.30 裂紋位置對應變能釋放率的影響 ... 70 圖3.31 裂紋位置對含裂紋複合材料之標準化拉伸強度的影響 ... 71 圖3.32 發生局部群聚現象之複合材料中的裂紋示意圖 …….……... 71 圖3.33 裂紋在發生局部群聚現象之複合材料中的鑲埋模型 (四分 之一模型) ……….…………... 72 圖3.34 局 部 群 聚 現 象 對 複 合 材 料 中 的 裂 紋 應 變 能 釋 放 率 的 影 響 ... 72 圖3.35 局部群聚現象對含裂紋複合材料之標準化拉伸強度的影 響 ... 73

第一章 緒論

1.1 研究背景與文獻回顧 複合材料(Composites)高強度、質量輕、耐高溫、耐腐蝕等特性，近年 來已備受重視，並廣泛運用在眾多領域上。許多補強材料(Reinforcement) 與高分子基材(Polymer matrix)的組合已陸續被研發應用。傳統上補強材料 以纖維為主，例如碳纖維及玻璃纖維。隨著奈米科技的發展，藉由分散技 術將奈米尺寸的補強材料散佈於基材中，此類材料稱為奈米複合材料 (Nanocomposites)。常見的奈米補強材料有球狀顆粒(Spherical particle)、奈 米纖維(Nanofiber)、板狀(Platelet)以及管狀(Nanotube)等，藉由奈米補強材 料的添加，可使基材在物理性質及化學性質上有明顯的增益，此類材料已 成為學術界、工業界熱門的研發方向。 顆粒型奈米複合材料(Particulate nanocomposites)為一常見的型式，在樹 脂基材中添加補強材料顆粒可以有效的提升整體材料的機械性質，隨著顆 粒含量的增加，材料的楊氏模數 E(Young’s Modulus)有上升的現象。Wang

等人[1]在環氧樹脂(Epoxy)中加入直徑為 4 μm 的二氧化矽(Silica, SiO2)顆

粒，在不同溫度下進行拉伸試驗，發現其楊氏模數皆隨著二氧化矽含量愈

乙烯基酯(Vinyl ester resin)中添加微米級玻璃珠(6-500 μm)、微米級與奈米級 三氧化二鋁(Aluminum dioxide, Al2O3)球型顆粒(15 nm - 70 μm)。在拉伸試驗 中發現增加顆粒含量能提升複合材料的 E 值。當顆粒尺寸在微米等級時， 複合材料的E 值不會受顆粒大小影響，然而當尺寸降至奈米(nano)等級時， 縮小顆粒尺寸則對複合材料 E 值有增強的效果。而顆粒的添加對於拉伸強 度(Tensile strength)之提升則僅發生在微米等級時，隨著顆粒愈小複合材料 的拉伸強度愈高。而當補強材料顆粒降至奈米尺寸時則可能因顆粒分散性 較差而看不出強度明顯之變化。此縮小顆粒尺寸而使拉伸強度有所提升的 現象可在許多文獻中找到相同的趨勢[3-7]。

Landon 等人[3]在熱固性聚氨酯(Polyurethane thermosetting resin)基材中

添加不同尺寸之實心/空心玻璃珠(21-216 μm)，發現該複合材料隨著顆粒愈 大而降低其拉伸強度，且補強材料的體積分率愈大也會導致複合材料拉伸 強度的下降。Leidner 與 Woodhams[4]同樣也在玻璃珠(44-354 μm)/聚酯 (Polyester)樹脂複合材料中發現相同的現象，增加顆粒添加量與加大顆粒尺 寸都會使拉伸強度下降。而 Nakamura 等人[5]在對不同顆粒尺寸(2-42 μm) 之二氧化矽/環氧樹脂複合材料進行彎曲(Flexural)、拉伸試驗時，發現其彎 曲模數(Flexural modulus)隨著顆粒含量增加而上升，且不受顆粒尺寸之影 響。而其彎曲強度及拉伸強度均隨顆粒尺寸愈大而降低。Jiang 等人[6]在聚 丙烯腈-丁二烯-苯乙烯樹脂(Acrylonitrile-Butadiene-Styrene, ABS)中添加微

米級(5 μm)與奈米級(40 nm)之碳酸鈣(Calcium carbonate, CaCO3)顆粒，在拉 伸試驗中發現拉伸強度隨著補強材料含量的增加而降低，奈米複合材料的 強度則均較微米級複合材料來得高。衝擊強度(Impact strength)方面，微米 級碳酸鈣的添加使材料衝擊強度降低，奈米級碳酸鈣在低添加量時不但能 維持基材之衝級強度甚至還能使其有所提升。在拉伸強度與衝擊強度上， 添加奈米顆粒的增益效果可能是由於奈米級顆粒與基材間擁有較大的接觸 面積，使得整體補強材料與基材間的結合強度(Bonding strength)有所提升， 另一方面，縮小顆粒尺寸使得顆粒之間距相對縮小，有助於剪切降伏(Shear yielding)增韌機制(Toughening mechanism)的發生，也可能是導致材料強度提 升的原因。透過上述文獻我們可以歸納出顆粒型複合材料的拉伸強度會隨 著縮小顆粒尺寸而有明顯的增加。在Fu 等人[7]的文獻整理中，針對顆粒尺 寸與強度之關係亦有相同之結論。 在補強材料的含量與拉伸強度間的關係上，文獻中的現象則略有分 歧。於前述文獻[3,4,6]中皆可發現隨著顆粒含量愈高而降低其拉伸強度之趨 勢。然而 Chen 等人[8]在奈米級二氧化矽(Nanosilica)/聚氨酯(Polyurethane) 複合材料中發現在拉伸強度上，無論是在基材中反應生成二氧化矽顆粒或 是直接在基材中混入顆粒，兩種方法製成之複合材料皆有隨著補強材料含 量增加而使拉伸強度上升之趨勢。與前面文獻[3,4,6]的現象恰好相反。Fu 等人[7]在文獻整理中指出，補強材料含量增加的同時經常伴隨著顆粒尺寸

的上升，含量的增加也使得補強材料的群聚現象(Aggregation)較容易發生， 使得單純含量對強度的影響較不易觀察。Zhu 等人[9]則在溶膠-凝膠法 (Sol-gel)製備的二氧化矽/聚醯亞胺(Polyimide)複合材料中發現，顆粒尺寸會 隨著含量而改變，在5 wt%時為 100-200 nm，在 10 wt%時為 200-450 nm， 而在20 wt%時則為 1-2 μm。其拉伸強度在 10 wt%以內時強度隨著含量增加 而上升，而當含量超過10 wt%後強度即開始下降，因此無法從結果中清楚 地觀察含量與強度間的關聯。而補強材料與基材的附著力(Adhesion)亦會影 響含量與強度間的關係[7]。因此在補強材料含量與整體材料強度之間較難 從實驗結果中歸納出明確之關連性。 補強材料的分散性亦與複合材料的機械性質有密切的關聯。Fekete 等 人[10]在聚丙烯(Polypropylene)中添加碳酸鈣顆粒(0.08-12 μm)，發現隨著顆 粒愈小、顆粒之比表面積(Specific surface area)愈大，將使複合材料的拉伸 強度逐漸上升。然而當顆粒尺寸小於某臨界值時將發生補強材料的群聚現 象(Aggregation)，群聚現象愈嚴重時，會導致材料強度及其耐衝阻力(Impact resistance)逐漸降低。該尺寸之臨界值則會受材料性質與製程的分散效果所 影響。良好的製程分散性可使顆粒在較小的尺寸時才會發生群聚現象。透 過光學顯微鏡及掃描式電子顯微鏡(Scanning electron micrograph, SEM)的觀 察，發現在分散性較佳的大顆粒複合材料中，補強材料顆粒的剝離現象 (Debonding)為其主要之破壞機制。而隨著顆粒愈小，群聚現象愈顯著，樹

脂基材無法充分滲透進顆粒團中，裂紋缺陷一開始就出現在群聚的顆粒團 中，並隨著外力提高而延伸破壞。介於中間之顆粒尺寸則同時含有上述兩 種破壞模式。由此可知群聚現象將促進製程中裂紋缺陷的生成並導致拉伸 強度下降。在 Cho 等人[2]的拉伸試驗結果中也有因奈米顆粒較差的分散性 而導致材料強度下降的現象。該文獻亦從有限元素分析(Finite element analysis)的角度探討顆粒尺寸對剝離現象的影響，透過在顆粒與基材介面建

立之預裂紋(initial crack)，利用改良式裂紋關閉積分法(Modified crack

closure integral method)[11]，求得承受相同外力下，顆粒與基材介面之裂紋 的應變能釋放率(strain energy release rate)，其結果顯示顆粒愈小該應變能釋 放率愈低，表示顆粒尺寸愈小時需要相對更高的外力才能使顆粒與樹脂基 材剝離。此類透過破壞力學理論(Fracture Mechanics)探討複合材料強度的方 法亦在其他文獻[12]中被運用。

Zhao 與 Hoa[12]發現板狀奈米黏土(clay)複合材料在承受外力時，補強

材料側向有一段應力抑制區域(stress shield zone)可以降低局部的應力。補強 材料的剛性、長寬比(aspect ratio)以及兩顆補強材料的間距會影響該應力抑 制區域的強度與範圍。若將補強材料放在裂紋尖端附近，可改變裂紋尖端 的應力場，使局部應力降低的情況下產生補強的效果以降低應力強度因子 (stress intensity factor)，阻止裂紋向前延伸。基材中的裂紋受到補強材料的 抑制後較不易延伸破壞，進而可以提升整體材料的強度。此類以破壞力學

理論探討奈米複合材料性質的方法所建立之分析模型，可作為解釋實驗現 象、觀察試片破壞機制的依據。亦可提供做為選擇補強材料的參考。而在 奈米複合材料微觀模型的分析上，為了節省有限元素模擬的運算量，Sun 等人[13]所使用的方法是僅在關注的顆粒周遭鄰近區域建立實際的基材與 補強材料，遠處則以有效材料性質取代，並取足夠的模型尺寸以消去邊界 的影響。此種方法有助於減少不必要的分析時間，可應用於含裂紋奈米複 材的破壞行為探討中。

1.2 研究目標

為了提供一個選擇補強材料的依據，許多針對不同補強材料的模擬與 分析陸續被提出來討論。本文中我們將針對最常見的球型顆粒補強材料， 探討其顆粒尺寸、體積分率、分散性等對含裂紋奈米複合材料拉伸強度的 影響，藉由分析我們可以試著去解釋文獻中出現的實驗現象，以瞭解補強 材料顆粒對於基材中裂紋破壞行為的影響。分析的結果也可做為選擇補強 材料時的參考依據。

1.3 研究方法

本研究除了探討基材中裂紋的破壞行為(均質材料中的破壞)，更要進一 步探討裂紋位於補強材料與基材介面間的破壞行為，因此我們採用Rybicki

與 Kanninen[11] 提 出 的 改 良 式 裂 紋 關 閉 積 分 法 (Modified crack closure integral method)，配合 Sun 與 Qian[14]提出的能量法(Energy method)、位移 比例法(Displacement ratio method)，透過有限元素軟體 ANSYS[15]計算裂紋 的應變能釋放率以及雙材料介面裂紋之破壞模式結合度(Mode mixity)。將線 彈性破壞力學理論應用到球型顆粒奈米複合材料中，於材料中建立一段預 裂紋，以探討鄰近的補強材料顆粒其尺寸、體積分率對裂紋破壞行為的影 響，並由破壞力學的角度探討補強材料顆粒對於拉伸強度的影響。局部群 聚(Local Aggregation)現象以及奈米複材中裂紋較易延伸破壞的位置也將在 本文中提出討論。

第二章 理論分析

2.1 均質材料之破壞力學理論

當裂紋承受負荷時，裂紋的變形如圖2.1 所示，可分為三種獨立的變形

模式，第一種變形模式(Mode I)稱為開裂模式(Open mode)，材料承受拉伸外 力時，裂紋上下表面對稱於裂紋前進方向分開，第二種變形模式(Mode II) 稱為剪裂模式(In-plane shear mode)，裂紋上下表面在同一平面上做相反方向 之剪變形，第三種變形模式(Mode III)稱為撕裂模式(Tearing mode)，裂紋上 下面產生出平面之相對位移(縱剪變形)。 在線彈性破壞力學中，Sanford[16] 、Anderson[17]在書中整理出含有一 段長度 2a 裂紋之均質材料在承受拉伸外力σ₀，如圖 2.2 時，裂紋尖端鄰近 區域的應力場解析解為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 sin 2 sin 1 2 cos 2 0 θ θ θ σ σ r a xx (2.1.1) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 sin 2 sin 1 2 cos 2 0 θ θ θ σ σ r a yy (2.1.2) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 cos 2 sin 2 cos 2 0 θ θ θ σ τ r a xy (2.1.3) 其中r、θ 為一以裂紋尖端為原點之極座標系統。該應力場因為都有_r−12項的 關係，導致在裂紋尖端鄰近區域(r→0)時，應力會出現趨近於無窮大的一個

奇 異 特 徵(singularity characteristic) ， 為 了 量 化 這 個 奇 異 應 力 場 的 強 度 (intensity)，定義出應力強度因子 K (Stress intensity factor)

a r K _yy r I π σ (θ 0) σ0 π 0 2 lim = = ₌ → (2.1.4) 並將(2.1.1-2.1.3)式改寫為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 sin 2 sin 1 2 cos 2 θ θ θ π σ r K_I xx (2.1.5) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 sin 2 sin 1 2 cos 2 θ θ θ π σ r K_I yy (2.1.6) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 cos 2 sin 2 cos 2 θ θ θ π τ r KI xy (2.1.7) 其中 為第一種破壞模式的應力強度因子。由裂紋尺寸與外力條件組成的 應力強度因子可表現出應力集中的強度，意即該應力場絕對值的大小是由K 值決定，該參數可作為判斷裂紋是否延伸成長之依據。而裂紋尖端鄰近區 域的位移場解為 I K ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 3 cos 2 cos ) 1 2 ( 2 8 θ θ π μπ r k K u I x (2.1.8) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 3 sin 2 sin ) 1 2 ( 2 8 θ θ π μπ r k K u I y (2.1.9)

其中 μ 為剪力模數(Shear modulus)，而 k 為由浦松比ν(Poisson’s ratio)組

⎩ ⎨ ⎧ + − − = stress plane for strain plane for k ) 1 /( ) 3 ( 4 3 ν ν ν (2.1.10) 當含裂紋均質材料受到剪外力S，如圖 2.3 時，第二種破壞模式應力強度因 子K_II則定義為 a S r K _xy r π τ θ = π = ₌ →0 ( 0) II lim 2 (2.1.11) 裂紋尖端鄰近區域的應力場 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 3 cos 2 cos 2 2 sin 2 θ θ θ π σ r K_II xx (2.1.12) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 cos 2 cos 2 sin 2 II θ θ θ π σ r K yy (2.1.13) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 sin 2 sin 1 2 cos 2 II θ θ θ π τ r K xy (2.1.14) 裂紋尖端鄰近區域的位移場解為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 3 sin 2 sin ) 3 2 ( 2 8 θ θ π μπ r k K u II x (2.1.15) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 3 sin 2 cos ) 3 2 ( 2 8 θ θ π μπ r k K u II y (2.1.16)

另一個常被用來描述裂紋狀態的參數，應變能釋放率G (Strain energy release

rate)定義為裂紋增長一小面積下，能量的變化量 dA dU -G = (2.1.17) 其中U 為系統應變能，A 為裂紋面積，負號用來將 G 調整為正值。該參數

用來描述當裂紋向前伸長一小段距離時，系統勢能(Potential energy)對面積 的變化率。利用一段無窮小的裂紋虛位移伸長量δa，Irwin[18]提出了裂紋 關閉積分法(Crack-closure integral)，概念是當裂紋承受外力而使裂紋長度增 長了一微小量δa，所釋放的應變能與施一應力關閉該δa長度裂紋，使裂紋 回到初始長度所需的能量相等。如圖2.4 所示，利用裂紋尖端為原點的極座 標系統，應變能釋放率G 在不同破壞模式下

∫

− = → a y yy a a a r u r dr δ δ 0 δ 0 σ δ π I ₂ ( ,0) ( , ) 1 lim G (2.1.19)

∫

− = → a x xy a a a r u r dr δ δ 0 δ 0 τ δ π II ₂ ( ,0) ( , ) 1 lim G (2.1.20) 其中σ_yy與τ_xy為關閉裂紋之應力，u_x與u_y則是裂紋表面上距離裂紋尖端r 位 置，上下表面之相對位移。 π) (r, u (r,π u (r,π u_y ) = _y )− _y − (2.1.21) π) (r, u (r,π u (r,π u_x ) = _x )− _x − (2.1.22) 將(2.1.6)與(2.1.9)代入(2.1.19)可求出 KI與 GI的關係 2 I ₈ 1 G = k +_μ K_I (2.1.23) G 值同樣也可做為判斷裂紋是否延伸破裂之依據，同理 2 II ₈ 1 G = k +_μ K_II (2.1.24)

利用有限元素軟體我們可以輕易的求得裂紋尖端鄰近區域的節點應力 (nodal stress)與節點位移(nodal displacement)，因此應力強度因子可由節點應 力求出 r KI =σy(θ=0) 2π (2.1.25) (2.1.26) r KII =τxy(θ=0) 2π 而應變能釋放率則可透過Rybicki 與 Kanninen[11]提出的改良式裂紋關閉積

分法(modified crack closure integral method)，利用半裂紋長度為 a 時，裂紋

尖端之節點力(nodal force)，與半裂紋增長為a+δa時，距裂紋尖端δa處，裂

紋上下表面之節點相對位移，求得關閉δa長度裂紋所需的能量。而在 Jih 與

Sun[19]中更進一步提出，在裂紋虛位移增長(virtual crack extension)前後， 近裂紋尖端之節點位移幾乎相同，故可將原本需要兩個有限元素模型計算

之改良式裂紋關閉積分法簡化為一個有限元素模型即可計算，如圖2.5 利用

節點力與節點位移求得四節點元素(4-nodes element)之總應變能釋放率 GT

(Total strain energy release rate)

II I T G G G = + (2.1.27) 其中 ) u (u f a G a' y a y b y a I = _{δ → 2}δ − 1 lim 0 (2.1.28)

) u (u f a G a' x a x b x a II = _{δ → 2}δ − 1 lim 0 (2.1.29)

f 為節點力(nodal force)，u 為節點位移(nodal displacement)， δa為假設之虛

位移，即裂紋尖端的元素寬度，a、b 為節點編號，a、a＇分別表示裂紋之

上下表面。在Ikeda 與 Sun[20]文中亦提及八節點元素(8-nodes element)之應

變能釋放率計算方法，如圖2.6

[

f (u u ) f (u u )

]

a G p ' y p y p y ' p y p y p y a I 2 2 4 1 1 3 0 2 1 lim − + − = → δ δ (2.1.30)

[

f (u u ) f (u u )

]

a G p ' x p x p x ' p x p x p x a II 2 2 4 1 1 3 0 2 1 lim − + − = → δ δ (2.1.31) 式中之p1~p4 為節點編號，p1、p1＇同樣表示裂紋之上下表面。透過以上 公式，我們可以很容易地利用有限元素軟體計算均質材料上裂紋的應力強 度因子與應變能釋放率。

2.2 雙材料介面(bimaterial interface)裂紋之破壞力學理論

當裂紋出現在兩種材料的介面時，與均質材料的破壞不同，在承受單一 模式的外力狀態時，雙材料介面層的裂紋會同時表現出開裂模式(Opening Mode)與剪裂模式(Sliding Mode)的破壞特性。而此類兩種材料介面的破壞問 題，最早是由Williams[21]提出，對於一個出現在兩種等向性材料介面的半

程式(biharmonic equation)的 Airy Stress function。 0 ) , ( 4 ₌ ∇ φ_j r θ (2.2.1) 2 2 2 2 2 1 1 θ ∂ ∂ + ∂∂ + ∂ ∂ = ∇ r r r r (2.2.2) 透過分離變數法假設: ) ( 1 _θ φ λ j j r F + = (2.2.3) 代入(2.2.1)式得到。 θ λ θ λλ θ λ θ θ ) 1 cos( ) 1

sin(sin( 1) cos( 1) a ) ( _j − + − += _j + + j_j + j d c b F _(2.2.4)

進而透過Airy Stress function 求出應力場的通解。

)] ( 1) ( ) ( [ 1 1 1 '' 2 2 2 2 θ λ θ φ θ φ σ λ j j j j r _{r r} r F F r ∂ = + + ∂ + ∂ ∂ = − _(2.2.5) ) ( 1) ( 1 2 2 2 θ λ λ φ σ λ θ j j F r r = + ∂ ∂ = − _(2.2.6) ) ( 1 1 1 ' 2 2 θ λ θ φ θ φ τ λ θ j j j r r F r r r − − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − = (2.2.7) 將應力應變關係式積分可求得位移場的解。 ]} 1) cos( d 1) sin( )[c k (1 ) ( 1) ( { 2 1 j j j λ θ λ θ θ λ μ λ − + − + + + − = _j j r r F u (2.2.8) ]} 1) sin( d 1) cos( )[c k (1 ) ( { 2 1 j j j ' θ λ θ λ θ μ λ θ − − − + − − = _j j F r u (2.2.9)

其中 ⎩ ⎨ ⎧ + − − = stress plane for strain plane for k j j j j _{(3 )/(1 )} 4 3 ν ν ν (2.2.10) j=1,2 分別表示上層(材料 1)與下層材料(材料 2)，由於裂紋表面(θ=±π)應力 為零，可列出以下邊界條件： 0 ) (-) (-) ( ) (π ₁ =τ π ₁ =σ π ₂ =τ π ₂ = σ_{θ rθ θ rθ} (2.2.11) 而在裂紋前進方向上(θ=0)，上下材料應力與位移之連續性可列出以下關係 式： 2 1 ( 0) ) 0 (θ = =σ θ = σ_{θ θ} (2.2.12) 2 1 ( 0) 0) (θ = =τ θ = τ_{rθ rθ} (2.2.13) 2 1 ( 0) 0) (θ = = _r θ = r u u (2.2.14) 2 1 ( 0) 0) (θ = = _θ θ = θ u u (2.2.15) 將應力與位移代入邊界條件(2.2.11-2.2.15)中可整理出： 0 ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( _{1 1 1} − = 1 λ + π +b λ + π +c λ − π + d λ π a (2.2.16) 0 ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( -a₂ λ + π +b₂ λ + π −c₂ λ − π +d₂ λ − π = (2.2.17) 0 ) 1 sin( ) 1 ( ) 1 cos( ) 1 ( 1)cos( 1) ( 1)sin( 1) ( 1 1 1 1 = − − − − − +cλλ+ λλ+ ππ−bdλλ+ λλ+ ππ a _(2.2.18)

0 ) 1 sin( ) 1 ( ) 1 cos( ) 1 ( 1)cos( 1) ( 1)sin( 1) ( 2 2 2 2 = − − + − − +cλλ+ λλ+ ππ+bdλ λ+ λ λ+ ππ a _(2.2.19) 2 2 1 1 2 2 1 1 d b d b + = + (2.2.20) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (λ + +c λ − = a λ + +c λ − a (2.2.21) ] ) 1 ( ) 1 )[( 1 ( ) 1 ( ) (1 _{2 2} 2 1 2 2 2 1 1 1 c k c a b k = + + − + + − + _μμ _μμ λ λ (2.2.22) ) )( 1 )( 1 ( ) 1 ( ) (1 _{2 2} 2 1 2 2 2 1 1 1 d k d b d k = + + − + + + _μμ _μμ λ (2.2.23) 為了使上述邊界條件中的a_j,b_j,c_j,d_j有非零解，故必須使行列式為零。 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( cot 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ₌ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − − + − + + k k k k μμ μμ μμ λπ (2.2.24) 觀察(2.2.24)式發現其為兩個平方相加為零的等式，表示其中必包含有複數 項才能使等式成立。假設 I R iλ λ λ = + (2.2.25) 代入(2.2.24)式中，可拆解出實部與虛部之解。 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( tanh tan 1]tanh [tan 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 I 2 R 2 I R 2 k k k k + + + − − + − + ± = + + μμ μμ μμ π λ π λ π λ π λ _(2.2.26) 0 tanh tan ) tanh -(1 tan I 2 R 2 I 2 R ₌ + λπ π λ π λ π λ _(2.2.27) 為使(2.2.27)式成立，其中λ_R可解出兩組可能解，分別使tanλ_Rπ等於零或無

窮大。當tanλ_Rπ = 0 , 1 , 0 時 (2.2.28) L , 3 , 2 = R λ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − − + − + ± = 1 I _π λ − ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( coth 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 k k k k μμ μμ μμ R (2.2.29) 。由(2.2.8)、(2.2.9)式可發現位移正比於_rλ_， I iλ λ = 若λ = 0，則 ) ln sin( ) ln cos( ~ ~ ~ r r r i r u λ ±iλI λ + λ I I (2.2.30) 觀察(2.2.30)式可發現，該組解的位移場在靠近裂紋尖端時(r→0)並沒有出現 位移趨近於零的收斂特徵，與實際的物理現象不符，因此暫時將這組解排 除。 ∞ = π λ_R tan 時 而當 L , 2 5 , 2 3 , 2 1 = R λ (2.2.31) 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 _ln 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( tanh 1 k k k k k k I μ μ μ μ π μμ μμ μμ π λ = ± +₊ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − − + − + ± = − _(2.2.32) 定義 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = 1 2 2 2 1 1 1 1 ln 2 1 μ μ μ μ π ε k k (2.2.33)

若 2 1 = R λ ，則λ = ±iε 2 1 _。

[

cos( ln ) sin( ln ) ~ ~ ~ r r21 r12 r i r u λ ±iε ε + ε

]

(2.2.34) 在(2.2.34)式中，當靠近裂紋尖端時有出現位移趨近於零的特徵。而由 (2.2.5-2.2.7)中可發現應力正比於_rλ−1_。

[

cos( ln ) sin( ln )

]

~ ~ _r 1 _r-12 ε _{r i} ε _r σ λ− _{+ (2.2.35)} 由(2.2.35)式觀察可發現，該應力場的cos(ε lnr)項與sin(ε lnr)項隨著 r 而出現 正負號反覆變動的現象，如圖2.8 所示，稱之為應力的震盪特徵 (oscillating character) 。 England[22]針對承受均勻拉伸外力的雙材料介面層有限長度裂紋(finite crack)問題，解出裂紋上下表面 y 方向的位移場 、 ，其上下表面的間 距可由上下表面y 方向位移的差值 求得。 y u₁ u_2y y y u u₁ - ₂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + × − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + = − a x a x x a k k T u u _{y y} 1 1 ( ) cos ln ) 1 ( 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 α μ μ ε α _(2.2.36) 其中T 為均勻分佈的拉伸外力，α 由材料參數組成。 ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ν ν ν ν μ μ μ μ α + + − − + + = + + = E E E E k k _(2.2.37) 當ν₁ = 0, E₂ E₁ =∞時，α = 3；當ν₂ = 0, E₁ E₂ = ∞時， 3 1 = α 。由此可定出α

的範圍。 3 3 1 _{≤α ≤ (2.2.38)} 在正常的情況下 應該大於等於零，然而在(2.2.36)式中 England 發現 該裂紋尖端周遭的位移場，會因為 y y u u₁ − ₂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + a x a x ln cos ε 項的關係，在靠近裂紋尖端 時(x→a)出現正負號反覆變動的現象，而在物理意義上，裂紋表面這樣皺摺 (wrinkle)、重疊(overlap)的現象是不可能的。為了探討該重疊現象出現的範 圍，必須先找出上下表面接觸的位置。為使cos ln = 0 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + a x a x ε ， L , 2 7 , 2 5 , 2 3 , 2 ln π π π π ε = − + a x a x _(2.2.39) 由於ε _π lnα 2 1 = 故可將(2.2.39)式改寫為 α π ln ln n 2 a x a x ₌ − + _{( n = 1,3,5,7, … ) (2.2.40)} 如圖2.9 定義 δ 為距離裂紋尖端的一小段長度 0 ≥ − = a x δ (2.2.41) 可將(2.2.40)式改寫為 α π δ δ δ δ δδ ln 2 2 2 2 n e a a a a x a x ₌ − ₌ − ₌ −− = − + _{(n = 1,3,5,7, …) (2.2.42)} 當α = 3時，可求出上下表面接觸的位置，其對裂紋長度 2a 的比值為

28 20 12 4 - _{, 1.9737 10 ,3.1056 10 , 4.8865 10} 10 1.254 2 − − − _{× ×} × × = a δ _{，如圖 2.10 所示，而} 當α = 1₃ 時 僅 表 示 材 料 上 下 交 換 ， 仍 會 解 出 相 同 的 結 果 。 當 a 2 δ _{界 於} 4 -12 _{1.254 10} 2 10 9737 . 1 × − ≤ ≤ × a δ _與 28 _{3.1056 10} 20 2 10 8865 . 4 × − ≤ ≤ × − a δ _{時 ，} ，如圖2.10 上下表面互相重疊。而 0 2 1y −u y ≤ u _{1.254 10}-4 2a = × δ _{是上下表面第} 一次接觸的位置。由此發現鄰近裂紋尖端附近會有位移的震盪現象出現， 但範圍很小。 Sih 與 Rice[23]為了探討承受拉伸外力的雙材料介面層半無限裂紋問

題，延續Williams[21]提出的 Airy stress function

] ) 1 cos( ) 1 sin( ) 1 cos( ) 1 sin( a [ 2R U (n) 1 (n) 1 1 (n) 1 (n) 1 1 1 θ λ θ λ θ λ θ λ λ − + − + + + + =

∑

∞ = + n n n n n d c b r e n (2.2.43) ε λ_n = (n − 1)+i 2 (2.2.44) 其中 ) ( 2 2 ) ( 1 ₁ 1 n n n n _i e _d a _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = _λλ −πε (2.2.45) ) ( 2 2 ) ( 1 ₁ 1 n n n n e _d b _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = _λλ −πε (2.2.46) ) ( 2 ) (n _{ie d} n c _{= −} − πε 2 1 2 1 (2.2.47) ) _(2.2.48) ( 2 ) (n _{e d} n d ₌ −πε

由於 該式滿足雙諧方程式(biharmonic equation)，因此可透過[24]中的方 法，利用複數變數 1 U iy x z = + 將U₁整理成由兩個應力方程式φ₁(z)與χ₁(z)組成 的型式 )] ( ) ( [ R U₁ = e zφ₁ z + χ₁ z (2.2.49) n n n i z B i n z z ( ) 1 2 1 1( ) 2 2 [( ) ] 1

∑

∞ = − − + = − ε φ ε _(2.2.50) n n n i n n n i z B i n z z B z e z ( ) 1 2 1 1 ) ( 2 1( ) 2 2 2 [( ) ] 1 2 1

∑

∑

∞ = − ∞ = + − − − = ε χ πε ε ε _(2.2.51) 其中 ) ( 2 2 ) ( ) 1 ( n n n B e d πε λ _{+ =} − _(2.2.52) 而B(n)為_B(n)_{之共軛複數，透過Kolosov-Muskhelishvili[24]方程式} )] ( ' Re[ 4 ) ( ) (σ_{r 1} + σ_{θ 1} = φ₁ z (2.2.53) )] ( " ) ( " [ 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 _{1 1} 1 r 1 r 1 i e z z z i _{φ χ} τ σ σ θ θ θ − + = + (2.2.54) 將(2.2.50-51)代入(2.2.53-54)並假設 n=1，可整理出應力場解析解(因為當 時， 2 ≥ n φ'₁(z)= 0) ... ) log 2 3 sin( )] log 2 cos( sin ) log 2 sin( sin 2 ) log 2 sin( 3 [ ) 2 ( 2 K ) log 2 3 cos( )] log 2 sin( sin ) log 2 cos( sin 2 ) log 2 cos( 3 [ ) 2 ( 2 K ) ( ) ( ) ( RII ) ( ) ( RI 1 r 2 1 2 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − − − − − + − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − + + = − − − − − − r e r r r e r r e r r r e r ε θ ε θ θ ε θ θ ε ε θ ε θ ε θ θ ε θ θ ε ε θ σ θ π ε θ π ε θ π ε θ π ε (2.2.55)

... ) log 2 3 sin( )] log 2 cos( sin ) log 2 sin( sin 2 ) log 2 [sin( ) 2 ( 2 K ) log 2 3 cos( )] log 2 sin( sin ) log 2 cos( sin 2 ) log 2 [cos( ) 2 ( 2 K ) ( ) ( ) ( RII ) ( ) ( RI 1 2 1 2 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + − + − + + − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + − + − − + = − − − − − − r e r r r e r r e r r r e r ε θ ε θ θ ε θ θ ε ε θ ε θ ε θ θ ε θ θ ε ε θ σ θ π ε θ π ε θ π ε θ π ε θ (2.2.56) ... ) log 2 3 cos( )] log 2 sin( sin ) log 2 cos( sin 2 ) log 2 cos( [ ) 2 ( 2 K ) log 2 3 sin( )] log 2 cos( sin ) log 2 sin( sin 2 ) log 2 [sin( ) 2 ( 2 K ) ( ) ( ) ( RII ) ( ) ( RI 1 r 2 1 2 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − − + − − + − − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + − − − − + = − − − − − − r e r r r e r r e r r r e r ε θ ε θ θ ε θ θ ε ε θ ε θ ε θ θ ε θ θ ε ε θ τ θ π ε θ π ε θ π ε θ π ε θ (2.2.57) 其中應力強度因子KRI與KRII可在推導過程中整理提出。定義一複數關係式 則KR為 RII RI R K K K = −i ) 1 ( 2 3 2 1 RII RI R K K 4 2 ( )( ) K = −i = eεπ −iε −iε B (2.2.58) 定義Φ₁(z) =φ₁'(z)得到 ) 1 ( 2 3 2 1 1( ) 2 2 ( )( ) 1 B i i z z = iε − ε − ε Φ − − (2.2.59) 觀察(2.2.58-59)可找出 KR與複勢Φ1(z)(complex potential)之關係式 ) ( lim 2 2 K K ₁ 0 RII RI 2 1 z z e i i z Φ = − + → ε επ _(2.2.60) 其後 Rice 與 Sih[25]從文獻[23]中的半無限裂紋問題作延伸，解一個承受拉 伸與剪切外力之雙材料無限大平板(infinite plate)、材料介面上一段有限長度 為 2a 之裂紋問題，如圖 2.11 所示，將[23]中使用的座標系統由裂紋尖端

(X*,Y*)平移至有限裂紋的中心(X,Y)，並重新定義有限長度裂紋問題的複勢 A z F z g z z = = + Φ₁( ) φ₁'( ) ( ) ( ) (2.2.61) ) ( ) ( )] ( ' ) ( 2 [ ) ( ) ( ) ( " ) ( 2 2_{2 2} 1 g z zg z F z A A a z az i a z F z g e z z _j − − + − + + = = Ψ χ πε ε _(2.2.62) 其中 2 1 iA A A = + (2.2.63) ε i a z a z a z z F _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ( )−12 ) ( 2 2 _(2.2.64) C z z g( ) = B + (2.2.65) 利用 Kolosov-Muskhelishvili[24]方程式(2.2.53-54)，透過解無限遠端(z→∞) 之應力狀態等於其邊界外力、無限遠端的剪切外力與旋轉(rotation)之關係以 及位移的單值(single-valued)條件，可求出 A、B、C 代入(2.2.61)得到 ) ( ) )( 2 ( e 1 ) ( 2 2 _{1 2} 2 1 2 1 iA A a z a z a z a i z i z i xy yy _{+ +} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + − = Φ − ∞ ∞ ε πε ε τ σ (2.2.66) 其中 πε σ σ σ 2 1 1 1 4 ) ( e A xx yy yy + − + = ∞ ∞ ∞ (2.2.67) 1 1 1 2 2 ₁ 2G 1 e k A xy + + + = ∞ ∞ _ω τ πε (2.2.68) ∞ ω₁ 表示無限遠端的旋轉 (1 代表上層材料)。而應力強度因子 KR與複勢Φ₁(z)

之關係(2.2.60)可經由座標平移，改寫成適合於此雙材料介面有限長度裂紋 問題之型式 ) ( ) ( lim 2 2 K K_{RI i RII e z a} 12 i _{1 z} a z − Φ = − + → ε επ _(2.2.69) 將(2.2.66)代入(2.2.69)並解出應力強度因子 KRI與KRII的解析解 2 1 RI _cosh )] 2 ln cos( 2 ) 2 ln [sin( )] 2 ln sin( 2 ) 2 ln [cos( K a a a a a xy yy πε ε ε ε τ ε ε ε σ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + = ∞ ∞ (2.2.70) 2 1 RII _cosh )] 2 ln cos( 2 ) 2 ln [sin( )] 2 ln sin( 2 ) 2 ln [cos( K a a a a a yy xy πε ε ε ε σ ε ε ε τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + = ∞ ∞ (2.2.71)

而Chen[26]沿用 Rice 與 Sih[25]的結果，繼續解雙材料介面上的有限長度裂

紋問題，透過Kolosov-Muskhelishvili[24]方程式 z d z z z dz z k iu u_xj + _yj) = _j

∫

Φ_j( ) − Φ_j( )−

∫

Ψ_j( ) ( 2μ_j (2.2.72) 定義KC = KR π 並解出位移場 )] cos sin 2 ( ) sin sin 2 ( [ 4 1 2 CII CI Θ − − Θ + = θ δ θ δ μ π j j j j j xj E K D K r u _(2.2.73) )] sin sin 2 ( ) cos sin 2 E ( [ 4 1 2 CII CI Θ − − Θ + − = θ δ θ δ μ π j j j j j yj D K K r u _(2.2.74) j=1,2 分別表示上層(材料 1)與下層材料(材料 2)，而其中

θ γ β θ βγ ₂1 2 1 _{' ' sin} cos D_j = _j + _j (2.2.75) θ βγ θ γ β ₂1 2 1 _{' sin} cos ' E_j = _j − _j (2.2.76) 2 25 . 0 ) ln sin( ) ln cos( 0.5 ε ε ε ε β + + = r r (2.2.77) 2 25 . 0 ) ln cos( ) ln ( in 0.5 ' ε ε ε ε β + − = s r r (2.2.78) j j j j k δ δ γ = − 1 (2.2.79) j j j j k δ δ γ' = + 1 (2.2.80) ) (π θ ε δ _{= e}− − 1 2 (2.2.81) ) (π θ ε δ _{= e} + _(2.2.82) θ ε _{ln + 2}1 = Θ r (2.2.83) 然而Rice[25]定義的應力強度因子 KRI、KRII (2.2.70-71)，其中的自然對數 ln 項包含一個含有長度單位的變數a，Wu[27]提出該變數 a 值隨單位改變，會 導致應力強度因子中的 與 項隨著a 值的單位變動，然而 實際上正弦函數和餘弦函數是沒有單位的值，因此該應力強度因子會產生 一個因單位造成的定義不明確的特徵。因此 Sun 與 Jih[28]重新定義應力強 度因子KS為 a) (εln2 cos sin(εln2a) ) ( ) ( lim 2 2 K K K_{S SI SII} 12 ₁ z a z a z a z e i i a z ⎟⎠ Φ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = − = → ε επ π (2.2.84) 透過對Φ₁(z)乘上_{(z + )a} −iε項消去單位造成的不明確特徵，得到雙材料介面上

有限長度裂紋的應力強度因子理論解 ) cosh( / ] 2 [ K_{SI =} π σ∞ ₋ ετ∞ επ xy yy a (2.2.85) ) cosh( / ] 2 [ K_{SII =} π τ∞ ₊ εσ∞ επ yy xy a (2.2.86) 本文中採用KS做為雙材料介面裂紋應力強度因子K 的定義，後面的推導皆 以KI、KII表示之。透過這個應力強度因子的定義，Sun 與 Jih[28] 重新整理 Rice[25]裂紋尖端附近應力場的解，當θ = 0時 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a x a K a x a K x x _{I II} yy ( )cos ln ₂ ( )sin ln ₂ 2 ) cosh( ) 0 , ( 1 1 1 1 _π ε ε επ σ (2.2.87) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a x a K a x a K x x _{I II} xy ( )sin ln ₂ ( )cos ln ₂ 2 ) cosh( ) 0 , ( 1 1 1 1 _π ε ε επ τ (2.2.88)

同樣地Sun 與 Jih[28]重新整理 Chen[26]裂紋尖端附近位移場的解。當θ =π

時，定義裂紋上下表面相對位移u_j(r,π) =u_j(r,π)−u_j(r,−π)

{

1 2

}

2 2 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 ) 4 1 ( 4 2 ) , (r r k k K a H K a H u_{y ⎢⎣}⎡ + + + _⎥⎦⎤ _I − _II + = _{μ μ} π ε π (2.2.89)

{

2 1

}

2 2 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 ) 4 1 ( 4 2 ) , (r r k k K a H K a H u_{x ⎢⎣}⎡ + + + _⎥⎦⎤ _I + _II + = _{μ μ} π ε π (2.2.90) 其中 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a r a r 2 ln sin 2 2 ln cos H₁ ε ε ε (2.2.91)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a r a r 2 ln cos 2 2 ln sin H₂ ε ε ε (2.2.92) 雖然在上述文獻中已整理出雙材料介面層上有限長度裂紋問題之理論解， 然而該理論解僅能供少部分特定狀況使用，為了能更廣泛的探討介面裂紋 問題，仍必須建立一套系統從有限元素法來計算介面裂紋的 K 值。Sun 與 Qian[14]利用裂紋關閉積分法將(2.2.87-92)代入(2.1.19-20)中，求得應變能釋 放率GI、GII與應力強度因子KI、KII間的關係 ] K K 2A ) K (K C[A G 2 1 G 2 _{I I II} II 2 I R I = + − − (2.2.93) ] K K 2A ) K (K C[A G 2 1 G 2 _{I I II} II 2 I R II = − − − (2.2.94) 其中 ) K (K 1 k 1 k 16 1 G G G 2 II 2 I 2 2 1 1 II I ⎥⎦ + ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + = + = _{μ μ} (2.2.95) ) ( R A_R = e A (2.2.96) ) Im( A_I = − A (2.2.97) ε i a a 2 4 B A − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡Δ = (2.2.98) ] 1 [ / 2 1 2 1 2 B = π ⎡ +_⎢⎣ iε⎤_⎥⎦Γ_⎢⎣⎡ −iε⎤_⎥⎦ Γ −iε (2.2.99) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ Δ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + + = a a k k 2 1 1 1 ) 4 8(1 ) cosh( C 2 2 1 1 2 _π μ μ ε πε _(2.2.100)

Γ 為伽瑪函數(gamma function)，Re( )與 Im( )分別指實部和虛部。透過(2.2.93)

已知G_I、 可透過改良式裂紋關閉積分法從有限元素軟體求得，雖然在Sun 與 Jih[28]中發現因為雙材料介面裂紋的震盪性質(oscillatory nature)使然， 、 會隨著假設的虛位移 II G I G G_II Δa不同而無法收斂，然而其總應變能釋放率 G(即 、 的和)會是一個定值。根據所定義的虛位移 ，仍可以求得相 對應的G、 、 。Sun 與 Qian[14]解(2.2.93)與(2.2.94)式求得 、 I G G_II Δa I G G_II K_I K_II

(

)

(

2 2

)

2 2 2 2 2 I R 2 I R 8 16 4A S 4A D G 4A S 4A I R R A A S A D G + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ± + = I K I A + (2.2.101) I I 2 I R II _2AK S K 2A K = − (2.2.102) 其中 D G A 2C G -G S₌ I II ₊ R _(2.2.103) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + = 2 2 1 1 μ 1 k μ 1 k 16 1 D (2.2.104) 透過(2.2.101-104)可由已知的 、 以及其相對應之虛位移 求得雙材料 介面裂紋的應力強度因子 、 ，此方法稱為能量法(energy method)。此 方法可解出兩組 、 ，為了判斷何組解才正確，必須檢查解是否滿足裂 紋 上 下 表 面 相 對 位 移 I G K II G Δa I K _II I K K_II 0 > y u ， 即(2.2.89) 式 中 的 ， 且 的正負號必須與有限元素軟體求得的上下表面相對位移 0 2 H 1 H I − > K K_II H₁ + K_IIH₂ K_I ux符 號相同，兩條件皆成立該組解才滿足實際之物理現象。

儘管有限元素軟體求得的裂紋上下表面相對位移uy、ux可能不夠準確， 但其比值 x y u u _{還算準確，透過(2.2.89)與(2.2.90)兩式相除。整理後可求得} I II K K _之比值

(

)

(

y x

)

1 2 x y 2 1 I II u u H H u u H H K K × + × − = (2.2.105) 配合(2.2.95)式，將可輕易地透過有限元素軟體求得的節點位移求出 、

，此方法稱為位移比例法(displacement ratio method)。經過 Sun 與 Qian[14]

驗證後發現無限大平板上兩種材料介面之有限長度裂紋，其 K 值透過能量 法與位移比例法計算的結果與理論解(2.2.85-86)相比，兩種方法誤差皆在 1 %以內，皆可以採用做為兩種材料介面裂紋應力強度因子的計算方法。因此 藉由能量法或位移比例法，我們可以從有限元素法來探討材料介面裂紋的K 值，並可應用在更複雜問題的探討中。 I K II K 然而該應力場與位移場在鄰近裂紋尖端區域出現的震盪特徵，在物理上

仍難以解釋，Gautsen 與 Dundurs[29-30]提出了接觸模型(contact model)解出

裂紋尖端附近應力場的實際解，然而該解太過複雜不夠實用，Sun 與 Qian[14] 為檢驗Rice[25]提出的震盪模型(oscillatory model)與接觸模型求得的實際解 是否相符，將兩組應力場的解相互比較，發現兩組解僅在上下材料差異極 大的情況下(例如：_{E E =10}10 2 1 、 10 10 = ν₁ 2 ν )，在鄰近裂紋尖端處小範圍

( 4 0 2.51 10 − × = a r )才會出現差異。否則當材料差異較小時(例如：E₁ E₂ = 4、 1 1 2 ν = ν )，兩組解應力值出現差異的範圍則趨近於零( 11 0 5.34 10 − × = a r )。因 此前文提及的震盪模型仍可採用做為鄰近裂紋尖端區域的解。 而由於其震盪特徵所致，當裂紋出現在兩種材料的介面時，與均質材 料的破壞不同，無法明顯的區分不同的破壞模式。在承受單一模式的外力 狀態時，雙材料介面層的裂紋會同時表現出開裂模式與剪裂模式的破壞特 性。透過破壞模式混合度ψ (Mode mixity)，可以比較各破壞模式所佔之比 例。[14] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − I II K K 1 tan ψ (2.2.106) 利用位移比例法中 I II K K _{之比值(2.2.105)式，我們可以求得雙材料介面裂紋} 中不同破壞模式的結合度，以瞭解裂紋的破壞行為。

第三章 以有限元素法模擬含裂紋之奈米複合材料

所有材料之中都存在有裂紋缺陷，這些裂紋缺陷將主導材料的破壞強 度。為了透過破壞力學理論探討顆粒型補強材料對於含裂紋之複合材料拉 伸強度的影響，並探討其顆粒尺寸、體積分率(Volume fraction)、分散性等 對破壞行為的影響，於本章節中，我們使用有限元素軟體建立一組微觀模 型，對不同條件下材料中的裂紋進行分析，並將分析結果與實驗結果對照 比較。

3.1 奈米複合材料的有限元素模型

為了透過有限元素軟體模擬球型顆粒複合材料，我們所採用的方法是鑲 埋式模型(Embedded Model)，如圖 3.1-3.3 所示，在裂紋週遭鄰近區域建立 實 際 之 基 材 與 補 強 材 料 ， 而 在 遠 處 則 以 該 複 合 材 料 之 有 效 材 料 性 質 (Effective Properties)簡化模型，以降低程式計算量。有效材料性質的計算如

圖3.4 所示，可透過代表性體積單元(Representative Volume Element, RVE)[31]

模型來計算，透過顆粒半徑RP與體積分率Vf之關係式

2 2

可求得正方型 RVE 之邊長 L，以八節點平面元素 plane82 建立其有限元素

網格，該元素上每個節點僅有 x、y 兩個方向的位移自由度。對該 RVE 施

予週期性邊界條件(Periodic boundary condition)使四邊在變形前後皆維持為

平 面 ， 並 施 予 單 方 向 之 均 勻 拉 伸 應 力 ， 作 平 面 應 力 分 析(Plane stress

analysis)。該複合材料之基材為乙烯基酯(Vinyl ester)、補強材料為二氧化矽

(SiO2)，材料參數列於表 1。乙烯基酯的材料參數可由文獻[2]得知，二氧化

矽 顆 粒 之 楊 氏 模 數(Young’s Modulus) 可 由 文 獻 [32] 得 到 ， 而 其 浦 松 比

(Poisson’s Ratio)則可由文獻[33]得知。透過 RVE 模型可求出整體複合材料

在補強材料體積分率為5 vol%、10 vol%、20 vol%時的有效材料性質，其結

果列於表1。得到有效材料性質後，可將其運用在鑲埋式模型中。假設補強 材料顆粒大小皆相同並均勻分散在基材中，為了比較出現在顆粒型複合材 料中不同位置的裂紋之差異，如圖3.1-3.3 所示，我們建立了三組不同的鑲 埋式模型以探討補強材料顆粒相對位置對裂紋破壞行為的影響。假設裂紋 長度為2a，在 A 模型中裂紋中心與上下兩補強材料顆粒圓心三點共線，裂 紋表面至上下兩顆粒等距。B 模型中裂紋至鄰近四顆補強材料之距離皆相 等。C 模型中裂紋位於左右兩顆粒圓心之連線上，且裂紋至兩顆粒之間距 相等。而其中L 為兩補強材料圓心之間距，其值與前述 RVE 模型之邊長 L 相等，可由式(3.1.1)求得。為避免裂紋受到邊界的影響，鑲埋式模型之寬度 訂為40L，長度訂為 60L，根據收斂性測試證實該尺寸足以消去邊界對裂紋

應力場的影響。鑲埋模型中在裂紋周遭所建立的實際基材與補強材料範 圍，亦經過收斂性測試證實該範圍夠廣，使裂紋不受有效材料性質交界處 之材料不連續所影響。根據不同的分析條件，例如：體積分率、顆粒半徑， 可以建立出相對應的鑲埋式模型。由於三組模型皆為左右對稱且上下對 稱，因此以鑲埋模型 A 為例，如圖 3.5 所示，我們可以只建四分之一的模 型，再透過邊界條件限制左側之節點 x 方向位移為零，下方之節點在裂紋 範圍內維持自由無拘束，裂紋表面以外的節點給予 y 方向位移為零之拘束 條件，以模擬對稱之結構。使用八節點之平面元素plane82 建立網格，其有 限元素模型如圖3.6 所示，在裂紋尖端附近維持元素為均勻正方形，裂紋尖 端元素尺寸 Δa (即裂紋關閉積分法中裂紋關閉之虛位移)為 1.5625×10-4 μm。鑲埋模型 B、C 可依同樣的方法建立其有限元素網格。透過以上模型 施加 之y 方向均勻拉伸應力，我們將進行一系列分析探討補強材料顆粒 對裂紋破壞行為之影響。 ∞ y

σ

3.2 顆粒尺寸對含裂紋複合材料的影響

如圖3.7 所示，當體積分率為定值時，若縮小補強材料顆粒尺寸，則顆 粒之間距將相對縮小，為了探討補強材料顆粒尺寸對於含裂紋之複合材料 拉伸強度的影響，我們假設補強材料體積分率為定值，依顆粒半徑建立出

不同尺寸之鑲埋模型進行分析。當體積分率為 5 vol%時，控制顆粒半徑為 0.25 μm、0.5 μm、5 μm 建立半裂紋長度 a 為 0.1 μm 之 A、B、C 鑲埋模型， 此時顆粒表面之間距d 列於表 2，施以 1 MPa 之 y 方向均勻拉伸應力，透過 改良式裂紋關閉積分法計算裂紋之應變能釋放率。其結果如圖3.8 所示，A 模型中裂紋之應變能釋放率均高於純基材中之裂紋，且隨著顆粒尺寸愈大 其應變能釋放率愈高。而在 B、C 模型之裂紋其應變能釋放率則低於純基 材，觀察該結果可發現，B 模型之裂紋應變能釋放率隨著顆粒尺寸愈大而 降低，C 模型之趨勢則與 B 相反，然而現象不甚明顯。 由於我們假設裂紋皆發生於基材中，故無論是在哪一組模型條件下， 整體材料的破壞都將發生在裂紋達到基材的臨界應變能釋放率GIC時，此時 的外力即為材料的破壞強度。為了更清楚地了解補強材料顆粒對含裂紋複 合材料強度的影響，透過控制拉伸外力的大小使各模型裂紋之應變能釋放 率皆與純基材中之裂紋相等，我們可以求得含裂紋複合材料相對於含裂紋 純基材的標準化拉伸強度(Normalized tensile strength)[2]。其結果如圖 3.9 所 示，透過該圖可以探討補強材料顆粒尺寸導致整體材料強度之增減。當裂

紋出現在 A 模型中時，其整體材料之標準化拉伸強度會下降；而當裂紋出

現在 B、C 模型中則強度將會上升。顯示在 A 模型處之裂紋較容易延伸破

壞，B、C 模型處則對於裂紋較有抑制的效果。然而顆粒尺寸的影響則尚不

其應變能釋放率之趨勢與前述相同，而在圖 3.11 中，其標準化拉伸強度則 可以看到較明顯之變化，A 模型之標準化拉伸強度均低於純基材，且隨著 顆粒尺寸愈大而降低；B、C 模型之標準化拉伸強度則高於純基材，B 模型 之強度隨著顆粒尺寸愈大而增加，C 模型之強度隨著顆粒尺寸愈大而降低。 而圖3.12、3.13 則是半裂紋長度 a 為 0.7 μm 時之結果，由於假設裂紋缺陷 僅存在於基材中，無補強材料破壞之情況，因此在半裂紋長度 a 為 0.7 μm 時，因在模型C 中裂紋尖端極靠近補強材料，故並未討論顆粒半徑為 0.25 μm 之模型。半裂紋長度a 為 0.7 μm 時，在顆粒尺寸對裂紋破壞行為的影響上 亦有相同之趨勢。 為了探討顆粒尺寸與裂紋應變能釋放率間的關係，我們可以從材料中的 應力分佈著手，假設補強材料顆粒大小皆相同並均勻分散在基材中，建立 如圖3.14 之 RVE 模型，施與 1 MPa 之 y 方向均勻拉伸外力以及週期性邊界

條件，當體積分率為 5 vol%時，將 RVE 上 A、B、C 模型裂紋出現處之 y

方向應力分佈曲線繪於圖 3.15-3.17 中，圖 3.15 橫軸 x1之起點為模型 A 中 裂紋之中心，終點為 RVE 模型之中心線。圖 3.16 橫軸 x2之起點為模型 B 中裂紋之中心，終點為右側兩顆粒中心之連線處。圖3.17 橫軸 x3之起點為 模型 C 裂紋之中心，終點為右側顆粒表面。已知當體積分率為定值時，補 強材料顆粒愈大其顆粒之間距愈遠，相同長度之裂紋在空間中所佔之比例 則因而縮小，在鑲埋模型A 中，半裂紋長度 a 為 0.5 μm 之裂紋如圖 3.15 箭

號所示，其裂紋尖端位置隨著顆粒尺寸增大而落至應力較高之區域，由此

可以解釋裂紋在 A 模型中隨著顆粒尺寸愈大其應變能釋放率有明顯上升之

趨勢。反之可由圖3.16 解釋鑲埋模型 B 中裂紋應變能釋放率隨著顆粒尺寸

愈大而下降之現象。而由圖 3.17 可發現在靠近補強材料顆粒側邊有一應力

極小之區域，該區域稱為應力抑制區域(Stress shielding zone)[12]，在該區域

中之裂紋受到補強材料應力抑制效果的影響較不易成長破壞。在鑲埋模型C 中裂紋尖端隨著顆粒尺寸愈大而離應力抑制區域愈遠，其抑制效果漸不明 顯，應變能釋放率逐漸上升。透過材料中的應力分佈狀況，我們可以清楚 地解釋顆粒尺寸與不同位置之裂紋應變能釋放率間的關係。 假設裂紋出現在各位置之機率均等，即材料中同時含有A、B、C 模型 三種位置之裂紋缺陷，因此在判斷整體材料強度的變化時，我們會以A、B、 C 三組模型中最低的標準化拉伸強度，即最先造成材料破壞的外力為依據。 觀察前述之結果可發現，當顆粒尺寸愈大時，材料所能承受之最小拉伸外 力愈低、即拉伸強度愈低。該現象與文獻[3-7]所提出的結果相符，Fu 等人 [7]整理了許多實驗文獻歸納出複合材料強度隨著補強材料顆粒尺寸愈大而 降低之結論。而在文獻[3]的玻璃珠/熱固性聚氨酯(Polyurethane thermosetting resin)複合材料及文獻[5]中的二氧化矽顆粒/環氧樹脂(Epoxy)複合材料也可 發現隨著顆粒愈大而降低其拉伸強度之現象。由上述文獻的結果可發現我 們的分析與實驗所得之趨勢相同，該分析模型可以用來解釋奈米複合材料