均質材料之破壞力學理論

當裂紋承受負荷時，裂紋的變形如圖2.1 所示，可分為三種獨立的變形 模式，第一種變形模式(Mode I)稱為開裂模式(Open mode)，材料承受拉伸外 力時，裂紋上下表面對稱於裂紋前進方向分開，第二種變形模式(Mode II) 稱為剪裂模式(In-plane shear mode)，裂紋上下表面在同一平面上做相反方向 之剪變形，第三種變形模式(Mode III)稱為撕裂模式(Tearing mode)，裂紋上 下面產生出平面之相對位移(縱剪變形)。

在線彈性破壞力學中，Sanford[16] 、Anderson[17]在書中整理出含有一 段長度 2a 裂紋之均質材料在承受拉伸外力σ₀，如圖 2.2 時，裂紋尖端鄰近

奇 異 特 徵(singularity characteristic) ， 為 了 量 化 這 個 奇 異 應 力 場 的 強 度 (intensity)，定義出應力強度因子 K (Stress intensity factor)

a

並將(2.1.1-2.1.3)式改寫為

⎥⎦⎤

其中 μ 為剪力模數(Shear modulus)，而 k 為由浦松比ν(Poisson’s ratio)組 成之常數

⎩⎨

另一個常被用來描述裂紋狀態的參數，應變能釋放率G (Strain energy release rate)定義為裂紋增長一小面積下，能量的變化量

dA - dU

G = (2.1.17)

其中U 為系統應變能，A 為裂紋面積，負號用來將 G 調整為正值。該參數

用來描述當裂紋向前伸長一小段距離時，系統勢能(Potential energy)對面積 的變化率。利用一段無窮小的裂紋虛位移伸長量δa，Irwin[18]提出了裂紋 關閉積分法(Crack-closure integral)，概念是當裂紋承受外力而使裂紋長度增 長了一微小量δa，所釋放的應變能與施一應力關閉該δa長度裂紋，使裂紋

利用有限元素軟體我們可以輕易的求得裂紋尖端鄰近區域的節點應力 (nodal stress)與節點位移(nodal displacement)，因此應力強度因子可由節點應 力求出

r

K_I =σ_y(θ=0) 2π (2.1.25) (2.1.26) r

K_II =τ_xy(θ=0) 2π

而應變能釋放率則可透過Rybicki 與 Kanninen[11]提出的改良式裂紋關閉積 分法(modified crack closure integral method)，利用半裂紋長度為 a 時，裂紋 尖端之節點力(nodal force)，與半裂紋增長為a+δa時，距裂紋尖端δa處，裂 紋上下表面之節點相對位移，求得關閉δa長度裂紋所需的能量。而在 Jih 與 Sun[19]中更進一步提出，在裂紋虛位移增長(virtual crack extension)前後，

近裂紋尖端之節點位移幾乎相同，故可將原本需要兩個有限元素模型計算 之改良式裂紋關閉積分法簡化為一個有限元素模型即可計算，如圖2.5 利用 節點力與節點位移求得四節點元素(4-nodes element)之總應變能釋放率 G_T (Total strain energy release rate)

II I

T G G

G = + (2.1.27)

其中

) u (u a f

G _y^{b a}_y ^a'_y

I = a −

→ δ

δ 2

lim 1

0 (2.1.28)

) u (u a f

G _x^b _x^{a a'}_x

II = a −

→ δ

δ 2

lim 1

0 (2.1.29)

f 為節點力(nodal force)，u 為節點位移(nodal displacement)， δa為假設之虛 位移，即裂紋尖端的元素寬度，a、b 為節點編號，a、a＇分別表示裂紋之 上下表面。在Ikeda 與 Sun[20]文中亦提及八節點元素(8-nodes element)之應 變能釋放率計算方法，如圖2.6

[

^{f (u u ) f (u u )}

]

G a _y^p _y^p _y^p' _y^p _y^p _y^{p '}

I a

2 2 4 1

1 3 0 2

lim 1 − + −

= ^δ → δ (2.1.30)

[

^{f (u u ) f (u u )}

]

G a _x^p _x^p _x^p' _x^p _x^p _x^{p '}

II a

2 2 4 1

1 3 0 2

lim 1 − + −

= ^δ → δ (2.1.31)

式中之p1~p4 為節點編號，p1、p1＇同樣表示裂紋之上下表面。透過以上 公式，我們可以很容易地利用有限元素軟體計算均質材料上裂紋的應力強 度因子與應變能釋放率。

2.2 雙材料介面(bimaterial interface)裂紋之破壞力學理論

當裂紋出現在兩種材料的介面時，與均質材料的破壞不同，在承受單一 模式的外力狀態時，雙材料介面層的裂紋會同時表現出開裂模式(Opening Mode)與剪裂模式(Sliding Mode)的破壞特性。而此類兩種材料介面的破壞問 題，最早是由Williams[21]提出，對於一個出現在兩種等向性材料介面的半 無限裂紋(semi-infinite crack)問題，如圖 2.7。Williams 假設一個滿足雙諧方

程式(biharmonic equation)的 Airy Stress function。

進而透過Airy Stress function 求出應力場的通解。

)]

其中

將應力與位移代入邊界條件(2.2.11-2.2.15)中可整理出：

0

0

窮大。當tanλ_Rπ = 0

若 2

England[22]針對承受均勻拉伸外力的雙材料介面層有限長度裂紋(finite crack)問題，解出裂紋上下表面 y 方向的位移場 、 ，其上下表面的間

的範圍。

28 題，延續Williams[21]提出的 Airy stress function

]

由於 該式滿足雙諧方程式(biharmonic equation)，因此可透過[24]中的方

而B⁽ⁿ⁾為B⁽ⁿ⁾之共軛複數，透過Kolosov-Muskhelishvili[24]方程式

)]

將(2.2.50-51)代入(2.2.53-54)並假設 n=1，可整理出應力場解析解(因為當 時，

) ... 伸與剪切外力之雙材料無限大平板(infinite plate)、材料介面上一段有限長度 為 2a 之裂紋問題，如圖 2.11 所示，將[23]中使用的座標系統由裂紋尖端

(X^*,Y^*)平移至有限裂紋的中心(X,Y)，並重新定義有限長度裂紋問題的複勢

利用 Kolosov-Muskhelishvili[24]方程式(2.2.53-54)，透過解無限遠端(z→∞) 之應力狀態等於其邊界外力、無限遠端的剪切外力與旋轉(rotation)之關係以 及位移的單值(single-valued)條件，可求出 A、B、C 代入(2.2.61)得到

)

之關係(2.2.60)可經由座標平移，改寫成適合於此雙材料介面有限長度裂紋

RI cosh

)]

RII cosh

)]

而Chen[26]沿用 Rice 與 Sih[25]的結果，繼續解雙材料介面上的有限長度裂 紋問題，透過Kolosov-Muskhelishvili[24]方程式

z

θ

有限長度裂紋的應力強度因子理論解

⎥⎦

Γ 為伽瑪函數(gamma function)，Re( )與 Im( )分別指實部和虛部。透過(2.2.93) 與(2.2.94)可以建立應力強度因子K_I、K_II與應變能釋放率G_I、G_II間的關係。

已知G_I、 可透過改良式裂紋關閉積分法從有限元素軟體求得，雖然在Sun 與 Jih[28]中發現因為雙材料介面裂紋的震盪性質(oscillatory nature)使然，

、 會隨著假設的虛位移 介面裂紋的應力強度因子 、 ，此方法稱為能量法(energy method)。此 方法可解出兩組 、 ，為了判斷何組解才正確，必須檢查解是否滿足裂

儘管有限元素軟體求得的裂紋上下表面相對位移uy、ux可能不夠準確，

但其比值

x y

u

u 還算準確，透過(2.2.89)與(2.2.90)兩式相除。整理後可求得

I IIK

K 之比值

( )

(

y x

)

1 2

x y 2 1 I II

u u H H

u u H H K K

× +

×

= − (2.2.105)

配合(2.2.95)式，將可輕易地透過有限元素軟體求得的節點位移求出 、

，此方法稱為位移比例法(displacement ratio method)。經過 Sun 與 Qian[14]

驗證後發現無限大平板上兩種材料介面之有限長度裂紋，其 K 值透過能量 法與位移比例法計算的結果與理論解(2.2.85-86)相比，兩種方法誤差皆在 1

%以內，皆可以採用做為兩種材料介面裂紋應力強度因子的計算方法。因此 藉由能量法或位移比例法，我們可以從有限元素法來探討材料介面裂紋的K 值，並可應用在更複雜問題的探討中。

KI

KII

然而該應力場與位移場在鄰近裂紋尖端區域出現的震盪特徵，在物理上 仍難以解釋，Gautsen 與 Dundurs[29-30]提出了接觸模型(contact model)解出 裂紋尖端附近應力場的實際解，然而該解太過複雜不夠實用，Sun 與 Qian[14]

為檢驗Rice[25]提出的震盪模型(oscillatory model)與接觸模型求得的實際解 是否相符，將兩組應力場的解相互比較，發現兩組解僅在上下材料差異極 大的情況下(例如：E₁ E₂ =10¹⁰、ν₂ ν₁ =10¹⁰)，在鄰近裂紋尖端處小範圍

(r₀ a = 2.51×10⁻⁴)才會出現差異。否則當材料差異較小時(例如：E₁ E₂ = 4、

1 1

2 ν =

ν )，兩組解應力值出現差異的範圍則趨近於零(r₀ a = 5.34×10⁻¹¹)。因 此前文提及的震盪模型仍可採用做為鄰近裂紋尖端區域的解。

而由於其震盪特徵所致，當裂紋出現在兩種材料的介面時，與均質材 料的破壞不同，無法明顯的區分不同的破壞模式。在承受單一模式的外力 狀態時，雙材料介面層的裂紋會同時表現出開裂模式與剪裂模式的破壞特 性。透過破壞模式混合度ψ (Mode mixity)，可以比較各破壞模式所佔之比 例。[14]

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⁻ ⎛

I II

K

1 K

ψ tan (2.2.106)

利用位移比例法中

I IIK

K 之比值(2.2.105)式，我們可以求得雙材料介面裂紋 中不同破壞模式的結合度，以瞭解裂紋的破壞行為。

第三章 以有限元素法模擬含裂紋之奈米複合材料

所有材料之中都存在有裂紋缺陷，這些裂紋缺陷將主導材料的破壞強 度。為了透過破壞力學理論探討顆粒型補強材料對於含裂紋之複合材料拉 伸強度的影響，並探討其顆粒尺寸、體積分率(Volume fraction)、分散性等 對破壞行為的影響，於本章節中，我們使用有限元素軟體建立一組微觀模 型，對不同條件下材料中的裂紋進行分析，並將分析結果與實驗結果對照 比較。

3.1 奈米複合材料的有限元素模型

為了透過有限元素軟體模擬球型顆粒複合材料，我們所採用的方法是鑲 埋式模型(Embedded Model)，如圖 3.1-3.3 所示，在裂紋週遭鄰近區域建立 實 際 之 基 材 與 補 強 材 料 ， 而 在 遠 處 則 以 該 複 合 材 料 之 有 效 材 料 性 質 (Effective Properties)簡化模型，以降低程式計算量。有效材料性質的計算如 圖3.4 所示，可透過代表性體積單元(Representative Volume Element, RVE)[31]

模型來計算，透過顆粒半徑R_P與體積分率V_f之關係式

2

V_f =

π R

_P2

L

(3.1.1)

可求得正方型 RVE 之邊長 L，以八節點平面元素 plane82 建立其有限元素 網格，該元素上每個節點僅有 x、y 兩個方向的位移自由度。對該 RVE 施 予週期性邊界條件(Periodic boundary condition)使四邊在變形前後皆維持為 平 面 ， 並 施 予 單 方 向 之 均 勻 拉 伸 應 力 ， 作 平 面 應 力 分 析(Plane stress analysis)。該複合材料之基材為乙烯基酯(Vinyl ester)、補強材料為二氧化矽 (SiO₂)，材料參數列於表 1。乙烯基酯的材料參數可由文獻[2]得知，二氧化 矽 顆 粒 之 楊 氏 模 數(Young’s Modulus) 可 由 文 獻 [32] 得 到 ， 而 其 浦 松 比 (Poisson’s Ratio)則可由文獻[33]得知。透過 RVE 模型可求出整體複合材料 在補強材料體積分率為5 vol%、10 vol%、20 vol%時的有效材料性質，其結 果列於表1。得到有效材料性質後，可將其運用在鑲埋式模型中。假設補強 材料顆粒大小皆相同並均勻分散在基材中，為了比較出現在顆粒型複合材 料中不同位置的裂紋之差異，如圖3.1-3.3 所示，我們建立了三組不同的鑲 埋式模型以探討補強材料顆粒相對位置對裂紋破壞行為的影響。假設裂紋 長度為2a，在 A 模型中裂紋中心與上下兩補強材料顆粒圓心三點共線，裂 紋表面至上下兩顆粒等距。B 模型中裂紋至鄰近四顆補強材料之距離皆相 等。C 模型中裂紋位於左右兩顆粒圓心之連線上，且裂紋至兩顆粒之間距 相等。而其中L 為兩補強材料圓心之間距，其值與前述 RVE 模型之邊長 L 相等，可由式(3.1.1)求得。為避免裂紋受到邊界的影響，鑲埋式模型之寬度 訂為40L，長度訂為 60L，根據收斂性測試證實該尺寸足以消去邊界對裂紋

應力場的影響。鑲埋模型中在裂紋周遭所建立的實際基材與補強材料範 圍，亦經過收斂性測試證實該範圍夠廣，使裂紋不受有效材料性質交界處 之材料不連續所影響。根據不同的分析條件，例如：體積分率、顆粒半徑，

可以建立出相對應的鑲埋式模型。由於三組模型皆為左右對稱且上下對 稱，因此以鑲埋模型 A 為例，如圖 3.5 所示，我們可以只建四分之一的模 型，再透過邊界條件限制左側之節點 x 方向位移為零，下方之節點在裂紋 範圍內維持自由無拘束，裂紋表面以外的節點給予 y 方向位移為零之拘束 條件，以模擬對稱之結構。使用八節點之平面元素plane82 建立網格，其有 限元素模型如圖3.6 所示，在裂紋尖端附近維持元素為均勻正方形，裂紋尖 端元素尺寸 Δa (即裂紋關閉積分法中裂紋關閉之虛位移)為 1.5625×10^-4 μm。鑲埋模型 B、C 可依同樣的方法建立其有限元素網格。透過以上模型 施加 之y 方向均勻拉伸應力，我們將進行一系列分析探討補強材料顆粒 對裂紋破壞行為之影響。

∞

σ

y

3.2 顆粒尺寸對含裂紋複合材料的影響

如圖3.7 所示，當體積分率為定值時，若縮小補強材料顆粒尺寸，則顆 粒之間距將相對縮小，為了探討補強材料顆粒尺寸對於含裂紋之複合材料 拉伸強度的影響，我們假設補強材料體積分率為定值，依顆粒半徑建立出

在文檔中 探討球型顆粒對奈米複合材料拉伸強度的影響－利用線彈性破壞力學理論 (頁 22-0)